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【同步讲义】（苏教版2019）高中数学选修第一册：第25讲 导数构造法解决函数问题 讲义
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第25讲 导数构造法解决函数问题
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课程标准
重难点
1. 掌握导数的构造类型
1.关系为“加”“减”型的构造
知识精讲
知识点01 关系式为“加”型：
（1） 构造
（2） 构造
（3） 构造
（4）构造（注意对的符号进行讨论）
（5） 构造
【即学即练1】已知定义在R上的函数fx的导函数为f'x，若f'xx+2的解集是（ ）
A．0,e2 B．0,2 C．-∞,e2 D．-∞,2
【答案】A
【分析】设gx=fx-ex+2，求导可得gx在R上单调递减，再根据flnx>x+2转化为glnx>4，再结合gx的单调性求解即可.
【详解】设gx=fx-ex+2，则g'x=f'x-ex.因为f'x
因为f2=e2+2，所以g2=f2-e2+2=4，所以glnx>g2.
因为gx在R上单调递减，所以lnx<2，解得0
【即学即练2】（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）已知函数f(x)的定义域为R，f32=-12，若对于任意x∈R都有f'(x)+4x>0，则当α∈(0,2π)时，则关于α的不等式f(sinα)-cos2α<0的解集为（ ）
A．π6,56π B．0,π3∪23π,2π
C．π3,23π D．0,π6∪56π,2π
【答案】B
【分析】构造函数g(x)=f(x)+2x2-1，利用导数研究单调性解不等式．
【详解】由题意构造函数g(x)=f(x)+2x2-1，则g'(x)=f'(x)+4x>0，
∴函数g(x)在R上为增函数，f32=-12，∴g32=f32+2×322-1=-12+32-1=0，
又f(sinα)-cos2α<0，∴g(sinα)=f(sinα)+2sin2α-1=f(sinα)-cos2α<0=g32，
∴sinα<32，由α∈(0,2π)，∴α∈0,π3∪23π,2π
故选：B．
知识点02 关系式为“减”型
（6） 构造
（7） 构造
（8） 构造
（9）构造（注意对的符号进行讨论）
（10） 构造
【即学即练3】（2022·内蒙古·满洲里市第一中学高二期末（文））设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0，且f（3）＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是（ ）
A．(－3，0)∪(3，＋∞) B．(－3，0)∪(0，3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0，3)
【答案】D
【分析】构造函数hx=fxgx,根据题意分析hx=fxgx的单调性与奇偶性，进而得到fxgx<0的解集即可.
【详解】构造函数hx=fxgx,因为h-x=f-xg-x=-fxgx=-hx,故hx为奇函数.
又h'x=f'xgx-fxg'xg2x.故当x<0时,h'x>0,hx单调递增.
又h3=f3g3=0，所以hx在-∞,0上为增函数，且h-3=0，
当x∈-∞,-3时，hx<0，此时f(x)g(x)<0，
因为函数hx为奇函数，当x∈0,3时，hx<0，此时f(x)g(x)<0，
综上，不等式fxgx<0的解集是(－∞，－3)∪(0，3).
故选：D
【即学即练4】（2023·全国·高三专题练习）奇函数fx定义域为-π,0∪0,π，其导函数是f'x.当0
C．-π4,0∪0,π4 D．-π4,0∪π4,π
【答案】D
【分析】根据题意构造函数F(x)=f(x)sinx，进而根据导数研究函数单调性，利用单调性求解不等式即可.
【详解】解：令F(x)=f(x)sinx，因为当0
所以，当0
当-πf(π4)sinπ4，即-f(x)sin(-x)>f(π4)sinπ4，因为函数fx为奇函数，故f(-x)sin(-x)>f(π4)sinπ4，也即F(-x)>F(π4)
所以-x<π4，即x>-π4，所以，-π4
故选：D．
能力拓展
◆考点01 f'xgx+f(x)g'(x)型
【典例1】（·湖南·高考真题（理））设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0．且g(-3)=0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是（ ）
A．(-3,0)∪(3,+∞) B．(-3,0)∪(0,3)
C．(-∞,-3)∪(3,+∞) D．(-∞,-3)∪(0,3)
【答案】D
【分析】构造函数h(x)=f(x)g(x)，利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集．
【详解】令h(x)=f(x)g(x)，则h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x)，因此函数h(x)在R上是奇函数．
①∵当x<0时，h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0，∴h(x)在x<0时单调递增，故函数h(x)在R上单调递增．∵h(-3)=f(-3)g(-3)=0，∴h(x)=f(x)g(x)<0=h(-3)，∴x<-3．
②当x>0时，函数h(x)在R上是奇函数，可知：h(x)在(0,+∞)上单调递增，且h（3）=-h(-3)=0，
∴h(x)<0，的解集为(0,3)．
③当x=0时，h0=0，不符合要求∴不等式f(x)g(x)<0的解集是(-∞，-3)∪(0，3)．
故选：D
【典例2】设f(x)，g(x)是R上的可导函数，f'(x)，g'(x)分别是f(x)，g(x)的导函数，且满足f'xgx+fxg'x<0，
则当时，有（ ）
【答案】C
【解析】因为不等式左边的原函数为，因此需要构造新函数，，可知，则函数是单调递减函数，因此当，有即
◆考点02 xf'x+fx型
【典例3】（2022·福建·莆田一中高二期中）定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数记为f'(x)，若y=f(x)为奇函数且f(-1)=0，当x>0时，xf'(x)+f(x)<0，则不等式f(x)<0的解集是（ ）
A．(-∞,-1)∪(1,+∞) B．(-1,1) C．(-∞,-1)∪(0,1) D．(-1,0)∪(1,+∞)
【答案】D
【分析】设gx=xfx,x>0，根据题意求得函数gx在(-∞,0)为单调递增函数，然后分x=0，x>0和x<0三种情况进行求解即可
【详解】设gx=xfx,x>0，则g'x=fx+xf'x，
因为当x>0时，fx+xf'x<0成立，所以g'x<0，gx为递减函数，
又因为函数y=fx为奇函数，可得f-x=-fx，
则g-x=-xf-x=xfx=gx，所以函数gx为偶函数，
所以函数gx在(-∞,0)为单调递增函数，
因为f(-1)=0，所以f(1)=0，g(1)=0，g(-1)=0，
当x=0时，由y=f(x)为奇函数可得f(x)=0不满足题意；
当x>0时，由f(x)<0可得gx=xfx<0=g1，所以x>1；
当x<0时，由f(x)<0可得gx=xfx>0=g-1，所以x>-1，此时-1
故选：D
【典例4】（2022·内蒙古鄂尔多斯·高三期中（文））已知定义在-∞,0∪0,+∞上的奇函数y=fx的导函数为y=f'x，当x>0时，xf'x<-fx，且f2=3，则不等式2xf2x+1<6-f2x+1的解集为（ ）
A．-32,12 B．-∞,12
C．-∞,-32∪12,+∞ D．-32,-12∪-12,12
【答案】C
【分析】构造函数gx=xfx，其中x∈-∞,0∪0,+∞，分析函数gx的奇偶性及其在0,+∞上的单调性，将所求不等式变形为g2x+1
构造函数gx=xfx，其中x∈-∞,0∪0,+∞，
则g-x=-xf-x=xfx=gx，所以，函数gx为偶函数，
且当x>0时，g'x=xf'x+fx<0，所以，函数gx在0,+∞上单调递减，
因为g2=2f2=6，
由2xf2x+1<6-f2x+1可得2x+1f2x+1<6，即g2x+1<6，
所以，g2x+1<6=g2，故2x+1>2，
即2x+1<-2或2x+1>2，解得x<-32或x>12.
