苏教版 (2019)选择性必修第一册2.1 圆的方程精品课堂检测

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第三章 圆锥曲线与方程
第09讲 椭圆的方程与几何性质

目标导航


课程标准
重难点
1.掌握椭圆的定义与方程
2.了解椭圆的常见性质以及掌握椭圆的几何意义

1.椭圆几何意义的应用
2.离心率

知识精讲

知识点01 椭圆的定义与方程
1.椭圆的定义
我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆.
这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
2.椭圆的标准方程
定义

图形


标准方程
(焦点在轴)
(焦点在轴)
焦点


的关系

提示:椭圆的标准方程中, 与对应的分母哪一个大,则焦点就在那一轴上.

3.共焦点的椭圆系方程
(1)与椭圆有公共焦点的椭圆方程为;
(2)与椭圆有公共焦点的椭圆方程为.

【即学即练1】“方程表示椭圆”的一个充分条件是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由方程表示椭圆则可得到或，再由充分条件的定义即可选出答案.
【详解】若方程表示椭圆，
则解得或．
对比选项，A符合题意.
故选：A．
【即学即练2】若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据焦点在x轴上的椭圆满足的条件列式求解即可.
【详解】因为表示焦点在x轴上的椭圆，所以,解得．
故选：D
【即学即练3】已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的焦点可求，根据经过点，可得，进而可求解，即可得椭圆方程.
【详解】因为焦点坐标为和，所以.椭圆经过点，且焦点在x轴上，所以，所以，则椭圆的标准方程为.
故选:A.
【即学即练4】已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用椭圆的对称性、勾股定理、椭圆的定义求得，再求得后可得标准方程．
【详解】由对称性，又，则，
所以，，又，则，
椭圆标准方程为．
故选：B．

【即学即练5】求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)过点，且与椭圆有公共的焦点；
(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点，．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）解：方法一 ：设所求椭圆的标准方程为（）
由，得，即．①
又点在所求椭圆上，所以，②
由①②得，，
即所求椭圆的标准方程是．
方法二 ：设所求椭圆的方程为．
因为点在所求椭圆上，
所以，解得，
所以所求椭圆的标准方程为．
（2）方法一 ：当椭圆的焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为（）．
依题意有，得．
由知，不符合题意，故舍去．
当椭圆的焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程（）．
依题意有，得．所以所求椭圆的标准方程为．
方法二： 设椭圆的方程为（，，）．
依题意有，解得．
所以所求椭圆的方程为，故椭圆的标准方程为．
知识点02 椭圆的几何性质及离心率
1.几何性质
标准方程


图形


范围


对称性
关于轴、轴对称, 关于原点中心对称
顶点坐标


半轴长
长半轴长为,短半轴长为
离心率


2.离心率
(1)椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率,用表示,即.
(2)离心率的取值范围:.
(3)离心率对椭圆形状的影响:
①越接近1, c就越接近,从而就越小,椭圆就越扁.
②越接近0, c就越接近0 ,从而就越接近,椭圆就越圆.
(4) .
3.相同离心率的椭圆系方程
与椭圆有相同离心率的椭圆方程为,焦点在轴上)或 ,焦点在轴上).

【即学即练6】有关椭圆叙述错误的是（       ）
A．长轴长等于4 B．短轴长等于4
C．离心率为 D．的取值范围是
【答案】A
【分析】根据题意求出，进而根据椭圆的性质求得答案.
【详解】椭圆方程化为：，则，则长轴长为8，短轴长为4，离心率，x的取值范围是.即A错误，B,C,D正确.
故选：A.
【即学即练7】已知椭圆与，则两个椭圆（       ）
A．有相同的长轴与短轴 B．有相同的焦距
C．有相同的焦点 D．有相同的离心率
【答案】D
【分析】根据椭圆的标准方程，可得以及离心率的值，即可求解.
【详解】将椭圆方程整理得，
其焦点在轴上，，，则，所以．
将椭圆方程整理得，其焦点在轴上，，，
则，所以，
故选:D．
【即学即练8】椭圆的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题可知的值，由离心率求出结果．
【详解】由题意知椭圆中，，，，
故离心率．
故选：A．
【即学即练9】已知椭圆的焦距为2，离心率，则椭圆的标准方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件可得与的值，进而得的值，然后得标准方程.
【详解】由于2c=2,所以c=1,
又因为，故，
，所以椭圆的标准方程为：.
故选：C
【即学即练10】已知椭圆的离心率为，则椭圆的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的离心率求得，再根据椭圆离心率的公式及可得解.
【详解】解：因为椭圆的离心率为，
所以，解得，
则椭圆的离心率.
故选：C.
【即学即练11】椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点使为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（       ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据等腰直角三角形，可知有三种情况：,和，根据几何关系即可求解.
【详解】当时，为等腰直角三角形，则点位于椭圆的上下顶点，则满足：,
当或者时，此时 ，为等腰直角三角形，则满足 ,
故 ，
故选：C


