【同步讲义】（苏教版2019）高中数学选修第一册：第06讲 圆与方程 讲义

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第二章 圆与方程
第01讲 圆的方程

目标导航


课程标准
重难点
1.掌握圆的定义及标准方程;
2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程.
3.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.
1. 圆的标准方程与一般方程的转化
2. 圆成立的条件

知识精讲

知识点01 圆的标准方程
1.圆的标准方程
(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合
叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
(2)圆的要素：确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．

(3)圆的标准方程:圆心为,半径为的圆的标准方程是.
圆心在坐标原点,半径为的圆的标准方程是.
【即学即练1】 圆心为，半径为的圆的方程是___________.
【答案】
【解析】因为圆心为，半径为，所以圆的标准方程为：，
故答案为：.
【即学即练2】顶点坐标分别为，，．则外接圆的标准方程为______．
【答案】
【解析】
设圆的标准方程为，因为过点，，
所以 解得
则圆的标准方程为故答案为：

【即学即练3】根据下列圆的方程，写出各圆的圆心和半径：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)圆心为，半径为5；
(2)圆心为，半径为；
(3)圆心为，半径为；
(4)圆心为，半径为3.
【解析】(1)解：因为圆的方程为，即，
所以圆心为，半径为5；
(2)解：因为圆的方程为，即，
所以圆心为，半径为；
(3)解：因为圆的方程为，即，
所以圆心为，半径为；
(4)因为圆的方程为，即，
所以圆心为，半径为3.
知识点02 圆的一般方程
1.圆的一般方程
叫作圆的一般方程.

由此可得圆心,半径.
注意:
(1)当时,方程表示圆.圆心为,半径为;
(2)当时,方程表示一个点 ;
(3)当时,方程没有实数解,它不表示任何图形(没有轨迹).
2.几种特殊位置的圆的方程
条件
标准方程
一般方程
圆心在原点


过原点


圆心在轴上


圆心在轴上


与轴相切



与轴相切



与,轴都相切




圆心在轴上且过原点


圆心在轴上且过原点


【即学即练4】 圆的圆心坐标和半径长依次为（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】圆化为标准方程为,所以圆心坐标为，半径为.故选：D.

【即学即练5】 已知方程表示一个圆，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，方程，变形为，当且仅当，即时，原方程表示圆，解得，则的取值范围为．故选：A.

【即学即练6】已知，，，则的外接圆的一般方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
设外接圆的方程为：，由题意，得解得即的外接圆的方程为．故选：C
【即学即练7】方程表示的图形是半径为的圆，则该圆圆心位于（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】
方程 表示的图形是半径为的圆，
，求得，
故圆心，在第四象限，故选：D．

知识点03 点与圆的位置关系
点与圆的位置关系分三种:点在圆上,点在园内,点在圆外.
圆的标准方程为,圆心为,半径为;圆的一般方程为 .平面内一点.
位置关系
判断方法
几何法
代数法(标准方程)
代数法(一般方程)
点在圆上



点在圆内



点在圆外




【即学即练8】已知圆的方程是，则点（       ）
A．在圆心 B．在圆上
C．在圆内 D．在圆外
【答案】C
【解析】
因为，所以点P在圆内．故选：C．
【即学即练9】两个点、与圆的位置关系是（       ）
A．点在圆外，点在圆外
B．点在圆内，点在圆内
C．点在圆外，点在圆内
D．点在圆内，点在圆外
【答案】D
【解析】
将代入方程左边得，则点在圆内，
将代入方程左边得，则点在圆外，
故选：D.
【即学即练10】已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
由题意，表示圆,故，即或
点A（1，2）在圆C：外故，即
故实数m的取值范围为或,即.故选：A
【即学即练11】若点在圆的内部，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为点在圆的内部，则，解得：.故选：D.





知识点04 求圆的轨迹方程
轨迹方程是指动点的坐标满足的关系式, 求轨迹方程即求与,有关的等式.
求轨迹方程常用的方法有:直接法;定义法;代人法.
1. 直接法
它可分为五个步骤:(1)建系,(2)找出动点满足的条件,(3)用等式表示此条件,(4)化简,(5)验证.
【即学即练12】已知圆上的一定点，点为圆内一点，，为圆上的动点．
若，求线段中点的轨迹方程．
【答案】

【详解】
设线段中点坐标为，
因为，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
化简得.

