【同步讲义】（苏教版2019）高中数学选修第一册：第23讲 导数在研究函数的单调性中的应用 讲义

第5章导数及其应用

导数在研究函数的单调性中的应用

知识点01  函数的单调性与导数的关系

1.一般地，在区间（a，b）上，函数f（x）的单调性与导数f′（x）的正负有如下关系.

2.   一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数y=f(x)的单调性∶

第1步∶确定函数的定义域；

第2步∶求出导数f(x)的零点；

第3步∶用f(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.

【即学即练1】（2021·宁夏·海原县第一中学）函数的单调递减区间是（    ）

A．, B．, C．, D．,

【即学即练2】（2022·安徽·长丰北城衡安学校高三开学考试）函数的单调递增区间为______.

◆考点01 含参函数的单调区间

【典例1】（2022·江苏·盐城经济技术开发区中学高三阶段练习）已知函数．

讨论函数的单调性；

【典例2】（2007·山东·高考真题（理））设函数，其中，求的单调区间．

【典例3】（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）设函数.

讨论的单调性；

【典例4】（2022·浙江·慈溪中学高三期中）已知函数.

若的导函数为，试讨论的单调性；

◆考点02 已知单调区间求参数

【典例5】若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【典例6】若函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【典例7】已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋2x.

（1）若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；

（2）若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围.

【典例8】已知函数的单调递减区间为，则（    ）.

A． B．

C． D．

【典例9】已知函数在上不单调，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

◆考点03 单调性与图像

【典例10】函数的图象如图，则函数的单调递增区间是(    )

A． B．

C． D．

【典例11】如图是的图像，则函数的单调递减区间是（    ）

A． B．

C． D．

◆考点04 利用导数图像解不等式

【典例12】定义域为的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【典例13】已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【典例14】已知函数，则关于t的不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

题组A  基础过关练

一、单选题

1．已知是函数的导数，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

2．已知函数，对于实数a，使成立的一个必要不充分条件是（    ）

A． B．

C． D．或

3．下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

4．某函数在上的部分图象如图，则函数解析式可能为（    ）

A．

B．

C．

D．

5．若函数，则的一个单调递增区间是（    ）

A． B． C． D．

6．函数的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

7．若函数在区间上不单调，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

8．定义在上的函数满足：对于定义域上的任意，，当时，恒有,则称为“理想函数”则下列函数中是“理想函数”的是（    ）

A． B．

C． D．

9．已知函数在上单调递增，为其导函数，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

10．设函数，则下列说法正确的是（    ）

A．的定义域是

B．当时，的图象位于x轴下方

C．存在单调递增区间

D．有两个单调区间

11．下列选项中，在上单调递增的函数有（    ）

A． B． C． D．

三、填空题

12．若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围________.

13．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为___________.

14．已知函数，则不等式的解集为______________．

四、解答题

15．已知函数．

(1)若，求函数的单调区间；

(2)若函数在上是减函数，求实数的取值范围．

16．已知函数.点是函数图象上一点.

(1)求过点作函数图像的切线方程；

(2)求函数的单调递减区间.

17．已知函数，若，讨论的单调性．

题组B  能力提升练

一、单选题

1．已知实数，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知实数分别满足，，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知函数，若对于任意，都有，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．0

5．设函数在区间D上的导函数为，在区间D上的导函数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”.已知实数m为常数，，若对满足的任何一个实数m，函数在区间上都为“凸函数”，则的最大值为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

6．函数的导数为，若方程有两个不同的实数根，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

7．已知方程在上有且仅有两个不同的解、，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

8．已知函数，，则（    ）

A．函数有且仅有一个零点 B．且

C．函数的图象是轴对称图形 D．函数在R上单调递增

9．已知函数，则说法下列正确的是（    ）

A．

B．函数在上的最大值为4

C．函数在上的最大值为4，则

D．若方程在上有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为

10．已知函数，则（    ）

A．f(x)是奇函数

B．f(x)图象关于（—1，—1）对称

C．f(x)在区间（—∞，+∞）上单调递增

D．当时，

三、填空题

11．已知函数，若，则实数的取值范围是___________.

12．已知函数，（是自然对数的底数），若函数有4个不同的零点，则实数的取值范围是__________.

13．已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围为___________.

14．设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，，若，则实数的取值范围是__________.

四、解答题

15．已知函数，讨论的单调性.

16．已知函数.

(1)若的图象在点处的切线斜率为，求的值；

(2)当时，判断在内有几个零点，并证明.

17．已知函数.

(1)当时，求函数在点处的切线方程；

(2)若函数在上为增函数，求实数a的取值范围.

18．已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是12．

(1)求的解析式；

(2)是否存在自然数m，使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m的值；若不存在，说明理由．

题组C  培优拔尖练

1．已知函数，．

(1)若曲线在点处的切线方程是，求的值；

(2)若的导函数恰有两个零点，求的取值范围．

2．设．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)当时，恒成立，求a的取值范围．

3．已知函数，且．

(1)若，且在R上单调递增，求的取值范围

(2)若图像上存在两条互相垂直的切线，求的最大值

4．已知函数

(1)判断函数的奇偶性；

(2)若实数满足，求的取值范围.