初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数学案设计

这是一份初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数学案设计，文件包含九年级数学上册第10讲二次函数图象的轴对称性质的运用原卷版-2022-2023学年九年级数学上册常考点数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升docx、九年级数学上册第10讲二次函数图象的轴对称性质的运用解析版-2022-2023学年九年级数学上册常考点数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升docx等2份学案配套教学资源，其中学案共39页， 欢迎下载使用。
第10讲 二次函数图象的轴对称性质的运用（解析版）
第一部分 典例剖析+针对训练
类型一 确定a,b,c及其代数式的取值或取值范围
典例1（2022•嘉峪关三模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②2c＜3b；③a+2b＞m（am+b）（m≠1）；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．其中，正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
思路引领：根据二次函数的图象可知a＜0，b＞0，c＞0，然后由图象可知当x＝1时，y的最大值为a+b+c．当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0．若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，分别设为x1，x2，x3，x4，再由图象对称性可知x1+x2＝2，x3+x4＝2．
解：①、由图象可知：−b2a=1＞0，a＜0，c＞0，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①不符合题意．
②、由①知：b＝﹣2a，
由图象可知：x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，
∴3a+c＜0，
∴2c﹣3b＝2c+6a＝2（3a+c）＜0，
即2c＜3b，故②符合题意．
③由图象可知：当x＝1时，y的最大值为a+b+c，
∴当x＝m（≠1）时，
am2+bm+c＜a+b+c，
∴m（am+b）＜a+b，
∵a+b﹣a﹣2b＝﹣b＜0，
∴a+b＜a+2b，
∴a+2b＞m（am+b），故③符合题意．
④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，分别设为x1，x2，x3，x4，
其中x1，x2是方程ax2+bx+c＝1的两个根，x3，x4是方程ax2+bx+c＝﹣1的两个根，
则x1+x2＝2，x3+x4＝2，
即这四个根的和为4，故④不符合题意．
故选：B．
解题秘籍：本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数之间的关系，本题属于中等题型．
针对训练1
1．（2022•榆阳区二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，已知其对称轴为x＝1，则下列结论正确的是（　　）
A．abc＜0 B．2a﹣b＝0 C．5a+3b+2c＜0 D．4ac﹣b2＞0