故选：C.
◆考点03 f'x+fx型
【典例5】（2022·江西·南昌二中高三阶段练习（理））已知定义在R上的偶函数fx满足fx+2-f2-x=0，f2022=1e，若fx1ex的解集为（ ）
A．-∞,0 B．-∞,1
C．1,+∞ D．3,+∞
【答案】B
【分析】由偶函数fx性质可按定义证得f'x为奇函数，再结合fx1ex等价为gx+1>g2，最后结合单调性求解即可.
【详解】∵fx是定义在R上的偶函数，∴fx=f-x，则f'x=-f'-x，即f'x是奇函数，
由f(x)
∵fx-2=f2-x，∴fx=f-x+4=f-x，即f(x)的周期为4，
则f(2)=f2022=1e，即e2f(2022)=e2f2=e=g2；
不等式f(x+1)>1ex可化简为ex+1f(x+1)>e，即gx+1>g2，
所以x+1<2，解得x<1.
故选：B
【典例6】（2022·江西·南城县第二中学高二阶段练习（理））已知f'(x)是函数f(x)的导函数，且对任意的实数x都有f'(x)=1ex-f(x)（e是自然对数的底数），f(0)=0，若不等式fx-k≥0的解集中恰有三个整数，则实数k的取值范围是（ ）
A．3e3，2e2 B．3e3，2e2 C．4e4，3e3 D．4e4，3e3
【答案】D
【分析】由题意可得exfx'=1⇒exfx=x+c ，由f(0)=0，得到fx=xex，然后作出函数图象，将不等式fx-k>0的解集中恰有三个整数，转化为不等式fx>k，利用数形结合法求解.
【详解】因为f'x=1ex-f(x)，所以fx+f'xex=1, 即exfx'=1 ，
设gx=exfx=x+c，令x=0，可得c=0，所以exfx=x,fx=xex ，则f'x=1-xex ，
令f'x>0 可得fx 在-∞,1 上递增，令f'x<0 可得fx 在1,+∞ 上递减，
所以fx在x=1 处取得极大值f1=1e ，作函数fx=xex的图象如图所示：
又因为f0=0,f2=2e2,f3=3e3，f(4)=4e4
而不等式fx-k>0的解集中恰有三个整数，等价于不等式fx>k的解集中恰有三个整数，
由图象知：当4e4≤k<3e3时，不等式不等式fx>k的解集中恰有三个整数1,2,3，
所以实数k的取值范围是4e4,3e3，
故选：D.
◆考点04 xf'x+nfx型
【典例7】（2022·湖南·长沙市同升湖高级中学有限公司高三阶段练习）已知定义在0,+∞上的函数fx满足2xfx+x2f'x<0，f2=34，则关于x的不等式fx>3x2的解集为（ ）
A．0,4 B．2,+∞ C．4,+∞ D．0,2
【答案】D
【分析】构造函数hx=x2fx，得到函数hx的单调性，根据单调性解不等式即可.
【详解】令hx=x2fx，则h'x=2xfx+x2f'x<0，所以hx在0,+∞单调递减，
不等式fx>3x2可以转化为x2fx>4×34=22f2，即hx>h2，所以0
【典例8】（2023·全国·高三专题练习）f(x)是定义在区间(0,+∞)上的可导函数，其导函数为f'(x)，且满足xf'(x)+2f(x)>0，则不等式(x+2022)f(x+2022)3<3f(3)x+2022的解集为（ ）
A．{x|x>-2019} B．{x|x<-2019}
C．{x|-2022
【分析】构造g(x)=x2f(x)，利用导数证明函数g(x)=x2f(x)在(0,+∞)上单调递增，最后根据单调性解不等式即可.
【详解】构造g(x)=x2f(x)，则g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]，
因为定义域为(0,+∞)，且xf'(x)+2f(x)>0，所以g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]>0所以函数g(x)=x2f(x)在(0,+∞)上单调递增，
不等式(x+2022)f(x+2022)3<3f(3)x+2022可化为：(x+2022)2f(x+2022)<32f(3)，
即g(x+2022)
◆考点05 f'x+λf(x)型
【典例9】（2022·重庆巴蜀中学高三开学考试）已知奇函数fx的定义域为R，当x>0讨，2fx+f'x>0，且f2=0，则不等式fx>0的解集为___________.
【答案】-2,0∪(2,+∞)
【分析】构造函数g(x)=e2xf(x),利用导函数判断出当x>0时, g(x)单调递增，得到当x>2时gx>0，从而fx>0；当00的解集.
【详解】构造函数g(x)=e2xf(x)，则当x>0时，g'(x)=e2x2f(x)+f'(x)>0，所以当x>0时g(x)单调递增.
因为f(2)=0，所以g2=e4f2=0，所以当x>2时gx>0，从而fx>0.
当0
故答案为: -2,0∪(2,+∞).
◆考点06 f'xgx-f(x)g'(x)型
【典例10】（2022·内蒙古·满洲里市第一中学高二期末（文））设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0，且f（3）＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是（ ）
A．(－3，0)∪(3，＋∞) B．(－3，0)∪(0，3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0，3)
【答案】D
【分析】构造函数hx=fxgx,根据题意分析hx=fxgx的单调性与奇偶性，进而得到fxgx<0的解集即可.
【详解】构造函数hx=fxgx,因为h-x=f-xg-x=-fxgx=-hx,故hx为奇函数.
又h'x=f'xgx-fxg'xg2x.故当x<0时,h'x>0,hx单调递增.
又h3=f3g3=0，所以hx在-∞,0上为增函数，且h-3=0，
当x∈-∞,-3时，hx<0，此时f(x)g(x)<0，
因为函数hx为奇函数，当x∈0,3时，hx<0，此时f(x)g(x)<0，
综上，不等式fxgx<0的解集是(－∞，－3)∪(0，3).
故选：D
【典例11】（2023·全国·高三专题练习）奇函数fx定义域为-π,0∪0,π，其导函数是f'x.当0
C．-π4,0∪0,π4 D．-π4,0∪π4,π
【答案】D
【分析】根据题意构造函数F(x)=f(x)sinx，进而根据导数研究函数单调性，利用单调性求解不等式即可.
【详解】解：令F(x)=f(x)sinx，因为当0
所以，当0
当-πf(π4)sinπ4，即-f(x)sin(-x)>f(π4)sinπ4，因为函数fx为奇函数，故f(-x)sin(-x)>f(π4)sinπ4，也即F(-x)>F(π4)
所以-x<π4，即x>-π4，所以，-π4
故选：D．
◆考点07 xf'x-fx型
【典例12】（2022·全国·高三专题练习）已知函数fx是定义在-∞，0∪0，+∞的奇函数，当x∈0，+∞时，xf'x
C．-3，0∪0，7 D．-∞，-3∪2，7
【答案】D
【分析】令gx=fxx，由题意可得gx=fxx为定义域上的偶函数，且在-∞，0上单调递增，在0，+∞上单调递减；分2-x>0与2-x<0两类讨论，将不等式5f2-x+x-2f5<0等价转化为g2-xg-5，分别解之即可．
【详解】令gx=fxx，∵当x∈0，+∞时，xf'x
∴g-x=f-x-x=-fx-x=fxx=gx，即gx为偶函数，∴gx在-∞，0上单调递增；
又由不等式5f2-x+x-2f5<0得5f2-x<2-xf5，
当2-x>0，即x<2时，不等式可化为f2-x2-x
当2-x<0，即x>2时，不等式可化为f2-x2-x>f55，即g2-x>g5=g-5，
由gx在-∞，0上单调递增得2-x>-5，解得x<7，故2
故选：D．
【典例13】（2022·全国·高二专题练习）设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0，当x>0时，有xf'(x)-f(x)x2<0恒成立，则不等式x2f(x)≤0的解集为 __．
【答案】-2,0∪[2,+∞)．
【分析】由xf'(x)-f(x)x2＜0，构造函数h(x)=f(x)x，分析奇偶性，单调性，不等式x2f(x)≤0等价于x3h(x)≤0，即可得出答案.
