【同步讲义】（苏教版2019）高中数学选修第一册：第24讲 导数在研究函数的极值与最值中的应用 讲义

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第5章导数及其应用导数在研究函数的极值与最值中的应用课程标准重难点1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值，最大值，最小值。重点∶函数极值的概念.
难点∶函数的极值最值与函数的导数的关系.知识点01  函数极值的定义1.极小值点与极小值若函数y=f（x）在点x=a的函数值f（a）比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f ′（a）=0，而且在点x=a附近的左侧f′（x）<0，右侧f′（x）>0，就把点a 叫做函数y=f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y=f（x）的极小值.2. 极大值点与极大值若函数y=f（x）在点x=b的函数值f（b）比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f ′（b）=0，而且在点x=b附近的左侧f′（x）>0，右侧f′（x）<0，就把点b 叫做函数y=f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y=f（x）的极大值.  极小值点、极大值点统称为极值点；极小值和极大值统称为极值. 注意：导数为0的点不一定是极值。如f（x）=x³，f （0）=0，但x=0不是f（x）=x³的极值点．所以当f ′（x0）=0时，要判断x=x0是否为f（x）的极值点，还要看f′（x）在x0两侧的符号是否相反.【即学即练1】f′(x0)＝0是函数f(x)在x0处取得极值的(    )A．充分不必要条件      B．必要不充分条件      C．充要条件      D．既不充分也不必要条件【即学即练2】已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中正确的是(    )A．导数为零的点一定是极值点B．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值C．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值D．如果在点x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值知识点02  函数最值1.对于函数f（x），给定区间I，若对任意x∈I，存在xo∈I，使得f（x)≥f(xo)，则称f(xo）为函数f（x）在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在xo∈I，使得f(x）≤f（xo），则称f（xo）为函数f（x）在区间I上的最大值.2.一般地，如果在区间[a，b]上函数y=f(x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.3.函数f（x）在区间[a，b]上连续，在区间（a，b）内可导，求f(x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下∶（1）求函数y=f（x）在（a，b）内的极值；（2）将函数y=f(x）的各极值与端点处的函数值f（a），f(b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.注意：函数极值是一个局部概念，只是描述在某个点附近的函数值的特征，并不意味着在整个定义域内取得最值；函数的极值并不唯一.【即学即练3】求下列函数的最值．（1）f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5，x∈[－2，＋∞)；      （2）f(x)＝sin 2x－x，x∈.【即学即练4】已知函数f(x)＝＋ln x，求f(x)在上的最大值和最小值．◆考点01 求函数的极值【典例1】求函数f(x)＝x2e－x的极值．【典例2】（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（理））已知函数，则（    ）A． B．的定义域为C．有极大值 D．的值域为◆考点02 由函数图像分析函数极值 【典例3】已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)(    )A．在(－∞，0)上为减函数        B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数        D．在x＝2处取极大值【典例4】（2022·北京市十一学校高二期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）A． B．C．在区间内有3个极值点 D．的图象在点处的切线的斜率小于0◆考点03 利用函数极值求参数【典例5】已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.【典例6】（2022·广西贵港·高三阶段练习）若函数有两个极值点且这两个极值点互为倒数，则（    ）A． B． C． D．【典例7】已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是(    )A．(－1,2)       B．(－3,6)        C．(－∞，－3)∪(6，＋∞)        D．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 【典例8】设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围为(    )A．(－∞，－1)        B．(－1，＋∞)        C．        D．【典例9】（2022·湖北·高三阶段练习）若函数只有一个极值点，则的取值范围是___________.