【同步讲义】（苏教版2019）高中数学选修第一册：第30讲 导数压轴小题精选题分题型版 讲义

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第30讲导数压轴小题精选题（分题型版）◆考点01 直接求导型【典例1】已知函数 ，则函数 在 上的最小值不可能为  A.  B.  C.  D. 【答案】D 【解析】，因为 ，所以 ，①当 时，，由 ，可得 ，此时函数 单调递增．所以当 时，函数 取得最小值，．②当 时，，由 ，可得 ，此时函数 单调递减．所以当 时，函数 取得最小值，．③当 时，由 ，解得 ．当 时，，此时函数 单调递减；当 时，，此时函数 单调递增．所以当 时，函数 取得极小值即最小值，．【典例2】 已知函数 ，若 ，则下列结论正确的是  A.  B.  C.  D. 【答案】 D 【解析】．（i） 当 时，；（ii） 当 ，且 时，．① 当 时，根据三角函数线的性质，得 ，又 ，所以 ；② 当 时，，则 ，又 ，所以 ．综合（i）（ii），当 时，．所以 在 上是减函数．若 ，则 ，所以 ．◆考点02 多变量消元型  【典例3】若存在正实数 ，， 满足 且 ，则 的取值范围为  A.  B.  C.  D. 【答案】B 【解析】，所以 ，所以 ，所以 ，令 ，则 ，又因为 ，所以 ，即 ，令 ，则 ，令 即 ，又因为 ，所以 时 ， 单调减， 时 ， 单调增，所以 时 取极小值，即 ， ，  ，所以 最大值为 ，所以 ，高中数学资料共享群QQ群号：734924357所以 ．【典例4】 已知 ，且 对 恒成立，则 的最大值是  A.  B.  C.  D. 【答案】 A 【解析】若 ，由于一次函数 单调递减，不能满足且 对 恒成立，则 ．若 ，则 ．若 ，由 得 ，则 ．设函数 ，所以 ，令 得 ，解得 ，因为 时，，则 ，则 ，所以 ，所以函数 递减；同理， 时，，所以函数 递增；所以当 时，函数取最小值， 的最小值为 ．设 ，，由 得 ，不难得到 时，； 时，；所以函数 先增后减，所以 的最大值为 ，即 的最大值是 ，此时 ，．◆考点03 利用奇偶性分参【典例5】已知方程 有 个不同的实数根，则实数 的取值范围是  A.  B.  C.  D. 【答案】 A 【解析】由 得 ，因为 ，所以方程等价为 ，设 ，则函数 是偶函数，当 时，，则 由 得 ，得 ，即 ，得 ，此时函数单调递增，由 得 ，得 ，即 ，得 ，此时函数单调递减，即当 时， 时，函数 取得极大值 ，作出函数 的图象如图：要使 ，有 个不同的交点，则满足 ．【典例6】已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是  A.  B.  C.  D. 【答案】 D 【解析】函数 ，将 换为 ，函数值不变，即有 图象关于 轴对称，即 为偶函数，有 ，当 时， 的导数为 ，则 在 递增，，即为 ，可得 ，可得 ，解得 ．◆考点04 导数构造【典例7】 若函数 满足 ，且 ，则 的解集为  A.  B.  C.  D.  【答案】 A 【解析】因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，令 ，则 ，，所以 ，所以 ，因为 ，， 单减，，， 单增，所以 ，所以 ，所以 在 上单增，因为 ，，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以不等式的解集为 ．【典例8】已知 ， 都是定义在 上的函数，且满足以下条件：① （）；②   ；③ ．若 ，则使 成立的 的取值范围是  A.  B.  C.  D. 【答案】  B 【解析】令 ，由③可得 ，所以 是减函数，即 ，然后由 可求得 ．◆考点05 复合函数换元【典例9】已知 是定义在 上的函数 的导函数，若方程 无解，且 ，，设 ，，，则 ，， 的大小关系是  A.  B.  C.  D. 【答案】 D 【解析】由题意，可知 是定值，不妨令 ，则 ，又 ，所以 ，即 ，则 ，显然当 时，有 ，即函数 在 上为单调递增，又 ，所以 ．