知识点03 椭圆拓展性质及常见重要结论
1.椭圆的第二定义
椭圆的第二定义:平面上到定F的距离与到定直线的距离之比是常数的点的轨迹叫做椭圆(如下图),即. 定点F叫焦点,定直线叫准线.焦点分为左焦点和右焦点,准线分为左准线和右准线.注意:左焦点对应左准线,右焦点对应右准线.


【即学即练12】已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点对应的准线的距离为（       ）
A． B．5 C． D．
【答案】D
【分析】根据给定方程，求出椭圆的离心率，再利用椭圆的第一、第二定义计算作答.
【详解】令椭圆二焦点分别为，显然椭圆长半轴长，短半轴长，半焦距，离心率，
由对称性不妨令，则由椭圆第一定义知，
由椭圆第二定义得点P到焦点对应准线的距离.
故选：D
【即学即练13】已知椭圆上一点到右准线的距离为，则点到它的左焦点的距离为（        ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据圆锥曲线统一定义可求得，由椭圆定义可求得.
【详解】设分别为椭圆的左、右焦点，到左准线的距离为，到右准线的距离为，
由圆锥曲线的统一定义知：，解得：，
又，解得：，到它的左焦点距离为．
故选：A.
【即学即练14】设椭圆上一点到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则点到右准线的距离为（       ）
A．6 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆定义，求出，利用第二定义求出到右准线的距离，注意右焦点右准线的对应关系．
【详解】由椭圆第一定义知，
所以，椭圆方程为，
设点到右准线的距离为，
因为到右焦点的距离为1，
所以
所以，
故选：．
【即学即练15】如图，是椭圆上的一点，是椭圆的左焦点，是线段的中点，，则点到该椭圆左准线的距离为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接，利用椭圆的定义求得，然后利用椭圆的第二定义可求得点到该椭圆左准线的距离.
【详解】如下图所示，连接，

在椭圆中，，，.
因为为的中点，为的中点，所以，，
由椭圆的定义可得，设点到该椭圆左准线的距离为，
由椭圆的第二定义可得，，因此，.
故选：C.

2.焦半径
,为点横坐标(焦点在轴)
,为点纵坐标(焦点在轴)
【即学即练16】定义：椭圆（）上任意一点到左、右两焦点、的距离、称为椭圆的两个“焦半径”，证明：焦半径,；
【详解】对于椭圆方程：，由椭圆上任意点及左、右焦点、，得
；
同理，；
根据椭圆方程知，，即
故，椭圆两个焦半径为，，


3.通径
如下图,过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直
的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的
通径, 其长为.

【即学即练17】已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，，则椭圆C的标准方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题意，设椭圆C的标准方程为，
则，即，又，所以a＝2或
（舍去），所以，，
故椭圆C的标准方程为．
故选：C.


4.最大张角与最值
(1)椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点, 距离
的最大值为,距离的最小值为.
(2)如下图,为椭圆的两个焦点,
为椭圆上任意一点,则当点为椭圆短轴的端,点时, 最大.