◆考点04 求含参函数的最值【典例10】已知a∈R，函数f(x)＝＋ln x－1.求f(x)在区间(0，e]上的最小值．【典例11】（2022·全国·高三专题练习）已知函数．(1)若函数f（x）在x=－1处取得极值，求实数a的值；(2)当时．求函数f（x）的最大值．◆考点05 函数最值与参数问题【典例12】已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax(a>)，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于(    )A.  B.  C.  D．1【典例13】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的最小值是4．则（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【典例14】 若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是(    )A．[－5,0)          B．(－5,0)        C．[－3,0)          D．(－3,0)【典例15】 （2022·辽宁丹东·一模）设，若函数的最小值为，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D． 题组A  基础过关练一、单选题1．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列关于函数的表述，不正确的是（    ）A．在上为减函数 B．在上为增函数C．在处取极小值 D．在处取极小值2．已知函数在处取得极大值，则（    ）.A．3 B． C．3或 D．13．已知在中，三个内角，，的对边分别为，，，若函数无极值点，则的最小值是（    ）A． B． C． D．4．已知函数的图象过点，且在内有且只有两个极值点，则（    ）A．1 B．5 C．9 D．135．若在区间内有定义，且x0∈，则“”是“x0是函数的极值点”的（　　）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分条件也非必要条件6．函数在上的最小值为（    ）A． B． C． D．7．已知，则的取值范围为（    ）A． B． C． D． 二、多选题8．如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（    ）A．在上是增函数B．当时，取得极小值C．在上是增函数，在上是减函数D．当时，取得极小值9．设函数，则下列结论错误的是（    ）A．函数在上单调递增B．函数在上单调递减C．若，则函数的图象在点处的切线方程为D．若，则函数的图象与直线只有一个公共点10．已知，若在区间上有且只有一个极值点，则的取值可以为（    ）A．1 B． C．e D．011．下列判断正确的有（    ）A．当时，方程存在唯一实数解B．当时， C．D．三、填空题12．已知在区间上．在下面所示的图象中，可能表示函数的图象的有___________ (填写所有可能的选项）．13．已知函数满足对任意的，恒成立，则实数的取值范围是______．14．若函数的极小值为5，那么的值为______.15．已知函数在处取得极值，则实数_____.四、解答题16．已知函数，（为常数，）.(1)当时，求函数的极值；(2)若函数在区间上是单调增函数，求实数的取值范围.17．已知a为实数，函数，若是函数的一个极值点．(1)求实数a的值；(2)求的单调区间．18．已知函数．(1)若直线与曲线相切，求实数的值；(2)若函数有两个极值点与，且，求的取值范围．19．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，求在上的最大值与最小值．题组B  能力提升练一、单选题1．当时，函数取得最大值0，则（    ）A． B． C．2 D．32．函数的图象大致为（    ）A． B．C． D． 3．若是函数的极值点．则的极小值为（    ）A．-3 B． C． D．04．设，若函数在区间有极值点，则取值范围为（    ）A． B． C． D．5．若函数有三个零点，则k的取值范围为（    ）A． B． C． D．6．已知函数,则在上的值域为（    ）A． B．C． D．7．已知两函数，，若当时，函数的图像总是在的图像上方，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．二、多选题8．已知，则下列说法中正确的有（    ）A．的零点个数为4 B．的极值点个数为3C．轴为曲线的切线 D．若则9．已知不等式恒成立，则（    ）A． B． C． D．10．设函数，已知在，有且仅有4个零点．则下列说法正确的是（    ）A．在（0，2π）必有有2个极大值点 B．在（0，2π）有且仅有2个极小值点C．在上单调递增 D．的取值范围是 11．己知在上有且只有三个零点，则下列选项正确的有（    ）A．在上存在使得B．的取值范围为C．在上单调递增D．在上有且只有一个极大值点三、填空题12．已知是函数的极小值点，则_____．13．若函数的极小值小于0，则实数a的取值范围为___________．14．已知函数，其中．若恒成立，则a的取值范围是_________．15．已知函数，若方程有四个不等的实数根，则实数的取值范围是___________.四、解答题16．已知函数（且）．(1)若，求在上的最小值；(2)若函数不存在零点，求实数a的取值范围．17．已知函数，其中a为常数．(1)当函数的图象在点处的切线的斜率为1时，求a的值；(2)在（1）的条件下，求函数在上的最小值.18．已知函数，．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的极小值．题组C  培优拔尖练1．已知函数，若满足，，，且对任意，，则（    ）A．0 B．6 C．-6 D．82．已知函数，，其中是自然对数的底数.(1)证明：与具有相同的单调性；(2)令，讨论的极值点个数.3．设向量，，，（）.(1)当时，求的极值；(2)当时，求函数零点的个数.