【同步讲义】（苏教版2019）高中数学选修第二册：8.2.3二项分布 讲义

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知识精讲
知识点01 n次独立重复试验
1. n次独立重复试验
在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.
2. n次独立重复试验中事件A发生k次的概率
一般地，事件A在n次独立重复试验中发生k次，共有Ceq \\al(k,n)种情形，由试验的独立性知
" A在k次试验中发生，而在其余（n- k）次试验中不发生"的概率都是pk·(1－p)n－k，所以由概率加法公式知，如果在一次试验中事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，
事件A恰好发生k次的概率为Pk(k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k（k=0，1，2，…，n）.
注意：
（1）上述公式必须在满足“独立重复试验”时才能运用；
（2）使用公式时一定要明确该公式中各量表示的意义∶n为独立重复试验的次数；p是在1次试验中事件A发生的概率；1-p是在1次试验中事件A不发生的概率；k是在n次独立重复试验中事件A发生的次数；
（3）独立重复试验是相互独立事件的特例.一般地，有“恰好发生k次”“恰有k次发生”字样的问题，求概率时，用n次独立重复试验概率公式计算更简便.
【即学即练1】（2022·全国·）下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲､乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲､乙两名运动员各射击一次，“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次5次击中目标.其中是独立重复试验的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【即学即练2】（2021·全国·高二课时练习）独立重复试验满足的条件是___________.（填序号）
①每次试验之间是相互独立的；
②每次试验只有发生和不发生两种情况；
③每次试验中发生的机会是均等的；
④每次试验发生的事件是互斥的.
知识点02 二项分布
定义∶一般地，如果一次伯努利试验中，出现"成功"的概率为p，记q=1-p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，…k，…n}，而且P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－kk＝0,1,2，…，n.
因此X的分布列如下表所示.
称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．
二项式[(1－p)＋p]n的展开式中，第k＋1项为Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)(1－p)n－kpk，可见P(X＝k)就是二项式[(1－p)＋p]n的展开式中的第k＋1项，故此分布叫做二项分布．
注意：
（1）二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即n=1的二项分布
（2）判断一个随机变量是否服从二项分布的关键在于它是否同时满足以下三个条件∶
①对立性∶在一次试验中，事件A发生与否必居其一.
②重复性∶试验可以独立重复地进行，且每次试验事件A发生的概率都是同一常数p.
③X的取值从0到n，中间不间断.
由上可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即n=1时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式，二项分布中的每次试验的结果都服从两点分布.
【即学即练3】（2022·全国·高二课时练习）下列说法正确的个数是（ ）．
①某同学投篮的命中率为0.7，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X服从二项分布B10,0.7；
②某福彩中奖概率为p，某人一次买了20张彩票，中奖张数X是一个随机变量，且X服从二项分布B20,p；
③从装有大小与质地相同的5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X服从二项分布Bn,12．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【即学即练4】（2022·新疆石河子一中高二阶段练习（理））已知随机变量X服从二项分布X∼B6,13，则PX=2等于（ ）
A．1316B．4243C．13243D．80243
知识点03 两点分布、二项分布的均值
（1）若X服从参数为p的两点分布，则E（X）=p.
（2）若X服从参数为n，p的二项分布，即X~B（n，p），则E（X）=np
【即学即练5】（2022·湖北孝感·高二期末）已知随机变量ξ∼B6,p，且E2ξ−3=7，则Dξ=（ ）
A．56B．12C．83D．24
【即学即练6】（2022·重庆·高二阶段练习）（多选）已知随机变量X,Y满足X+Y=8，若X∼B(10,0.6)，则下列选项正确的有（ ）
A．E(x)=6B．E(Y)=6
C．D(X)=2.4D．D(Y)=2.4
知识点04 两点分布与二项分布的方差
若随机变量X服从参数为p的两点分布，则D（X）=p（1-p）.
（2）若随机变量X~B（n，p），则D（X）=np（1-p）.
