高中数学5.2 导数的运算精品课时训练

这是一份高中数学5.2 导数的运算精品课时训练，文件包含同步讲义苏教版2019高中数学选修第一册第22讲导数的运算原卷版docx、同步讲义苏教版2019高中数学选修第一册第22讲导数的运算解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。

第5章导数及其应用
第22讲导数的运算
目标导航


课程标准
重难点
1、了解利用定义求函数的导数.
2、掌握基本初等函数的导数公式，并会利用公式求简单函数的导数.
3、能利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题.
重点∶利用公式求简单函数的导数；
难点∶利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题.

知识精讲

知识点01 基本初等函数的导数
函数
导函数
函数
导函数
y＝c(c是常数)
y′＝0
y＝sin x
y′＝cos_x
y＝xα(α为实数)
y′＝αxα－1
y＝cos x
y′＝－sin_x
y＝ax(a>0，a≠1)
y′＝axlna
特别地(ex)′＝ex
y＝logax(a>0，a≠1)
y′＝
特别地(ln x)′＝







【即学即练1】求下列函数的导数.
(1)y=x12；
(2)y=1x4；
(3)y=3x；
(4)y=lnx；
(5)y=cosx.
【答案】(1)y′=12x11
(2)y′=−4x5
(3)y′=3xln3
(4)y′=1x
(5)y′=−sinx

【分析】根据函数求导公式即可得出答案.
【详解】（1）y′=x12′=12x11
（2）y′=1x4′=x−4′=−4x−5=−4x5
（3）y′=3x′=3xln3
（4）y′=lnx′=1x
（5）y′=cosx′=−sinx
【即学即练2】（2022·广西桂林·高二期末（理））求下列函数的导数.
(1)y＝x12；
(2)y=1x4；
(3)y＝5x3；
(4)y＝3x；
(5)y＝log5x.
【答案】(1)y'=12x11
(2)y'=−4x5
(3)y'=35x−25
(4)y'=3xln3
(5)y'=1xln5
【分析】根据求导基本公式，计算即可得答案.
(1)y'=(x12)'=12x11
(2)y'=(1x4)'=(x−4)'=−4x−5=−4x5 ；
(3)y'=(5x3)'=x35'=35x−25 ；
(4)y'=(3x)'=3xln3 ；
(5)y'=(log5x)'=1xln5
知识点02 导数的运算法则
（1）［f（x）±g（x）］′＝f′（x）±g′（x）；
（2）［f（x）·g（x）］′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；

【即学即练3】求下列函数的导函数.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】（1） （2） (3) (4) (5) (6)
【解析】（1）由，则；
（2）由，则；
（3）由 ，则；
（4）由，则；
（5）由，则 ；
（6）由，则.
【即学即练4】（2021·宁夏·海原县第一中学高二期中（文））求下列函数的导数.
(1)y=x3−2x+3；
(2)y=lnxx.
【答案】(1)y′=3x2−2
(2)y′=1−lnxx2

【分析】根据基本初等函数和积的导数的求导公式求导即可.
【详解】（1）y=x3−2x+3，则y′=3x2−2.
（2）y=lnxx，y′=1x⋅x−lnxx2=1−lnxx2.
知识点03 复合函数的导数
复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
规律：从内到外层层求导，乘法链接
【常用结论】
（1）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数．
（2）函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
【即学即练5】（全国·高考真题（理））设y=xln1+x2，求y′．
【答案】y′=ln(1+x2)+2x21+x2
【分析】根据导数的运算法则和复合函数的求导原则直接计算能够求出y′.
【详解】函数y=ln1+x2可以看作函数y=lnu和u=1+x2的复合函数，根据复合函数求导法则有yx′=yu′⋅ux′=lnu′⋅1+x2′=1u⋅2x=2x1+x2，ln1+x2′=2x1+x2，
函数y=xln1+x2，则有y′=x′⋅ln1+x2+x⋅ln1+x2′=ln1+x2+2x21+x2.
【即学即练6】（2022·江西·萍乡市第二中学高二开学考试（理））求下列函数的导数．
（1）y=excosx+x−t2（t为常数）；
（2）y=ln(2x+5)3+lnxx.
【答案】（1）y′=ex(cosx−sinx)+12x；（2）y′=62x+5+1−lnxx2
【分析】（1）利用导数运算法则可求得原函数的导数;
（2）利用复合函数的求导法则以及导数的运算法则可求得原函数的导数
【详解】（1）由y=excosx+x−t2可得y′=excosx−exsinx+12x=excosx−sinx+12x；
（2）由y=ln(2x+5)3+lnxx=3ln(2x+5)+lnxx可得y′=3×22x+5+1x⋅x−lnxx2=62x+5+1−lnxx2能力拓展