【详解】由xf'(x)-f(x)x2<0，构造函数h(x)=f(x)x，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以h(x)为偶函数，
又当x>0时，h(x)为减函数，且h(2)=f(2)2=0，因为h(x)>0，解得-2
即x3≤0h(x)≥0或x3≥0h(x)≤0，解得-2≤x≤0或2≤x，故答案为：-2,0∪[2,+∞)．
◆考点08 f'x-f(x)型
【典例14】（2022·四川·高三阶段练习（文））已知定义在R上的函数fx的导函数为f'x，对任意的x满足f'x-fx=ex．若fx的最小值为-e，则不等式fx>0的解集是（ ）
A．1e,+∞ B．2,+∞ C．e,+∞ D．e2,+∞
【答案】B
【分析】构造函数gx=fxex，利用导数可得出g'x=1，可得出fx=x+cex，其中c为常数，利用导数求出函数fx的最小值，可得出c的值，然后再解不等式fx>0即可.
【详解】构造函数gx=fxex，该函数的定义域为R，则g'x=f'x-fxex=1，
所以，gx=fxex=x+c，可得fx=x+cex，其中c为常数，
则f'x=x+c+1ex，当x<-c-1，f'x<0，函数fx单调递减，
当x>-c-1时，f'x>0，函数fx单调递增，
所以，fxmin=f-c-1=-e-c-1=-e，解得c=-2，
故fx=x-2ex，由fx>0可得x>2，
所以，不等式fx>0的解集是2,+∞.
故选：B.
【典例15】（2022·黑龙江·虎林市高级中学高三开学考试）定义域为R的可导函数的导函数y=fx为f'x，满足fx>f'x，且f0=1，则不等式fx
【答案】D
【分析】根据条件构造函数Fx=fxex，求函数的导数可得函数的单调性，再根据fxex<1⇔Fx
所以F'x<0，即函数Fx在定义域上单调递减，因为f(0)=1，
所以不等式fx0，
故不等式的解集为0,+∞.故选：D．
◆考点09 f'x-λf(x)型
【典例16】（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）设f'x是函数fx的导函数，且f'x>3fxx∈R，f13=e（e为自然对数的底数），则不等式flnx
【答案】C
【分析】构造函数gx=fxe3x，由已知可得函数gx在R上为增函数，不等式flnx
所以g'x=f'x-3fxe3x>0，所以函数gx在R上为增函数，
不等式flnx0，又glnx=flnxe3lnx=flnxx3，g13=f13e=1，
所以不等式flnx
【典例17】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在(-3,3)上的函数f(x)满足f(x)+e4xf(-x)=0,f(1)=e2,f'(x)为f(x)的导函数，当x∈[0,3)时，f'(x)>2f(x)，则不等式e2xf(2-x)
【答案】B
【分析】构造函数gx=fxe2x，由条件判断其奇偶性，单调性，利用单调性解不等式即可.
【详解】令gx=fxe2x，所以fx=e2xgx，因为fx+e4xf-x=0，所以e2x⋅gx+e4x⋅e-2xg-x=0，化简得gx+g-x=0，所以gx是-3,3上的奇函数；
g'x=f'xe2x-2e2xfxe4x=f'x-2fxe2x，因为当0≤x<3时，f'x>2fx，
所以当x∈0,3时，g'x>0，从而gx在0,3上单调递增，又gx是-3,3上的奇函数，所以gx在-3,3上单调递增；考虑到g1=f1e2=e2e2=1，由e2xf2-x
分层提分
题组 能力提升练
一、单选题
1.已知定义在0,+∞上的函数fx的导函数为f'x，若f'x<2，且f4=5，则不等式f2x>2x+1-3的解集是（ ）
A．0,2 B．0,4 C．-∞,2 D．-∞,4
【答案】C
【分析】根据所求不等式f2x>2x+1-3的形式，构造函数gx=fx-2x+3，利用题目中的条件判断出gx在0,+∞上单调递减，进而将所求转化为g2x>g4，再利用单调性求出解集．
【详解】设gx=fx-2x+3，则g'x=f'x-2．
因为f'x<2，所以f'x-2<0，即g'x<0，所以gx在0,+∞上单调递减．
不等式f2x>2x+1-3等价于不等式f2x-2×2x+3>0，即g2x>0．
因为f4=5，所以g4=f4-2×4+3=0，所以g2x>g4．
因为gx在0,+∞上单调递减，所以2x<4，解得x<2．
故选：C．
2．已知函数的定义域为，为的导函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题得，设，所以函数在上单调递增，
因为，所以当时，；当时，．
当时，，，所以．
当时，，，所以．
当时，，所以．
综上所述，故答案为C．
3．已知定义在R上的偶函数fx满足f(x-12)+f(-x-1)=0，e4f(2022)=1，若f(x)>f'(-x)，则关于x的不等式f(x+2)>1ex的解集为（ ）
A．（4，+∞） B．（-∞，4） C．（-∞，3） D．（3，+∞）
【答案】A
【分析】根据定义在R上的偶函数fx满足f(x-12)+f(-x-1)=0可得fx的周期，构造函数gx=exfx，再将f(x+2)>1ex转化为关于gx的不等式，根据f(x)>f'(-x)得到gx的单调性再求解即可
【详解】因为定义在R上的偶函数fx满足fx-12+f-x-1=0，故fx-12+fx+1=0，故fx+32-12+fx+32+1=0，即fx+1+fx+52=0，所以fx-12=fx+52，即fx的周期为3.又e4f2022=1，故e6f3×672+6=e2，即e6f6=e2.因为fx>f'-x=-f'x，即fx+f'x>0，故构造函数gx=exfx，则g'x=exfx+f'x>0，且g6=e6f6=e2.综上有gx=exfx在R上单调递增，且g6=e2.又f(x+2)>1ex即gx+2ex+2>1ex，gx+2>e2=g6，所以x+2>6，解得x>4
故选：A
4．已知函数是偶函数，且当时满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】是偶函数，则的对称轴为，构造函数，则关于对称，
当时，由，得，
则在上单调递增，在上也单调递增，
故，∴．本题选择A选项．
5．已知f'x是函数fx的导函数，且对于任意实数x都有f'x=ex2x-1+fx，f0=-1，则不等式fx>5ex的解集为（ ）
A．-∞,-2∪3,+∞ B．-∞,-3∪2,+∞ C．-2,3 D．-3,2
【答案】A
【分析】根据要求解的不等式可变形为f(x)ex>5，构造函数g(x)=f(x)ex，并结合已知f'x=ex2x-1+fx可得g(x)=x2-x+c，从而得f(x)=ex(x2-x+c)，利用f0=-1求得参数c的值，由此可将不等式f(x)>5ex 化为x2-x-1>5，即可求得答案.