【提示】 由于两点分布是特殊的二项分布，故两者之间是特殊与一般的关系．即若X~B（n，p），则D（X）=np（1-p），取n=1，则D（X）=p（1-p）就是两点分布的方差.
【即学即练7】某同学参加学校数学知识竞赛，规定每个同学答题20道，已知该同学每道题答对的概率为0.6，则该同学答对题目数量的数学期望和方差分别为（ ）
A．16,7.2B．12,7.2C．12,4.8D．16,4.8
【即学即练8】某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p，且p>12，若此人通过的科目数X的方差是43，则EX=（ ）
A．2B．3C．4D．5
能力拓展
◆考点01 二项分布的分布列
【典例1】（2022·全国·高三专题练习）福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一．纸伞的制作工序大致分为三步：第一步削伞架，第二步裱伞面，第三步绘花刷油．已知某工艺师在每个步骤制作合格的概率分别为34，45，23，只有当每个步骤制作都合格才认为制作成功1次．
(1)求该工艺师进行3次制作，恰有1次制作成功的概率；
(2)若该工艺师制作4次，其中制作成功的次数为X，求X的分布列．
【典例2】（2022·全国·高三专题练习）某市民法律援助热线电话接通率为34，小李同学及其父母3人商定明天分别就同一问题咨询该服务中心，且每人只拨打1次，求他们中成功咨询的人数X的分布列．
◆考点02二项分布概率最大值
【典例3】（2022·广东云浮·高二期末）已㭚X∼Bn,p，若4PX=2=3PX=3，则p的最大值为（ ）
A．56B．45C．34D．23
【典例4（2022·北京通州·高二期末）若X∼B10,12，则P(X=k)取得最大值时，k=（ ）
A．4B．5C．6D．5或6
◆考点03 实际问题中的二项分布
【典例5】（2022·辽宁·东北育才学校高二阶段练习）高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止现从入口放进一个白球，则其落在第③个格子的概率为（ ）
A．164B．1564C．21128D．35128
【典例6】（2022·江苏·常州市第一中学高二阶段练习）投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图所示的为一幅唐朝的投壶图，假设甲､乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，且甲､乙每次投壶投中的概率分别为12,13，每人每次投壶相互独立.若约定甲投壶2次，乙投壶3次，投中次数多者胜，则乙最后获胜的概率为___________.
◆考点04二项分布与性质的应用
【典例7】（2022·上海·华师大二附中）已知随机变量X服从二项分布B12,0.25，且EaX−3=3（a∈R），则DaX−3=___________.
【典例8】（2022·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））若随机变量X~B6,p，DX=32，则E3X−2=______.
◆考点04二项分布的均值
【典例9】（2022·广西贵港·）某学校在50年校庆到来之际，举行了一次趣味运动项目比赛，比赛由传统运动项目和新增运动项目组成，每位参赛运动员共需要完成3个运动项目．对于每一个传统运动项目，若没有完成，得0分，若完成了，得30分．对于新增运动项目，若没有完成，得0分，若只完成了1个，得40分，若完成了2个，得90分．最后得分越多者，获得的资金越多．现有两种参赛的方案供运动员选择．方案一：只参加3个传统运动项目．方案二：先参加1个传统运动项目，再参加2个新增运动项目．已知甲、乙两位运动员能完成每个传统项目的概率为12，能完成每个新增运动项目的概率均为13，且甲、乙参加的每个运动项目是否能完成相互独立．
(1)若运动员甲选择方案一，求甲得分不低于60分的概率．
(2)若以最后得分的数学期望为依据，请问运动员乙应该选择方案一还是方案二？说明你的理由．
【典例10】（2022·湖北·武汉市武钢三中）袋中有大小相同的6个球，其中1个白球，2个红球，3个黑球，今从中逐一取出一个球.
(1)若每次取球后放回，记三次取球中取出红球的次数为X，求X的分布列、期望和方差；
(2)若每次取球后不放回，直至取出3种颜色的球即停止取球，求取球次数恰好为4次的概率.
