苏教版 (2019)选择性必修第一册4.1 数列精品课后练习题

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第四章 数列
第20讲 放缩与数列不等式的证明
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课程标准
重难点
1.掌握求数列不等式证明的几种方法；
2.掌握常见的放缩的模型
1.放缩不等式的证明

知识精讲

知识点01 简单数列不等式的证明
方法解密:
对于既不含参数也无需放缩的数列不等式,解题思路较为简单.通过数列求和的方法,错位相减或者裂项相消即可证明.大可分为两种题型,一是数列不等式的证明,二是通过不等式求解n的取值范围.下面我们来看下数列不等式证明的例题.
【即学即练1】已知等比数列为递增数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】
(1)解：由题意，，解得或，
因为等比数列为递增数列，所以，
所以；
(2)解：由（1）知，
所以数列的前n项和为，①
，②
①② 得，
所以，
又因为，所以，
所以.
【即学即练2】已知正项数列的前n项和为，且满足，，，数列满足．
(1)求出，的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求证：．
【答案】(1)，； (2)证明见解析
【解析】
(1)由，
得．又，
则数列是首项为2，公比为2的等比数列，
∴，
∴，，…，，
累加得，
∴．
数列满足，①
当时，；
当时，，②
由①－②可得，
当时，也符合上式，
故数列的通项公式为．
(2)由（1）可得，
则
，
故成立．
【即学即练3】已知数列前项和为，若，且成等差数列．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)记数列的前项和为，求证：．
【解析】
(1)，                                        
因为成等差数列，所以，                              
所以，且，                                     
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
(2)由（1）知.                                           

.                                     
一方面，；另一方面，，是递增数列，所以.综上所述，.
总结:掌握此题型的关键是对数列求和,错位相减以及裂项相消有较为熟练的掌握与应用.以及要对裂项相消的常见的变换形式有一定的了解.在稍加练习的情况下即可掌握,难度不大.接下来看下通过不等式求解n的取值范围的相关题型.
【即学即练4】等差数列前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，若，求n的最小值．
【答案】(1) (2)7
【解析】
（1）设等差数列的公差为d，首项为，则，解得，
所以数列的通项公式为．
（2），
，
由题得，解得，
因为，所以n的最小值是7．



知识点02 数列不等式求解参数
方法解密:
对于此类含参数不等式题型,大部分可以通过分离参数等方式转化为最值问题.对于求最值,需要分析单调性,函数类型可通过运算法则或者求导进行判断.数列可通过作差法进行判断.即对恒成立,数列单调递增.对恒成立,数列单调递减.
含参不等式问题又可以分为恒成立问题和存在性(有解)问题.
(1) 恒成立，则
(2) 恒成立，则
下面看一下有关恒成立问题的例题:
【即学即练5】已知，若对于任意恒成立，则实数的取值范围是_______．
【答案】
【分析】
先分离参数将问题转化为对于任意恒成立，进而转化为，构造，再作差判定单调性求出数列的最值，进而求出的取值范围.
【详解】
因为，且对于任意恒成立，所以对于任意恒成立，即，令，则，因为，，，且对于任意恒成立，
所以，即，所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【即学即练6】已知数列满足，且．若对任意，，不等式恒成立，则正整数的最小值为______．
【答案】12
【分析】
由，得，得数列是等差数列，求得通项公式，对利用裂项相消法求和，然后由单调性得的最小值，解相应不等式可得的范围从而得结论．
【详解】
由，得，所以数列是首项为4，公差为1的等差数列，所以，故，所以，
则．
当，时，为单调递增数列，所以．因为对任意，恒成立，所以，即，所以正整数的最小值为12．故答案为：12．
分离参数的关键是需要求谁的值以及范围,就将谁分离出来.然后观察是恒成立还是存在性问题,两种问法对于最值的选择是不同的.接下来是有关存在性问题的例题:

