高中数学4.1 数列优秀课后复习题

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第四章 数列
第16讲 等比数列
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课程标准
重难点
1.了解等比数列的有关概念；
2.掌握等比数列的通项公式及其性质；
3.掌握等比数列的前n项和的公式与性质.
通过本节课的学习，要求会依据若干项求通项公式或某一项，能利用递推公式求解数列中的项或通项公式，并能借助数列的单调性求数列的最大项与最小项.

知识精讲

知识点01 等比数列的概念及通项
1.等比数列的概念
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数, 那么这个数列叫做等比数列, 这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母表示.
2.等比数列的判定
(1)(定义法); (2)(中项法)
(3) (通项法)； (4)(和式法).
3.等比数列通项公式
或

【即学即练1】已知数列满足，，则下列结论正确的是（       ）
A．数列是公差为的等差数列
B．数列是公差为2的等差数列
C．数列是公比为的等比数列
D．数列是公比为2的等比数列
【即学即练2】在等比数列中，，则公比为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【即学即练3】在等比数列中，若，，则（    ）
A．6 B． C． D．
【即学即练4】设等比数列 的前项和为，且，则（    ）
A．28 B．42 C．49 D．56
【即学即练5】已知等比数列{}中，满足，，则（       ）
A．数列{}是等比数列 B．数列是递增数列
C．数列是等差数列 D．数列{}中，仍成等比数列





知识点02 等比数列的性质
设为等比数列,公比为,则
(1)若,则.
(2)若成等差数列,则成等比数列.
(3)数列(为不等于零的常数)仍是公比为的等比数列;
数列是公比为的等比数列;
数列是公比为|q|的等比数列;
若数列是公比为的等比数列,则数列是公比为的等比数列.
(4)在数列中,每隔项取出一项,按原来的顺序排列,所得数列仍为等比数列,且公比为 .
(5)在数列中,连续相邻项的和(或积)构成公比为(或)的等比数列.
(6)若数列是各项都为正数的等比数列,则数列且是公差为的等差数列.
(7)等比数列的连续项的积构成的数列: ,仍为等比数列.
【即学即练6】在正项等比数列中，，则（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【即学即练7】等比数列中，，，则（    ）
A．64 B．32 C．16 D．8
【即学即练8】等比数列中，若，的等比中项为1，，的等比中项为4，则（    ）
A．-2 B．2 C． D．
【即学即练9】已知公比大于 1 的等比数列 ​中，​， 则​（    ）
A．​ B．​ C．2 D．​
【即学即练10】已知为等比数列，，则（    ）
A．1或8 B．或8
C．1或 D．或 
【即学即练11】已知等比数列满足，，则（       ）
A．数列是等差等列 B．数列是等差数列
C．数列是递减数列 D．数列是递增数列




知识点03 等比数列前n项和
1.等比数列前项和公式
当时,
当时,
2.等比数列前项和公式与指数函数的关系
(1)当时, 是关于的正比例函数,点是直线上的一群孤立的点.
(2)当时,.记 ,则是一个指数式与一个常数的和.当且时,是指数函数,此时,点是指数型函数图象上的一群孤立的点.
如等比数列 的前项和为,点是函数图象上的一群孤立的点.
【即学即练12】已知正项等比数列首项为1，且成等差数列，则前6项和为（       ）
A．31 B． C． D．63
【即学即练13】已知等比数列的前n项和，则实数t的值为（       ）
A．4 B．5 C． D．
【即学即练14】等比数列的各项均为正数，其前n项和为，已知，，则（    ）
A． B．32 C．64 D．
【即学即练15】设正项等比数列的前4项和为90，且，则（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【即学即练16】设等比数列的前n项和为，前n项的倒数之和为，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【即学即练17】已知正项等比数列的前n项和为，若，，则（    ）
A．80 B．81 C．243 D．242

知识点04 等比数列前n项和的性质
已知等比数列的公比为,前项和为,则有如下性质:
(1).
证明: .
(2)若均不为0 ,则成等比数列,且公比为.
(3)若共有项,则;
若共有 项,则.
【即学即练18】等比数列的前n项和为，已知，，则（       ）
A． B． C． D．
【即学即练19】已知等比数列的前项和为，，，则（       ）
A．90 B．100
C．120 D．130
【即学即练20】已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（       ）
A． B． C． D．
【即学即练21】已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（       ）
A． B．
C． D．