分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．甲乙两人玩闯关游戏,该游戏一共要闯三关,每个人每一关能否闯关成功是相互独立的,甲第一,第二,第三关闯关成功的概率分别是56,35,13,乙第一,第二,第三关闯关成功的概率都是35.规定每一关闯关成功记1分,未闯关成功记0分,用ξ表示甲在闯关游戏中的得分,用η表示乙在闯关游戏中的得分,则在“ξ+η=4”的条件下,“ξ>η”的概率为（ ）.
A．231B．142C．353D．1067
2．抛三枚均匀的硬币，其中恰好有两枚正面朝上的概率为（ ）
A．14B．38C．12D．58
3．计算机内部采用每一位只有0和1两个数字的记数法，即二进制．其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制构成．某计算机程序每运行一次都随机出现一个字节，记为a1a2a3a4a5a6a7a8，其中ak(k=1,2,3,4,5,6,7,8)出现0的概率为13，出现1的概率为23，记X=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，则当程序运行一次时，X的均值为（ ）
A．89B．83C．163D．169
4．若离散型随机变量X，X~B(5,p)，且E(X)=103，则PX≤2为（ ）
A．19B．427C．1781D．192243
5．已知随机变量X~B2,p，Y服从两点分布，若PX≥1=0.64，PY=1=p，则PY=0=（ ）
A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8
二、多选题
6．已知随变量从二项分布B1001,12，则（ ）
A．P(X=k)=C1001k121001B．P(X≤301)=P(X≥701)
C．P(X>E(X))>12D．PX=k最大时k=500或501
7．如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，…10，用X表示小球落入格子的号码，则（ ）
A．P(X=1)=5512B．P(X=9)=11024C．D(X)=5D．D(X)=52
8．下列说法正确的是（ ）
A．数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为9
B．已知随机变量ξ服从二项分布：ξ~B8,34，设η=2ξ+1，则η的方差D(η)=9
C．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是151
D．若样本数据x1,x2,⋯,xn的平均数为2，则3x1+2,3x2+2,⋯,3xn+2的平均数为8
9．已知随机变量X~B3,14，则（ ）
A．EX=34
B．DX=34
C．从装有3个红球、9个黑球的袋中一次性摸出3个球，则X可表示摸出的红球个数
D．桐人和茅场晶彦进行3场决斗，且桐人每场决斗的胜率均为14（不存在平手），则X可表示桐人的胜场数
三、填空题
10．已知随机变量ξ满足ξ∼B2,p，若Pξ≤1=34，则p=__________．
11．某工厂有甲､乙､丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为6%,5%,4%，假设这三条生产线产品产量的比为5:7:8，现从这三条生产线上共任意选取100件产品，则次品数的数学期望为___________.