◆考点01 求导数的值
【典例1】（2022·江苏·连云港市赣马高级中学）已知f′x是函数fx=xcosx的导函数，则f'π2=（    ）
A．−π2 B．π2 C．−1 D．1
【答案】A
【分析】根据函数求导法则，求出导函数，代入可得答案.
【详解】由题意f′x=cosx−x⋅sinx，∴f'π2=0+π2⋅−1=−π2．
故选：A.
【典例2】（2021·宁夏·海原县第一中学）设函数f(x)=x2，f′(x0)=2，则x0=（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据幂函数的求导公式求导即可.
【详解】∵f′x=2x，
∴f′x0=2x0=2，
解得x0=1.
故选：B.
【典例3】（2022·江苏连云港·高二期末）已知f(x)=lnxx，若f′(x0)=1−ln24，则x0=（    ）
A．12 B．2 C．1e D．e
【答案】B
【分析】由f(x)，求出f′(x)，代入f′(x0)求值.
【详解】由f(x)=lnxx，有 f′(x)=xlnx′−x′lnxx2=1−lnxx2．
∴ f′(x0)=1−lnx0x02=1−ln24，解得x0=2．
故选：B．
◆考点02 求在一点处的切线方程
【典例4】（2022·四川泸州·高二期末（理））曲线y=sin(2x)x在x=π处的切线的斜率为（    ）
A．−2π B．2π
C．−4π2 D．1π
【答案】B
【分析】根据导数的计算公式以及导数的几何意义进行求解.
【详解】因为y=sin(2x)x，所以y′=2xcos(2x)−sin(2x)x2，
y′|x=π=2πcos(2π)−sin(2π)π2=2π，
所以曲线y=sin(2x)x在x=π处的切线的斜率为2π.故A，C，D错误.
故选：B.
【典例5】2022·四川省绵阳八一中学模拟预测（文））已知曲线y=2x+aex在点0,a处的切线方程为y=x+b, 则a+b=（    ）
A．2 B．e C．3 D．2e
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义,求出导函数y′=−2x+2−aex,令x=0结合切线的斜率求出a,再将点坐标代入切线方程求出b即可得到结果.
【详解】根据导数的运算公式y′=2ex−2x+aexe2x=−2x+2−aex,
当x=0时,y′=2−a,∴ 2−a=1,即a=1.∵ 0,1满足方程y=x+b,即b=1,
∴a+b=2.
故选:A.
◆考点03 求过一点处的切线方程
【典例6】（2022·全国·模拟预测）已知函数f(x)=−2+lnx，过点P(0,−2)作曲线y=f(x)的切线l，则l的方程为___________.
【答案】x−ey−2e=0
【分析】根据导数的几何意义设切点坐标(t,−2+lnt)(t>0)，利用导数求切线斜率，从而可得切线方程表达式，利用切线过点P(0,−2)，解出t，即可求得切线方程.
【详解】解：由题意可设切点坐标为(t,−2+lnt)(t>0)，因为f(x)=−2+lnx，所以f′(x)=1x，所以切线l的斜率k=1t，
则l的方程为y+2−lnt=1tx−t，又点P(0,−2)在切线上，所以−2+2−lnt=1t0−t
解得t=e，所以切线方程为：y+1=1ex−e，即x−ey−2e=0.
故答案为：x−ey−2e=0.
【典例7】（2022·山西临汾·高三期中）已知函数f(x)=x3+f′(1)x2−2x，其中f′x是fx的导函数.
(1)求f′1；
(2)求曲线y=fx过原点的切线方程.
【答案】(1)f'1=−1
(2)y=−2x或y=−94x
【分析】（1）求出函数的导函数，再令x=1，计算可得；
（2）由（1）可得函数解析式，从而求出函数的导函数，设切点t,t3−t2−2t，利用导数的几何意义求出切线方程，根据切线过原点，求出t的值，再代入求出切线方程.
【详解】（1）解：因为f(x)=x3+f′(1)x2−2x，
所以f′x=3x2+2f′1x−2，
令x=1，得f′1=2f′1+1，
∴f'1=−1.
（2）解：由（1）可得f(x)=x3−x2−2x，所以f′(x)=3x2−2x−2，
设切点t,t3−t2−2t，则f′t=3t2−2t−2，
所以切线方程为y−t3−t2−2t=3t2−2t−2(x−t)，
由题−t3−t2−2t=3t2−2t−2(−t)，
整理得t2(2t−1)=0，解得t=0或t=12.
当t=0时，切线方程为y=−2x；
当t=12时，切线方程为y=−94x.
综上，曲线y=fx过原点的切线方程为y=−2x或y=−94x.
◆考点04 公切线问题
【典例8】（2022·吉林·辽源市第五中学校高三期中）已知曲线y=x2−lnx在点1，1处的切线与曲线y=ax2+a+2x+1也相切.则a=______．
【答案】1
【分析】由导数的几何意义求解，
【详解】令f(x)=x2−lnx，g(x)=ax2+a+2x+1，
则f′(x)=2x−1x，f′(1)=1，f(1)=1，则f(x)点1，1处的切线方程为y=x
令ax2+a+2x+1=x，ax2+a+1x+1=0，
由题意得Δ=(a+1)2−4a=0，解得a=1，
故答案为：1
【典例9】（2022·山东省青岛第一中学高三期中）若曲线C1:fx=x2+a和曲线C2:gx=4lnx−2x存在有公共切点的公切线，则该公切线的方程为__________.
【答案】y=2x−4
【分析】先分别求出f(x)和g(x)的导数，然后设公共切点的坐标为(x0，y0)，根据题意有f′(x0)=g′(x0)，f(x0)=g(x0)，代入相应表达式列出方程组，解出x0与a的值，计算出切线斜率和公切线的切点坐标，即可得到切线的方程．
【详解】fx=x2+a，gx=4lnx−2x，则有f′(x)=2x，g′(x)=4x−2．
设公共切点的坐标为(x0，y0)，则
f′(x0)=2x0，g′(x0)=4x0−2，
f(x0)=x02+a，g(x0)=4lnx0−2x0．
根据题意，有
2x0=4x0−2x02+a=4lnx0−2x0x0>0，解得x0=1a=−3．
∴公切线的切点坐标为(1,−2)，切线斜率为2．
∴公切线的方程为y+2=2(x−1)，即y=2x−4．
故答案为：y=2x−4
【典例10】已知函数f(x)＝x－，g(x)＝a(2－ln x)(a>0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值．并判断两条切线是否为同一条直线．
【解析】根据题意有曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′（1）＝3，
曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′（1）＝－a.所以f′（1）＝g′（1），即a＝－3.
曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f（1）＝3(x－1)，又f（1）＝－1，得y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g（1）＝3(x－1)，又g（1）＝－6，
得y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以两条切线不是同一条直线．

