【同步讲义】（苏教版2019）高中数学选修第二册：6.3.1&6.3.2直线的方向向量与平面的法向量与空间线面关系的判定 讲义

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知识精讲
知识点01 直线的方向向量
定义：直线l上的向量e（e≠0）以及与e共线的非零向量叫作直线l的方向向量.
注意点：
空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：
①是非零向量；
②向量所在的直线与l平行或重合.
与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个.
【即学即练1】若点A−1,0,2，B1,4,10在直线l上，则直线l的一个方向向量为（ ）
A．1,2,4B．1,4,2C．0,2,−1D．0,4,12
【即学即练2】已知两点A−1,2，B1,0，直线AB的方向向量为2,k，则k=（ ）
A．1B．－1C．－2D．2
知识点02 平面的法向量
1.平面的法线
与平面垂直的直线叫作平面的法线。
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，我们可以考虑用平面的垂线的方向来刻画平面的“方向”。
2.平面的法向量：如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α，此时，我们把向量n叫作平面α的法向量.
注意：
平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量.
（2）一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行.
【即学即练3】已知v为直线l的方向向量，n1、n2分别为平面α、β的法向量（α、β不重合），那么下列说法中：①n1∥n2⇔α∥β；②n1⊥n2⇔α⊥β；③v∥n1⇔l∥α；④v⊥n1⇔l⊥α.其中正确的有（ ）.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【即学即练4】以下真命题共有___________个.
①一个平面的单位法向量是唯一的；
②一条直线的方向向量和一个平面的法向量垂直，则这条直线和这个平面平行；
③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交.
知识点03 平面方程的表示
1．在空间直角坐标系中，平面可以用关于x，y，z的三元一次方程来表示.
2.经过点P（x0， y0， z0），且平面α的法向量为n=（A，B， C）的平面方程为A（x-x0)＋B(y-y0)+C(z-z0)=0.
求平面方程的两种方法
（1）法向量法：利用法向量与平面内的任意向量垂直，即nPM=0=0求解，其中n为平面的法向量，PM为平面内的任意向量.
（2）待定系数法：设所求平面方程为Ax＋By＋Cz＋D=0，然后代入相关点解方程即可.
【即学即练5】已知平面α内有一点A(2,−1,2)，平面α的一个法向量为n=(12,16,13)，则下列四个点中在平面α内的是（ ）
A．P1(1,−1,1)B．P2(1,3,32)C．P3(1,−3,32)D．P4(−1,3,−32)
【即学即练6】（多选）在空间直角坐标系中，已知向量u=a,b,c（其中abc≠0），定点P0x0,y0,z0，异于点P0的动点Px,y,z，则以下说法正确的是（ ）
A．若u为直线PP0的方向向量，则x−x0a=y−y0b=z−z0c
B．若u为直线PP0的方向向量，则ax−x0+by−y0+cz−z0=0
C．若u为平面α的法向量，面α经过P0和P，则x−x0a=y−y0b=z−z0c
D．若u为平面α的法向量，面α经过P0和P，则ax−x0+by−y0+cz−z0=0
知识点04 空间线面平行和垂直关系的向量表示
1.设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面α1，α2的法向量分别为n1， n2， 则有下表：
2.空间中直线、平面的平行
= 1 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑴直线与直线平行
设直线l，m的方向向量分别为a=（a1，b1，c1），b=（a2，b2，c 2），则l//m⟺a//b⟺a=λb⟺a1=λa2,b1=λb2,c1=λc2(a∈R).
= 2 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑵直线与平面平行
设直线l的方向向量为a=（a1，b1，c1），平面α的法向量为u=（a2，b2，c 2），则l//α⟺a⊥u⟺a∙u=0⟺a1a2+b1b2+c1c2=0.
= 3 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑶平面与平面平行
设平面α，β的法向量分别为u=（a1，b1，c1）, v=（a2，b2，c 2），则α//β⟺u//v⟺u=λv⟺a1=λa2,b1=λb2,c1=λc2(a∈R).
空间中直线、平面的垂直
= 1 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑴直线与直线垂直
设直线l的方向向量为a=（a1，a2，a3），直线m的方向向量为b=（b1，b2，b3），则l⊥m⟺a⊥b⟺a∙b=0⟺a1b1+a2b2+a3b3=0.
= 2 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑵直线与平面垂直
设直线l的方向向量为a=（a1，b1，c1），平面α的法向量为u=（a2，b2，c 2）则l⊥α⟺a//u⟺a=ku⟺a1=ka2, b1=kb2,c1=kc2,k∈R.
= 3 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑶平面与平面垂直
设平面α的法向量为u=（a1，b1，c1），平面β的法向量为v=（a2，b2，c 2），则α⊥β⟺u⊥v⟺u∙v=0⟺a1b1+a2b2+a3b3=0.