思路引领：根据抛物线开口方向，对称轴的位置、与y轴的交点位置分别判断a、b、c的符号，从而判断选项A；根据对称轴x＝1判断选项B；对于二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝1时，y＝a+b+c，当x＝2时，y＝4a+2b+c，而5a+3b+2c就等于当x＝1与x＝2时二次函数值的和，据此可判断选项C；根据抛物线与x轴的交点个数判断选项D．
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在x轴正半轴，
∴−b2a＞0，
∴a、b异号，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故选项A错误；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴−b2a=1，即b＝﹣2a．
∴2a+b＝0，故选项B错误；
由题图可得，当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＝2时，与x＝0时抛物线上的两个点关于对称轴对称．即（2，4a+2b+c）与（0，c）关于对称轴对称．
∴4a+2b+c＝c．
∵c＜0，
∴4a+2b+c＜0．
∴（a+b+c）+（4a+2b+c）＜0，即5a+3b+2c＜0．故选项C正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0．
∴4ac﹣b2＜0故选项D错误．
故选：C．
解题秘籍：本题考查了二次函数的图象与性质及抛物线与一元二次方程的关系，熟记抛物线与x轴交点的横坐标就是其所对应一元二次方程的解是解题的关键．
类型二 根据纵坐标相等求代数式的值
典例2（2021秋•镜湖区月考）已知点P（a，m）和Q（b，m）是抛物线y＝2x2+4x﹣3上的两个不同点，则当x＝a+b时，则代数式2x2﹣x＝　 　．
思路引领：由于P、Q两点的纵坐标相等，故这两点是抛物线上关于对称轴对称的两点；而抛物线y＝2x2+4x﹣3的对称轴为x＝﹣1，根据对称轴x=a+b2，可求a+b的值，代入代数式即可．
解：已知点P（a，m）和Q（b，m）是抛物线y＝2x2+4x﹣3上的两个不同点，
因为点P（a，m）和Q（b，m）点的纵坐标相等，
所以，它们关于其对称轴对称，
而抛物线y＝2x2+4x﹣3的对称轴为x＝﹣1；
故有a+b＝﹣2，
所以x＝a+b＝﹣2，
代入代数式得：2x2﹣x＝2×4+2＝10，
故答案为10．
解题秘籍：本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，以及关于y轴对称的点坐标之间的关系．
针对训练2
2．（2020•浙江自主招生）已知二次函数y＝2x2+9x+34，当自变量x取两个不同的值x1，x2时，函数值相等，则当自变量x取x1+x2时的函数值是 　．
思路引领：由题意可知以这两个自变量的值为横坐标的点，关于抛物线的对称轴对称，即可求解．
解：当自变量x取两个不同的值x1、x2时，函数值相等，
则以x1、x2为横坐标的两点关于直线x=−94对称，
所以有x1+x22=−94，所以x1+x2=−92，
当x=−92时，y＝34，
故答案为：34．
解题秘籍：此题考查利用二次函数的对称性解决问题．
3．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），且当x＝0和x＝﹣2时所对应的函数值相等，二次函数图象与y轴交于C点，与x轴的另一个交点为B．
（1）求二次函数的表达式；
（2）设点M在第二象限，且在抛物线上，如果△MBC的面积最大，求此时点M的坐标．
思路引领：（1）根据二次函数的图象具有对称性，由当x＝0和x＝﹣2时所对应的函数值相等，可以得到对称轴，由二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），从而可以求得二次函数的解析式；
（2）根据题意可以设出点M的坐标，可以表示出△MBC的面积，从而可以求得△MBC的面积的最大值，进而求得点M的坐标．
解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），且当x＝0和x＝﹣2时所对应的函数值相等，
∴抛物线的对称轴为直线x=0+(−2)2=−1，
∴−1+b+c=0−b2×(−1)=−1
解得b=−2c=3
即二次函数的表达式是；y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝（x+3）（﹣x+1），
∴点B的坐标是（﹣3，0），点C的坐标是（0，3），
设过点B、C的直线解析式是y＝kx+b，
−3k+b=0b=3
解得k=1b=3
即过点B、C的直线的解析式是y＝x+3，
设点M的坐标是（m，﹣m2﹣2m+3），
将x＝m代入y＝x+3得，y＝m+3，
∴S△MBC=[(−m2−2m+3)−(m+3)]×[0−(−3)]2=−32(m+32)2+278，
∴当m=−32时，△MBC取得最大值，
∴点M的坐标是（−32，154）．
解题秘籍：本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的最值、用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
类型三 求两线段之和的最小值
典例3（2021•安定区校级三模）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，−52）三点

（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，则点P的坐标为　 　；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
思路引领：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，−52）三点代入求出a、b、c的值即可；
（2）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；
（3）分点N在x轴下方和上方两种情况进行讨论．
解：（Ⅰ）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，−52）三点在抛物线上，
∴a−b+c=025a+5b+c=0c=−52，
解得：a=12b=−2c=−52
∴抛物线解析式为：y=12x2﹣2x−52；
（2）连接BC，如图1所示，

∵抛物线的解析式为：y=12x2﹣2x−52，
∴其对称轴为直线x=−b2a=−−22×12=2，
连接BC，如图1所示，

设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），且过B（5，0），C（0，−52）
∴5k+b=0b=−52，
解得k=12b=−52，
∴直线BC的解析式为y=12x−52，
当x＝2时，y＝1−52=−32，
∴P（2，−32），
故答案为：（2，−32）；