【典例10】已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ， 则对任意的 ，函数 的零点个数至多有  A. 个 B. 个 C. 个 D. 个【答案】  A 【解析】当 时，，可得 ，可知 ，函数是减函数， 函数是增函数，，，且 时，，又 是定义在 上的奇函数，，而 时，，所以函数的图象如图：令 则 ，由图象可知：当 时，方程 至多 个根，当 时，方程没有实数根，而对于任意 ，方程 至多有一个根，，从而函数 的零点个数至多有 个．◆考点06 复合函数分类讨论【典例11】已知函数 ，若 有两个零点 ，，则 的取值范围是  A.  B.  C.  D. 【答案】  D 【解析】当 时，，所以 ，所以 ，当 ，，， ，综上可知：，则 ，，有两个根 ，，（不妨设 ），当 是，，当 时，，令 ，则 ，，，，所以 ，，设 ，，求导 ， ，，函数 单调递减，所以 ，所以 的值域为 ， 所以 取值范围为 ．【典例12】已知函数 ，关于 的方程 有 个相异的实数根，则 的取值范围是  A.  B.  C.  D. 【答案】 D 【解析】当 时，，函数的导数 ，当 时，，当 时，，则当 时，函数取得极小值 ，当 时，，函数的导数 ，此时 恒成立，此时函数为增函数，．作出函数 的图象如图：设 ，则 时， 有 个根，当 时， 有 个根，当 时， 有 个根，当 时， 有 个根，则 有三个相异的实数根，等价为 有 个相异的实数根，当 时，，即 ，此时满足条件．◆考点07 类比斜率【典例13】已知函数 ，方程 两个根分别在区间 与 内，则 的取值范围为  A.  B.  C.  D. 【答案】 A 【解析】由题意，，因为 是开口朝上的二次函数，所以 ，得 由此可画出可行域，如图，  表示可行域内的点 和点 连线的斜率，显然 的斜率最小， 的斜率最大．◆考点08 类比距离 【典例14】设 ，则 的最小值为  A.  B.  C.  D. 【答案】 C【解析】，其几何意义为：两点 ， 的距离的平方，由 的导数为 ，所以 ，点 在曲线 上，所以 ，所以 ，令 ，，则 ，而 是抛物线 上的点到准线 的距离，即抛物线 上的点到焦点 的距离，则 可以看作抛物线上的点 到焦点距离和到 上的点的距离的和，即 ，由两点之间线段最短，得 最小值是点 到 上的点的距离的最小值，由点到直线上垂线段最短，这样就最小，即取 ，则 ，垂直，则 ，解得 ，所以 到 的距离就是点 到 上的点的距离的最小值，所以 的最小值为 ．◆考点09 夹角问题 【典例15】 已知函数 ，点 ， 是函数 图象上不同两点，则 （ 为坐标原点）的取值范围是  A.  B.  C.  D. 【答案】  A 【解析】当 时，由 得 ，此时对应的曲线为双曲线，双曲线的渐近线为 ，此时渐近线的斜率 ，当 时，，当过原点的直线和 相切时，设切点为 ，函数的导数 ，则切线斜率 ，则对应的切线方程为 ，即 ，当 ， 时，，即 ，即 ，得 ，此时切线斜率 ，则切线和 的夹角为 ，则 ，则 ，故 （ 为坐标原点）的取值范围是 ．◆考点10 分类讨论 【典例16】已知函数 ，，若对于任意实数 ，函数 与 的值至少有一个为正值，则实数 的取值范围是  A.  B.  C.  D. 【答案】 C 【解析】当 时，函数 的图象为开口向下的抛物线，所以在 时， 不恒成立．函数 当 时，．所以不满足题意．当 时，，，不满足题意．当 时，需 在 时恒成立，所以令 或 即 或 解得 或 ．综合得：．◆考点11 双变量任意存在【典例17】已知 为自然对数的底数，对任意的 ，总存在唯一的 ，使得 成立，则实数 的取值范围是  A.  B.  C.  D. 【答案】 C 【解析】令 ，则 在 上单调递减，且 ，．令 ，则 ，且 ，，．若对任意的 ，总存在唯一的 ，使得 成立，即 ，则 的最大值不能大于 的最大值，即 ，因为 在 上单调递减，在 上单调递增，所以当 时，有两个 使得 ．若只有唯一的 ，使得 ，则 的最小值要比 大，所以 ，所以 ，故实数 的取值范围是 【典例18】已知 为自然对数的底数，若对任意的 ，总存在唯一的 ，使得 成立，则实数 的取值范围是  A.  