【即学即练7】（2020·上海杨浦.复旦附中高二期中）已知平面的一个法向量为，则直线与平面的位置关系为_______.
【即学即练8】已知平面的法向量为，，则直线与平面的位置关系为（ ）
A．B．C．与相交但不垂直D．
能力拓展
◆考点01 平面法向量的求法
【典例1】如图的空间直角坐标系中，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2,PB与平面xDy的所成角为π4，E为PB中点，则平面ABE的单位法向量n0=______．（用坐标表示）
【典例2】如图，在棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M在棱C1C上，且CM=2MC1．以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)求平面ABB1A1的一个法向量；
(2)求平面MD1B的一个法向量．
【典例3】如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AD=6，AA1=3，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量：
(1)平面ABCD；
(2)平面ACC1A1；
(3)平面ACD1．
◆考点02 利用法向量研究平面位置关系
◆类型1空间向量与平行
【典例4】如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中， AB=BC=2AA1，当 A1C=λA1P时，有D1P//平面BDC1，则实数λ的值为（ ）
A．1B．2C．3D．52
【典例5】（2019·安徽埇桥，北大附宿州实验学校高二期末（理））已知平面的法向量是，平面的法向量是，若// ，则的值是（ ）
A．B．-6C．6D．
【典例6】如图，在四面体A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=22．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．证明：PQ∥平面BCD；
【典例7】已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G分别是棱BC,CC1,B1B的中点．
证明：D1G与平面AEF不平行.
◆类型2空间向量与垂直
【典例8】如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.
【典例9】如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB.
求证：平面BCE⊥平面CDE.
◆考点03 探索性问题
【典例10】（2019·九台市第四中学高二期末（理））如图，平面，四边形是矩形， ，点是的中点，点在边上移动.

（1）当点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由；
（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有.
【典例11】如图，已知四棱锥P−ABCD的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，BC=2AB，∠ABC=60，PB⊥AC.
(1)求CP与平面ABCD所成角的正弦值；
(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B,Q两点的截面，且AC ∥平面BEQF，是否存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD？若存在，求出点Q的位置；若不存在，说明理由.
分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．已知直线l经过点A(1,1,2),B(0,1,0)，平面α的一个法向量为n=(−2,0,−4)，则（ ）
A．l∥αB．l⊥α
C．l⊂αD．l与α相交，但不垂直
2．如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱长为3,CA=CB=4,∠ACB=π2，点D，E分别在AA1,B1C1上，F为AB的中点，若CD⊥FE，则线段AD的长度为（ ）
A．322B．83C．94D．125
3．已知平面α，β的法向量分别为u=0,1,1，v=1,0,0，则（ ）
A．α∥βB．α⊥β
C．α，β相交但不垂直D．α，β的位置关系不确定
4．在空间直角坐标系中，A1,2,1，B0,0,2，C2,1,3，则A，B，C三点所在平面的其中一个法向量n的坐标是（ ）
A．1,1,−1B．1,−1,−1C．2,1,−1D．2,−1,−1
5．已知A2,0,0,B0,2,0,C0,0,2，则平面ABC的一个单位法向量是（ ）
A．1,1,1B．33,33,33
C．13,33,33D．33,−33,33
二、多选题
6．已知空间中三点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(3,2,1)，则下列结论正确的有（ ）
A．与AC共线且同向的单位向量是23,23,13
B．AB⊥AC
C．AC与BC夹角的余弦值是31111
D．平面ABC的一个法向量是(1,1,4)
7．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB=2,−1,−4，AD=4,2,0，AP=−1,2,−1，下列结论中正确的是（ ）
A．AP⊥ABB．AP⊥BD
C．AP∥BDD．向量n=66,−63,66是平面ABCD的法向量
8．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是（ ）
A．(8,−2,4)B．(−4,1,−2)
C．(2,−2,1)D．(1,2,−2)
三、填空题
9．已知u=3,a−b,a+ba,b∈R是直线l的方向向量，n=1,2,4是平面α的法向量．若l⊥α，则ab=______．
10．已知P是▱ABCD所在的平面外一点，AB=2,−1,−4，AD=4,2,0，AP=−1,2,−1，给出下列结论：
①AP⊥AB；
②AP⊥AD；
③AP是平面ABCD的一个法向量；
④AP//BD，其中正确结论的个数是__________．
四、解答题
11．如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1＝2，M是线段B1D1的中点.
(1)BM//平面D1AC；
(2)D1O⊥平面AB1C.
12．已知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，CD⊥平面PAD，PD⊥FD，PD=AD=2，E、F分别为AP、AB的中点.求证：DF⊥EC；
13．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，AB=1，AD=3，CD=2，∠ADC=π2，平面PBC⊥平面ABCD，且PB=PC，E为BC的中点，证明：平面PAE⊥平面PBD.
14．如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为棱PD的中点，PF=λPC（λ为常数，且0