分层提分


题组A 基础过关练
一、单选题
1．已知函数fx=sinx1−2cos2x2，则曲线fx在x=π3处的切线斜率为（    ）
A．0 B．−14 C．32 D．12
【答案】D
【分析】由导数的几何意义求解即可
【详解】由fx=sinx1−2cos2x2=sinx1−2×1+cosx2=−sinx⋅cosx，
可知f′x=−cos2x+sin2x，
所以f′π3=−14+34=12，
故选：D．
2．已知函数fx=sinx+cosx，x∈π,2π．若f′x0=0，，则x0=（    ）
A．π4 B．π2 C．3π4 D．5π4
【答案】D
【分析】求导后代入x=x0可求得tanx0=1，由x0∈π,2π可得结果.
【详解】∵f′x=cosx−sinx，∴f′x0=cosx0−sinx0=0，即tanx0=1，
又x0∈π,2π，∴x0=5π4.
故选：D.
3．已知函数fx=ax3−x+b，若f′1=2，f′x为fx的导函数）且f1=5，则b=（    ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】首先求函数的导数，再代入x=1，列方程组求解.
【详解】f′x=3ax2−1，
所以3a−1=2a−1+b=5，解得：a=1,b=5.
故选：A
4．已知函数f(x)=a2x2+blnx的图象在点(1,f(1))处的切线方程是2x−y−1=0，则ab等于（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣2
【答案】C
【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由切线的方程求得切线的斜率和切点，解方程可得a，b，即可得到所求结论.
【详解】解：函数f(x)=a2x2+blnx的导数为f′(x)=ax+bx，
可得在点(1,f(1))处的切线斜率为f′(1)=a+b，
因为在点(1,f(1))处的切线方程是2x−y−1=0，
所以f′(1)=a+b=2，f(1)=2×1−1=1=a2，
解得a=2，b=0，
所以ab=0
故选：C.
5．曲线y=ax+lnx在点1,a处的切线的斜率为3，则实数a的值为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用导数的几何意义得到关于a的方程，解之即可.
【详解】因为y=fx=ax+lnx，所以f′x=a+1x，
因为fx在点1,a处的切线的斜率为3，所以f′1=a+11=3，则a=2.
故选：B
6．已知f(x)及其导函数f′(x)定义域为R，满足：x∈R，f(x)=f(2−x)+2(x−1)，g(x)=sin2x+π4，g(x)定义域为0,π8，若g(x)在点x0,gx0处的切线斜率与f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率相同，则x0=（    ）
A．π48 B．π24 C．π12 D．π9
【答案】B
【分析】根据复合函数求导求得f′(x)=−f′(2−x)+2，g'(x)=2cos2x+π4，再由斜率相等时导函数值相等解决即可.
【详解】由题知，f(x)及其导函数f′(x)定义域为R，满足：
x∈R，f(x)=f(2−x)+2(x−1)
所以f′(x)=−f′(2−x)+2，
所以f′(1)=−f′(1)+2，即f′(1)=1，
因为g(x)=sin2x+π4，x∈0,π8，
所以g'(x)=2cos2x+π4，
因为g(x)在点x0,gx0处的切线斜率与f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率相同，
所以g'(x0)=2cos2x0+π4=1，
所以cos2x0+π4=12，
所以2x0+π4=±π3+2kπ,k∈Z，
因为x∈0,π8
解得x0=π24，
故选：B