【即学即练18】设椭圆的两焦点为，．若椭圆C上有一点P满足，则椭圆C的离心率的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由椭圆的几何性质求解
【详解】由椭圆的几何性质知当点在短轴顶点时，最大，设短轴顶点为B，则，得，
故选：A
【即学即练19】若为椭圆上的一点，，分别是椭圆的左、右焦点，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】易知当点为椭圆与轴的交点时取最大值，再根据椭圆方程求出、，最后根据勾股定理逆定理计算可得.
【详解】解：易知当点为椭圆与轴的交点时，最大，
因为椭圆方程为，所以、，
此时，，
所以，
所以为等腰直角三角形，所以．
故选：D
【即学即练20】已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆上一点M满足，则该椭圆离心率取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】如图根据椭圆的性质可知，当点在短轴顶点（不妨设上顶点时最大，要椭圆上存在点，满足，，，即可，
【详解】解：如图根据椭圆的性质可知，当点在短轴顶点（不妨设上顶点时最大，

要椭圆上存在点，满足，则，，，即，又，所以故椭圆离心率的取值范围是， 故选：D．

5.焦点三角形
为椭圆上异于长轴端点的点,为
两个焦点,则称作焦点三角形.若 ,则
的面积.通过余弦定理可得:
【即学即练21】椭圆的焦点为，P为椭圆上一点，若，则的面积是.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】椭圆焦点三角形的面积公式为，直接代入公式可求得面积.
【详解】由于椭圆焦点三角形的面积公式为，故所求面积为，故选A.

【即学即练22】已知椭圆：的右焦点为，点在上，为坐标原点，若，则的面积为（       ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】A
【分析】由已知推出焦点三角形为直角三角形，利用焦点三角形面积公式计算即可.
【详解】设椭圆：的左焦点为，根据题意，作图如下：

由，
所以，
所以由焦点三角形面积公式： =故选：A.

【即学即练23】已知椭圆，其左右焦点分别为，其离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足，已知的内切圆的面积为，则该椭圆的长轴长为（       ）
A．2 B．4 C．6 D．12
【答案】D
【分析】根据椭圆的离心率公式，再利用焦点三角的面积相等及椭圆长轴长即可求解.
【详解】由，得，即.
设的内切圆的半径为，则
因为的内切圆的面积为，所以，解得（负舍），
在中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，知
，即，
由，联立，得，
所以该椭圆的长轴长为.
故选：D.

6.椭圆中斜率乘积为定值
(1) 椭圆长轴的两个
端点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线
的斜率之积为;
(2)设,是椭圆上
关于原点对称的两点,点为该椭圆上不同
于,的任一点, 若直线, 的斜率
分别为, 则.

【证明】设, 则.
所以.
由 得. 所以为定值.
【即学即练24】椭圆的左、右顶点分别为,点在上且直线斜率的取值范围是, 那么直线斜率的取值范围是.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解法一:设点, 则直线的斜率为
,直线的斜率为,
所以.因为点满足,
所以,即.故.
因为是增函数, 所以.故选B.
解法二:由椭圆第三定义得,即,因为,所以 .故选B.
【即学即练25】已知椭圆C：（），点A，B为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率的取值范围是______．
【答案】
【详解】由题可知，，设，
由点P在椭圆上，得，
所以，
可得，所以．故答案为：.

能力拓展

◆考点01 椭圆标准方程的应用
【典例1】若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（       ）
A． B．椭圆的焦距为
C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则
【答案】C
【分析】利用椭圆方程与椭圆位置特征逐项分析、计算即可判断作答.
【详解】因方程表示椭圆，则有，，且，即，A错误；
焦点在轴上时，，解得，D错误，C正确；
焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误.
故选：C
【典例2】已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题知，再解不等式即可.
【详解】解：方程表示焦点在轴上的椭圆，
，解得：．
故选：D．
【典例3】椭圆上点到上焦点的距离为4，则点到下焦点的距离为（       ）
A．6 B．3 C．4 D．2
【答案】A
【分析】根据椭圆方程求出，再根据椭圆的定义计算可得；
【详解】解：椭圆，所以，即，设上焦点为，下焦点为，则，因为，所以，即点到下焦点的距离为；
故选：A
【典例4】设、是椭圆的两个焦点，为坐标原点，点在上，且的面积为，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形的面积可求得点的坐标，由此可求得的值.
【详解】在椭圆中，，，则，所以，，
，所以，所以，
则，
故选：A.
【典例5】椭圆以坐标轴为对称轴，经过点，且长轴长是短轴长的倍，则椭圆的标准方程为（       ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】分情况讨论焦点所在位置及椭圆方程.
【详解】当椭圆的焦点在轴上时，由题意过点，故，，椭圆方程为，
当椭圆的焦点在轴上时，，，椭圆方程为，
故选：C.
【典例6】已知椭圆过点和点，则此椭圆的方程是（       ）
A． B．或
C． D．以上均不正确
【答案】A
【分析】根据给定条件设出椭圆方程，将给定点的坐标代入，列出方程组求解即得.
【详解】设椭圆方程为：mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)，因椭圆过点和点，
于是得 ，解得，
所以所求椭圆方程为.
故选：A

