数学选择性必修第一册4.1 数列精品课后作业题

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第四章 数列
第15讲 等差数列
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课程标准
重难点
1.了解等差数列的有关概念；
2.掌握等差数列的通项公式及其性质；
3.掌握等差数列的前n项和的公式与性质.
通过本节课的学习，要求会依据若干项求通项公式或某一项，能利用递推公式求解数列中的项或通项公式，并能借助数列的单调性求数列的最大项与最小项.

知识精讲

知识点01 等差数列的概念及通项
1.定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,常用字母表示.
2.等差数列的判定
(1)(定义法); (2)(中项法);
(3)(通项法, 一次函数); (4)(和式法, 其图象是过原点的抛物线上的散点).
3.等差数列通项公式
的几何意义是过两点的直线的斜率.
【即学即练1】已知数列满足，其中，则（    ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据已知递推关系，可以得到，数列为等差数列，然后利用等差数列的性质求得的值.
【详解】由，得是等差数列，.
故选：C
【即学即练2】已知等差数列的通项公式，则它的公差为（    ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】D
【分析】由求得公差.
【详解】依题意，等差数列的通项公式，
，
所以公差为.
故选：D
【即学即练3】首项为的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是（    ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式列式求解作答.
【详解】依题意，令该等差数列为，则有，
因数列从第10项开始为正数，因此，即，解得：，
所以公差d的取值范围是.
故选：D
【即学即练4】等差数列中，，则的公差为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】设公差为，然后由已知的两式相减求解即可.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，
所以，则，得，
故选：B
【即学即练5】已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1 = 1，－ = 1，则an =（       ）
A．2n －1 B．n C．2n － 1 D．2n-1
【答案】A
【解析】
∵a1 = 1，－ = 1，
∴是以1为首项，以1为公差的等差数列，
∴，即，
∴当时，，
当时，也适合上式，
所以.
故选：A.

知识点02 等差数列的性质
设为等差数列,公差为,则
1.若,则.
特别地,(1)若,则;
2.若,则;
3.若是有穷等差数列,则与首、末两项等距离的两项之和都相等, 且等于首、末两项之和,即 .
4.数列 是常数)是公差为的等差数列.
5.若是公差为的等差数列,与的项数一致,则数列为常数)是公差为的等差数列.
6.下标成等差数列且公差为的项组成公差为的等差数列.
7.在等差数列中,若,则有.

【即学即练6】设是等差数列，且，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等差数列性质可知，，成等差数列，由此可构造方程求得结果.
【详解】解：是等差数列，，，成等差数列，
，.
故选：C.
【即学即练7】已知数列为等差数列，，则（    ）
A．9 B．12 C．15 D．16
【答案】A
【分析】根据等差数列下标和性质计算可得.
【详解】解：在等差数列中，所以，
所以；
故选：A
【即学即练8】是等差数列，且，，则的值（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为是等差数列，所以，，也成等差数列，
所以．
故选：B．
【即学即练9】在等差数列中，若，则______．
【答案】180
【分析】利用等差中项的性质即可求值.
【详解】由，故，
所以，则.
故答案为：
【即学即练10】设是公差为－2的等差数列，如果，那么______．
【答案】－82
【分析】根据等差数列通项公式化简求解.
【详解】∵是公差为－2的等差数列，
∴．
故答案为：-82
【即学即练11】若是公差为1的等差数列，则数列______（选填“是”或“不是”）等差数列．若是等差数列，则公差为______．
【答案】     是     6
【分析】由，根据等差数列和差倍分的性质判断数列性质.
【详解】由题设，，而公差为2，则是公差为6的等差数列，
所以是等差数列，且公差为6.
故答案为：是，6

知识点03 等差数列前n项和
1.等差数列前n项和公式
(1)
(2)
(3) (关于前n项和的最大值与最小值可选择此二次函数形式)

2.等差数列前n项和公式与二次函数的关系
等差数列的前项和,令,则 .
(1) 当(即)时,是常数函数,是各项为0的常数列.
(2) 当(即)时,是关于的一次函数,是各项为非零的常数列.
(3) 当(即)时,是关于的二次函数(常数项为0).
从上面的分析,我们可以看出:
(1)一个数列是等差数列的条件是其前项和公式是关于的二次函数或一次函数或常数函数,且为常数).
(2)若一个数列前项和的表达式为为常数),则当时,数列不是等差数列,但从第2项起为等差数列;
(3)由二次函数图象可知,当时(是递增数列),有最小值;当时(是递减数列),有最大值.

