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【同步讲义】(苏教版2019)高中数学选修第一册:第28讲 导数与不等式证明双变量 讲义
展开第28讲导数与不等式证明双变量
◆考点01 转化为单变量
【典例1】已知函数.
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)若有两个极值点,且恒成立,求的取值范围.
【典例2】已知函数,
(1)讨论函数的单调性;
(2)令,若存在,且时,,证明:.
◆考点02 利用基本不等式
【典例3】已知函数,,.
⑴若曲线与曲线相交,且在交点处有相同的切线,求的值及该切线的方程;
⑵设函数,当存在最小值时,求其最小值的解析式;
⑶对⑵中的和任意的,,证明:.
◆考点03 构造差与商
【典例4】已知函数.
⑴若函数在上为单调增函数,求的取值范围;
⑵设,且,求证:.
【典例5】已知函数.
(1)当时,求的最大值;
(2)当时,
(i)判断函数的零点个数;
(ii)求证:有两个极值点,且.
题组 能力提升练
1.已知函数.
(1)求函数的最大值;
(2)若函数存在两个零点,证明:.
2.已知函数 ,其中 为非零实数.
(1)讨论函数 的单调性;
(2)若 有两个极值点 ,,且 , 求证:.
3.已知函数,曲线在点处切线与直线垂直.
(1)试比较与的大小,并说明理由;
(2)若函数有两个不同的零点,,证明:.
4.已知函数有两个零点,.
(1)求实数的取值范围;
(2)求证:.
5.已知函数.
(1)若时,函数有最大值为-1,求b的值;
(2)若时,设,为的两个不同的极值点,证明:;
(3)设,为的两个不同零点,证明.
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