【详解】令g(x)=f(x)ex ①,则 g'(x)=f'(x)-f(x)ex ，∵f'x=ex2x-1+fx，
∴ f'(x)-f(x)ex=2x-1，即g'x=2x-1 ，∴g(x)=x2-x+c（c为常数）②，
由①②知，f(x)ex=x2-x+c ，∴f(x)=ex(x2-x+c) ，又f0=-1，
∴e0⋅c=-1 ，即c=-1 ，∴f(x)ex=x2-x-1 ，不等式f(x)>5ex 即f(x)ex=x2-x-1>5，
∴x<-2 或x>3，即不等式f(x)>5ex的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞)，故选：A.
【点睛】关键点点睛：解决此类根据导函数的表达式求解不等式解集的问题时，一般方法是要构造函数，利用导数判断函数性质进行求解，关键点就是要根据求解的不等式进行合理变形，并结合已知的导函数表达式进行构造恰当的新函数.
6．已知定义在R上的函数fx，其导函数为f'x，当x>0时，xf'x-fxx2>0，若a=f22,b=fππ,c=f55，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．c
【分析】根据题意当x>0时，xf'x-fxx2>0，结合导数的运算法则可构造函数g(x)=f(x)x，由此判断其单调性，利用函数的单调性，即可判断a,b,c的大小.
【详解】设g(x)=f(x)x ，则g'(x)=xf'x-fxx2，由题意知当x>0时，xf'x-fxx2>0，即g'(x)>0，
故g(x)=f(x)x在x>0时单调递增，故g(2)
二、多选题
7．已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，若f'(x)-f(x)=x-sinxex,f(0)=1，则下列结论正确的是（ ）
A．f(1)>e
B．f'π2
D．f(x)在区间0,π2上单调递增
【答案】ACD
【分析】设F(x)=f(x)ex，求导得到函数单调区间，得到F(0)0得到B正确；设h(x)=f'(x)-f(x)=x-sinxex，计算函数的单调区间，得到hπ2>12e2得到C正确；f(x)=ex⋅F(x)，求导确定函数在0,π2上f'(x)>0得到答案.
【详解】设F(x)=f(x)ex，则F'(x)=f'xex-fxexe2x=x-sinxe2x，
设gx=x-sinx，g'x=1-cosx≥0恒成立，故函数单调递增，g0=0，
当x<0时，x0时，x>sinx，
故当x<0时，F'(x)<0，当x>0时，F'(x)>0，
函数F(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
故F(0)e，选项A正确；
f'π2-fπ2=π2-sinπ2eπ2>0，故f'π2>fπ2，选项B错误；
设h(x)=f'(x)-f(x)=x-sinxex，则h'(x)=x-sinxex'=1-cosx-x+sinxex，
设r(x)=1-cosx-x+sinx，
则当x≥π时，r(x)=(1-x)+(sinx-cosx)<(1-π)+2<0；
当x≤0时，sinx≥x，且1-cosx≥0，故r(x)≥0；
当0
又r(0)=0,r(π)=2-π<0，∃x0∈π2,π，使得rx0=0，
即当x∈0,x0时，r(x)>0，当x∈x0,π时，r(x)<0；
综上：
当x∈-∞,x0时，r(x)≥0，即h'(x)≥0，h(x)单调递增；
当x∈x0,+∞时，r(x)<0，即h'(x)<0，h(x)单调递减，
h(0)=0，当x<0时，h(x)0时，x>sinx，h(x)>0，
且当x趋于正无穷时，h(x)趋于0，又x0∈π2,π,hπ2=π2-1e42>32-1e2=12e2，
方程h(x)=12e2有两个解，即方程f'(x)=f(x)+12e2有两个解，选项C正确；
由F(x)=f(x)ex可得f(x)=ex⋅F(x)，f'(x)=exF(x)+F'(x)，
令u(x)=F(x)+F'(x)，则u'(x)=F'(x)+F'(x)'=x-sinxe2x+x-sinxe2x'
=x-sinxe2x+1-cosx-2(x-sinx)e2x=r(x)e2x，
由以上分析可知，当x∈0,π2时，r(x)>0，即u'(x)>0，u(x)单调递增，
u(x)>u(0)=F(0)+F'(0)=1，f'(x)>0，故f(x)在区间0,π2上单调递增，选项D正确．
故选：ACD
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数的单调性，函数的零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，构造新函数确定新函数的单调性是解题的关键.
8．已知定义在R上的函数fx的导数为f'x，对任意的x满足f'x-fx=ex，则（ ）
A．ef1
【分析】构造函数Fx=fxex，结合导数，利用已知条件求得Fx的单调性，从而确定正确答案.
【详解】构造函数Fx=fxex，F'x=f'x-fxex=1>0，
所以Fx在R上递增，
所以F-1ef-1,ef0>e2f-1，D选项错误.
由F0
三、填空题
9．已知定义在R上的偶函数y=f(x)的导函数为y=f'x，当x>0时，xf'x+fx<0，且f(2)=-3，则不等式f(2x-1)<62x-1的解集为__________.
【答案】-∞,-12∪12，+∞
【分析】gx=xfx，进而结合题意得gx=xfx在R为单调递减函数，且g-2=6，再分x<12和x>12两种情况讨论求解即可.
【详解】解：令gx=xfx，则g'x=xf'x+fx，因为当x>0时，xf'x+fx<0，即g'x<0所以当x>0时，gx=xfx单调递减，因为y=f(x)是定义在R上的偶函数，即f-x=fx，所以，g-x=-xf-x=-xfx=-gx，即gx为奇函数，
所以，函数gx=xfx在R为单调递减函数，因为f(2)=-3
所以f(-2)=-3，g-2=-2f(2)=6，
所以，当x<12时，f(2x-1)<62x-1⇔2x-1f2x-1>6，即g2x-1>g-2，
所以x<122x-1<-2，解得x<-12，
当x>12时，f(2x-1)<62x-1⇔2x-1f2x-1<6，即g2x-1
综上，不等式f(2x-1)<62x-1的解集为-∞,-12∪12，+∞
故答案为：-∞,-12∪12，+∞
10．已知f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，当x>0时，f(x)+xf'(x)>0且f(2)=12，则不等式f(x)>1x的解集是______．
【答案】(-2,0)∪(2,+∞)
【分析】根据已知条件构造函数g(x)=xf(x)并得出函数g(x)为偶函数，利用导数与单调性的关系得出函数g(x)的单调性进而可以即可求解.
【详解】设g(x)=xf(x)，则g'(x)=f(x)+xf'(x)因为f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，
所以g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x)，所以g(x)是(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，
当x>0时，g'(x)=f(x)+xf'(x)>0，所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以g(x)在(-∞,0)上单调递减．因为f(2)=12，所以g(2)=2f(2)=2×12=1，
所以g(-2)=g(2)=1．对于不等式f(x)>1x，
当x>0时，xf(x)>1，即g(x)>g(2)，解得x>2；
当x<0时，xf(x)<1，即g(x)
故答案为：(-2,0)∪(2,+∞)
【点睛】解决此题的关键是构造函数，进而讨论新函数的单调性与奇偶性，根据函数的性质即可求解不等式的解集.
11.已知f'x为定义域R上函数fx的导函数，满足f'(x)+f'(2-x)=0，当x≥1，x-1f'x+2fx>0且f(2)=1，则不等式f(x)>1(x-1)2的解集为___________.
【答案】-∞,0∪2,+∞
【分析】令g(x)=(x-1)2f(x)，再根据题意可得gx的在区间(1,+∞)上的单调性，结合f'(x)+f'(2-x)=0可得f(x)关于x=1对称，进而可得gx的对称性，再根据gx的对称性与单调性求解即可.