2. 定义法
若动点的轨迹满足某种曲线的定义,则可根据定义直接写出动点的轨迹方程, 这种求轨迹方程的 方法叫做定义法.
【即学即练13】自引圆的割线ABC,求弦BC的中点的轨迹方程.
【详解】
通过几何关系知,取的中点,则,
由圆的定义知,为圆心,的轨迹方程是).

3. 代入法
也称相关点法,它用于处理一个主动点 与一个被动点的问题, 只需找出这两点坐标之间的关系, 然后代人主动点满足的轨迹方程即可.
【即学即练14】圆C过点，且圆心在直线上．
（1）求圆C的方程；
（2）P为圆C上的任意一点，定点，求线段中点M的轨迹方程．
【答案】
（1）
（2）
【详解】
（1）直线的斜率，所以的垂直平分线m的斜率为1．
的中点，因此，直线m的方程为．即．
联立方程组，解得．所以圆心坐标为，又半径，
则所求圆的方程是．
（2）设线段的中点，则，解得
代入圆C中得，
即线段中点M的轨迹方程为．


知识点05 阿波罗尼斯圆
在平面上给定相异两点A、B,设点在同一平面上且满足, 当且时,点的轨迹是圆, 这个圆我们称作阿波罗尼斯圆.



【即学即练15】古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵，即,设，则，整理得,故选：B．
【即学即练16】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则面积的最大值是（       ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【解析】
设经过点A，B的直线为x轴，的方向为x轴正方向，线段AB的垂直平分线为y轴，线段AB的中点O为原点，建立平面直角坐标系.则，．

设，∵，∴，两边平方并整理得，即．要使的面积最大，只需点P到AB（x轴）的距离最大时，
此时面积为．故选：C.
【即学即练17】阿波罗尼斯（约前262—前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点，，动点P满足，则点P的轨迹方程是___________．
【答案】
【解析】
设，即，整理得：即．
故答案为：．




能力拓展

◆考点01 一般方程与标准方程的转化
【典例1】已知圆方程的圆心为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解：因为，即，所以圆心坐标为；
故选：C
【典例2】圆的圆心和半径分别是（       ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】
先化为标准方程可得，故圆心为，半径为.故选：D.
【典例3】已知圆，则该圆的圆心和半径分别是（       ）．
A．， B．，10
C．， D．，10
【答案】C
【解析】将圆的一般式方程化为标准方程得，
所以圆心为，半径为.故选：C

◆考点02 方程表示圆的条件
【典例4】若方程表示圆，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解：因为方程，可变形为，因为方程表示圆，则，解得：或，所以的取值范围是.故选：C.
【典例5】若方程表示圆，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
方程化为标准式得,，则.故选：D.
【典例6】若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
由，得，由该曲线表示圆，可知，解得或，故选：B.
【典例7】方程表示的曲线是（       ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
解：对两边平方整理得，所以，方程表示圆心为坐标原点，半径为的圆在轴及下方的部分，A选项满足.故选：A

◆考点03 求圆的一般方程
【典例8】已知，则的外接圆的一般方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
设外接圆的方程为：，由题意可得：，解得：，
即的外接圆的方程为：．故选：C.
【典例9】以，为直径的圆的方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
中点为，，所以以，为直径的圆的圆心为，半径为，所以圆的标准方程为，
整理得：，所以以，为直径的圆的方程为，故选：A
【典例10】过三点，，的圆交轴于，两点，则（       ）
A． B．8 C． D．10
【答案】C
【解析】
设圆的方程为，
则，
解得：，，，
所以圆的方程为：，
令，可得，解得：，
，
故选：C.
【典例11】已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
线段的中点坐标为，直线的斜率，
则线段的垂直平分线的方程为，即.
由，解得.
所以圆的圆心为，半径，
所以圆的方程为，即.
故选：C.

◆考点04 点与圆的位置关系
【典例12】点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是（       ）
A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1
C．a＞1或a＞－1 D．a＝±1
【答案】A
【解析】
由于点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4，a2＜1，
所以－1＜a＜1.故选：A
【典例13】已知点在圆的外部，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由点在圆外知，即，解得，又为圆，则，解得，故.故选：D.
【典例14】若无论实数取何值，直线与圆相交，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由圆，可知圆，∴，
又∵直线，即，恒过定点，
∴点在圆的内部，
∴，即，
综上，.故选：A.