能力拓展

◆考点01 等比中项
【典例1】在等差数列中，，且，，成等比数列，则的通项公式为（       ）
A． B．
C．或 D．或
【典例2】已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列，则（       ）
A． B． C． D．
【典例3】已知等差数列的前n项和为，若，，成等比数列，则公比为（       ）
A． B． C． D．1
【典例4】已知等差数列的前n项和为，若，，成等比数列，则公比为（       ）
A． B． C． D．1


◆考点02 等比数列的证明
【典例5】已知数列的前n项和公式为，则数列（       ）
A．是公差为4的等差数列 B．是公比为2的等比数列
C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列
【典例6】数列中，，，则下列结论中正确的是（　　）
A．数列的通项公式为
B．数列为等比数列
C．数列为等比数列
D．数列为等差数列
【典例7】设数列满足，且，则（       ）
A．为等比数列 B．为等比数列
C．为等比数列 D．为等比数列
【典例8】若数列的项和为且，，则下列说法不正确的是（       ）
A． B．
C．数列是等比数列 D．数列是等比数列
◆考点03 等比数列的性质
【典例9】设是等比数列，且，，则（       ）
A．12 B．2 C．30 D．32
【典例10】如果数列是等比数列，那么下列数列中不一定是等比数列的是（       ）
A． B． C． D．
【典例11】已知是等比数列，则（     ）
A．数列是等差数列 B．数列是等比数列
C．数列是等差数列 D．数列是等比数列
【典例12】如果数列是等比数列，且，，则数列是（       ）
A．等比数列 B．等差数列
C．不是等差也不是等比数列 D．不能确定是等差或等比数列
【典例13】等比数列{an}的首项为1，公比为q，前n项的和为S，由原数列各项的倒数组成一个新数列，则数列的前n项的和是（       ）
A． B．Sqn－1
C．Sq1－n D．
【典例14】设等比数列的前项和为，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．4
◆考点04 等比数列的函数特征
【典例15】设等比数列的首项为，公比为，则为递增数列的充要条件是（       ）
A．， B．，
C． D．
【典例16】已知无穷等比数列满足，其前项和为，则（       ）
A．数列为递增数列 B．数列为递减数列
C．数列有最小项 D．数列有最大项
【典例17】等比数列是递增数列，若，，则公比为（        ）
A． B． C．或 D．或
【典例18】设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（       ）
A． B．
C．数列存在最大值 D．是数列中的最大值

◆考点05 等比数列前n项和
【典例19】已知数列是递增的等比数列，且，，若的前n项和满足，则正整数k等于（       ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【典例20】已知等比数列的前n项和，则（       ）
A．首项的值不确定 B．公比 C． D．
【典例21】若数列的前10项和等于数列的前6项和，则常数（       ）
A． B． C． D．
【典例22】已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则（       ）
A． B． C．3 D．4

◆考点06 Sn与an的关系
【典例23】已知等比数列的前n项和，则（       ）
A． B． C． D．
【典例24】已知公比为的等比数列的前项和，，且，则（       ）
A．48 B．32 C．16 D．8
【典例25】(多选)已知数列的前项和为，，则下列选项中正确的是（       ）
A．
B．
C．数列是等比数列
D．数列的前项和为

◆考点07 等比数列前n项和的性质
【典例26】已知数列是各项为正的等比数列，其前n项和为，若，则=（ ）
A． B． C．72 D．90
【典例27】设等比数列的前项和为，若，则等于（       ）.
A． B． C． D．
【典例28】设等比数列的前项和为，若，则（       ）
A． B． C． D．
【典例29】已知等比数列的公比为，前项和为，则下列命题中错误的是（       ）
A．
B．
C．，，成等比数列
D．“”是“，，成等差数列”的充要条件

◆考点08 等比数列的奇数项和偶数项性质与应用
【典例30】已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（       ）
A．15 B．30
C．45 D．60
【典例31】已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则（       ）.
A．11 B．12 C．13 D．14
【典例32】等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（       ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【典例33】在等比数列中，若公比，且，则数列的前100项的和为
A．100 B．90
C．120 D．30
【典例34】已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【典例35】已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比和项数分别为（ ）
A．8，2 B．2，4 C．4，10 D．2，8
【典例36】已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比为（ ）
A．8 B．2 C．4 D．2
分层提分