二、多选题
7．给出定义：若函数fx在D上可导，即f′x存在，且导函数f′x在D上也可导，则称fx在D上存在二阶导函数，记f″x=f′x′若f″x<0在D上恒成立，则函数fx在D上为凸函数．以下四个函数在0,3π4上是凸函数的是（    ）
A．fx=−x3+2x−1 B．fx=lnx−2x
C．fx=sinx+cosx D．fx=xex
【答案】ABC
【分析】根据凸函数的定义，求出函数的二阶导函数，分别判断即可．
【详解】对于A.对于fx=−x3+2x−1，f′x=−3x2+2，f″x=−6x，
当x∈0,3π4时，f″x<0恒成立，故A为凸函数；
对于B.对于fx=lnx−2x，f′x=1x−2，f″x=−1x2，
当x∈0,3π4时，f″x<0恒成立，故B为凸函数；
对于C.对于fx=sinx+cosx，f′x=cosx−sinx，
f″x=−sinx−cosx=−2sinx+π4，
当x∈0,3π4时，x+π4∈π4,π，sinx+π4>0，f″x<0恒成立，故C为凸函数；
对于D.对于fx=xex，f′x=x+1ex，f″x=x+2ex，
当x∈0,3π4时，f″x>0恒成立，故D不是凸函数．
故选：ABC．
8．已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得fx0=f′x0，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，下列选项中有“巧值点”的函数是（    ）
A．fx=x B．fx=ex C．fx=tanx D．fx=1x
【答案】AB
【分析】根据“巧值点”的定义，结合导数运算，对每个选项进行逐一判断，即可选择.
【详解】对A：fx=x，则f′(x) =1，令fx= f′(x)，则x=1，故f(x)有“巧值点”；
对B：fx=ex，则f′(x) = ex，因为fx= f′(x)恒成立，故任意的x∈R，都是f(x)的“巧值点”；
对C：fx=tanx，则f′(x) =1cos2x，令tanx=1cos2x，整理得sin2x=2，方程无根，
故fx=tanx没有“巧值点”；
对D：fx=1x定义域为{x|x>0}，则f′(x) =−12xx<0，而fx>0，
显然fx= f′(x)无根，故fx=1x没有“巧值点”.
故选：AB.
9．函数fx=x3−3x2过点3,0的切线方程是（    ）
A．9x−y−27=0 B．18x−y−54=0
C．6x−y−18=0 D．y=0
【答案】AD
【分析】设出切点坐标，利用导数求切线斜率，得切线方程，代入点3,0可得切点和切线方程.
【详解】设切点坐标为x0,x03−3x02，由f′x=3x2−6x，∴在x0处的切线斜率为k=3x02−6x0，
切线方程为y−x03−3x02=3x02−6x0x−x0，由切线过3,0，
∴−x03+3x02=3x02−6x03−x0，解得x0=0或x0=3，x0=0时切线方程y=0，选D；
x0=3时切线方程9x−y−27=0，选A.
故选：AD

三、填空题
10．写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)：______.
①fx1x2=fx1+fx2；②当x∈(0,+∞)时，f′(x)<0；③f′(x)是奇函数.
【答案】f(x)=log12|x|（答案不唯一）
【分析】根据对数的运算性质及对数函数的导数，结合题设性质写出一个满足要求的函数解析式即可.
【详解】①由loga(x1x2)=logax1+logax2，即f(x)=logax满足fx1x2=fx1+fx2；
②对于f(x)=logax，在x∈(0,+∞)上要使导函数f′(x)=1xlna<0恒成立，故lna<0，所以0 ③由②知：f′(−x)=1−xlna=−1xlna=−f′(x)，注意定义域要关于原点对称，满足f′(x)是奇函数；
综上，f(x)=loga|x|且0 故答案为：f(x)=log12|x|（答案不唯一）
11．若直线x+y+a=0与曲线y=x−2lnx相切，则实数a的值为___________.
【答案】−2
【分析】求出原函数的导函数，利用导函数值为−1求解切点坐标，再把切点坐标代入切线方程即可求解a值．
【详解】由y=x−2lnx，得y′=1−2x(x>0)，
∵直线x+y+a=0与曲线y=x−2lnx相切，∴ 1−2x=−1，解得x=1，则y=1，
可得切点为(1,1)，代入x+y+a=0，得a=−2．
故答案为：−2
12．设函数y=f″x是y=f′x的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0的图像都有对称中心x0,fx0，其中x0满足f″x0=0.已知三次函数fx=x3+2x−1，若x1+x2=0，则fx1+fx2=___________.
【答案】−2
【分析】根据题意求解f″x0=0可得对称中心x0,fx0，再根据对称中心的性质求解即可.
【详解】由题意，f′x=3x2+2，f″x=6x，令f″x=6x=0解得x=0，又f0=−1，故fx=x3+2x−1的对称中心为0,−1.故当x1+x2=0时，fx1+fx2=2×−1=−2.
故答案为：−2

四、解答题
13．曲线y=−x2+4x上有两点A4,0、B2,4.求：
(1)割线AB的斜率kAB及AB所在直线的方程；
(2)在曲线上是否存在点C，使过C点的切线与AB所在直线平行？若存在，求出C点的坐标及切线方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)−2，2x+y−8=0；
(2)存在，C为(3，3)，切线方程为2x+y−9=0．

【分析】(1)利用过两点的直线的斜率计算公式即可求割线AB的斜率，再利用直线方程的点斜式求得AB所在直线的方程；
(2)利用导数的几何意义即可求解．
（1）∵ A(4,0)、B(2,4)，∴kAB=4−02−4=−2，∴ AB所在直线方程为y=−2(x−4)，即2x+y−8=0；
（2）y′=−2x+4，令−2x+4=−2，得x=3，x=3时，y=−32+3×4=3，∴存在点C (3,3)，使过C点的切线与AB所在直线平行，则所求切线方程为y-3=-2(x-3)，即2x+y−9=0．
14．已知fx=alnx−1x，求：
(1)当a=1时，求f′x；
(2)当f′2=1时，求a；
(3)fx在1,f1处的切线与直线2x−y=0平行，求a？
【答案】(1)f′x=1x+1x2(2)a=32(3)1
【分析】（1）根据导数运算法则求解即可；
（2）由于f′x=ax+1x2，进而根据f′2=1求解即可；
（3）根据题意f′1=a+1=2，解得a=1，再检验即可.
(1)解：当a=1时，fx=lnx−1x，f′x=1x+1x2
(2)解：由题知f′x=ax+1x2，因为f′2=1，所以f′2=a2+14=1，解得a=32所以a=32
(3)解：由（2）知f′x=ax+1x2，因为fx在1,f1处的切线与直线2x−y=0平行
所以f′1=a+1=2，解得a=1.此时f1=−1，切线方程为：y+1=2x−1，即y=2x−3
满足与直线2x−y=0平行所以a=1.
15．已知二次函数fx=ax2+ax−2b，其图象过点2,−4，且f′1=−3.
(1)求a、b的值；
(2)设函数gx=xlnx，求曲线y=gx在x=1处的切线方程.
【答案】(1)a=b=−1
(2)x−y−1=0

