【同步讲义】（苏教版2019）高中数学选修第一册：第17讲 叠加叠乘与八种构造法求通项公式（一）

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第四章 数列
第17讲 叠加叠乘与八种构造法求通项
目标导航


课程标准
重难点
1.了解叠加与叠乘的适用条件
2.掌握求数列的常见的几种方法；
3.掌握常见的构造法的应用
1.叠加与叠乘法的应用
2.八种构造的适用条件及应用

知识精讲

知识点01 叠加法与叠乘法求通项公式
1.累加法
若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法.
具体步骤：





将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
=
整理得：=

【即学即练1】已知数列满足，对任意的都有，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由得：，
，，，…，，
各式作和得：，
，.
故选：C.
【即学即练2】已知数列满足，，则（       ）
A．30 B．31 C．22 D．23
【答案】B
【解析】
因为数列满足，，
所以，，，，
所以，
所以，
故选：B
【即学即练3】已知数列满足，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
∵，，
∴.
故选：C.
【即学即练4】已知数列满足则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为所以

累加得：，
所以.
故选：D

2.累乘法
若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。
具体步骤：





将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：

整理得：
【即学即练5】已知，，则数列的通项公式是（       ）
A． B． C． D．n
【答案】D
【解析】
由，得，
即，
则，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.
故选：D．
【即学即练6】若数列满足，则（       ）
A．2 B．6 C．12 D．20
【答案】D
【解析】
由得，
，
.
故选：D
【即学即练7】设是首项为的正项数列，且（），则它的通项公式是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，
，
,
又，，即，
，
即，又，，，故选：B．
【即学即练8】已知数列满足，且，则(     )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
数列满足，且，
∴，，
∴，，，，
累乘可得：，
可得：．故选：D﹒

知识点02 构造法求数列通项
◆构造一:待定系数之型构造等比数列
求关于(其中均为常数,)类型的通项公式时,先把原递推公式转化为,再利用待定系数法求出的值,再用换元法转化为等比数列求解.其实对于这类式子,我们只需要记住在等式两侧加上一个常数,构造成等比数列.常数的值并不需要背诵,我们可以通过待定系数法推导出来.

【即学即练9】已知满足,求数列的通项公式.
【解析】
根据原式,设,整理得,题干中,根据对应项系数相等得.,令,,所以是为首项,为公比的等比数列.即,.

【即学即练10】已知数列中,,,求数列的通项公式.
【解析】
设,整理得,题干中,根据对应项系数相等,解得,故令,则,且.所以是为首项,为公比的等比数列.所以,即

【即学即练11】已知数列中,,,求数列的通项公式.
【解析】
设,即,题干中,根据对应项系数相等,解得,故令,则,且.所以是3为首项,3为公比的等比数列.所以,即

◆构造二:待定系数之型构造等比数列
求关于类型的通项公式时,与上面讲述的构造一的方法很相似,只不过等式中多了一项,在构造时我们也保持跟题干一样的结构,加一项再构造等比数列就可以,即令,然后与已知递推式各项的系数对应相等,解,从而得到是公比为的等比数列.

【即学即练12】设数列满足,,求数列的通项公式.
【解析】
将递推公式转化为,化简后得,与原递推式比较,对应项的系数相等,得,解得,令,则,又,故,,得.

【即学即练13】已知:,时,,求的通项公式.
【解析】
设与题干原式比较,对应项系数相等得,解得,首项所以是为首项,为公比的等比数列.所以,即

◆构造三:待定系数之型构造数列
求关于(其中均为常数,)类型的通项公式时,共有3种方法.
方法一:先用待定系数法把原递推公式转化为,根据对应项系数相等求出的值,再利用换元法转化为等比数列求解.
方法二:先在递推公式两边同除以,得,引入辅助数列(其中),得,再利用待定系数法解决；
方法二:也可以在原递推公式两边同除以,得,引入辅助数列(其中),得,再利用叠加法(逐差相加法)求解.

【即学即练14】已知数列中,求的通项公式.
【解析】
解法一:构造数列,化简成题干结构得,
对应项系数相等得,设,,所以数列是以为首项,为公比的等比数列,,所以.

解法二:将两边分别除,也就是乘,为方便计算,我们等式两边同乘,得
令,则,这又回到了构造一的方法,根据待定系数法,得,所以数列是首项为,公比为的等比数列.所以即.所以.
解法三:将两边分别除,也就是乘,得令
,则,所以
将以上各式叠加,得,又
,所以,即所以.

【即学即练15】已知数列满足,求数列的通项公式.
【解析】
解法一:设,待定系数法得,则数列是首项为,公比为的等比数列,所以,即.
解法二:(两边同除以 ) 两边同时除以得:,下面解法略.
解法三:(两边同除以)两边同时除以得:,下面解法略.
【即学即练16】已知数列满足.设,若对于,都有恒成立,则的最大值为( )
A. 3 B. 4 C. 7 D. 9
【答案】A
【解析】
解法一：因为,所以,所以,所以,因为,所以,所以数列是以为首相以为公比的等比数列,所以,所以,故选A.
解法二:令,因为,对比系数得:,所以数列 是以3为首项,3为公比的等比数列,所以,所以,所以 ,因为,所以.所以,所以,对于,都有恒成立,所以,所以的最大值为3,故选 A.