题组A 基础过关练
一、单选题
1．在等比数列中，，则公比为（    ）
A．1 B．3 C． D．9
2．在等比数列中，已知前n项和，则a的值为（    ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
3．等比数列中，已知：，，则公比（    ）
A． B．2 C． D．3
4．在等比数列中，，，则（    ）
A．2 B．3 C． D．
5．已知为数列的前n项和，若，则（    ）
A． B． C． D．
6．设数列，均为公比不等于1的等比数列，前n项和分别为，若，则＝（    ）
A． B．1 C． D．2

二、多选题
7．若是等比数列，则下列是等比数列的是（    ）
A． B． C． D．
8．已知等差数列的前项和为，公差，，是与的等比中项，则下列选项正确的是(    )
A． B．
C．有最大值 D．当时，的最大值为21
三、填空题
9．已知是等比数列，为其前n项和，若是、的等差中项，，则______．
10．已知是公差不为0的等差数列，且，，，成等比数列，则的前50项和为______.

四、解答题
11．已知是各项均为正数的等比数列，
(1)求的通项公式及前项和；
(2)设，求的前项和.



12．已知公差大于0的等差数列满足，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.



13．已知数列满足，，，数列是等差数列，且，．
(1)求数列，的通项公式
(2)设，求数列的前项和．





14．记为等比数列的前项和.已知，.
(1)求的通项公式；
(2)求，判断，，是否成等差数列并说明理由.




题组B 能力提升练
一、单选题
1．设是公比为的等比数列，且.则（       ）
A． B． C．8 D．11
2．若数列{}的前n项和为＝，=（       ）
A． B． C． D．
3．已知等比数列的前项和为，则实数的值是（       ）
A． B．3 C． D．1
4．已知数列是等比数列，满足，，则（       ）
A． B． C． D．
5．记为等比数列的前n项和，若，则的公比q=（       ）
A． B． C． D．2
6．数列中，，，若，则（       ）
A．3 B．5 C．4 D．6
7．已知数列的前n项和为，q为常数，则“数列是等比数列”为“”的（       ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
8．已知数列的前项和为，且，，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为（       ）
A． B．
C． D．

二、多选题
9．设是等比数列，则下列四个命题正确的是（       ）
A．是等比数列 B．是等比数列C．是等比数列 D．是等比数列
10．已知等比数列的前n项和为，若，，则数列的公比可能是（       ）
A．－3 B．－2 C．2 D．3
11．已知是数列的前项和，，则（       ）
A．是等比数列 B．
C． D．
12．已知等比数列各项均为正数，其前项积为，若，，则下列结论正确的是（       ）
A．
B．
C．是中最小的项
D．使成立的的最大值为18

三、填空题
13．设等比数列的前n项和为，公比为q，若，，则________．
14．设等比数列的前n项和为，若，且，则λ＝________．
15．已知数列的前n项和为，，，则___________.
16．在正项等比数列中，，，记数列的前n项积为，，则n的最小值为______

四、解答题
17．已知是公差不为0的等差数列，且，是和的等比中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求的最大值．




18．已知数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若，求正整数的值.




19．已知数列的前n项和为，，．
(1)证明：为等比数列，并写出它的通项公式：
(2)若正整数m满足不等式，求m的最大值．




20．已知数列满足，；设等差数列､的前项和分别为和，且，，.
(1)求证数列是等比数列；
(2)求常数的值及的通项公式；
(3)求的值.




21．已知首项为的等比数列公比小于0，其前n项和为，且，，成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若实数a使得对任意恒成立，求a的取值范围.










题组C 培优拔尖练
一、单选题
1．已知数列的前n项和是，前n项的积是，n为正整数，则以下命题正确的个数是（    ）
（1）若是等比数列，且数列是严格增数列，则
（2）若是等比数列，则是等比数列
（3）若是等差数列，则一定是等差数列
（4）若为严格增数列，且每一项均为正整数，当时，此时符合条件的数列只有一个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、解答题
2．已知数列的首项，前项和为，，，（）总是成等差数列.
(1)证明数列为等比数列；
(2)求满足不等式的正整数的最小值.



3．已知数列满足：，
(1)求a2，a3；
(2)设，求证：数列是等比数列，并求其通项公式；
(3)求数列前20项中所有奇数项的和．





4．记是公差不为的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且．
(1)求的通项公式；
(2)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(3)求证：对于任意正整数，．