【分析】（1）利用导数和已知条件可得出关于实数a、b的方程组，可求得实数a、b的值；
（2）求出切点坐标和切线斜率，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程.
（1）解：因为fx=ax2+ax−2b，则f′x=2ax+a，所以，f2=6a−2b=−4f′1=3a=−3，解得a=−1b=−1.
（2）解：因为gx=xlnx的定义域为0,+∞，且g′x=lnx+1，所以，g′1=1，g1=0，故切点坐标为1,0，所以，函数gx在x=1处的切线方程为y=x−1.
题组B 能力提升练
一、单选题
1．已知fx及其导函数f′x的定义域均为R，若f1−2x为奇函数，f2x−1为偶函数．设f′0=1，则k=17f′2k=（    ）
A．−1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】推导出f′x+8=−f′x+4=f′x，可知函数f′x为周期函数，且周期为8，利用f′x的对称性和周期性可求得所求代数式的值.
【详解】因为f1−2x为奇函数，所以f1+2x=−f1−2x，即f1+x=−f1−x，
两边同时求导，则有f′1+x=f′1−x，所以f′x的图象关于直线x=1对称．
因为f2x−1为偶函数，所以f−2x−1=f2x−1，即f−1−x=f−1+x，
两边同时求导，则有−f′−1−x=f′−1+x，所以函数f′x的图象关于点−1,0对称．
所以，f′x=f′2−x=−f′x−4，f′x+8=−f′x+4=f′x，
所以，函数f′x为周期函数，且周期为8，
则有f′0=f′2=f′8=f′10=1，f′4=f′6=f′12=f′14=−1，
所以k=17f′2k=f′2+f′4+⋯+f′12+f′14=−1．
故选：A.
2．若直线x+y+m=0是曲线y=x3+nx−52与曲线y=x2−3lnx的公切线，则m−n=（    ）
A．−30 B．−25 C．26 D．28
【答案】C
【分析】设直线x+y+m=0与曲线y=x3+nx−52切于点(a,−a−m)，与曲线y=x2−3lnx切于点(b,−b−m)，再由切点处的导数值等于斜线的斜率，且切点处的函数值相等列式求解，即可得出答案.
【详解】设直线x+y+m=0与曲线y=x3+nx−52切于点(a,−a−m)，
与曲线y=x2−3lnx切于点(b,−b−m)．
对于函数y=x2−3lnx,y′=2x−3x，则2b−3b=−1，
解得b=1或−32（舍去）．
所以1−3ln1=−1−m，即m=−2．
对于函数y=x3+nx−52,y′=3x2+n，
则3a2+n=−1,a3−3a2+1a−52=−a+2，
整理得a3=−27,a=−3，所以n=−3a2−1=−28，故m−n=26．
故选：C.
3．若直线y=kx+b是曲线f(x)=ex−3与g(x)=ex+2022−2022的公切线，则k=（     ）
A．10111012 B．20222025 C．20252022 D．1
【答案】B
【分析】设直线y=kx+b与fx的图象相切于点P1x1,y1，与gx的图象相切于点P2x2,y2，求出f′x，g′x，由点P1x1,y1、点P2x2,y2在切线上，得切线方程，进而即得.
【详解】设直线y=kx+b与f(x)=ex−3的图象相切于点P1x1,y1，与gx=ex+2022−2022的图象相切于点P2x2,y2，
又f′x=ex−3，g′x=ex+2022，
所以y1=ex1−3，y2=ex2+2022−2022，
由点P1x1,y1在切线上，得切线方程为y−ex1−3=ex1−3x−x1；
由点P2x2,y2在切线上，得切线方程为y−ex2+2022+2022=ex2+2022x−x2，
故ex1−3=ex2+2022ex1−31−x1=ex2+20221−x2−2022，
解得x1−x2=2025，ex1−3=20222025，
故k=ex1−3=20222025.
故选：B.
4．已知函数f(x)=ax2+bx+c,x≥−1f(−x−2),x<−1其图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x+1，则它在点(−3,f(−3))处的切线方程为（　　）
A．y=−2x−3 B．y=−2x+3
C．y=2x−3 D．y=2x+3
【答案】A
【分析】根据f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=2x+1可得f(1)=3，且f′(1)=2，根据f(x)的解析式和导数可求f(−3)和f′(−3)，从而可求得结果．
【详解】∵在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x+1，
∴f(1)=3，且f′(1)=2，
又f′(x)=2ax+b,x≥1−f′(−x−2),x<−1，
∴f(−3)=f(1)=3，且f′(−3)=−f′(1)=−2，
∴点(−3,f(−3))为(−3,3)，在(−3,f(−3))处切线斜率为−2，
∴所求切线方程为y−3=−2(x+3)，即y=−2x−3．
故选：A．
5．已知指数函数y=fx的图像与直线y=x相切于点P， 则fx的解析式可能是（    ）
A．y=ex B．y=2x C．y=exe D．y=1e−x  
【答案】C
【分析】设切点Px0,ax0，进而由题知ax0lna=1ax0=x0，再解方程即可得答案.
【详解】解：由题意，设f(x)=ax（a>0且a≠1），f′x=axlna，
因为指数函数y=fx的图像与直线y=x相切于点P，
故设切点Px0,ax0，
所以，ax0lna=1ax0=x0，即x0lna=1x0lna=lnx0，解得x0=ea=e1e，
所以fx=exe．
故选：C
6．设直线l与曲线y=2x3−x+1相切于点Mx1,fx1，相交于另一点Nx2,fx2，则（）
A．x2=−2x1 B．x2=2x1 C．x2=−2x1−1 D．x2=2x1−1
【答案】A
【分析】利用切点处的斜率等于M,N两点连线的斜率列关系式，整理得x2=−2x1.
【详解】∵y=2x3−x+1,切点Mx1,fx1，
∴y′=6x2−1，所以切线斜率k=6x12−1，
又因为直线l与曲线相交于另一点Nx2,fx2，
所以k=f(x2)−f(x1)x2−x1，
所以(6x12−1)(x2−x1)=f(x2)−f(x1)，
所以(6x12−1)(x2−x1)=(2x23−x2+1)−(2x13−x1+1)，
所以(6x12−1)(x2−x1)=2x23−2x13−x2+x1，
所以(6x12−1)(x2−x1)=2(x2−x1)(x22+x1x2+x12)−(x2−x1)，
因为x2≠x1，
所以3x12=x22+x1x2+x12，
所以x22+x1x2−2x12=0，
所以(x2+2x1)(x2−x1)=0，
所以x2=−2x1，
故选：A.
7．已知函数f(x)=12sin2x+π3的图像在x1,fx1处的切线与在x2,fx2处的切线相互垂直，那么x1−x2的最小值是（    ）
A．π4 B．π2 C．π D．2π
【答案】B
【分析】求出f′(x)，根据导数的几何意义得到cos(2x1+π3)⋅cos(2x2+π3)=−1，根据余弦函数的最值可得cos(2x1+π3)=1且cos(2x2+π3)=−1，或cos(2x1+π3)=−1且cos(2x2+π3)=1，分两种情况求出x1−x2，然后求出其最小值即可.
【详解】因为f(x)=12sin2x+π3，所以f′(x)=12cos(2x+π3)×2=cos(2x+π3)，
依题意可得f′(x1)⋅f′(x2)=−1，
所以cos(2x1+π3)⋅cos(2x2+π3)=−1,
所以cos(2x1+π3)=1且cos(2x2+π3)=−1，或cos(2x1+π3)=−1且cos(2x2+π3)=1，
当cos(2x1+π3)=1且cos(2x2+π3)=−1时，
2x1+π3=2k1π，k1∈Z，2x2+π3=2k2π+π，k2∈Z，
所以x1−x2=(k1−k2)π−π2，k1∈Z，k2∈Z，
所以|x1−x2|=|(k1−k2)π−π2|，k1∈Z，k2∈Z，
所以当k1−k2=0或k1−k2=1时，|x1−x2|取得最小值π2.
当cos(2x1+π3)=−1且cos(2x2+π3)=1时，
2x1+π3=2k1π+π，k1∈Z，2x2+π3=2k2π，k2∈Z，
所以x1−x2=(k1−k2)π+π2，k1∈Z，k2∈Z，
所以|x1−x2|=|(k1−k2)π+π2|，k1∈Z，k2∈Z，
所以当k1−k2=0或k1−k2=−1时，|x1−x2|取得最小值π2.
综上所述：x1−x2的最小值是π2.
故选：B