12．奉贤中学在开学前夕举办了“建党百年”知识答题赛，其中高二年级的张老师、丁老师组队参加答题赛，比赛共分为两轮， 每轮比赛张老师、丁老师各答一题．已知张老师答对每个题的概率为23，丁老师答对每个题的概率为34，假定张老师、丁老师两人答题正确与否互不影响，则比赛结束时，张老师、丁老师两人共答对三个题的概率是______．
13．排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲､乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为______．
四、解答题
14．甲、乙两人共同抛掷一枚硬币，规定硬币正面朝上甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜，并结束游戏．
(1)求在前3次抛掷中甲得2分、乙得1分的概率；
(2)若甲已经积得2分，乙已经积得1分，求甲最终获胜的概率．
15．疫情过后，某工厂复产，为了保质保量，厂部决定开展有奖生产竞赛，竞赛规则如下：2人一组，每组做①号产品和②号产品两种，同组的两人，每人只能做1种产品且两人做不同产品，若做出的产品是“优质品”，则可获得奖金，每件①号产品的“优质品”的奖金为50元，每件②号产品的“优质品”的奖金为40元．现有甲、乙两人同组，甲做①号产品每天可做3件，做②号产品每天可做4件，做的每件①号产品或②号产品是“优质品”的概率均为34；乙做①号产品每天可做4件，做②号产品每天可做3件，做的每件①号产品或②号产品是“优质品”的概率均为23．做产品时，每件产品是否为“优质品”相互独立，甲、乙两人做产品也相互独立．
(1)若甲做①号产品，记X1为甲每天所得奖金数，Y1为乙每天所得奖金数，求X1,Y1的分布列；
(2)若要甲、乙两人每天所得奖金之和的数学期望最大，则甲应做①号产品还是②号产品？请说明理由．
题组B 能力提升练
一、单选题
一、单选题
1．已知随机变量ξi的分布列如下：
其中i=1，2，若12A．Eξ1D3ξ2+1
C．Eξ1>Eξ2，D3ξ1+1Eξ2，D3ξ1+1>D3ξ2+1
2．A、B两组各3人独立的破译某密码，A组每个人译出该密码的概率均为p1，B组每个人译出该密码的概率均为p2，记A、B两组中译出密码的人数分别为X、Y，且12A．EXDY
C．EX>EY，DXEY，DX>DY
3．排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲､乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为（ ）
A．1481B．13C．1781D．1681
4．在A、B、C三个地区爆发了流感，这三个地区A、B、C分别有6%、5%、4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为5：7：8，现从这三个地区中任意选取一个人.则下列叙述正确的是（ ）
A．这个人患流感的概率为0.15
B．此人选自A地区且患流感的概率为0.0375
C．如果此人患流感，此人选自A地区的概率为3097
D．如果从这三个地区共任意选取100人，则平均患流感的人数为4人
5．已知随机变量X∼B4,p，且EX=3，则D3X−1=（ ）
A．3B．6C．274D．234
6．1654年，德·梅雷骑士偶遇数学家布莱兹·帕斯卡，在闲聊时梅雷谈了最近遇到的一件事：某天在一酒吧中，肖恩和尤瑟纳尔两人进行角力比赛，约定胜者可以喝杯酒，当肖恩赢20局且尤瑟纳尔赢得40局时，他们发现桌子上还剩最后一杯酒，酒吧老板和伙计提议两人中先胜四局的可以喝最后那杯酒，如果四局、五局、六局、七局后可以决出胜负，那么分别由肖恩、尤瑟纳尔、酒吧伙计和酒吧老板付费．猜测最后付费的最有可能是（ ）
A．肖恩B．尤瑟纳尔C．酒吧伙计D．酒吧老板
二、多选题
7．某计算机程序每运行一次都随机出现一个n位二进制数A=a1a2a3a4⋯an，其中aii=1,2,3,⋯,n∈{0,1}，若在A的各数位上出现0和1的概率均为12，记X=a1+a2+a3+⋯+an，则当程序运行一次时（ ）
A．PX=0=12nB．PX=k=PX=n−k0≤k≤n,k∈N∗
C．X的数学期望EX=n2D．X的方差DX=n24
8．某中学积极响应国家“双减”政策，大力创新体育课堂，其中在课外活动课上有一项“投实心球”游戏，其规则是：将某空地划分成①②③④四块不重叠的区域，学生将实心球投进区域①或者②一次，或者投进区域③两次，或者投进区域④三次，即认为游戏胜利，否则游戏失败．已知小张同学每次都能将实心球投进这块空地，他投进区域①与②的概率均为p（0＜p＜1），投进区域③的概率是投进区域①的概率的4倍，每次投实心球的结果相互独立．记小张同学第二次投完实心球后恰好胜利的概率为P1，第四次投完实心球后恰好胜利的概率为P2，则（ ）
A．0B．P1=16p2
C．P2=12p+36p3−12p2
D．若P19．为了确保在发生新冠肺炎疫情时，能够短时间内完成大规模全员核酸检测工作，采用“10合1混采检测”，即：每10个人的咽拭子合进一个采样管一起检测．如果该采样管中检测出来的结果是阴性，表示这10个人都是安全的．否则，立即对该混采的10个受检者暂时单独隔离，并重新采集单管拭子进行复核，以确定这10个人中的阳性者．某地区发现有输入性病例，需要进行全员核酸检测，若该地区共有10万人，设感染率为p（每个人受感染的概率），则（ ）
A．该地区核酸检测结果是阴性的人数的数学期望为1041−p人
B．随机的10个一起检测的人所需检测的平均次数为11−101−p10次
C．该区采用“10合1混采检测”，需要重新采集单管拭子的平均人数为1051−p10人
D．该区采用“10合1混采检测”比一人一检大约少用104101−p10−1份检测试剂
10．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A＝a1a2a3a4a5（例如10100），其中A的各位数中ak（k＝2，3，4，5）出现0的概率为13，出现1的概率为23，记X=a2+a3+a4+a5，则当程序运行一次时（ ）