能力拓展

◆ 叠加与叠乘
【典例1】数列中，，则__________.
【答案】##
【解析】
因为，所以，
则当时， ，将个式子相加可得
，因为，则，
当时，符合题意，所以.
所以
故答案为：.
【典例2】已知数列满足，且，若，n为正整数，则数列的前n项和__________．
【答案】
【解析】
由题意，
所以，
．
故答案为：．

【典例3】若数列是等比数列，且，，，则________．
【答案】
【解析】
解：数列是等比数列，且，，，
数列的公比，
，
所以


．
故答案为：．
【典例4】若数列满足，，则满足不等式的最大正整数n为（       ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【答案】A
【解析】
解：由，得，
所以
因为，所以，解得，所以满足条件的最大正整数n为28.
故选：A
【典例5】已知数列满足，(，)，则数列的通项（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
解：数列满足，，
整理得，，，，
所有的项相乘得：，
整理得：，
故选：．
【典例6】数列满足：，，则的通项公式为_____________.
【答案】
【解析】
由得，，
则，
即，又，所以.
故答案为：.
【典例7】已知数列，满足，，，的前n项和为，前n项积为．则______．
【答案】
【解析】
因为，，故，依次有
根据可得，
故
.
由可得，
从而，
故，
故答案为：.
【典例8】在数列中，，，则数列的通项公式___________.
【答案】
【解析】
因为，，
所以，所以当时，，
所以
（）
当，满足上式，
所以.
故答案为：
【典例9】已知数列的前n项和为，且满足通项公式，则________．
【答案】
【解析】
因为，
所以时，，即，
化简得，又，
所以，
检验时也成立，
所以，
所以，
故答案为：.


◆ 构造法求通项:型
【典例10】数列中,,设其前项和为,则
A. B. C. 15 D. 27
【答案】
【解析】
,可得,解得,同理可得:
变形为. 数列为等比数列,首项为,公比为2.
故选:.
【典例11】已知数列的前项和为,若,则
A. B. C. D.
【答案】
【解析】
数列的前项和为,解得,

得,,
是以为首项,以为公比的等比数列,
.故选:.

【典例12】在数列中,,则_______.
【答案】47
【解析】
数列 中, ,变形为:,,数列为等比数列,首项为3,公比为2,,即则.故答案为:47.
【典例13】已知数列满足,则数列的通项公式=______.
【答案】
【解析】
是以为首项,2为公比的等比数列.,故.
【典例14】已知数列的首项,且,则数列的前10项的和为______.
【答案】1023
【解析】数列的首项,且,
则:,
整理得:(常数) ,
所以：数列是以为首项,为公比的等比数列,
所以:,
当时,符合通项.
故：,
所以:
所以：.
【典例15】已知数列中,,则_______.
【答案】
【解析】
因为,所以,因为,所以数列是以2为首项,以3为公比的等比数列,所以,故答案为:.


◆ 构造法求通项:型
【典例16】已知数列是首项为.
(1)求通项公式;
(2) 求数列的前项和.
【解析】
因为2 ),且,所以数列是以1为首项,为公比的等比数列,则,即.
【典例17】已知数列和的前项和,对于任意的是二次方程的两根.
(1)求和通项公式;
(2)的前项和.
【解析】
因为是一元二次方程的两个根,所以,由 得,两式相减得,所以 ,令,则,比较 以上两式的系数,得,解得.所以.又 ,,所以数列是以为首项、为公比的等比数列.所以 ,所以

【典例18】设数列是首项为,满足.问是否存在,使得数列成等比数列? 若存在,求出的值,若不存在,说明理由;
【解析】
依题意,令 所以 ,即
解得.所以数列是以2为公比、为首项等比数列.所以 ,即存在,使得数列成等比数列.

◆ 构造法求通项:型
【典例19】数列满足，且，若，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为，等式两边同时乘以可得，
所以，且，
所以，数列是等差数列，且首项和公差都为，则，所以，，
因为.
当时，；
当时，，即数列从第二项开始单调递减，
因为，，故当时，；当时，.
所以，，则的最小值为.
故选：B.
【典例20】在数列中，若，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
令，则，
又，所以是以3为首项，为公比的等比数列，
所以，得．
故选：C．