【即学即练7】数列{an}的通项公式为an＝3n，记数列{an}的前n项和为Sn，若使得成立，则实数k的取值范围是______．
【答案】
【分析】
先求得，由分离常数，结合数列的知识求得的取值范围.
【详解】
，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.依题意，使得成立，即，，
设，当时，，所以，所以的取值范围是.故答案为：
【即学即练8】已知数列前项和为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）已知已知求，通常用求通项.（2）用裂项相消法求数列的前项和，列出不等式，参变分离得，因为存在，由基本不等式求的最大值即可.
【详解】解：(1) 时， ,
时，，
时，也适合上式，
所以数列的通项公式.
(2) 因为，
所以
因为存在，使得成立，
所以存在，使得成立，
即存在，使成立
又，，
（当且仅当时取等号），
所以.即实数的取值范围是.




知识点03 放缩法证明数列不等式之常数型
方法解密:
放缩法证明数列不等式属于数列大题中较有难度的一种题型.大部分是以证明某个数列和大于或小于一个常数类型,小部分是证明某个数列前n项和或者积大于或小于一个函数(下一专题详解).本专题我们来介绍最常见的常数类型.
放缩的目的有两个:
一是通过放缩使数列的和变换成比如裂项相消等可以简单求和的形式,这样可以方便比较大小.
二是两者之间无法直接比较大小,这样我们需要通过寻找一个媒介,来间接比较大小.
放缩的原则:
放缩必然会导致数变大或者变小的情况,我们的原则是越精确越好.在证明过程中,为了使放缩更精确,往往会第一项不变,从第二项或者第三项开始放缩(例题会有讲解).
放缩的方法:
(1)当我们要证明多项式时,我们无法直接证明两者的大小,这时我们可以将多项式放大为,当我们能够证明,也间接证明了.切不可将缩小为,即使能够证明,与的关系无法得证.
(2)当我们要证明多项式时,这时我们可以将多项式缩小为,当我们能够证明,也间接证明了.需要放缩的多项式多以分式形式出现,要使得分式的值变大,就是将分母变小,常见是将分母减去一个正数,比如1.
常见的放缩形式:
（1）；
（2）；
（3）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（12）.
类型一:裂项放缩
【即学即练9】求证
【解析】因为,所以,所以原式得证. 为什么第一项没有经过放缩,因为分母不能为0,所以只能从第二项进行放缩.
总结:证明数列之和小于常数2,式子左侧我们进行放大处理,各个分式分母减去n,可以变换成裂项相消的形式,同时又能作为媒介与2比较大小.同时要注意从第几项开始放缩的问题.

【即学即练10】求证
【解析】因为,所以
,所以原式得证.
总结:证明数列之和小于常数2,式子左侧我们进行放大处理,各个分式分母减去n,可以变换成裂项相消的形式,同时又能作为媒介与2比较大小.同时要注意从第几项开始放缩的问题.

【即学即练11】求证
【解析】因为,所以

,注意这是保留前两项,从第三项开始放缩.
总结:通过例1和变式题我们发现,我们对分式的进行放大,分母我们依次减去的数是n,1.不难发现,这些数递减,所得的结果也是递减的.说明减去的数越小,所得的结果越精确.同时通过两道变试题我们也发现,保留前几项不动,这样放缩的精度也会高一些.有些模拟题中,经常出现保留前2项到3项不动的情况.那么作为学生如何判断从第几项开始放缩呢?这需要学生去尝试和试错,如果第一项不行,那就尝试第二项,第三项.