二、多选题
8．已知定义在R上的函数fx及其导数f′x，若f32−3x为偶函数，f′x+12为奇函数，则（    ）
A．f32+x=f32−x B．f′32=0
C．f′12=1 D．f′x=f′x+2
【答案】ABD
【分析】由偶函数得对称性，判断A，由f′x+12为奇函数，得对称性判断C，然后在等式f′−x+12=−f′x+12中令x=1求值判断B，由f32+x=f32−x求导得，f′32+x=−f′32−x，得f′x=−f′3−x，再由由f′−x+12=−f′x+12，得f′x=−f′−x+1，两者比较得所以f′3+x=f′x+1，从而得周期性，判断D.
【详解】A.f32−3x为偶函数，所以f32−3x=f32+3x，x∈R，3x∈R，所以f32+x=f32−x，正确；
C.f′x+12为奇函数，所以f′−x+12=−f′x+12，f′x关于12,0对称，且x∈R，f′12=0，C错误；
B.所以令x=−1，f′1+12=−f′−1+12=f′12=0，正确；
D.由f32+x=f32−x两边求导得f′32+x=−f′32−x，得f′x=−f′3−x
由f′−x+12=−f′x+12，得f′x=−f′−x+1，所以f′3+x=f′x+1，即f′x=f′x+2，正确.
故选：ABD．
9．已知函数fx及其导函数f′x定义域均为R，若f−x=−fx，fx+2=f2−x对任意实数x都成立，则（    ）
A．函数fx是周期函数
B．函数f′x是偶函数
C．函数f′x的图象关于2,0中心对称
D．函数f2−x与fx的图象关于直线x=2对称
【答案】ABC
【分析】根据函数的奇偶性与对称性得函数的周期性，再根据导数运算确定导函数f′x的奇偶性与对称性即可判断，由函数对称性可确定函数f2−x与fx的图象的对称轴.
【详解】解：由题f(−x)=−f(x)⇔f(x)为奇函数⇔f(x)关于原点对称，由于f(2+x)=f(2−x)⇔f(x)关于x=2对称，所以fx=f4−x
则−f−x=f4−x，故−f(x)=f(x+4)，即−f(x+4)=f(x+8)，
所以f(x)=f(x+8)，即fx是周期为8的周期函数，故A对；
因为f(−x)=−f(x)，所以f(−x)′=−f(x)′，即−f′(−x)=−f′(x)，即f′(−x)=f′(x)，
即f′(x)为偶函数，故B对；
因为f(2+x)=f(2−x)，∴f′(2+x)=−f′(2−x)，即f′(2+x)+f′(2−x)=0，
∴f′(x)关于2,0对称，故C对；
函数f2−x与函数fx的图象关于直线x=1对称，故D错．
故选：ABC.
三、填空题
10．已知函数fx=lnx+a的图像与直线y=x相切，则a=____________
【答案】1
【分析】根据导数的几何意义列式计算即可．
【详解】解：由fx=lnx+a得
f′x=1x+a，
设切点坐标为x0,x0，
则1x0+a=1lnx0+a=x0，
解得x0=0a=1．
故答案为：1．
11．已知f(x)=ln(x+2)+x+1−3xx+3，则曲线y=fx在点3,f3处的切线方程为___________
【答案】2x−10y+10ln5−1=0
【分析】利用导数的几何意义，先对函数求导，从而可求得切线的斜率，再利用点斜式可求出切线方程.
【详解】∵f(x)=ln(x+2)+x+1−3xx+3，∴f3=ln5+2−32=12+ln5，
f′(x)=1x+2+12x+1−3(x+3)−3x(x+3)2=1x+2+12x+1−9(x+3)2，
∴f′(3)=15+14−14=15，
∴y=fx在3,12+ln5处的切线方程为：y−12−ln5=15(x−3)，
即2x−10y+10ln5−1=0．
故答案为：2x−10y+10ln5−1=0.
四、解答题
12．已知函数fx=1−xex．
(1)求曲线y=fx在点1,f1处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
(2)过点Aa,0作曲线y=1−xex的切线，若切线有且仅有1条，求实数a的值．
【答案】(1)e2
(2)a=−3或1