【详解】令g(x)=(x-1)2f(x)，即求g(x)>1的解集，因为g'(x)=2(x-1)f(x)+(x-1)2f(x)= (x-1)(x-1)f'(x)+2f(x)>0，所以g(x)在(1,+∞)上单增，因为g(2)=f(2)=1，所以当x>2时，g(x)>1.
又因为f'(x)+f'(2-x)=0，所以f'x关于(1,0)对称，所以f(x)关于x=1对称，所以g(x)=(x-1)2f(x)关x=1对称，所以g(x)>1的解集为{x∣x>2或x<0}
故答案为：-∞,0∪2,+∞
第25讲 导数构造法解决函数问题
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课程标准
重难点
1. 掌握导数的构造类型
1.关系为“加”“减”型的构造
知识精讲
知识点01 关系式为“加”型：
（1） 构造
（2） 构造
（3） 构造
（4）构造（注意对的符号进行讨论）
（5） 构造
【即学即练1】已知定义在R上的函数fx的导函数为f'x，若f'x
A．0,e2 B．0,2 C．-∞,e2 D．-∞,2
【答案】A
【分析】设gx=fx-ex+2，求导可得gx在R上单调递减，再根据flnx>x+2转化为glnx>4，再结合gx的单调性求解即可.
【详解】设gx=fx-ex+2，则g'x=f'x-ex.因为f'x
因为f2=e2+2，所以g2=f2-e2+2=4，所以glnx>g2.
因为gx在R上单调递减，所以lnx<2，解得0
【即学即练2】（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）已知函数f(x)的定义域为R，f32=-12，若对于任意x∈R都有f'(x)+4x>0，则当α∈(0,2π)时，则关于α的不等式f(sinα)-cos2α<0的解集为（ ）
A．π6,56π B．0,π3∪23π,2π
C．π3,23π D．0,π6∪56π,2π
【答案】B
【分析】构造函数g(x)=f(x)+2x2-1，利用导数研究单调性解不等式．
【详解】由题意构造函数g(x)=f(x)+2x2-1，则g'(x)=f'(x)+4x>0，
∴函数g(x)在R上为增函数，f32=-12，∴g32=f32+2×322-1=-12+32-1=0，
又f(sinα)-cos2α<0，∴g(sinα)=f(sinα)+2sin2α-1=f(sinα)-cos2α<0=g32，
∴sinα<32，由α∈(0,2π)，∴α∈0,π3∪23π,2π
故选：B．
知识点02 关系式为“减”型
（6） 构造
（7） 构造
（8） 构造
（9）构造（注意对的符号进行讨论）
（10） 构造
【即学即练3】（2022·内蒙古·满洲里市第一中学高二期末（文））设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0，且f（3）＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是（ ）
A．(－3，0)∪(3，＋∞) B．(－3，0)∪(0，3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0，3)
【答案】D
【分析】构造函数hx=fxgx,根据题意分析hx=fxgx的单调性与奇偶性，进而得到fxgx<0的解集即可.
【详解】构造函数hx=fxgx,因为h-x=f-xg-x=-fxgx=-hx,故hx为奇函数.
又h'x=f'xgx-fxg'xg2x.故当x<0时,h'x>0,hx单调递增.
又h3=f3g3=0，所以hx在-∞,0上为增函数，且h-3=0，
当x∈-∞,-3时，hx<0，此时f(x)g(x)<0，
因为函数hx为奇函数，当x∈0,3时，hx<0，此时f(x)g(x)<0，
综上，不等式fxgx<0的解集是(－∞，－3)∪(0，3).
故选：D
【即学即练4】（2023·全国·高三专题练习）奇函数fx定义域为-π,0∪0,π，其导函数是f'x.当0
C．-π4,0∪0,π4 D．-π4,0∪π4,π
【答案】D
【分析】根据题意构造函数F(x)=f(x)sinx，进而根据导数研究函数单调性，利用单调性求解不等式即可.
【详解】解：令F(x)=f(x)sinx，因为当0
所以，当0
当-π
所以-x<π4，即x>-π4，所以，-π4
故选：D．
能力拓展
◆考点01 f'xgx+f(x)g'(x)型
【典例1】（·湖南·高考真题（理））设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0．且g(-3)=0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是（ ）
A．(-3,0)∪(3,+∞) B．(-3,0)∪(0,3)
C．(-∞,-3)∪(3,+∞) D．(-∞,-3)∪(0,3)
【答案】D
【分析】构造函数h(x)=f(x)g(x)，利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集．
【详解】令h(x)=f(x)g(x)，则h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x)，因此函数h(x)在R上是奇函数．
①∵当x<0时，h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0，∴h(x)在x<0时单调递增，故函数h(x)在R上单调递增．∵h(-3)=f(-3)g(-3)=0，∴h(x)=f(x)g(x)<0=h(-3)，∴x<-3．
②当x>0时，函数h(x)在R上是奇函数，可知：h(x)在(0,+∞)上单调递增，且h（3）=-h(-3)=0，
∴h(x)<0，的解集为(0,3)．
③当x=0时，h0=0，不符合要求∴不等式f(x)g(x)<0的解集是(-∞，-3)∪(0，3)．
故选：D
【典例2】设f(x)，g(x)是R上的可导函数，f'(x)，g'(x)分别是f(x)，g(x)的导函数，且满足f'xgx+fxg'x<0，
则当时，有（ ）
【答案】C
【解析】因为不等式左边的原函数为，因此需要构造新函数，，可知，则函数是单调递减函数，因此当，有即
◆考点02 xf'x+fx型
【典例3】（2022·福建·莆田一中高二期中）定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数记为f'(x)，若y=f(x)为奇函数且f(-1)=0，当x>0时，xf'(x)+f(x)<0，则不等式f(x)<0的解集是（ ）
A．(-∞,-1)∪(1,+∞) B．(-1,1) C．(-∞,-1)∪(0,1) D．(-1,0)∪(1,+∞)
【答案】D
【分析】设gx=xfx,x>0，根据题意求得函数gx在(-∞,0)为单调递增函数，然后分x=0，x>0和x<0三种情况进行求解即可
【详解】设gx=xfx,x>0，则g'x=fx+xf'x，
因为当x>0时，fx+xf'x<0成立，所以g'x<0，gx为递减函数，
又因为函数y=fx为奇函数，可得f-x=-fx，
则g-x=-xf-x=xfx=gx，所以函数gx为偶函数，
所以函数gx在(-∞,0)为单调递增函数，
因为f(-1)=0，所以f(1)=0，g(1)=0，g(-1)=0，
当x=0时，由y=f(x)为奇函数可得f(x)=0不满足题意；
当x>0时，由f(x)<0可得gx=xfx<0=g1，所以x>1；
当x<0时，由f(x)<0可得gx=xfx>0=g-1，所以x>-1，此时-1
故选：D
【典例4】（2022·内蒙古鄂尔多斯·高三期中（文））已知定义在-∞,0∪0,+∞上的奇函数y=fx的导函数为y=f'x，当x>0时，xf'x<-fx，且f2=3，则不等式2xf2x+1<6-f2x+1的解集为（ ）
A．-32,12 B．-∞,12
C．-∞,-32∪12,+∞ D．-32,-12∪-12,12
【答案】C
【分析】构造函数gx=xfx，其中x∈-∞,0∪0,+∞，分析函数gx的奇偶性及其在0,+∞上的单调性，将所求不等式变形为g2x+1
构造函数gx=xfx，其中x∈-∞,0∪0,+∞，
则g-x=-xf-x=xfx=gx，所以，函数gx为偶函数，
且当x>0时，g'x=xf'x+fx<0，所以，函数gx在0,+∞上单调递减，
因为g2=2f2=6，
由2xf2x+1<6-f2x+1可得2x+1f2x+1<6，即g2x+1<6，
所以，g2x+1<6=g2，故2x+1>2，
即2x+1<-2或2x+1>2，解得x<-32或x>12.