◆考点02 椭圆的轨迹问题
【典例7】线段｜AB｜＝4，｜PA｜＋｜PB｜＝6，M是AB的中点，当点P在同一平面内运动时，｜PM｜的最小值是（       ）
A．5 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】由题设知轨迹是以为焦点，焦距为4，长轴长为6的椭圆，根据椭圆的性质判断|PM|的最小值.
【详解】若以为原点为x轴建立平面直角坐标系，

由，则，若，
故轨迹是以为焦点，焦距为4，长轴长为6的椭圆，且轨迹方程为，
所以|PM|的最小值是.
故选：B
【典例8】已知的周长为，顶点、的坐标分别为、，则点的轨迹方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分析可知点的轨迹是除去长轴端点的椭圆，求出、的值，结合椭圆焦点的位置可得出顶点的轨迹方程.
【详解】由已知可得，，且、、三点不共线，
故点的轨迹是以、为焦点，且除去长轴端点的椭圆，
由已知可得，得，，则，
因此，点的轨迹方程为.
故选：D.
【典例9】已知圆上一动点M，点，线段的中垂线交直线于点，且点P到y轴的距离是，则（       ）
A． B． C．3 D．2
【答案】A
【分析】根据椭圆、抛物线定义可知Р是椭圆与抛物线的交点，联立方程求P横坐标，结合已知即可求.
【详解】由P到y轴的距离是，即P到与的距离相等，
又线段的中垂线交直线于点，即，
所以，即P轨迹是以为焦点，长轴长的椭圆，轨迹方程为，
综上，Р是椭圆与抛物线的交点，联立可得，
解得或（舍），则.故选：A.
【典例10】已知点、，直线，动点到点的距离和它到直线的距离之比为，则的最大值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设点，由题意可求出点的轨迹方程，再利用平面内两点间的距离公式和二次函数的基本性质可求得的最大值.
【详解】设点，由题意可得，整理可得，
则，其中，
所以，，
所以，当时，取最大值，即.
故选：C.
【典例11】若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据方程可以利用几何意义得到动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，从而求出轨迹方程.
【详解】由题意得：到与的距离之和为8，且8>4，故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，，所以，，所以椭圆方程为.
故选：A
【典例12】若动点到定点的距离和它到直线的距离之比是1：2，则下列说法不正确的是（     ）
A．点的轨迹是离心率为的椭圆 B．点的轨迹方程是
C．点的轨迹是长轴长为8的椭圆 D．点的轨迹是短轴长为的椭圆
【答案】D
【分析】设，根据题意和两点间的距离公式可得点M的轨迹方程，即可得出答案.
【详解】设，由题意知，
整理得，即，
所以点M的轨迹是长轴长、短轴长分别是8，的椭圆，其离心率为.
故选：D
【典例13】已知点、，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件可得出、所满足的等式，求出的取值范围，结合二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】由题意可知，，整理得，
则，故，
因为，所以，所以，
即．
故选：C．

◆考点03 椭圆的几何性质求最值
【典例14】已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（       ）
A．3 B．5 C． D．13
【答案】B
【分析】由，结合图形即得.
【详解】因为椭圆，
所以，，
则椭圆的右焦点为，

