高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册3.3 抛物线精品综合训练题

第三章 圆锥曲线与方程

第11讲  抛物线的方程与几何性质

知识点01  抛物线的定义与方程

1.抛物线的定义

平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点叫做抛物线的焦点, 定直线叫做抛物线的准线.

2.抛物线的标准方程

【即学即练1】抛物线的准线方程是（       ）

A． B． C． D．

【即学即练2】抛物线的焦点到直线的距离是（       ）

A． B．2 C．3 D．1

【即学即练3】抛物线的焦点到其准线的距离是（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【即学即练4】下列四个抛物线中，开口朝下且焦点到准线的距离为5的是（       ）

A． B．

C． D．

【即学即练5】F为抛物线的焦点，点在C上，直线MF交C的准线于点N，则（       ）

A． B． C．5 D．12

知识点02  抛物线的几何性质 

【即学即练6】设抛物线上一点到轴的距离是1，则点到该抛物线焦点的距离是（       ）

A．3 B．4 C．7 D．13

【即学即练7】若抛物线上的一点到它的焦点的距离为8，则（       ）

A．6 B．8 C．12 D．16

【即学即练8】已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线与y轴交于点M，且，则点P到直线l的距离为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【即学即练9】已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A、B两点，若AB的中点的纵坐标为5，则______．

【即学即练10】正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个三角形的边长是______．

【即学即练11】已知直线过抛物线：（）的焦点，且与抛物线交于，两点，若使的直线有且仅有1条，则______.

【即学即练12】已知点F是抛物线的焦点，A，B，C为E上三点，且，则___________．

知识点03  抛物线焦点弦的性质 

如图,为抛物线的焦点弦,,焦点,准线, 且, 分别为线段,的中点,为与抛物线的交点,则

(1)

(2);

(3)为的倾余角)

(4)直角梯形的对角线交于原点, 且;

(5)线段被抛物线平分,即为线段的中点;

(6);

(7)(定值)；

(8)以为直径的圆必与准线相切;

以或为直径的圆与轴相切;

以为直径的圆与相切于.

(9)设抛物线的焦点在轴上,过点且斜率为的直线交曲线于A, B两点,若,则 , 即(为直线与正半轴的夹角).

(10)如图所示, 是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦), 分别过,作抛物线的切线, 交于点,连接, 则有以下结论:

(1) 点的轨迹是一条直线,即抛物线的准线

(2) 两切线互相垂直,即;

(3) ;

(4) 点的坐标为.

【即学即练13】设过抛物线焦点F的弦为PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是______．

【即学即练14】已知抛物线C：的焦点为F，过焦点且斜率为的直线l与抛物线C交于A，B（A在B的上方）两点，若，则的值为（       ）

A． B． C．2 D．

【即学即练15】过抛物线焦点F的直线交抛物线于M，N两点，若，，则的值为（       ）

A． B． C．或3 D．或2

【即学即练16】如图所示，已知抛物线过点，圆. 过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【即学即练17】已知抛物线的焦点为，直线过点与抛物线相交于两点，且，则直线的斜率为（       ）

A． B． C． D．

【即学即练18】已知斜率为的直线过抛物线的焦点且与抛物线相交于两点，过分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为，，若与的面积之比为4，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【即学即练19】阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还宲有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点，处的切线交于占，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线焦点时，具有以下特征：（1）点必在抛物线的准线上；（2）为直角二角形，且；（3）．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，页点，过点，处的切线交于点，若点的横坐标为，则直线的方程为（       ）

A． B．

C． D．

◆考点01 抛物线焦半径性质的应用

【典例1】已知抛物线：的焦点为F，Q为上一点，M为的准线上一点且轴.若为坐标原点，P在x轴上，且在点F的右侧，，，，则准线的方程为（       ）

A． B． C． D．

【典例2】已知是抛物线的焦点，是该抛物线上两点，，则的中点到轴的距离为（       ）

A． B．1 C．2 D．3

【典例3】已知抛物线的焦点为F，准线为l，点在抛物线上，K为l与y轴的交点，且，则______，______．

【典例4】设点在抛物线上，是焦点，则（       ）

A．880 B．878 C．876 D．882

【典例5】已知抛物线的焦点为F，点A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，点P在抛物线C上，若，则（       ）．

A． B． C． D．

◆考点02 抛物线的轨迹问题

【典例6】过点且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为（       ）

A．圆 B．椭圆 C．直线 D．抛物线

【典例7】下列方程的图形为抛物线的是（       ）

A． B．

C． D．

【典例8】若点满足方程，则点P的轨迹是______．

【典例9】设动点是抛物线上任意一点，点，存在点，使得，则的轨迹方程是（       ）

A． B．

C． D．

◆考点03 抛物线的几何性质求最值 

【典例10】已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．

【典例11】已知为抛物线上的一个动点，为圆上的一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和的最小值是______.

