苏教版 (2019)选择性必修第一册第5章 导数及其应用5.1 导数的概念精品随堂练习题

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第5章导数及其应用
第21讲 导数的概念
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课程标准
重难点
1. 了解平均变化率的实际背景.
2.理解平均变化率的含义.（重点）
3. 会求函数在某一点附近的平均变化率，并能用平均变化率解释一些实际问题.（难点）
3.了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想.
4.会求简单函数在某点处的导数及其图象在该点处的
切线方程.
重点∶1.会求平均变化率.
2.导数的几何意义.
难点∶1.理解平均变化率的实际难点.
2.理解导数与导函数概念.


知识精讲

知识点01 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
(1)定义式：∆y∆x=fx2−f(x1)x2−x1
(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．
(3)意义：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
(4)平均变化率的几何意义：
设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，
函数y＝f(x)的平均变化率∆y∆x=fx2−f(x1)x2−x1=fx1+∆x−f(x1)∆x为割线AB的斜率，如图所示．

【注意】Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负.
【即学即练1】设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变为x0＋Δx时，函数值的改变量Δy为( )
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
【答案】D
【解析】函数值的改变量Δy是表示函数y＝f(x)在x＝x0＋Δx的函数值与在x＝x0的函数值之差，因此有Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
【即学即练2】（2021·江苏省灌南高级中学高二阶段练习）已知函数fx=x2+2，则该函数在区间1,3上的平均变化率为（    ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据平均变化率的定义直接求解.
【详解】因为函数fx=x2+2，所以该函数在区间1,3上的平均变化率为
f(3)−f(1)3−1=32+2−(12+2)2=4，故选：A
知识点02 函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
定义式
lim∆x→0∆y∆x=lim∆x→0fx0+∆x−f(x0)∆x
实质
瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值
作用
刻画函数在某一点处变化的快慢
【注意】“Δx无限趋近于0”的含义
Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.
【即学即练3】（2021·广东·洛城中学高二阶段练习）曲线y=2x2在点(1,2)处的瞬时变化率为（    ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】对曲线方程求导，将x=1代入求值，即可得瞬时变化率.
【详解】由题设，有y′=4x|x=1=4.故选：B
【即学即练4】（2022·全国·高二课时练习）函数fx=x2在x=1处的瞬时变化率是______．
【答案】2
【分析】根据导数定义，求解函数fx=x2在x=1处的导数即可.
【详解】解：∵fx=x2，∴fx在x=1处的瞬时变化率是
limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f1+Δx−f1Δx=limΔx→01+Δx2−12Δx=limΔx→02+Δx=2．故答案为：2

知识点03 瞬时速度
瞬时速度的定义
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝st0+∆t−s(t0)∆t.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt无限趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝ ＝ st0+∆t−s(t0)∆t.
【即学即练5】（2022·湖南·高二课时练习）已知某物体走过的路程sm与时间ts之间的函数关系式为s=t2−1.通过平均速度估计物体在下列各时刻的瞬时速度：
(1)t=0s；
(2)t=2s；
(3)t=4s.
【答案】(1)0 ms(2)4ms(3)8ms
【分析】（1）根据瞬时速度的定义求解，
（2）根据瞬时速度的定义求解，
（3）根据瞬时速度的定义求解，
(1)当t=0时，由定义得瞬时速度为v=limΔt→0s(0+Δt)−s(0)Δt=limΔt→0[(Δt)2−1−(−1)]Δt=0（ms）
(2)当t=2时，由定义得瞬时速度为v=limΔt→0s(2+Δt)−s(2)Δt=limΔt→0[(2+Δt)2−1−(22−1)]Δt=4（ms）
(3)当t=4时，由定义得瞬时速度为v=limΔt→0s(4+Δt)−s(4)Δt=limΔt→0[(4+Δt)2−1−(42−1)]Δt=8（ms）
知识点04 函数在某点处的导数
如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝ fx0+∆x−f(x0)∆x.
【注意】
“函数y＝f(x)在x＝x0的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系
“函数y＝f(x)在x＝x0处的导数”是一个数值，是针对x0而言的，与给定的函数及x0的位置有关，而与Δx无关；
“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x，Δx无关．
【即学即练6】函数fx=12x在x=2处的导数为（    ）
A．2 B．12 C．14 D．−18
【答案】D
【分析】利用导数的定义即可求出结果.
【详解】limΔx→0ΔfxΔx=limΔx→0f2+Δx−f2Δx=limΔx→0122+Δx−12×2Δx=limΔx→0−12⋅14+2Δx=−18，所以函数fx在x=2处的导数为−18.故选：D.
【即学即练7】已知函数fx=x−1x，则该函数在x=1处的切线斜率为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】利用导数的定义求解.
【详解】因为f1+Δx−f1=1+Δx−11+Δx−1−11，
=Δx+1−11+Δx=Δx+Δx1+Δx，
所以斜率k=limΔx→0f1+Δx−f1Δx，
=limΔx→01+11+Δx=1+1=2．
故选：C

