【同步讲义】（苏教版2019）高中数学选修第一册：第28讲 导数与不等式证明双变量 讲义

第28讲导数与不等式证明双变量

◆考点01 转化为单变量

【典例1】已知函数.

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若有两个极值点，且恒成立，求的取值范围.

【典例2】已知函数，

（1）讨论函数的单调性；

（2）令，若存在，且时，，证明：.

◆考点02 利用基本不等式

【典例3】已知函数，，．

⑴若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求的值及该切线的方程；

⑵设函数，当存在最小值时，求其最小值的解析式；

⑶对⑵中的和任意的，，证明：．

◆考点03 构造差与商

【典例4】已知函数．

⑴若函数在上为单调增函数，求的取值范围；

⑵设，且，求证：．

【典例5】已知函数．

（1）当时，求的最大值；

（2）当时，

（i）判断函数的零点个数；

（ii）求证：有两个极值点，且．

题组  能力提升练

1.已知函数．

（1）求函数的最大值；

（2）若函数存在两个零点，证明：．

2.已知函数 ，其中 为非零实数．

（1）讨论函数 的单调性；

（2）若 有两个极值点 ，，且 ， 求证：．

3.已知函数，曲线在点处切线与直线垂直．

（1）试比较与的大小，并说明理由；

（2）若函数有两个不同的零点，，证明：．

4.已知函数有两个零点，.

（1）求实数的取值范围；

（2）求证：.

5.已知函数．

（1）若时，函数有最大值为-1，求b的值；

（2）若时，设，为的两个不同的极值点，证明：；

（3）设，为的两个不同零点，证明．