【即学即练12】设等差数列的前项和为，若，则（　　）
A．28 B．148 C．168 D．248
【答案】C
【分析】根据等差数列下标和性质及等差数列前项和公式计算可得；
【详解】解：因为等差数列中，，
所以，则．
故选：C．
【即学即练13】在前项和为的等差数列中，若，则（    ）
A．39 B．40 C．41 D．42
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质结合已知条件可求得结果.
【详解】因为
所以，
所以.
故选：B
【即学即练14】设等差数列的前项的和为，若，则（    ）
A．17 B．34 C．51 D．102
【答案】B
【分析】根据等差数列通项求公差，进而根据求和公式即可求解.
【详解】设公差为，则由得，
即，故.
故选：B
【即学即练15】记为等差数列的前项和.若，则的公差为（    ）
A．3 B． C． D．6
【答案】A
【分析】根据等差数列的性质，结合等差数列前项和公式，分别求出，即可求得公差.
【详解】因为，所以
且
所以，则
故选:A.
【即学即练16】在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k的值为（    ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】C
【分析】设公差为，则，可看成关于n的二次函数，由二次函数图象的对称性可得答案．
【详解】设等差数列公差为，所以
，
所以可看成关于n的二次函数，由二次函数图象的对称性及，，可得，解得．
故选：C．
【即学即练17】已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为（    ）
A． B．52 C．54 D．55
【答案】D
【分析】利用求和公式可得公差为，进而可得，然后利用二次函数的性质即得.
【详解】设等差数列的公差为，则，解得，
故.
又函数的对称轴为直线，
而，
故当时，取得最大值.
故选：D.
【即学即练18】在等差数列中，，前n项和为，且若对一切正整数n，均有 成立，则正整数_____________．
【答案】12或13
【详解】
等差数列中，，则，
∴，即，又，易得，
∴，
当或13时，取得最大值，
∴存在正整数k，使任意，都有恒成立，且k为12或13．
故答案为：12或13．
知识点04 等差数列前n项和的性质
1.等差数列中依次项之和 组成公差为的等差数列
2.若等差数列的项数为,则
3.若等差数列的项数为,则(是数列的中间项),
4.为等差数列为等差数列
5.若都为等差数列,分别为它们的前项和,则
【即学即练19】设等差数列的前项和为且则（       ）
A．2330 B．2130 C．2530 D．2730
【答案】D
【解析】
等差数列的前项和为，则构成等差数列，
即，构成等差数列，
则，则
故选：D
【即学即练20】设是等差数列的前n项和，若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
在等差数列中，由，得，
故选：B

【即学即练21】设等差数列的前n项和为，且，，则取最小时，（    ）
A．4045 B．4044 C．2023 D．2022
【答案】D
【分析】由已知，利用等差数列前n项和公式及其性质得，，进而得出结论．
【详解】等差数列的前项和为，且，，
，，
，，
，公差，则当时最小．
故选：D
【即学即练22】已知等差数列{an}的前n项和为S n，若S10＝10，S20＝60，则S40等于（    ）
A．110 B．150
C．210 D．280
【答案】D
【分析】根据在等差数列中，S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等差数列即可得解.
【详解】因为等差数列{an}的前n项和为Sn，
所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列．
故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，
所以S30＝150，
又因为(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，
所以S40＝280.故选：D.
【即学即练23】两个等差数列则=（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为
所以，
故选：A
能力拓展

◆考点01 等差中项
【典例1】等差数列的前三项依次为x，，，则x的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
解：依题意，解得；
故选：D
【典例2】已知，，则a，b的等差中项为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由等差中项的定义得：
则a，b的的等差中项为：
，
．
故选：A．
【典例3】正项等比数列中，，，成等差数列，若，则（       ）
A．4 B．8 C．32 D．64
【答案】D
【解析】
由题意可知，，，成等差数列，
所以，即，
所以，或（舍），
所以，
，
故选：D.

◆考点02 等差数列的证明
【典例4】等差数列的前n项和为，若则公差（       ）
A．1 B．2 C．－1 D．－2
【答案】D
【解析】
数列为等差数，设其公差为，
则等差数列的前项和，
所以，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列；
所以，所以.
故选：D.
【典例5】数列{}中，则该数列中相邻两项乘积为负数的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
依题意，
所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
由得，
所以
故选：C
【典例6】设数列的前项和为，且，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由得：，即，
，又，数列是以为首项，为公差的等差数列，
，则，.
故选：B.

◆考点03 等差数列的性质
【典例7】已知数列满足，，，则（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】
∵，∴是等差数列．
由等差数列的性质可得，，
∴，，∴．
故选：B．
【典例8】已知数列是等差数列，且满足，则等于（       ）
A．84 B．72 C．75 D．56
【答案】C
【解析】
由等差数列的性质，得
，
所以.
故选：C.
【典例9】在等差数列中，，则（       ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】B
【解析】
由题意，数列为等差数列，结合等差数列的性质得，，
则，所以.
故选：B.
【典例10】设是等差数列，且，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
是等差数列，，，成等差数列，
，.
故选：D.
【典例11】在等差数列中，为其前项和，若，则（ ）
A．20 B．27 C．36 D．45
【答案】C
【详解】
解：由题意，等差数列中，满足，
根据等差数列的性质，可得，
所以.
故选：C.
【典例12】等差数列满足，则其前10项之和为（ ）
A．-9 B．-15 C．15 D．±15
【答案】D
【详解】
由已知得，
则，
.
故选：D.