分层提分


题组A 基础过关练
一、单选题
1．已知数列满足，则（       ）
A．511 B．255 C．256 D．502
【答案】D
【解析】
由题设，，，，…， 且，
所以，又，则，故，
显然也满足.
所以.
故选：D
2．已知，则（       ）
A．504 B．1008 C．2016 D．4032
【答案】D
【解析】
由可得：，
故 ，
故选：D.
3．在数列中，，且，则的通项为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
解：∵，∴，
由，得，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，即．
故选：A
4．已知为数列的前n项和，若，则的通项公式为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
令可得，又，解得，又，
则，，即是以2为首项，2为公比的等比数列，则，.
故选：B.
5．已知数列，，，…，，…是首项为1，公比为2的等比数列，则下列数中是数列中的项的是（       ）
A．16 B．128 C．32 D．64
【答案】D
【解析】
，
当时，．
故选：D．
6．设数列的前n项和为，若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
当时，，解得.
当时，，
所，即，
所以，即，
所以数列是首项为3，公比为2的等比数列，则，
从而，故.
故选：C

二、填空题
7．已知数列满足，，则______．
【答案】63
【解析】
由题设，，
所以，又，所以.
故答案为：.
8．已知数列中，，，则通项______；
【答案】
【解析】
因为，
所以，
所以是一个以为首项，以2为公比的等比数列，
所以.
故答案为：
9．已知数列满足：，，则______
【答案】
【解析】
因为，
所以，
两式相减可得，整理得，
所以，
整理得，又，解得.
故答案为：

三、解答题
10．已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)当时，

，
即，则，
当时，，满足，
综上所述，当时，.
(2)因为，所以，
则.
11．已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)求的前n项和.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
(1)， 即
数列是以首相为，公比为的等比数列，

(2)由（1）知

12．已知数列满足.
(1)证明为等比数列，并求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明.
【答案】(1)证明见解析，
(2)见解析
【解析】
(1)证明：因为，
所以，
又，
所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，
则，
所以；
(2)证明：由（1）得，
因为，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，
因为，
所以.




题组B 能力提升练
一、单选题
1．已知数列满足， ，则数列的通项公式为（        ）
A．             B． C． D．
【答案】A
【解析】
解：由，得，
即，则，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.
故选：A．
2．已知是等差数列的前项和，其中，数列满足，且，则数列的通项公式为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设等差数列的公差为，
因为，
所以，解得，
所以，
因为，
所以，
所以，，，……，，
所以，
因为，
所以，
故选：B
3．已知数列中，，（且），则数列通项公式为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由已知得，进而确定数列的通项公式，即可求.
由，知：且()，而，，
∴是首项、公比都为3的等比数列，即，
故选：C
4．在数列中，，，若，则n的最小值是（       ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【解析】
因为，
所以.
因为，所以，
所以数列是首项和公比都是2的等比数列，
则，即,
因为，所以数列是递增数列,
因为，，
所以满足的n的最小值是10,
故选：C
5．已知在数列中，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
解:因为，，所以，整理得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以，解得．
故选：A
6．数列满足，若，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由可得，所以
所以，所以
所以，所以，所以
故选：D

二、填空题
7．已知数列满足，则数列的前2022项的和为___________.
【答案】
【解析】
由题意可知，满足，
当时，，
，以上各式累加得，
.
，
当时，也满足上式，∴，则.
∴数列的前n项和为，
∴.
故答案为：.
8．已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式___________.
【答案】n
【解析】
解：∵，∴
当时，，


当时，成立，
∴，
当时，，
当时，满足上式，
∴.
故答案为：n
9．已知数列中，，则数列的通项公式________.
【答案】
【解析】
由得
，
以上式子相乘得，又
，又符合

故答案为：.

三、解答题
10．（1）已知数列是正项数列，，且．求数列的通项公式；
（2）已知数列满足，，．求数列的通项公式．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
解：（1）由，得，
对任意的，，则，则，
所以，数列是公比为的等比数列，，；
（2）由，得：，
又，所以，数列是以为首项，为公比的等比数列，
得，
当时，，，，，
累加得，，则，
也满足，故对任意的，.
11．已知数列满足，，．证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
【答案】证明见解析，
【解析】
解：因为，
所以，又，
所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，
所以，
当时，
，
而也满足，所以；

12．已知数列的前n项和为，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，记数列的前n项和为，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
(1)解：因为，，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以；
(2)解：由（1）可知，所以①，所以②；
①②得
所以；

13．已知数列满足：为等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，证明：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【解析】
(1)由，故的公差为，
，

，
当时，满足，
故对；
(2)证明：，
故，
故
.








题组C 培优拔尖练
一、单选题
1．数列满足，且对任意的都有，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
已知，令可得，则时，，
，，将以上式子累加可得，则，时也符合，
则，，则
.
故选：A.

二、解答题
2．设为数列的前项和，已知，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若等差数列的前项和等于，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)当n为奇数时，；当n为偶数时，.
【解析】
(1)因为…①
所以当时，…②
①-②可得：，整理可得
则
所以，所以当时
易知时上式也成立，所以数列的通项公式为
(2)记等差数列的公差为d，
由题可得，即
所以，解得，所以
所以
所以
当n为奇数时，
；
当n为偶数时，
.
3．在数列中，，且.
(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【解析】
(1)解：因为，所以，又，所以，
所以是以4为首项，2为公比的等比数列.
故，即.
(2)解：由（1）得，
则，
①当时，


②当时，
，
综上所述，