【即学即练12】已知,设,求证:.
【解析】已知,因为

所以,故不等式得证.
【即学即练13】已知数列满足，，
（1）求;
（2）若数列满足，，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【详解】
（1）由题意（），
∴，也适合．
所以（）；
（2）由已知，，，
当时，，
因此，
则
综上，．

类型二:等比放缩
所谓等比放缩就是数列本身并非为标准的等比数列,我们将数列的通项经过一定的放缩使之成为一个等比数列,然后再求和,我们通过例题进行观察了解.
【即学即练14】证明:
【解析】令,则
又因为,由于不等式右边分母为3 ,因此从第三项开始放缩,得
故不等式得证.
【即学即练15】已知数列满足：，，.
（1）求证是等差数列并求；
（2）求数列的前项和；
（3）求证：.
【答案】（1）证明见解析，；（2）；（3）证明见解析.
【详解】
（1）证明：，
∴是首项为，公差为1的等差数列，
∴，∴.
（2）∵，
∴，
两式相减得：，
，
∴.
（3）证明：∵，∴，∴，
当时，，∴，
∴，
∴
.


知识点04 放缩法证明数列不等式之函数型
方法解密:
数列放缩较难的的两类便是形如数列的前n项和与函数的不等关系,即或者数列前n项积与函数的不等关系,即的问题,其中,这里的前n项和与前n项积难求或者是根本无法求.
面对这类题时,首先,我们可以将看成某个数列的和或者积,然后通过比较通项的大小来解决;其次,我们也可以对进行变形,使之能求和或者求积.往往第二种方法难以把握,对学生综合素质要求较高.而第一种方法相对简单易行,所以本专题以“拆项”为主线详细讲解.

【即学即练16】已知数列
(1)若数列满足,求证:数列是等比数列。
(2)若数列懑足,求证:
【解析】
(1)由题可知,从而有,所以是以1为首项, 3为公比的等比数列.
(2)由(1)知,
从而,
设为数列的前n项和,欲证,只需证.
当时,经检验成立
当时,
易证,所以.所以.

【即学即练17】设数列的前项和为，，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：对一切正整数，有.
【答案】(1)，；
(2)证明见解析.
【解析】
(1)当时，，，两式相减得：，
整理可得：，而，
所以是首项为2，公比为1的等比数列，故，即，.
(2)设为数列的前n项积,欲证,只需证.
当时,成立.
当时,

.得证.

能力拓展

◆ 简单数列不等式的证明
【典例1】等差数列中，前三项分别为，前项和为，且.
(1)求和的值；
(2)求=
(3)证明:
【答案】(1)；. (2) (3)见解析
【解析】
(1)∵等差数列中，前三项分别为，，，
∴，解得，
∴首项，公差．
∵，
化为：．
解得．
(2)由（1）可得：，
∴，
∴．
∴
(3)因为，而，所以.
【典例2】已知数列{}的前项和为，，
(1)求数列{}的通项公式；
(2)设，为数列的前项和.证明：
【答案】(1)； (2)证明见解析.
【解析】
(1)当时，，又，则，
当时，，解得，
故是首项为，公比为的等比数列，则；
(2)因为，则，
故，又，
所以，即，又是单调递增数列，则
综上，.
【典例3】已知数列的前n项和为，且，数列为等差数列，，且．
(1)求数列，的通项公式；
(2)对任意的正整数n，有，求证：．
【答案】(1)， (2)证明见解析
【解析】
(1)解：∵①，∴令，可得，
又②，由①-②得，
∴，
∴，
∴数列为以为首项，2为公比的等比数列，
∴，
∴，，解得d＝1，
∴；
(2)证明：，
∴．

【典例4】已知数列的前n项和为，，，.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)记，数列的前n项和为，证明：.
【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析
【解析】
(1)解：当时，由可变形为，
即，即，所以，
又因为，，可得，所以，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，
所以，所以数列的通项公式为.
(2)解：由，可得，
所以
，
因为，所以，即，
又因为，单调递增，
所以，所以.



◆ 数列不等式求解参数
【典例5】设为等比数列的前n项和，已知，，若存在，使得成立，则m的最小值为___．
【答案】9
【解析】
设的公比为q，由可知，所以，
由得：，所以，
则，所以，，
由题意知存在，使得成立，
当且仅当，即时取得等号，所以，
故m的最小值为9.故答案为：9

【典例6】已知数列的前项和为，，当时，.
(1)求；
(2)设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)当时，，
所以，，
整理得：，即.
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.
所以，即.
(2)由（1）知，，
所以，①
所以，②
①-②得，，
所以，，
所以，，所以，即，即，
因为，当且仅当时，等号成立，所以.