故选：C.
◆考点03 f'x+fx型
【典例5】（2022·江西·南昌二中高三阶段练习（理））已知定义在R上的偶函数fx满足fx+2-f2-x=0，f2022=1e，若fx
A．-∞,0 B．-∞,1
C．1,+∞ D．3,+∞
【答案】B
【分析】由偶函数fx性质可按定义证得f'x为奇函数，再结合fx
【详解】∵fx是定义在R上的偶函数，∴fx=f-x，则f'x=-f'-x，即f'x是奇函数，
由f(x)
∵fx-2=f2-x，∴fx=f-x+4=f-x，即f(x)的周期为4，
则f(2)=f2022=1e，即e2f(2022)=e2f2=e=g2；
不等式f(x+1)>1ex可化简为ex+1f(x+1)>e，即gx+1>g2，
所以x+1<2，解得x<1.
故选：B
【典例6】（2022·江西·南城县第二中学高二阶段练习（理））已知f'(x)是函数f(x)的导函数，且对任意的实数x都有f'(x)=1ex-f(x)（e是自然对数的底数），f(0)=0，若不等式fx-k≥0的解集中恰有三个整数，则实数k的取值范围是（ ）
A．3e3，2e2 B．3e3，2e2 C．4e4，3e3 D．4e4，3e3
【答案】D
【分析】由题意可得exfx'=1⇒exfx=x+c ，由f(0)=0，得到fx=xex，然后作出函数图象，将不等式fx-k>0的解集中恰有三个整数，转化为不等式fx>k，利用数形结合法求解.
【详解】因为f'x=1ex-f(x)，所以fx+f'xex=1, 即exfx'=1 ，
设gx=exfx=x+c，令x=0，可得c=0，所以exfx=x,fx=xex ，则f'x=1-xex ，
令f'x>0 可得fx 在-∞,1 上递增，令f'x<0 可得fx 在1,+∞ 上递减，
所以fx在x=1 处取得极大值f1=1e ，作函数fx=xex的图象如图所示：
又因为f0=0,f2=2e2,f3=3e3，f(4)=4e4
而不等式fx-k>0的解集中恰有三个整数，等价于不等式fx>k的解集中恰有三个整数，
由图象知：当4e4≤k<3e3时，不等式不等式fx>k的解集中恰有三个整数1,2,3，
所以实数k的取值范围是4e4,3e3，
故选：D.
◆考点04 xf'x+nfx型
【典例7】（2022·湖南·长沙市同升湖高级中学有限公司高三阶段练习）已知定义在0,+∞上的函数fx满足2xfx+x2f'x<0，f2=34，则关于x的不等式fx>3x2的解集为（ ）
A．0,4 B．2,+∞ C．4,+∞ D．0,2
【答案】D
【分析】构造函数hx=x2fx，得到函数hx的单调性，根据单调性解不等式即可.
【详解】令hx=x2fx，则h'x=2xfx+x2f'x<0，所以hx在0,+∞单调递减，
不等式fx>3x2可以转化为x2fx>4×34=22f2，即hx>h2，所以0
【典例8】（2023·全国·高三专题练习）f(x)是定义在区间(0,+∞)上的可导函数，其导函数为f'(x)，且满足xf'(x)+2f(x)>0，则不等式(x+2022)f(x+2022)3<3f(3)x+2022的解集为（ ）
A．{x|x>-2019} B．{x|x<-2019}
C．{x|-2022
【分析】构造g(x)=x2f(x)，利用导数证明函数g(x)=x2f(x)在(0,+∞)上单调递增，最后根据单调性解不等式即可.
【详解】构造g(x)=x2f(x)，则g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]，
因为定义域为(0,+∞)，且xf'(x)+2f(x)>0，所以g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]>0所以函数g(x)=x2f(x)在(0,+∞)上单调递增，
不等式(x+2022)f(x+2022)3<3f(3)x+2022可化为：(x+2022)2f(x+2022)<32f(3)，
即g(x+2022)
◆考点05 f'x+λf(x)型
【典例9】（2022·重庆巴蜀中学高三开学考试）已知奇函数fx的定义域为R，当x>0讨，2fx+f'x>0，且f2=0，则不等式fx>0的解集为___________.
【答案】-2,0∪(2,+∞)
【分析】构造函数g(x)=e2xf(x),利用导函数判断出当x>0时, g(x)单调递增，得到当x>2时gx>0，从而fx>0；当0
【详解】构造函数g(x)=e2xf(x)，则当x>0时，g'(x)=e2x2f(x)+f'(x)>0，所以当x>0时g(x)单调递增.
因为f(2)=0，所以g2=e4f2=0，所以当x>2时gx>0，从而fx>0.
当0
故答案为: -2,0∪(2,+∞).
◆考点06 f'xgx-f(x)g'(x)型
【典例10】（2022·内蒙古·满洲里市第一中学高二期末（文））设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0，且f（3）＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是（ ）
A．(－3，0)∪(3，＋∞) B．(－3，0)∪(0，3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0，3)
【答案】D
【分析】构造函数hx=fxgx,根据题意分析hx=fxgx的单调性与奇偶性，进而得到fxgx<0的解集即可.
【详解】构造函数hx=fxgx,因为h-x=f-xg-x=-fxgx=-hx,故hx为奇函数.
又h'x=f'xgx-fxg'xg2x.故当x<0时,h'x>0,hx单调递增.
又h3=f3g3=0，所以hx在-∞,0上为增函数，且h-3=0，
当x∈-∞,-3时，hx<0，此时f(x)g(x)<0，
因为函数hx为奇函数，当x∈0,3时，hx<0，此时f(x)g(x)<0，
综上，不等式fxgx<0的解集是(－∞，－3)∪(0，3).
故选：D
【典例11】（2023·全国·高三专题练习）奇函数fx定义域为-π,0∪0,π，其导函数是f'x.当0
C．-π4,0∪0,π4 D．-π4,0∪π4,π
【答案】D
【分析】根据题意构造函数F(x)=f(x)sinx，进而根据导数研究函数单调性，利用单调性求解不等式即可.
【详解】解：令F(x)=f(x)sinx，因为当0
所以，当0
当-π
所以-x<π4，即x>-π4，所以，-π4
故选：D．
◆考点07 xf'x-fx型
【典例12】（2022·全国·高三专题练习）已知函数fx是定义在-∞，0∪0，+∞的奇函数，当x∈0，+∞时，xf'x
C．-3，0∪0，7 D．-∞，-3∪2，7
【答案】D
【分析】令gx=fxx，由题意可得gx=fxx为定义域上的偶函数，且在-∞，0上单调递增，在0，+∞上单调递减；分2-x>0与2-x<0两类讨论，将不等式5f2-x+x-2f5<0等价转化为g2-x
【详解】令gx=fxx，∵当x∈0，+∞时，xf'x
∴g-x=f-x-x=-fx-x=fxx=gx，即gx为偶函数，∴gx在-∞，0上单调递增；
又由不等式5f2-x+x-2f5<0得5f2-x<2-xf5，
当2-x>0，即x<2时，不等式可化为f2-x2-x
当2-x<0，即x>2时，不等式可化为f2-x2-x>f55，即g2-x>g5=g-5，
由gx在-∞，0上单调递增得2-x>-5，解得x<7，故2
故选：D．
【典例13】（2022·全国·高二专题练习）设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0，当x>0时，有xf'(x)-f(x)x2<0恒成立，则不等式x2f(x)≤0的解集为 __．
【答案】-2,0∪[2,+∞)．
【分析】由xf'(x)-f(x)x2＜0，构造函数h(x)=f(x)x，分析奇偶性，单调性，不等式x2f(x)≤0等价于x3h(x)≤0，即可得出答案.