由椭圆的定义得：，
当点P在点处，取等号，
所以的最大值为5，
故选：B.
【典例15】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若的最大值为10，则的值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用椭圆定义得到，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，进而可得，即得．
【详解】∵，为椭圆的两个焦点，
∴，，
的周长为，
即，
若最小，则最大．
又当轴时，最小，此时，
故，
解得．
故选：C.
【典例16】已知椭圆，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上一点，若椭圆内一点A(1,1)，则的最小值为（       ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】由椭圆定义把转化为到右焦点的距离，然后由平面上到两定点的距离之差最小的性质可得.
【详解】设椭圆的右焦点为，，，
又，，
当三点共线时取等号，的最小值为3（取最小值时是射线与椭圆的交点），
故选：A.
【典例17】已知，分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为（       ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】椭圆上的点P满足，找到取等时点P位置即可求出最大值.
【详解】椭圆上的点P满足，
当点P为的延长线与C的交点时，
达到最大值，最大值为．
故选：B
【典例18】若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值为（       ）
A．4 B．8 C．10 D．20
【答案】D
【分析】设为椭圆的左焦点，则由椭圆的定义可得：，当共线时，△ABF周长取得最大值，从而可得出答案.
【详解】解：设为椭圆的左焦点，
则由椭圆的定义可得：

，
当共线时，，
当不共线时，，
所以△ABF周长的最大值为20.
故选：D.

【典例19】已知椭圆外一点A(5，6)，l为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到l的距离为d，则的最小值为（        ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用圆锥曲线的统一定义，有，这样，最小值为线段的长．
【详解】如图，设F为椭圆的左焦点，可知其坐标为F(－3，0)，根据圆锥曲线的统一定义有：＝e＝，即，所以，可知当P、F、A三点共线且P在线段AF上时，最小，最小值＝10．故的最小值为10．
故选：B．

【典例20】已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（       ）
A．1 B．－1 C． D．
【答案】A
【分析】设椭圆的左焦点为，得到，得出，结合图象，得到当且仅当，，三点共线时，取得最小值，即可求解.
【详解】设椭圆的左焦点为，则，可得，
所以，
如图所示，当且仅当，，三点共线（点在线段上）时，
此时取得最小值，
又由椭圆，可得且，所以，所以的最小值为1．
故选：A．

【典例21】动点分别与两定点，连线的斜率的乘积为，动点的轨迹为曲线，已知，，则的最小值为（       ）
A．2 B．7 C． D．10
【答案】B
【分析】先根据题意，求得曲线的方程，再根据椭圆的定义，结合三角形两边之差小于第三边，即可得到的最小值.
【详解】根据题意，设，则，
即：，为的左焦点，

设的右焦点为，则，
从而，
当共线，且在线段上时取等号，故的最小值为7.
故选：B．

◆考点04 椭圆的离心率
【典例22】过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线，交椭圆于A，B两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】因为为正三角形，所以结合椭圆的定义可得，所以椭圆的离心率，代入即可得出答案.
【详解】图所示，易知，．

由椭圆的定义可得，则该椭圆的离心率．
故选：A.
【典例23】椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点使为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（       ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据等腰直角三角形，可知有三种情况：,和，根据几何关系即可求解.
【详解】当时，为等腰直角三角形，则点位于椭圆的上下顶点，则满足：,
当或者时，此时 ，为等腰直角三角形，则满足 ,
故 ，
故选：C
【典例24】已知是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若，且，则E的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据椭圆定义得到，由得到，由勾股定理得到，两式结合求出，结合得到，求出离心率.
【详解】由题意得：，则，
由椭圆定义可知：，
所以，即，
所以，
又，所以，即
故E的离心率为.
故选：C.
【典例25】已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知，画出图像，根据，可令，然后表示出，，然后利用椭圆定义找到与之间的关系，然后用分别表示出、、，在中，利用勾股定理判定，然后在中，可表示出与之间的关系，从而求解离心率.
【详解】由已知，可根据条件做出下图：

因为，令，
所以，，由椭圆的定义可知，
所以，所以，，，，
由椭圆的定义可知，
在中，，所以,
在中， ，所以
所以.
所以的离心率是.
故选：D.
【典例26】已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则椭圆的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意画图，利用相似于，和相似于列方程求解即可.
【详解】如图，由题意得､､，