【典例7】已知等比数列的前项和为，且，，数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)， ；， (2) ．
【解析】
(1)解：设等比数列的公比为，
由，显然，所以，解得，
由于，所以的通项公式为，；
所以，，
所以的通项公式为，．
(2)因为恒成立，即对于任意的恒成立．
令，，
则，
当时，所以，即的最小值为，
所以实数的取值范围为.

【典例8】设数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)解：当时，，解得，
当时，，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
故；
(2)解：，
由对任意的恒成立，
即 ，
令，则 ，
当时，，当时，，
所以
即的最大值为 ，
故.



◆ 放缩法证明数列不等式之常数型
【典例9】已知数列中，，其前项的和为，且当时，满足．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）证明：．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【解析】
（1）当时，，
，即
从而构成以1为首项，1为公差的等差数列．
（2）由（1）可知，，．
则当时．
故当时

又当时，满足题意，故．
法二：则当时，
那么
又当时，，当时，满足题意.
【典例10】已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，证明：．
【答案】（1）．（2）见解析
【解析】
（1）当时，，即，
当时，①，
②，
①②，得：，即，
，且，
数列是以每一项均为的常数列，则，即；
（2）由（1）得，，
.

【典例11】已知函数，数列中，若，且.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）由函数，在数列中，若，得：，
上式两边都倒过来，可得：＝＝﹣2，
∴﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3＝3（﹣1）．∵﹣1＝3．
∴数列是以3为首项，3为公比的等比数列．
（2）由（1），可知：＝3n，∴an＝，n∈N*．
∵当n∈N*时，不等式＜成立．
∴Sn＝a1+a2+…+an＝＝＝﹣•＜．∴．
【典例12】已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．若
（1）当时，试比较与的大小；
（2）记试证.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】
（1），
故，
当时，，
当时，适合上式，
因此.
从而，
当时，
故
（2），，


.

◆ 放缩法证明数列不等式之函数型
【典例13】求证:
【解析】不等式左边是个式子的乘积,所以也将不等式右边的看成个式子的乘积,作商求通项.
令,则,显然只需证,即.
通过构造函数证明.
令，则，
因此在上单调递减，所以，即，
∴.该不等式显然成立,累乘可得,而当时, ,显然成立.故不等式得证.
【典例14】已知公差不为0的等差数列满足：且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式和前项和；
(2)证明不等式且
【答案】(1)（）
(2)证明见解析
【解析】(1)解：设数列公差为，       
因为，，成等比数列.
所以，即,
得,又，所以.
故 （）,
(2)设为数列的前n项和,为数列的前n项和.
欲证,只需证.
当时,


因为，
易证.，
所以.，
即.
【典例15】已知正项数列满足．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析
【解析】
(1)∵，
∴，
∴，
∴．
(2)设为数列的前n项和,欲证,只需证.

∵，∴，
∴.
接下来需要证明
通过构造函数证明.
令，则，
因此在上单调递减，所以，即，
∴，∴，∴，
∴
【典例16】已知各项均为正数的数列满足：，前项和为，且，．
(1)求数列的通项与前项和；
(2)记，设为数列的前项和，求证．
【答案】(1)，；
(2)证明见解析.
【解析】(1)解：当时，，因为，解得；
当时，由可得，
上述两个等式相减可得，所以，，
对任意的，，故且，
故数列为等差数列，且该数列的首项和公差均为，故，
所以，.
(2)设为数列的前n项和,欲证,只需证.
当时,成立.
当时,
，
因为
，
所以，，
因此，.