【详解】由xf'(x)-f(x)x2<0，构造函数h(x)=f(x)x，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以h(x)为偶函数，
又当x>0时，h(x)为减函数，且h(2)=f(2)2=0，因为h(x)>0，解得-2
即x3≤0h(x)≥0或x3≥0h(x)≤0，解得-2≤x≤0或2≤x，故答案为：-2,0∪[2,+∞)．
◆考点08 f'x-f(x)型
【典例14】（2022·四川·高三阶段练习（文））已知定义在R上的函数fx的导函数为f'x，对任意的x满足f'x-fx=ex．若fx的最小值为-e，则不等式fx>0的解集是（ ）
A．1e,+∞ B．2,+∞ C．e,+∞ D．e2,+∞
【答案】B
【分析】构造函数gx=fxex，利用导数可得出g'x=1，可得出fx=x+cex，其中c为常数，利用导数求出函数fx的最小值，可得出c的值，然后再解不等式fx>0即可.
【详解】构造函数gx=fxex，该函数的定义域为R，则g'x=f'x-fxex=1，
所以，gx=fxex=x+c，可得fx=x+cex，其中c为常数，
则f'x=x+c+1ex，当x<-c-1，f'x<0，函数fx单调递减，
当x>-c-1时，f'x>0，函数fx单调递增，
所以，fxmin=f-c-1=-e-c-1=-e，解得c=-2，
故fx=x-2ex，由fx>0可得x>2，
所以，不等式fx>0的解集是2,+∞.
故选：B.
【典例15】（2022·黑龙江·虎林市高级中学高三开学考试）定义域为R的可导函数的导函数y=fx为f'x，满足fx>f'x，且f0=1，则不等式fx
【答案】D
【分析】根据条件构造函数Fx=fxex，求函数的导数可得函数的单调性，再根据fxex<1⇔Fx
所以F'x<0，即函数Fx在定义域上单调递减，因为f(0)=1，
所以不等式fx
故不等式的解集为0,+∞.故选：D．
◆考点09 f'x-λf(x)型
【典例16】（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）设f'x是函数fx的导函数，且f'x>3fxx∈R，f13=e（e为自然对数的底数），则不等式flnx
【答案】C
【分析】构造函数gx=fxe3x，由已知可得函数gx在R上为增函数，不等式flnx
所以g'x=f'x-3fxe3x>0，所以函数gx在R上为增函数，
不等式flnx
所以不等式flnx
【典例17】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在(-3,3)上的函数f(x)满足f(x)+e4xf(-x)=0,f(1)=e2,f'(x)为f(x)的导函数，当x∈[0,3)时，f'(x)>2f(x)，则不等式e2xf(2-x)
【答案】B
【分析】构造函数gx=fxe2x，由条件判断其奇偶性，单调性，利用单调性解不等式即可.
【详解】令gx=fxe2x，所以fx=e2xgx，因为fx+e4xf-x=0，所以e2x⋅gx+e4x⋅e-2xg-x=0，化简得gx+g-x=0，所以gx是-3,3上的奇函数；
g'x=f'xe2x-2e2xfxe4x=f'x-2fxe2x，因为当0≤x<3时，f'x>2fx，
所以当x∈0,3时，g'x>0，从而gx在0,3上单调递增，又gx是-3,3上的奇函数，所以gx在-3,3上单调递增；考虑到g1=f1e2=e2e2=1，由e2xf2-x
分层提分
题组 能力提升练
一、单选题
1.已知定义在0,+∞上的函数fx的导函数为f'x，若f'x<2，且f4=5，则不等式f2x>2x+1-3的解集是（ ）
A．0,2 B．0,4 C．-∞,2 D．-∞,4
【答案】C
【分析】根据所求不等式f2x>2x+1-3的形式，构造函数gx=fx-2x+3，利用题目中的条件判断出gx在0,+∞上单调递减，进而将所求转化为g2x>g4，再利用单调性求出解集．
【详解】设gx=fx-2x+3，则g'x=f'x-2．
因为f'x<2，所以f'x-2<0，即g'x<0，所以gx在0,+∞上单调递减．
不等式f2x>2x+1-3等价于不等式f2x-2×2x+3>0，即g2x>0．
因为f4=5，所以g4=f4-2×4+3=0，所以g2x>g4．
因为gx在0,+∞上单调递减，所以2x<4，解得x<2．
故选：C．
2．已知函数的定义域为，为的导函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题得，设，所以函数在上单调递增，
因为，所以当时，；当时，．
当时，，，所以．
当时，，，所以．
当时，，所以．
综上所述，故答案为C．
3．已知定义在R上的偶函数fx满足f(x-12)+f(-x-1)=0，e4f(2022)=1，若f(x)>f'(-x)，则关于x的不等式f(x+2)>1ex的解集为（ ）
A．（4，+∞） B．（-∞，4） C．（-∞，3） D．（3，+∞）
【答案】A
【分析】根据定义在R上的偶函数fx满足f(x-12)+f(-x-1)=0可得fx的周期，构造函数gx=exfx，再将f(x+2)>1ex转化为关于gx的不等式，根据f(x)>f'(-x)得到gx的单调性再求解即可
【详解】因为定义在R上的偶函数fx满足fx-12+f-x-1=0，故fx-12+fx+1=0，故fx+32-12+fx+32+1=0，即fx+1+fx+52=0，所以fx-12=fx+52，即fx的周期为3.又e4f2022=1，故e6f3×672+6=e2，即e6f6=e2.因为fx>f'-x=-f'x，即fx+f'x>0，故构造函数gx=exfx，则g'x=exfx+f'x>0，且g6=e6f6=e2.综上有gx=exfx在R上单调递增，且g6=e2.又f(x+2)>1ex即gx+2ex+2>1ex，gx+2>e2=g6，所以x+2>6，解得x>4
故选：A
4．已知函数是偶函数，且当时满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】是偶函数，则的对称轴为，构造函数，则关于对称，
当时，由，得，
则在上单调递增，在上也单调递增，
故，∴．本题选择A选项．
5．已知f'x是函数fx的导函数，且对于任意实数x都有f'x=ex2x-1+fx，f0=-1，则不等式fx>5ex的解集为（ ）
A．-∞,-2∪3,+∞ B．-∞,-3∪2,+∞ C．-2,3 D．-3,2
【答案】A
【分析】根据要求解的不等式可变形为f(x)ex>5，构造函数g(x)=f(x)ex，并结合已知f'x=ex2x-1+fx可得g(x)=x2-x+c，从而得f(x)=ex(x2-x+c)，利用f0=-1求得参数c的值，由此可将不等式f(x)>5ex 化为x2-x-1>5，即可求得答案.
【详解】令g(x)=f(x)ex ①,则 g'(x)=f'(x)-f(x)ex ，∵f'x=ex2x-1+fx，
∴ f'(x)-f(x)ex=2x-1，即g'x=2x-1 ，∴g(x)=x2-x+c（c为常数）②，
由①②知，f(x)ex=x2-x+c ，∴f(x)=ex(x2-x+c) ，又f0=-1，
∴e0⋅c=-1 ，即c=-1 ，∴f(x)ex=x2-x-1 ，不等式f(x)>5ex 即f(x)ex=x2-x-1>5，
∴x<-2 或x>3，即不等式f(x)>5ex的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞)，故选：A.