A．X服从二项分布B．P(X=1)=881
C．X的均值E(X)=83D．X的方差D(X)=83
三、填空题
11．设随机变量ξ~B(2,p),η~B(3,p)，若P(ξ≥1)=59，则P(η≥2)=_________．
12．设随机变量X服从二项分布B2,p，若PX≥1=3536，则p=______．
13．小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分．现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为X，则X的均值为________．
14．设随机变量X~B(2,p)，满足P(X≥1)=1516．若Y=2X−1，则D(Y)=_____．
四、解答题
15．世界杯足球赛淘汰赛阶段的比赛规则为：90分钟内进球多的球队取胜，如果参赛双方在90分钟内无法决出胜负（踢成平局），将进行30分钟的加时赛，若加时赛阶段两队仍未分出胜负，则进入“点球大战”．点球大战的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5球前，一队进球数已多于另一队踢5球可能踢中的球数，则该队胜出，譬如：第4轮结束时，双方进球数比2:0，则不需踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮．直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜．现有甲乙两队在淘汰赛中相遇，双方势均力敌，120分钟（含加时赛）仍未分出胜负，须采用“点球大战”决定胜负．设甲队每名球员射进的概率为12，乙队每名球员射进的概率为23．每轮点球结果互不影响．
(1)设甲队踢了5球，X为射进点球的个数，求X的分布列与期望；
(2)若每轮点球都由甲队先踢，求在第四轮点球结束时，乙队进了4个球并刚好胜出的概率．
16．为了增强学生的国防意识，某中学组织了一次国防知识竞赛，高一和高二两个年级学生参加知识竞赛，
(1)两个年级各派50名学生参加国防知识初赛，成绩均在区间50,100上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点），估计学生的成绩的平均分（若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)两个年级各派一位学生代表参加国防知识决赛，决赛的规则如下：①决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，两队累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军；②如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为3:0，则不需再答第4轮了；③设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是34，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是23，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响
（i）在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记X为答对题目的数量，求X的分布列及数学期望
（ii）求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率
题组C 培优拔尖练
1．某学校共有5个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐（选择到每个餐厅概率相同），则下列结论正确的是（ ）
A．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为24125
B．四人去了同一餐厅就餐的概率为11296
C．四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为96625
D．四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为45
\2．2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市.为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
(1)在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求在抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”超过40人的条件下，“单板滑雪”不超过30人的概率；
(2)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行､转弯､停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”.则该轮测试记为“优秀”，在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为13，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？课程标准
重难点
1.结合生活中的实例，了解二项分布. 2。了解二项分布的均值和方差及意义.
重点：二项分布的理解；
难点：二项分布的均值和方差及意义.
X
0
1
…
k
…
n
P
Ceq \\al(0,n)(1－p)n
Ceq \\al(1,n)p1(1－p)n－1
…
Ceq \\al(k,n)pk·(1－p)n－k
…
Ceq \\al(n,n)pn·(1－p)0
ξi
0
1
2
P
1−pi2
2pi1−pi
pi2