【分析】（1）对fx求导，代入x=1分别得到纵坐标及斜率，最后求出直线，得到围成的三角形面积；
（2）设出切点坐标，得到切线斜率，写出切线方程y−1−x0ex0=−x0ex0x−x0，
代入A点坐标，化简得到x02−a+1x0+1=0，利用Δ=0得到答案.
（1）
f'x=1−xex−ex=−xex，令x=1，f'1=−e，f1=0，
故曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y=−ex−1，分别令x=0,y=0，
则y=e，x=1，则与两坐标轴交点为1,0，0,e，三角形面积为12⋅1⋅e=e2．
（2）
设切点为x0,1−x0ex0，由已知得y′=−xex，则切线斜率k=−x0ex0，
切线方程为y−1−x0ex0=−x0ex0x−x0
直线过点Aa,0，则−1−x0ex0=−x0ex0a−x0，化简得x02−a+1x0+1=0
切线有且仅有1条，即Δ=(a+1)2−4=0，化简得a2+2a−3=0，
即a+3a−1=0，解得a=−3或1．
13．设函数fx=sinx−cosxx∈R，f'(x)为f(x)的导函数，若f'x0=2fx0，求sin2x0+cos2x0+tanπ4+x0的值．
【答案】−1310
【分析】结合已知条件，首先求出f'x=cosx+sinx，然后利用f'x0=2fx0求出tanx0=3，
结合三角恒等变换可得sin2x0+cos2x0+tanπ4+x0=2tanx0+11+tan2x0+1+tanx01−tanx0即可求解.
【详解】由题意可知，f'x=cosx+sinx，
由f'x0=2fx0，得cosx0+sinx0=2sinx0−2cosx0，
即sinx0=3cosx0，从而tanx0=3，
所以sin2x0+cos2x0+tanπ4+x0=2sinx0cosx0+cos2x0cos2x0+sin2x0+tanπ4+tanx01−tanπ4tanx0
=2tanx0+11+tan2x0+1+tanx01−tanx0=6+11+9+1+31−3=−1310．
故sin2x0+cos2x0+tanπ4+x0的值为−1310.
14．（1）P是曲线y=x+4x(x>0)上的一个动点，求点P到直线x+y=0距离的最小值；
（2）已知函数fx=x3，求函数过点B1,0的切线方程.
【答案】（1）4；（2）y=0或27x−4y−27=0.
【分析】（1）求出与直线x+y=0平行的曲线y=x+4x(x>0)的切线所对切点即可计算作答.
（2）设出符合要求的切点坐标，利用切线的几何意义求解作答.
【详解】（1）当直线x+y=0平移到与曲线y=x+4x相切位置时，切点Q(即为点P)到直线x+y=0的距离最小，
由y′=1−4x2=−1，而x>0，解得x=2，此时y=32，即切点Q(2,32)，
则切点Q到直线x+y=0的距离为|2+32|12+12=4，
所以点P到直线x+y=0距离的最小值为4.
（2）设过点B1,0的曲线fx=x3的切线对应切点为x0,x03，求导得：f′x=3x2，有f′x0=3x02，
切线方程为y−x03=3x02x−x0，而切线过点B1,0，则有3x02−2x03=0，解得x0=0或x0=32，
当x0=0时，切线方程为y=0，当x0=32时，切线方程y−278=274(x−32)，
所以所求切线方程为y=0或27x−4y−27=0.
15．（1）求函数fx=2x+12+2lnx在x=1处的导数f′1；
（2）已知函数fx的导函数为f′x，且fx=x2+3xf′2+lnx，求f′2．
【答案】（1）10；（2）−94.
【分析】（1）求出函数fx的导数f′x，再求导函数f′x在x=1处的函数值即可.
（2）对于给定等式两边求导，解方程求出f′2作答.
【详解】（1）函数fx=2x+12+2lnx，求导得：函数f′x=4x+1+2x，
所以f′1=10；
（2）因fx=x2+3xf′2+lnx，两边求导得：f′x=2x+3f′2+1x，
当x=2时，f′2=4+3f′2+12，解得f′(2)=−94，
所以f′2=−94.