设，因为轴，所以，所以 ，得①，
又由，中点为，得，得②，
由①②得，则.
故选：A.
【典例27】设，为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，，，则椭圆的离心率_________.
【答案】或
【分析】根据余弦定理可得，进而结合焦点三角形与离心率公式求解即可
【详解】因为，且，故为锐角，所以，由余弦定理，即，所以，故或，故或
故答案为：或
【典例28】如图，已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，A为C上位于第一象限内的一点，与y轴交于点B，若，则C的离心率为______．

【答案】
【分析】根据线段的垂直平分线及锐角三角函数，再利用椭圆的定义，结合椭圆的离心率公式即可求解.
【详解】由题意知, ，设，
由，得，,
,,
在中，，，
在中，；
根据椭圆的定义，，
所以．
故答案为：
【典例29】设椭圆的两个焦点是，过的直线与交于P，Q两点，若，且，则椭圆的离心率为_____________．
【答案】
【分析】由已知，设再根据椭圆定义得，化简得
取 的中点，连接，则，
由勾股定理得
整理可得，化简得或者，计算可得.
【详解】设椭圆

设 由椭圆的定义可得 ， 可得
取 的中点 ，连接 ，则
由勾股定理可得 即为将带入上式化简可得，
所以，所以，
所以或者，所以或（舍），
所以 .
故答案为：．

◆考点05 椭圆的离心率的取值范围
【典例30】已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由椭圆的定义结合已知求得，再由求得的不等关系，即可求得离心率的取值范围.
【详解】由椭圆的定义得，又∵，∴，，
而，当且仅当点在椭圆右顶点时等号成立，
即，即，则，即.
故选：D．
【典例31】已知圆与x轴的交点分别为A，B，点P是直线l：上的任意一点，椭圆C以A，B为焦点且过点P，则椭圆C的离心率e的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，，利用点关于直线对称求P到A，B两点距离之和的最小值，进而得到椭圆参数a的最小值，结合椭圆离心率求法及性质确定范围.
【详解】由题意，不妨令，，则，
P是直线l上的点，P到A，B两点距离之和的最小值为B关于直线l的对称点与A的距离．
设，可得，解得，
所以，则，
此时椭圆的长轴长，所以a的最小值为，
椭圆的离心率的最大值为，
所以椭圆C的离心率e的取值范围为．
故选：B
【典例32】已知椭圆（），椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆C上的任意一点，且满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，则，由，得，根据表示椭圆上的点到原点的距离的平方，可得选项
【详解】解：由已知得，，设，
则，，
因为，所以，即，即，
因为点P是椭圆上的任意一点，所以表示椭圆上的点到原点的距离的平方，
因为，所以，所以，即，
所以，
故选：B．
【典例33】已知，是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，点M是C上点（不在坐标轴上），点N是的中点，若MN平分，则椭圆C的离心率的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由角平分线的性质定理有，再根据线段之间的关系建立不等式可求解.
【详解】因为是的中点，是的中点，所以，
因为平分，所以，
因为，所以，，由（或），得椭圆的离心率，又，所以椭圆的离心率的取值范围是．
故选：A．
【典例34】已知椭圆，对于C上的任意一点P，圆上均存在点M，N使得，则C的离心率的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作图，根据图形分析当点 位于椭圆长轴的端点， 分别为过P点对圆O做切线的切点时，如果 ，则可以满足题目的要求.
【详解】
如上图，当P位于右端点（做端点也相同），如果，则对于C上任意的点P，在圆O上总存在M，N点使得
，
此时，   ，   ；
故选：A.
【典例35】已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点M在椭圆C上，若，则该椭圆的离心率不可能是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，则，代入中，可得，再利用，即可求出离心率的取值范围，从而可判断出离心率不可能的值
【详解】设．因为点M在椭圆C上，所以，所以．
因为，所以，解得．
由题意可知，
即．
由，可得，即，显然成立．
由，可得，则．
又，所以，
因为，，，，
故选：A．
【典例36】已知椭圆的离心率，则实数m的取值范围是_____．
【答案】
【分析】由可知.分别讨论椭圆的焦点在轴与轴上，分别将、带入不等式，即可求出m的取值范围.
【详解】椭圆的标准方程为．
因为，，所以．
当椭圆的焦点在x轴上时，，，则；
当椭圆的焦点在y轴上时，，，则．
所以实数m的取值范围是．
故答案为：.
【典例37】已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点（异于长轴的端点），使得，则该椭圆离心率的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据已知条件等式，结合正弦定理，得出的关系，利用椭圆定义和的范围，即可求出的取值范围.
【详解】由已知，得，由正弦定理，得，
所以．
由椭圆的几何性质，知，
所以且，
所以且，
即且，
结合，可解得．
故答案为：.