◆考点05 圆的对称性问题
【典例15】已知圆关于直线对称的圆的方程，则圆的方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
因为圆的圆心为，设关于的对称点，
则，解得，即圆C的圆心为，半径为1，所以方程为.
故选：C
【典例16】以下直线中，将圆平分的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】
方程可化为，故圆心坐标为.
若直线平分该圆，则点必在直线上.
，点在直线上，故A正确；
，点不在直线上，故B错误；
，点不在直线上，故C错误；
，，点在直线上，故D正确.
故选：AD.
【典例17】圆关于直线对称的圆的方程是______．
【答案】
【解析】
由题意得圆的圆心为，半径为1，设圆心关于直线的对称点为，所以，解得，所以圆的方程为.故答案为：

◆考点06 轨迹问题
【典例18】已知A，B为圆上的两个动点，P为弦的中点，若，则点P的轨迹方程为（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
圆即,半径因为,所以又是的中点,所以所以点的轨迹方程为故选：B

【典例19】当点A在曲线上运动时，连接A与定点，则AB的中点P的轨迹方程为______．
【答案】
【解析】
设，
则由中点坐标公式可得，代入得
整理得P的轨迹方程为.
故答案为：
【典例19】等腰三角形的顶点是，底边一个端点是，求另一个顶点C的轨迹方程，试说明它的轨迹是什么？
【答案】（点和除外）；
点C的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆除去和两点．
【解析】
设另一端点C的坐标为，依题意，得，
由两点间距离公式，得,
化简，得，
因为A、B、C三点不共线，而的方程为，
联立或，
故点C的轨迹方程为（点和除外）,
点C的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆除去和两点．



分层提分


题组A 基础过关练
一、单选题
1．若点不在圆的外部，则a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由已知得，解得，∴，即．故选：.
2．已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（       ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
由题意，圆心，圆的直径为，半径为.所以圆的方程为，即 ，故选：B
3．当为任意实数时，直线恒过定点，则以为圆心，为半径的圆的一般方程为（     ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
直线，当时，，故直线恒过点，所以以为圆心，为半径的圆的标准方程为，化简得圆的一般方程为：.故选：C.
4．过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
因为过点与，所以线段AB的中点坐标为，，所以线段AB的中垂线的斜率为，所以线段AB的中垂线的方程为，又因为圆心在直线上，
所以，解得，所以圆心为，所以圆的方程为.故选：A
5．若一动点在曲线上移动，则它和定点的连线的中点的轨迹方程是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
解：设动点的坐标为，点的坐标为，则，，即，．
又动点在曲线上，∴，∴，即为点的轨迹方程．故选：C
6．若实数满足，则的最大值是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
，表示以为圆心，3为半径的圆.
表示以圆上的任意一点到两点间距离，的最大值即为
故选：A

二、多选题
7．已知圆，下列结论中正确的有（       ）
A．若圆过原点，则 B．若圆心在轴上，则
C．若圆与轴相切，则 D．若圆与轴均相切，则
【答案】ACD
【解析】
对于A，若圆过原点，则，即，A正确；
对于B，由圆的方程知其圆心为，若圆心在轴上，则，B错误；
对于C，由圆的方程知其圆心为，半径；若圆与轴相切，则，
，C正确；
对于D，若圆与轴均相切，由C知：，D正确.
故选：ACD.
8．若是一个圆的方程，则实数m可取的值有（       ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】BCD
【解析】
由题意得，解得．
故选：BCD．

三、填空题
9．求圆关于点对称的圆的方程为___________.
【答案】
【解析】
圆化为标准方程为：.所以，半径.
故圆关于点对称的圆的半径5，圆心设为D.由中点坐标公式求得: ,
所以对称圆的方程为：.故答案为：
10．若方程表示一个圆，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
解：因为方程表示一个圆.所以，，即，解得或.所以，实数的取值范围是 故答案为：
11．若直线与的交点在圆上，则k的值是______．
【答案】
【解析】
联立，得，即直线与的交点为，
因为两直线的交点在圆上，所以，解得.
故答案为：.
12．已知点，，动点满足，则点P的轨迹为___________.
【答案】
【解析】，，
化简得：，所以，点P的轨迹为圆：故答案为：

四、解答题
13．下列方程是圆的方程吗？若不是，请说明理由．
(1)；
(2)．
【答案】(1)不是
(2)答案见解析
【解析】
(1)圆的标准方程为，其中圆心(a，b)，a∈R，b∈R半径为r(r>0).
因为-50).
当k>0时，方程表示圆心为(-1，1)，半径为的圆的方程；
当k=0时，方程表示点(-1，1)，不表示圆的方程；
当k