B.  C.  D. 【答案】  B 【解析】设 ，当 时，， 是增函数，所以 时，，设 ，因为对任意的 ，总存在唯一的 ，使得 成立，所以 是 的不含极值点的单调区间的子集，因为 ，所以 时，若 ，， 是减函数，若 ，， 是增函数，因为 ，所以 ，所以 ．◆考点12 零点个数问题【典例19】 设 ，若函数 在区间 上有三个零点，则实数 的取值范围是  A.  B.  C.  D. 【答案】 D 【解析】函数 在区间 上有三个零点即函数 与 在区间 上有三个交点．画图如下．当 时，显然，不合乎题意，当 时，由图知，当 时，存在一个交点，当 时，，可得 ，，若 ，可得 ， 为减函数，若 ，可得 ， 为增函数，此时 与 必须在 上有两个交点，即 在 上有两个零点，所以 解得 ，故函数 在区间 上有三个零点时，．【典例20】 已知 ，又 ，若满足 的 有四个，则 的取值范围是  A.  B.  C.  D. 【答案】 B 【解析】令 ，则 ，由 ，得 ，当 时，，函数 单调递减，当 时， 函数单调递增．做出 图象，利用图象变换得 图象（如图），令 ，则关于 方程 两根分别在 ， 时（如图），满足 的 有 个，由 解得 ．◆考点13 绝对值函数分类讨论【典例21】 已知函数 ，若 ，则 的取值范围是  A.  B.  C.  D. 【答案】 D 【解析】作出函数 的图象，如图，要使 成立，则必有 ．当 时，，则 与 相等时，满足条件．由 ， ，所以 ，所以 ．◆考点14 对称问题 【典例22】已知函数 满足 ，若函数 与 图象的交点为 ，，，，则    A.  B.  C.  D. 【答案】 B 【解析】由 得 关于 对称，而 也关于 对称，所以对于每一组对称点 ，，所以 ． 题组   能力提升练1. 设函数 ，则函数 的各极小值之和为  A.  B.  C.  D. 【答案】 D 【解析】提示：令 ，得 ，易知当 时 取到极小值，故各极小值之和为2. 已知函数 ，若关于 的不等式 有两个整数解，则实数 的取值范围是  A.  B.  C.  D. 【答案】  C 【解析】因为 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，当 时， 或 ，此时不等式 有无数个整数解，不符合题意；当 时，，此时不等式 有无数个整数解，不符合题意；当 时， 或 ，要使不等式 恰有两个整数解，必须满足 ，得 ．3. 已知函数 ，若 ，且 对任意的 恒成立，则 的最大值为  A.  B.  C.  D. 【答案】 B 【解析】因为 ，所以 对任意 恒成立，即 ，因为 ，也就是 对任意 恒成立．令 ，则 ，令 ，则 ，所以函数 在 上单调递增．因为 ，，所以方程 在 上存在唯一实根 ，且满足 ．当 时，，即 ，当 时，，即 ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增．所以 ．所以 ，因为 ，故整数 的最大值是 ．4. 若函数 在 单调递增，则 的取值范围是  A.  B.  C.  D. 【答案】 C 【解析】解法1：用特殊值法：取 ，，，但 ，不具备在 单调递增，排除 ，，．解法2：，因为 是关于 开口向下的二次函数，由 在 上单调递增，有 解得 .5. 设函数 有两个极值点 ，，且 ，则 的取值范围是  A.  B.  C.  D. 【答案】 B 【解析】由已知得： 的定义域为 ，且 ，因为 有两个极值点 ，，所以 ， 是方程 的两根，又因为 ，且 ，所以，，，所以 ，令 （其中 ），则 ，故 递增，所以 ，而 ，，所以 ．6. 设函数 ，若 是 的极大值点，则 的取值范围为  A.  B.  C.  D. 【答案】  A 【解析】由 ，，得 ．设 ，由 是 的极大值点，即 满足在 的左侧附近为正，右侧附近为负：当 ， ，显然满足 是 的极大值点．当 时，由 ，则其对称轴 ，得： ，所以 ；当 时，由 ，则其对称轴 ，得： .综上， .7. 对任意的正数 ，都存在两个不同的正数 ，使 成立，则实数 的取值范围为  A.  B.  C.  D. 【答案】  A 【解析】由 ，可得：，令 ，所以 ，设 ，．