分层提分


题组A 基础过关练
三、解答题
1.已知数列的前项和为，；等差数列中，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设数列前项和为，是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值，若不存在，说明理由.
【答案】（1），；（2）存在，最小值为.
【解析】
（1）由题设，，得，
又，即，
∴对都成立，则，
∴，又且为等差数列，
∴若公差为 ，则，得，即，
∴.
（2）由（1）知：，
∴，则，
∴，即，若时，有，
∴且，故存在，的最小值为4.

2.已知等比数列的前n项和为，，且，，成等差数列．
(1)求数列的公比q和通项；
(2)设，求满足的n的最大值．
【答案】(1)， (2)
【解析】
(1)解：设比数列的公比为，
因为，，成等差数列，可得，
即，所以，解得，
又因为，所以数列的通项公式为．
(2)解：由，可得，
所以，所以，
由，可得，即且，
故满足的n的最大值为．

3.记是等差数列的前项和，若.
(1)求数列的通项公式；
(2)求使成立的的最小值.
【答案】(1) (2)4
【解析】
(1)设等差数列的公差为，由得=0,
由题意知，，解得，所以d=2
所以.
(2)解：由（1）可得，
由可得，即，解得或，
因为，
所以，正整数的最小值为.

4.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S3＝21，S5＝55．
(1)求an、Sn；
(2)若数列的前n项和Tn，求满足的最小正整数n．
【答案】(1)an＝4n﹣1， (2)19
【解析】
(1)设等差数列{an}的公差为d，则，即，解得，故，
(2)由（1）得，.故，令有，即，解得，故满足满足的最小正整数为19

5.已知数列的前n项和为，，，其中.
(1)记，求证：是等比数列；
(2)设，数列的前n项和为，求证：.
【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析.
【解析】
(1)证明：对任意的，，，
时，，解得，
时，因为，，两式相减可得：，即有，
∴，又，则，
因为，，所以，
对任意的，，所以，
因此，是首项和公比均为3的等比数列
(2)由（1）得：，则，
，，
两式相减得：，
化简可得：，又，
∴.

6.已知数列的前项和为.
从下面①②③中选择其中一个作为条件解答试题，若选择不同条件分别解答，则按第一个解答计分.
①数列是等比数列，，且，，成等差数列；
②数列是递增的等比数列，，；
③.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列的前项的和为，且.证明：.
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】
(1)解：若选①：因为数列是等比数列，设公比为，，且，，成等差数列，
所以，解得，所以；
若选②：因为数列是递增的等比数列，，，
所以，所以，，
所以；
若选③：因为，所以，
两式相减可得，即，又时，，
所以，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以；
(2)证明：由（1）知，
所以，
因为，所以，即.

7.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）是否存在正整数n，使得？若存在，求出符合条件的n的最小值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）.（2）存在，最小值为
【解析】
（1）设等比数列的公比为q，则.
由题意得
即
解得
故数列的通项公式为.
（2）由（1）有.假设存在，使得则
即当为偶数时，，上式不成立；当为奇数时，即
解得综上，存在符合条件的正整数，最小值为11.

8.已知正项等比数列的前n项和为，满足，．记.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设数列前n项和，求使得不等式成立的n的最小值.
【答案】(1)，； (2)5.
【解析】
(1)设正项等比数列的公比为，当时，，即，
则有，即，而，解得，又，则，
，
所以数列，的通项公式分别为：，.
(2)由(1)知，，
则，
则，
两式相减得：
于是得，
由得：，即，令，，
显然，，，，，，
由，解得，即数列在时是递增的，
于是得当时，即，，则，
所以不等式成立的n的最小值是5.

9.已知数列的前项和为，；等差数列中，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设数列前项和为，是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值，若不存在，说明理由.
【答案】（1），；（2）存在，最小值为.
【解析】
（1）由题设，，得，
又，即，
∴对都成立，则，
∴，又且为等差数列，
∴若公差为 ，则，得，即，
∴.
（2）由（1）知：，
∴，则，
∴，即，若时，有，∴且，故存在，的最小值为4.