◆考点06 余弦定理在焦点三角形中的应用
【典例38】椭圆的焦点为，，椭圆上的点满足，则点到轴的距离为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用椭圆的定义以及余弦定理，可以解得，一方面，另一方面设点到轴的距离为，则，所以，即可求解
【详解】易得．设，，则．
在中，由余弦定理得，
即，则，
所以．
设点到轴的距离为，则，故，解得．
故选：C．
【典例39】已知椭圆：的两个焦点为，，过的直线与交于A，B两点.若，，则的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件以及椭圆的定义,将,用a表示出,再在三角形中利用余弦定理建立方程,即可求解.
【详解】设,则,.
由椭圆的定义可知,所以,所以,.
在△ABF1中,.
所以在△AF1F2中,,
即整理可得：,
所以
故选：C
【典例40】椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由椭圆的定义及题设，求出、、，利用，由余弦定理建立方程化简即可得解.
【详解】因为，由椭圆定义知，
又，所以，再由椭圆定义，
因为，所以，
所以由余弦定理可得，
即，
化简可得，即，
解得或（舍去）.
故选：D
【典例41】已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（       ）
A． B． C． D．9
【答案】A
【分析】由已知可得，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解.
【详解】因为，
所以，
又
记，则，
②2-①整理得：，所以
故选：A

【典例42】已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的定义以及焦点三角形中的余弦定理即可建立齐次式求解.
【详解】在椭圆中，由椭圆的定义可得，
因为，所以，在中，，
由余弦定理得，
即所以所以的离心率.
故选：C
【典例43】已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据椭圆方程求得，由椭圆的定义，得，求得，所以，在中，再由余弦定理列出方程，求得，即可求解．
【详解】解：由题意，椭圆方程，可得，
所以焦点，
又由椭圆的定义，可得，因为，所以，
在中，由余弦定理可得,
所以，解得，
又由，所以.
故选:C．
【典例44】已知，是椭圆C：的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义分别求出，在中，利用余弦定理求得的关系，从而可得出答案.
【详解】解：在椭圆C：中，
由椭圆的定义可得，
因为，
所以，
在中，，
由余弦定理得，
即，
所以，
所以C的离心率.
故选：A.
【典例45】已知点在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则的面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由椭圆的定义结合余弦定理解得，通过三角形面积公式即可求得答案.
【详解】由， ，又，解得，
.
故选：A.
【典例46】已知椭圆的上顶点，左右焦点分别为，连接，并延长交椭圆于另一点P，若，则椭圆C的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意及椭圆的定义，可求得、的长，根据三角函数定义，求得根据余弦定理，可求得，根据两角的关系，列出方程，代入离心率公式，即可得答案.
【详解】由题意得，
所以，则，
由椭圆的定义可得，
所以，
因为，
所以，解得，，
在中，，
在中，，
因为，
所以，即，
所以
所以.
故选：C