知识点05 割线的定义
函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，它是过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线．
【即学即练8】已知点Ax1,y1,B(x2,y2)在函数y=f(x)的图象上，若函数f(x)从x1到x2的
平均变化率为3，则下面叙述正确的是（    ）
A．曲线 y=f(x)的割线AB的倾斜角为π6
B．曲线 y=f(x)的割线AB的倾斜角为π3
C．曲线 y=f(x)的割线AB的斜率为－3
D．曲线 y=f(x)的割线AB的斜率为－33
【答案】B
【分析】根据平均变化率的意义，结合斜率与倾斜角的关系，即可判断和选择.
【详解】函数f(x)从x1到x2的平均变化率为3，则割线AB的斜率即为3，倾斜角为60°；
故选：B.
【即学即练9】如图，直线l为经过曲线上点P和Q的割线．

(1)若P(1,2)，Q(5,7)，求l的斜率；
(2)当点Q沿曲线向点P靠近时，l的斜率变大还是变小？
【答案】(1)54
(2)斜率变大

【分析】（1）直接根据两点的斜率公式计算可得；
（2）根据直线的倾斜角的变化及直线的斜率与倾斜角的关系判断即可；
（1）
解：因为P(1,2)，Q(5,7)，所以kl=7−25−1=54；
（2）
解：当Q沿曲线向点P靠近时，直线的倾斜角α（锐角）在变大，又k=tanα，所以直线l的斜率变大了；


知识点06 导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．即k=lim∆x→mfx0+∆x−f(x0)∆x=f'(x0)相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．
与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．
【即学即练10】已知曲线y＝3x2－x，求曲线上的点A(1,2)处的切线斜率及切线方程．
【解析】因为＝3(1+△x)2−(1+△x)−3×12+1△x＝5＋3Δx，当Δx趋于0时，5＋3Δx趋于5，所以曲线y＝3x2－x在点A(1,2)处的切线斜率是5.所以切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.
【即学即练11】求曲线f(x)＝x2＋1在点A(1,2)处的切线方程．
【解析】在曲线f(x)＝x2＋1上的点A(1,2)的附近取一点B，设B点的横坐标为1＋Δx，
则点B的纵坐标为(1＋Δx)2＋1，所以函数的增量Δy＝(1＋Δx)2＋1－2＝(Δx)2＋2Δx，
所以切线AB的斜率kAB＝＝Δx＋2，∴ ＝ (Δx＋2)＝2，
这表明曲线f(x)＝x2＋1在点A(1,2)处的切线斜率k＝2．∴所求切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
能力拓展

◆考点01 导数概念中极限的计算
【典例1】（2022·全国·高二课时练习）已知limΔx→0f(1)−f(1+Δx)Δx=3，则f(x)在x=1处的导数f′(1)=（    ）
A．−1 B．1 C．−3 D．3
【答案】C
【分析】根据条件可得出limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=−3，即可得出f′(1)的值.
【详解】limΔx→0f(1)−f(1+Δx)Δx=−limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=3，f′(1)=limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=−3．
故选：C
【典例2】（2021·全国·高二单元测试）设函数y=f(x)在x=2处可导，且limΔx→0f(2+Δx)−f(2)2Δx=1，则f′2等于（    ）
A．2 B．12 C．−2 D．−12
【答案】A
【分析】根据导数的定义即可求解.
【详解】由导数的定义可得limΔx→0f(2+Δx)−f(2)Δx=f′2，因为limΔx→0f(2+Δx)−f(2)2Δx=12limΔx→0f(2+Δx)−f(2)Δx=12f′2=1，所以f′2=2，故选：A.
◆考点02 导数的几何意义-切线问题
【典例3】已知曲线y＝3x2－x，求曲线上的点A(1,2)处的切线斜率及切线方程．
【解析】因为＝3(1+△x)2−(1+△x)−3×12+1△x＝5＋3Δx，当Δx趋于0时，5＋3Δx趋于5，所以曲线y＝3x2－x在点A(1,2)处的切线斜率是5.所以切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.
【典例4】求抛物线f(x)＝x2过点的切线方程．
【解析】由于点不在抛物线上，所以可设切点为(x0，x)，因为f′(x0)＝(x0+△x)2−x02△x＝(2x0＋Δx)＝2x0，所以该切线的斜率为2x0，又因为此切线过点和点(x0，x)，所以＝2x0，即x－5x0＋6＝0，解得x0＝2或x0＝3，因此切点为(2,4)或(3,9)，所以切线方程分别为y－4＝4(x－2)，y－9＝6(x－3)，即y＝4x－4，y＝6x－9.

【典例5】若曲线f(x)＝x4－x在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为( )
A．(－1,2) B．(1，－3) C．(1,0) D．(1,5)
【答案】C
【解析】设点P的坐标为(x0，y0)，因为f′(x)＝4x3－1，所以f′(x0)＝4x－1＝3，即x0＝1.
把x0＝1代入函数f(x)＝x4－x，得y0＝0，所以点P的坐标为(1,0)．
◆考点03 利用图像理解导数的几何意义
【典例6】已知y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)