题组C 培优拔尖练
1．已知曲线y=aex与y=lnx−lna的两条公切线所成角的正切值为34，则a3=（    ）
A．2 B．2e C．2e3 D．8e
【答案】C
【分析】利用反函数的性质、倍角公式以及切线方程进行求解.
【详解】因为y=aex与y=lnx−lna互为反函数，故图像关于y=x对称，
设一条切线与两个函数图像分别切于M,N两点，且两条切线交点为Q，
如图，

设∠OQN=θ，则tan2θ=34，即2tanθ1−tan2θ=34，解得tanθ=13或-3（舍去），
故kMN=tan(θ+45∘)=1+131−13=2，易求得曲线y=ex的斜率为2的切线方程为y=2x−2ln2+2，
故曲线y=aex=ex+lna的斜率为2的切线方程为y=2(x+lna)−2ln2+2，
y=lnx的斜率为2的切线方程为y=2x−ln2−1，故曲线y=lnx−lna的斜率为2的切线方程为y=2x−ln2−1−lna，
所以−ln2−1−lna=2lna−2ln2+2，则lna3=ln2−3，则a3=2e3.故A，B，D错误.
故选：C.

二、填空题
2．如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深8cm，上口宽6cm，若以30cm3/s的匀速往杯中注水，当水深为4cm时，酒杯中水升高的瞬时变化率v=__________cms．

【答案】403π
【分析】计算出当水深为4cm时，水的体积，然后除以流速可得出时刻t0的值，设水的深度为ℎcm，求出ℎ关于t的函数表达式，利用导数可求得当水深为4cm时，水升高的瞬时变化率.
【详解】设t时刻水的深度为ℎcm，水面半径为rcm，则ℎr=83，得r=38ℎ，
所以当水深为4cm时，酒杯中水面的半径为32cm，此时水的体积为V=13π×322×4=3π，
设当水深为4cm的时刻为t0，可得30t0=3π，可得t0=π10s；
又由题意可得30t=13πr2ℎ=13π×38ℎ2×ℎ=364πℎ3，则ℎ=640tπ13，
所以ℎ′=13×640π13t−23，
所以当t=π10时，v=ℎ′=13×640π13×π10−23=403πcms.
故答案为：403π.
3．已知曲线C1:y=xex(x>0)和C2:y=x−2ex−2.若直线l与C1,C2都相切，且与C1的相切于点P，则P的横坐标为___________.（注：e=2.71828⋯是自然对数的底数）
【答案】5+12
【分析】直线l与C1,C2都相切，设出两个切点的坐标，可以知道它们的切线斜率相等，即它们的导数相等，写出的两条切线方程重合可得.
【详解】设Px1,x1ex1,Qx2,x2−2ex2−2分别为两个切点则有：
y'=xex'=ex+xex,∴k=ex1+x1ex1;
∴l:y−x1ex1=ex1+x1ex1x−x1∴y=1+x1ex1x−x12ex1
y'=x−2ex−2'=ex−2−x−2ex−2ex−22=3−xex−2,∴k=3−x2ex2−2；
∴y−x2−2ex2−2=3−x2ex2−2x−x2,∴y=3−x2ex2−2x+x2−2ex2−2−3−x2x2ex2−2
两切线重合则有：3−x2ex2−2=1+x1ex1=1+2−x2e2−x21−x12ex1=x2−2ex2−2−3−x2x2ex2−2=x22−2x2−2e2−x22
由1，因为gx=x+1ex在0,+∞上递增，∴2−x2=x1代入2
得：x12−x1−1=0,x1>0∴x1=5+12
故答案为：5+12
【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.