分层提分


题组A 基础过关练
一、单选题
1．“”是“方程表示椭圆”的（       ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义和必要不充分条件定义可得答案.
【详解】若方程表示椭圆，则，，
“”是“方程表示椭圆”的必要条件；
反过来，当时，如，或，方程表示圆，
“”不是方程“表示椭圆”的充分条件．
综上，“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．
故选：A．
2．若直线过椭圆短轴端点和左顶点，则椭圆方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出直线与x轴，y轴的交点，即可求解作答.
【详解】直线交x轴于，交y轴于，依题意，，
所以椭圆方程为.
故选：B
3.已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为，则的最大值为（       ）
A． B．13 C．3 D．5
【答案】B
【分析】利用椭圆的定义求解.
【详解】如图所示：
，
故选：B
4.如果椭圆上的点到右焦点的距离等于4，那么点到两条准线的距离分别是（       ）
A．8， B．10， C．10，6 D．10，8
【答案】B
【解析】根据椭圆的定义及标准方程和定义，得到，，再结合椭圆的第二定义，即可求解.
【详解】由题意，椭圆，可得，则，
所以椭圆的离心率为，
又由点到右焦点的距离等于4，即,
根据椭圆的定义可得，可得，
根据椭圆的第二定义，可得点到左准线的距离为，
点到右准线的距离为，
所以点到两准线的距离为.
故选：B.
5.设为椭圆的焦点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆性质要使题设条件成立只需在椭圆左右顶点时，此时应用余弦定理可得，进而求n的范围.
【详解】由椭圆的性质知：当在椭圆左右顶点时最大，
∴椭圆上存在一点使，只需在椭圆左右顶点时，
此时，，即，
又，
∴，解得，又，
∴.
故选：A.
6.已知中，，，O为AB的中点，P为AB的垂直平分线上一点，且，则CP的最大值为（       ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆（不含长轴两端点），求出点C的轨迹方程，根据两点间的距离公式及二次函数的性质即可求解.
【详解】解：以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示：

由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆（不含长轴两端点），
所以，，
所以标准方程为，
设，，，
则，
因为，且，
所以当时，的最大值为.
故选：C.
7．在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹记为C，则曲线C的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，，则由题意可得，代入圆方程中化简可得曲线C的方程，从而可求出离心率
【详解】设，，则，得，
所以，
因为点在圆上，
所以，即，
所以点的轨迹方程为，
所以，则
所以离心率为，
故选：B
二、多选题
8．已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为（       ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】由题意得到，再根据,求出，分焦点在x轴和y轴上写出标准方程即可
【详解】解：因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以，解得，
又，
所以当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为；
当椭圆的焦㤐在y轴上时，椭圆的标准方程为，
故选：BD
9．对于曲线，下面四个说法正确的是（       ）
A．曲线不可能是椭圆
B．“”是“曲线是椭圆”的充分不必要条件
C．“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件
D．“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件
【答案】CD
【分析】根据曲线的形状求出参数的取值范围，可判断A选项；利用集合的包含关系可判断BCD选项.
【详解】对于A选项，若曲线为椭圆，则，解得且，A错；
对于B选项，因为Ý或，
所以，“”是“曲线是椭圆”的必要不充分条件，B错；
对于C选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，
又因为Ý，
所以，“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件，C对；
对于D选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，
所以，“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件，D对.
故选：CD.
三、填空题
10．设是椭圆：上任意一点，为的右焦点，的最小值为，则椭圆的离心率为_________．
【答案】##
【分析】利用已知条件推出，然后求解椭圆的离心率即可．
【详解】解：是椭圆上任意一点，为的右焦点，的最小值为，
可得，所以，即，所以，解得，
所以．
故答案为：．
11．已知是椭圆上一点，F是椭圆的右焦点，设点F到直线的距离为d，则______．
【答案】
【分析】将代入椭圆算出，即可得到椭圆的方程，继而算出，得到的坐标，即可求出答案
【详解】解：因为是椭圆上一点，所以，解得，
所以椭圆的方程为，所以，所以，
∴，∴，点F到直线的距离为，
∴，
故答案为：
12．如图，已知椭圆C的中心为坐标原点O，为C的左焦点，P为C上一点，且满足，，则椭圆C的标准方程为______．

【答案】
【分析】引入右焦点为，根据平面几何性质得，由勾股定理求得，由椭圆定义求得，再求得即可得椭圆标准方程．
【详解】设椭圆C的标准方程为（），右焦点为，连接．
由已知，得．又，所以．
在中，．
由椭圆的定义，可知，所以，
所以，
故椭圆C的标准方程为．
故答案为：．

四、解答题
13．已知，当m为何值时，
(1)方程表示椭圆；
(2)方程表示焦点在x轴上的椭圆；
(3)方程表示焦点在y轴上的椭圆．
【答案】(1)3