10.已知等差数列公差不为零，，，数列各项均为正数，，.
(1)求数列、的通项公式；
(2)若恒成立，求实数的最小值．
【答案】(1)， (2)
【解析】
(1)解：设等差数列的公差为，
因为，即，解得，
所以，，
因为，所以，，
因为，所以，，又，所以，，所以，，
所以，是以为首项，为公比的等比数列，故.
(2)解：因为，，所以，，即恒成立，
设，则，
当时，；当时，；当时，.
所以，或时，为的最大项．
所以，，故实数的最小值为．

11.已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图象上．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数．
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)，，又经过坐标原点，；
点在函数的图象上，，即；
当时，；
当时，；
经检验：满足；
.
(2)由（1）得：；
；
，，，由恒成立可知：，解得：，
所求的最小正整数.






题组B 能力提升练
一、解答题
1.已知数列中，，其前项和满足：．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析
【分析】
（Ⅰ）由，可得，即数列时以1为首项公比为2的等比数列，即可求解．（Ⅱ），当时，，当时，，即有．
【详解】
（Ⅰ）由，于是，
当时,，
即，
，∵，数列为等比数列，
∴，即．
（Ⅱ），
∴当时，，
当时，显然成立，
综上，对于任意的，都有．
2.已知正项数列满足，.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）将题干中的等式因式分解后得出，由此得出，再利用定义证明出数列为等比数列；
（2）求出，利用放缩法得出，结合等比数列的求和公式可证明出结论成立.
【详解】
（1），.
，，，即，
则有且，
数列是以为首项，以为公比的等比数列；
（2）由（1）得，即，得，
.
3.已知数列满足，前项和满足是正项等比数列，且是和的等比中项.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析；
【解析】
（1）当时，由，
得，
相减得.
当时，符合上式，.
设的公比为，
由题意得，即，
又.
（2）证明：由题意得，



.
4.数列满足：；数列满足：，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，证明：.
【答案】
（1） ，（2）证明见解析
【解析】
（1）当时，;
当时，
与条件等式两边相减，得
所以.
所以=1,
.
故有
所求通项公式分别为和
（2）
只需证明
当时，.
所以
,故原不等式成立
5.已知数列的前项和为，，数列是公差为的等差数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求证：对于任意的，.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
（Ⅰ）数列是公差为的等差数列，且 ，
可得，，
，又，

（Ⅱ）
，当时，
，又
，
又，

6.已知正项数列的前项和为，满足．
(1)求数列的前项和；
(2)记，证明：．
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】
(1)解：由题意得：


等式两边同乘，得
整理得，由，得，即是首项为1，公差为1的等差数列
∴，；
(2)设为数列的前n项和,为数列的前n项和.
欲证,只需证.
当时,经检验成立
当时,


因为，
易证，
所以
综上可证：．
7.已知等差数列的公差为，前项和为，且满足，，成等比数列且．
（1）求；
（2）若的前项和为，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】
（1）由，得；即①，又，，成等比数列，得，
即②，由①②解得，．所以．
(2)设为数列的前n项和,
欲证,只需证.
当时,经检验成立
当时,
由，可得，所以，
所以．



题组C 培优拔尖练
二、解答题
1.已知正项数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，为数列的前项和.若对任意的恒成立，求的最小值.
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)①；
当时，代入①得.
当时，②；
①-②得，
整理得，
因为，所以，
所以数列为等差数列，公差为1，
所以.
(2)，
③；
④，
③-④得
，
所以，所以，化简得，令，.
所以，所以的最大值为，所以.所以的最小值为.
2.已知正项数列的前n项和为，且，，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列前n项积为，证明：，．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
(1)当时，，
∵，
∴，即，
∵数列各项为正，
∴，即，则数列为首项，公差的等差数列，
∴，即，
∴当时，，经检验成立，
∴．
(2)设为数列的前n项积,为数列的前n项积.
欲证,只需证.
当时,经检验成立
当时,


易证，，
∴．