【典例12】设是抛物线上的一个动点为抛物线的焦点，记点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为若记的最小值为则____．

【典例13】已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，若，则的最小值为______，此时点的坐标为______．

【典例14】已知直线，抛物线C：上一动点P到直线l与到y轴距离之和的最小值为______，P到直线l距离的最小值为______．

题组A  基础过关练

一、单选题

1．在平面直角坐标系中，已知，动点满足，则动点的轨迹方程是

A． B． C． D．

2．已知抛物线的焦点为，其准线与其对称轴的交点为，点在抛物线上，满足，则（       ）

A． B． C． D．

3．已知的三个顶点都在抛物线上，且F为抛物线的焦点，若，则（       ）

A．12 B．10 C．9 D．6

4．已知是双曲线的左右焦点，直线过与抛物线的焦点且与双曲线的一条渐近线平行，则（       ）

A． B． C．4 D．

5．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，且与轴相交于点，若，，，则（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

6．已知点P是抛物线上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为N，动点M满足最小值为3，则点M的轨迹长度为（       ）

A． B． C． D．

二、多选题

7．设抛物线：（）的焦点为，准线为，A为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点．若，且的面积为，则（       ）

A．是等边三角形 B．

C．点到准线的距离为3 D．抛物线的方程为

8．已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（       ）

A．的准线方程为

B．直线与相切

C．若，则的最小值为

D．若，则的周长的最小值为11

三、填空题

9．过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，则此抛物线方程为__________．

10．已知抛物线的焦点为F，点P是抛物线上的动点，过P向动直线作垂线，垂足为Q．若△PQF是面积为的正三角形，则p＝_______．

四、解答题

11．分别根据下列条件，求抛物线的标准方程．

(1)准线方程是；

(2)抛物线的焦点是双曲线的左顶点；

(3)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，.

12．已知抛物线（）的焦点F与双曲线的一个焦点重合.

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且，求线段的中点M到准线的距离.

13．已知动圆过定点，且在y轴上截得的弦长为8．

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(2)已知P为轨迹C上的一动点，求点P到直线和y轴的距离之和的最小值．

题组B  能力提升练

一、单选题

1．设抛物线的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，为半径的圆交l于M，N两点．若，且的面积为24，则（       ）

A．2 B．4 C．6 D．8

2．已知点，关于坐标原点对称，，以为圆心的圆过，两点，且与直线相切．若存在定点，使得当运动时，为定值，则点的坐标为（       ）

A． B． C． D．

3．已知是抛物线的焦点，是该抛物线上一动点，则线段的中点的轨迹方程是（       ）

A． B．

C． D．

4.已知点是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于两点，则的最小值为（       ）

A．4 B．6 C．8 D．9

5．在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），动点M满足以MA为直径的圆与y轴相切．过A作直线x+（m﹣1）y+2m﹣5＝0的垂线，垂足为B，则|MA|+|MB|的最小值为（       ）

A．2 B．2 C． D．3

6．已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点.则最大值的为（       ）

A． B． C． D．

二、多选题

7．设抛物线：的焦点为，准线为，点为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（       ）

A．准线的方程是 B．的最大值为2

C．的最小值为5 D．以线段为直径的圆与轴相切

8．已知：，直线相交于，直线的斜率分别为，则（       ）

A．当时，点的轨迹为除去两点的椭圆

B．当时，点的轨迹为除去两点的双曲线

C．当时，点的轨迹为一条直线

D．当时，的轨迹为除去两点的抛物线

三、填空题

9．若是抛物线上一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，则______．

10．已知抛物线，过焦点P的直线交抛物线C于A，B两点，且线段的长是焦半径长的3倍，则直线的斜率为______．

四、解答题

11．已知点P与点的距离比它到直线的距离小2．

(1)求点P的轨迹C的方程；

(2)若轨迹C上有两点A、B在第一象限，且，，求证：直线AB的斜率是．

12．已知抛物线的焦点为，为坐标原点．

(1)过作垂直于轴的直线与抛物线交于两点，的面积为．求抛物线的标准方程；

(2)抛物线上有两点，若为正三角形，求的边长．

13．如图，为抛物线上的一点，抛物线的焦点为，垂直于直线，垂足为，直线垂直于，分别交轴、轴于点A，．

(1)求使为等边三角形的点的坐标．

(2)是否存在点，使平分线段？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

14．已知抛物线C：的焦点为F，以抛物线上一动点M为圆心的圆经过点F，若圆M的面积最小值为.

(1)求p的值；

(2)当点M的横坐标为1且位于第一象限时，过M作抛物线的两条弦MA，MB，且满足证明：直线AB的斜率为定值．

题组C  培优拔尖练

1．已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点，若，则（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．已知动圆M过定点，且在y轴上截得的弦长为4，圆心M的轨迹为曲线L．

(1)求L的方程；

(2)已知点，，P是L上的一个动点，设直线PB，PC与L的另一交点分别为E，F，求证：当P点在L上运动时，直线EF恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．