◆考点04 已知Sn和an的关系求通项公式
【典例13】各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn＝anan＋1，则a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
当n＝1时，3S1＝a1a2，3a1＝a1a2，∴a2＝3.
当n≥2时，由3Sn＝anan＋1，可得3Sn－1＝an－1an，
两式相减得3an＝an(an＋1－an－1)，
又∵an≠0，∴an＋1－an－1＝3，
∴{a2n}是以3为首项，3为公差的等差数列，
∴a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝，
故选：C.
【典例14】已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝(－1)n＋1，数列{bn}的前n项和为Tn，求T2 021.
【答案】
（1）an＝n
（2）
【分析】
（1）由Sn＝，则当n≥2时，，相减求得(n－1)an＝nan－1，验证n=1后，从而求得数列{an}的通项公式；（2）代入后利用裂项求和求得T2 021的值.
（1）
解：由题设，Sn＝①
当n≥2时，②
①－②，得，
则(n－1)an＝nan－1.
∴.
所以an＝n.
又a1适合上式，故an＝n.
（2）
解：.

.


◆考点05 等差数列前n项和的性质
【典例15】设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．45 B．32 C．47 D．54
【答案】A
【详解】
由题可知：成等差数列
所以，又，所以
故选：A
【典例16】设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【详解】
由是等差数列的前项和，
.
故选：D.
【典例17】等差数列的前项和为，若且，则( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
设的公差为d，
∵
∴，
即{}为等差数列，公差为，
由知，
故﹒
故选：A﹒
【典例18】设等差数列与等差数列的前n项和分别为，.若对于任意的正整数n都有，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设，，.则，，所以.
故选：B.
【典例19】等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．11 B．7 C．9 D．12
【答案】C
【详解】
由题意，根据等差数列的性质，，，
故，.
故选：C.

◆考点06 含绝对值的等差数列前n项和
【典例20】设等差数列的前项和为，若，
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项的和.
【答案】
（1）；
（2）.
【详解】
（1）解：设等差数列的公差为，由已知可得，解得，
因此，.
（2）解：.
当时，，且；
当时，.
综上所述，.
【典例21】已知在前项和为的等差数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】
（1）
（2）
【详解】（1）
设数列的的公差为.


故数列的通项公式为；
（2）由，
①当时，；
②当时，

故有


◆考点07 数列的奇数项和偶数项性质
【典例22】已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（ ）．
A．30 B．29 C．28 D．27
【答案】B
【详解】
奇数项共有项，其和为，
∴．
偶数项共有n项，其和为，
∴．
故选：B．
【典例23】(多选)下列结论中正确的有（ ）
A．若为等差数列，它的前项和为，则数列也是等差数列
B．若为等差数列，它的前项和为，则数列，，，也是等差数列
C．若等差数列的项数为，它的偶数项和为，奇数项和为，则
D．若等差数列的项数为，它的偶数项和为，奇数项和为，则
【答案】AD
【详解】
对于A，，数列是等差数列，故正确；
对于B，，，是等差数列，故错误；
对于C，，，
所以，故错误；
对于D，，，
所以，故正确；
故选：AD.
【典例24】在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，＝，则公差d＝________.
【答案】2
【分析】
由及＝5d即可求解.
【详解】
解:由,得,
所以＝5d＝10，所以d＝2.
故答案为：2.
【典例25】已知等差数列的前项和为377，项数为奇数，且前项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7:6，则中间项为________．
【答案】29
【详解】
因为为奇数，所以，解得．
所以，所以．故所求的中间项为29．
故答案为：29
◆考点08 等差数列前n项和的函数特征
【典例26】已知是等差数列，是其前项和.则“”是“对于任意且，”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】
由等差数列前n项和公式知：，
∴要使对于任意且，，则，即是递增等差数列，
∴“对于任意且，”必有“”，
而，可得，但不能保证“对于任意且，”成立，
∴“”是“对于任意且，”的必要而不充分条件.
故选：B.
【典例27】(多选)已知等差数列的前n项和为，且，，，则（ ）
A．数列是递增数列 B．
C．当时，最大 D．当时，n的最大值为14
【答案】BCD
【详解】
等差数列中，，，，
，公差，数列是递减数列，A错误
，
，B正确.
，数列是递减数列，
当时，最大,C正确.
,
,.
当时，n的最大值为14,D正确.
故选:BCD.
【典例28】(多选)等差数列{an }的前n项和记为Sn，若a15>0，a160 B．d