令 ．解得 ，此时函数 单调递增；令 ．解得 ，此时函数 单调递减．又 时，； 时，．可得函数 的图象．因此当 时，存在两个正数，使得 成立，即对任意的正数 ，都存在两个不同的正数 ，使 成立．8. 设函数 .若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是  A.  B.  C.  D. 【答案】 C 【解析】因为 是奇函数且在 上单调递增，又 ，即 ，所以 ，即 恒成立．即 恒成立．令 ，则当 时，，所以 的取值范围为 .9. 函数 是定义在区间 上的可导函数 ， 其导函数为 ，且满足 ，则不等式 的解集为  A.  B.  C.  D. 【答案】  D 【解析】构造函数 ，，当 时，因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增，因为不等式 ，所以 时，即 时， ，所以 ，所以 ，所以 ．10. 已知定义在 上的函数 满足：函数 的图象关于直线 对称，且当 时， 成立（ 是函数 的导函数），若 ，，，则 ，， 的大小关系是  A.  B.  C.  D. 【答案】 D 【解析】定义在 上的函数 满足：函数 的图象关于直线 对称，可知函数 是偶函数，所以 是奇函数，又因为当 时， 成立（ 是函数 的导函数），所以函数 在 上既是奇函数又是减函数； ，，．所以 ．11.已知 是定义在 上的单调函数，且对任意的 ，都有 ，则方程 的解所在的区间是  A.  B.  C.  D. 【答案】 C 【解析】根据题意，对任意的 ，都有 ，又由 是定义在 上的单调函数，则 为定值，设 ，则 ，又由 ，即 ，解可得，；则 ，，将 ， 代入 ，可得 ，即 ，令 ，分析易得 ，，则 的零点在 之间，则方程 ，即 的根在 上．12. 已知函数 ， 若对任意的 ，总存在 ，使得 ，则实数 的取值范围为  A.  B.  C.  D. 【答案】 C 【解析】函数 ，导数为 ，可得 的极值点为 ，，由 ，，，，可得 在 的值域为 ；，导数为 ，当 时，， 递减；当 或 时，， 递增．由 ，，，，当 时，， 在 的值域为 ，由对任意的 ，总存在 ，使得 ，可得 ，即有 ，解得 不成立；当 时，， 在 的值域为 ，由题意可得 ，即有 ，解得 ，即为 ；当 时，可得 取得最大值， 为最小值，即有 ，可得 ，，即 ，且 ，解得 ．综上可得， 的取值范围是 ．13. 定义：如果函数 在 上存在 ，  满足 ，，则称函数 是 上的“双中值函数”．已知函数 是 上的“双中值函数”，则实数 的取值范围是  A.  B.  C.  D. 【答案】  C 【解析】由题意可知，因为 在区间 存在 ，  ，满足 ，因为 ，所以 ，所以方程 在区间 有两个不相等的解．令 ，．则 解得：．所以实数 的取值范围是 ．14. 定义在 上的偶函数 满足 ，且当 时，，若函数 有 个零点，则实数 的取值范围为  A.  B.  C.  D. 【答案】  A 【解析】因为函数 可得图象关于直线 对称，且函数为偶函数则其周期为 ，又因为 ，当 时有 ，则函数在 为减函数，作出其函数图象如图所示：其中 ，，当 时 要使符合题意则 ，根据偶函数的对称性，当 时，要使符合题意则 ．综上所述，实数 的取值范围为 ．15. 函数 图象上不同两点 ， 处的切线的斜率分别是 ，，规定 叫做曲线在点 与点 之间的“弯曲度”．设曲线 上不同的两点 ，，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是  A.  B.  C.  D. 【答案】 A 【解析】 的导数为 ，  可得 ， 恒成立，则 恒成立，由 ，即有 ． 16.已知整数对排列如下：，，，，，，，，，，，，，则第 个整数对是  A.  B.  C.  D. 【答案】 A 【解析】数对中第一个数 为 的数对的位置分别是 ，，，，，，另外，数对的数字和从 开始稳步变大，可以构造一个数列 ，其中 是数对和第一次达到 的数对的位置，，．可发现 ，此时利用累加法可求出：，容易求出 ，即 是第 个整数对．依次往下写可得答案．