【点睛】关键点点睛：解决此类根据导函数的表达式求解不等式解集的问题时，一般方法是要构造函数，利用导数判断函数性质进行求解，关键点就是要根据求解的不等式进行合理变形，并结合已知的导函数表达式进行构造恰当的新函数.
6．已知定义在R上的函数fx，其导函数为f'x，当x>0时，xf'x-fxx2>0，若a=f22,b=fππ,c=f55，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．c
【分析】根据题意当x>0时，xf'x-fxx2>0，结合导数的运算法则可构造函数g(x)=f(x)x，由此判断其单调性，利用函数的单调性，即可判断a,b,c的大小.
【详解】设g(x)=f(x)x ，则g'(x)=xf'x-fxx2，由题意知当x>0时，xf'x-fxx2>0，即g'(x)>0，
故g(x)=f(x)x在x>0时单调递增，故g(2)
二、多选题
7．已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，若f'(x)-f(x)=x-sinxex,f(0)=1，则下列结论正确的是（ ）
A．f(1)>e
B．f'π2
D．f(x)在区间0,π2上单调递增
【答案】ACD
【分析】设F(x)=f(x)ex，求导得到函数单调区间，得到F(0)
【详解】设F(x)=f(x)ex，则F'(x)=f'xex-fxexe2x=x-sinxe2x，
设gx=x-sinx，g'x=1-cosx≥0恒成立，故函数单调递增，g0=0，
当x<0时，x
故当x<0时，F'(x)<0，当x>0时，F'(x)>0，
函数F(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
故F(0)
f'π2-fπ2=π2-sinπ2eπ2>0，故f'π2>fπ2，选项B错误；
设h(x)=f'(x)-f(x)=x-sinxex，则h'(x)=x-sinxex'=1-cosx-x+sinxex，
设r(x)=1-cosx-x+sinx，
则当x≥π时，r(x)=(1-x)+(sinx-cosx)<(1-π)+2<0；
当x≤0时，sinx≥x，且1-cosx≥0，故r(x)≥0；
当0
又r(0)=0,r(π)=2-π<0，∃x0∈π2,π，使得rx0=0，
即当x∈0,x0时，r(x)>0，当x∈x0,π时，r(x)<0；
综上：
当x∈-∞,x0时，r(x)≥0，即h'(x)≥0，h(x)单调递增；
当x∈x0,+∞时，r(x)<0，即h'(x)<0，h(x)单调递减，
h(0)=0，当x<0时，h(x)
且当x趋于正无穷时，h(x)趋于0，又x0∈π2,π,hπ2=π2-1e42>32-1e2=12e2，
方程h(x)=12e2有两个解，即方程f'(x)=f(x)+12e2有两个解，选项C正确；
由F(x)=f(x)ex可得f(x)=ex⋅F(x)，f'(x)=exF(x)+F'(x)，
令u(x)=F(x)+F'(x)，则u'(x)=F'(x)+F'(x)'=x-sinxe2x+x-sinxe2x'
=x-sinxe2x+1-cosx-2(x-sinx)e2x=r(x)e2x，
由以上分析可知，当x∈0,π2时，r(x)>0，即u'(x)>0，u(x)单调递增，
u(x)>u(0)=F(0)+F'(0)=1，f'(x)>0，故f(x)在区间0,π2上单调递增，选项D正确．
故选：ACD
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数的单调性，函数的零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，构造新函数确定新函数的单调性是解题的关键.
8．已知定义在R上的函数fx的导数为f'x，对任意的x满足f'x-fx=ex，则（ ）
A．ef1
【分析】构造函数Fx=fxex，结合导数，利用已知条件求得Fx的单调性，从而确定正确答案.
【详解】构造函数Fx=fxex，F'x=f'x-fxex=1>0，
所以Fx在R上递增，
所以F-1
由F0
三、填空题
9．已知定义在R上的偶函数y=f(x)的导函数为y=f'x，当x>0时，xf'x+fx<0，且f(2)=-3，则不等式f(2x-1)<62x-1的解集为__________.
【答案】-∞,-12∪12，+∞
【分析】gx=xfx，进而结合题意得gx=xfx在R为单调递减函数，且g-2=6，再分x<12和x>12两种情况讨论求解即可.
【详解】解：令gx=xfx，则g'x=xf'x+fx，因为当x>0时，xf'x+fx<0，即g'x<0所以当x>0时，gx=xfx单调递减，因为y=f(x)是定义在R上的偶函数，即f-x=fx，所以，g-x=-xf-x=-xfx=-gx，即gx为奇函数，
所以，函数gx=xfx在R为单调递减函数，因为f(2)=-3
所以f(-2)=-3，g-2=-2f(2)=6，
所以，当x<12时，f(2x-1)<62x-1⇔2x-1f2x-1>6，即g2x-1>g-2，
所以x<122x-1<-2，解得x<-12，
当x>12时，f(2x-1)<62x-1⇔2x-1f2x-1<6，即g2x-1
综上，不等式f(2x-1)<62x-1的解集为-∞,-12∪12，+∞
故答案为：-∞,-12∪12，+∞
10．已知f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，当x>0时，f(x)+xf'(x)>0且f(2)=12，则不等式f(x)>1x的解集是______．
【答案】(-2,0)∪(2,+∞)
【分析】根据已知条件构造函数g(x)=xf(x)并得出函数g(x)为偶函数，利用导数与单调性的关系得出函数g(x)的单调性进而可以即可求解.
【详解】设g(x)=xf(x)，则g'(x)=f(x)+xf'(x)因为f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，
所以g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x)，所以g(x)是(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，
当x>0时，g'(x)=f(x)+xf'(x)>0，所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以g(x)在(-∞,0)上单调递减．因为f(2)=12，所以g(2)=2f(2)=2×12=1，
所以g(-2)=g(2)=1．对于不等式f(x)>1x，
当x>0时，xf(x)>1，即g(x)>g(2)，解得x>2；
当x<0时，xf(x)<1，即g(x)
故答案为：(-2,0)∪(2,+∞)
【点睛】解决此题的关键是构造函数，进而讨论新函数的单调性与奇偶性，根据函数的性质即可求解不等式的解集.
11.已知f'x为定义域R上函数fx的导函数，满足f'(x)+f'(2-x)=0，当x≥1，x-1f'x+2fx>0且f(2)=1，则不等式f(x)>1(x-1)2的解集为___________.
【答案】-∞,0∪2,+∞
【分析】令g(x)=(x-1)2f(x)，再根据题意可得gx的在区间(1,+∞)上的单调性，结合f'(x)+f'(2-x)=0可得f(x)关于x=1对称，进而可得gx的对称性，再根据gx的对称性与单调性求解即可.
【详解】令g(x)=(x-1)2f(x)，即求g(x)>1的解集，因为g'(x)=2(x-1)f(x)+(x-1)2f(x)= (x-1)(x-1)f'(x)+2f(x)>0，所以g(x)在(1,+∞)上单增，因为g(2)=f(2)=1，所以当x>2时，g(x)>1.
又因为f'(x)+f'(2-x)=0，所以f'x关于(1,0)对称，所以f(x)关于x=1对称，所以g(x)=(x-1)2f(x)关x=1对称，所以g(x)>1的解集为{x∣x>2或x<0}
故答案为：-∞,0∪2,+∞
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