【同步讲义】（苏教版2019）高中数学选修第二册：6.3.3空间角的计算 讲义

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注意：
（1）求二面角的平面角问题转化为两平面法向量的夹角问题.
（2）两平面所成的角的范围是[0,π2] ，二面角的范围是[0,π].
（3）二面角与两平面的夹角不是相同的概念.
【即学即练1】在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为棱DD1的中点．则异面直线EF与BD1所成角的余弦值是（ ）．
A．23B．223C．34D．36
【即学即练2】在三棱柱ABC-A1B1C1中，如图所示，侧棱AA1⊥底面ABC，点D1是A1B1的中点，E1是A1C1的中点，∠BCA=90°,BC=CA=2,CC1=3，则BD1与AE1所成角的余弦值是（ ）
A．3010B．411055
C．3015D．611055
能力拓展
◆考点01 向量法求异面直线所成的角
◆类型1求异面直线所成的角
【典例1】在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为A1B1，CD的中点.
(1)证明：AF//平面A1B1C1D1.
(2)求直线EC与AF所成角的余弦值.
【典例2】如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，点M、N分别是AA1、A1C1的中点，点P在棱A1B1上，且A1P=3PB1，Q为BP的中点，
(1)求证：MN⊥B1C；
(2)求MN与BP所成角的余弦值；
(3)求NQ的长.
◆类型2已知异面直线所成的角求其他量
【典例3】如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，PD=DC=3,AD=4,M是线段PA的中点，N是线段PC上一点（不与P,C两点重合），且PN=λPC．若直线MN与BD所成角的余弦值是22121，则λ=（ ）
A．12B．13C．14D．15
◆考点02向量法求直线与平面做成的角
【典例4】若正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的余弦值为______.
【典例5】图1是中国古代建筑中的斗拱结构，OB，OC是互相垂直横梁，OD是与横梁垂直的立柱，从柱顶O上加的一层层探出成弓形的承重结构即为斗拱OA.在某古代建筑中OB=OC=OD（图2），记cs=k1，cs=k2，cs=k3，OA与平面BCD所成角的余弦值为17，则k1+k2+k3=（ ）
A．37B．337C．127D．1237
◆考点03 向量法求面面角
◆类型1 向量法求面面角
【典例6】如图，是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH所截得的几何体，若AB=2，BF=DH=2，CG=3，则截面EFGH与底面ABCD所成二面角的余弦值是（ ）
A．66B．63
C．33D．32
【典例7】如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，4AA1=3AB，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是棱B1C1，AC，BC的中点.
(1)证明：AD∥平面C1EF.
(2)求平面ADE与平面C1EF夹角的余弦值.
◆类型2 已知面面角求其他向量
【典例8】如图1，在△ABC中，∠ACB是直角，CA=CB=22，P是斜边AB的中点，M，N分别是PB,PC的中点．沿中线CP将△CAP折起，连接AB，点Q是线段AC上的动点，如图2所示．

(1)求证：MN//平面ABC；
(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，当二面角Q-MN-C的余弦值为33时．求AQAC的值．
条件①：BP⊥AC；条件②：AB=AC．
【典例9】如图,在四棱雉P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PD⊥平面ABCD,PD=AD=BD=1,AB=2
(1)求证:平面PBD⊥平面PBC;
(2)试问在线段PC上是否存在一点M,使得二面角M-BD-C的大小为60∘,若存在求出PMMC的值;若不存在,请说明理由．
分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=217，则该二面角的大小为（ ）
A．π6B．π4C．π3D．π2
2．《瀑布》（图1）是埃舍尔为人所知的作品．画面两座高塔各有一个几何体，右塔上的几何体首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2）．埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，定义这三个正方形AnBnCnDn(n=1,2,3)的顶点为“框架点”，定义两正方形的交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为Pn,Qn，将极点P1,Q1分别与正方形A2B2C2D2的顶点连线，取其中点记为Em,Fm(m=1,2,3,4)，如图3．埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成的，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，在图4中构造了其中两个四棱锥A1-P1E1P2E2与A2-P2E1P3F1，则直线Q1B2与平面A1E2P2所成角的正弦值为（ ）
A．63B．223C．62D．23
3．在各棱长均相等的直三棱柱ABC-A1B1C1中，点M在BB1上BM=2MB1，点N在AC上且AN=2NC，则异面直线A1M与NB所成角的正切值为（ ）
A．3B．346C．63D．344
4．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别是A1D，D1B的中点，则下述结论中正确的个数为（ ）
①MN∥平面ABCD； ②平面A1ND⊥平面D1MB；
③直线MN与B1D1所成的角为45°； ④直线D1B与平面A1ND所成的角为45°．
A．1B．2C．3D．4
5．下列说法正确的是（ ）
A．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于30°
B．二面角的大小范围是[0,π]
C．两条异面直线的夹角等于它们的方向向量的夹角
D．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小
二、多选题
6．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AD，AB，B1C1的中点，以下说法正确的是（ ）
A．三棱锥C-EFG的体积为1B．A1C⊥平面EFG
C．A1D1//平面EFGD．平面EGF与平面ABCD夹角的余弦值为36
7．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，则（ ）
A．AC⊥BDB．△ACD是等边三角形
C．AB与平面BCD所成的角为60°D．AB与CD所成的角为90°
8．如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型为如图所示的六面体，其中四边形ADEH和BCFG为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形，AB=BG=3，FC=4，BC=1，下列说法不正确的是（ ）
A．该几何体是四棱台
B．该几何体是棱柱，平面ABCD是底面
C．EG⊥HC
D．平面EFGH与平面ABCD的夹角为45°
三、填空题
9．在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,且BC=3,AC=4,CC1=3,点P在棱AA1上,且三棱锥A-PBC的体积为4,则直线BC1与平面PBC所成角的正弦值等于___________．
10．在棱长为1的正方体A1B1C1D1-ABCD中，M为底面ABCD的中心，Q是棱A1D1上一点，且D1Q=λD1A1，λ∈0,1，N为线段AQ的中点，给出下列命题：
①C,M,N,Q四点共面；
②三棱锥A-DMN的体积与λ的取值有关；
③当∠QMC=90°时，λ=0；
④当λ=12时，过A,Q,M三点的平面截正方体所得截面的面积为5+322.
其中正确的有__________（填写序号）.
四、解答题
11．如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA,BD上，且PMPA=BNBD=λ0