（3）存在点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形．
如图2所示，

①当点N在x轴下方时，
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，C（0，−52），
∴N1（4，−52）；
②当点N在x轴上方时，
如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，
在△AN2D与△M2CO中，
∠N2AD=∠CM2OAN2=CM2∠AN2D=∠M2CO
∴△AN2D≌△M2CO（ASA），
∴N2D＝OC=52，即N2点的纵坐标为52．
∴12x2﹣2x−52=52，
解得x＝2+14或x＝2−14，
∴N2（2+14，52），N3（2−14，52）．
综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，−52）或（2+14，52）或（2−14，52）．
解题秘籍：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．
针对训练3
4．（2020秋•新华区校级月考）已知抛物线经过A（1，0），B（5，0），C（0，4），Q四个点，且点Q在x轴下方．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）P是抛物线对称轴上的一点，直接写出满足PA+PC的值为最小的点P坐标；
（3）点Q是否能使得△ABQ的面积和△ABC的面积相等？若能，请直接写出此时的点Q的坐标；若不能，请说明理由．
思路引领：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，将点A、B、C的坐标代入二次函数解析式即可求解；
（2）连接B、C交对称轴于点P，此时PA+PC的值为最小，即可求解；
（3）求出△ABC=12AB•OC=12×4×4＝8，设点Q的坐标为（x，45x2−245x+4），根据△ABQ的面积和△ABC的面积相等列方程，利用根的判别式即可求解．
解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
∵抛物线经过A（1，0），B（5，0），C（0，4），
∴0=a+b+c0=25a+5b+c4=c，解得：a=45b=−245c=4．
故抛物线解析式为y=45x2−245x+4．
函数的对称轴为：x=5+12=3；

（2）连接B、C交对称轴于点P，此时PA+PC的值为最小，

将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：0=5k+bb=4，
解得：k=−45b=4，
直线BC的表达式为：y=−45x+4，
当x＝3时，y=85，
故点P（3，85）；

（3）不能，理由：
设点Q的坐标为（x，45x2−245x+4），
∵A（1，0），B（5，0），C（0，4），
∴AB＝4，OC＝4，
∴S△ABC=12AB•OC=12×4×4＝8，
∵△ABQ的面积和△ABC的面积相等，
∴S△ABQ=12AB×|yQ|＝2×|yQ|＝8，
∵点Q在x轴下方，
∴yQ=−45x2+245x﹣4，
∴2（−45x2+245x﹣4）＝8，
整理得：x2﹣6x+10＝0，
Δ＝36﹣40＝﹣4＜0，
∴原方程无解，
∴点Q不能使得△ABQ的面积和△ABC的面积相等．
解题秘籍：本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求二次函数解析式、一次函数的性质、图形的面积计算、根的判别式等，其中（2），求线段和的最小值，采用的是点的对称性求解，这也是此类题目的一般解法．
类型四 综合运用
典例4（2021•罗平县模拟）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，顶点为D，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）若点（x1，y1），（x2，y2）是抛物线上任意两点，其中x1＜x2，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；
（2）若C（0，﹣3），点P是该抛物线对称轴上的一动点，当点P到直线CD的距离等于点P到点A的距离时，求点P的坐标．

思路引领：（1）当x＝0时，y＝c，而函数的对称轴为x＝1，而x＝2和x＝0，关于直线x＝1对称，即可求解；
（2）PH=22PD=22|m+4|，而AP=(−1−1)2+m2=PH=22|m+4|，即可求解．
解：（1）当x＝0时，y＝c，
而函数的对称轴为直线x＝1，
而x＝2和x＝0，关于直线x＝1对称，
∴当x＝0或2时，y1＝y2＝c，
即当（设x1＜x2）x1，x2为0、2时，y1＝y2＝c；

（2）设点P的坐标为（1，m），
由题意得：c=−3−b2×1=1，解得b=−2c=−3，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴点D的坐标为（1，﹣4），
令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝3或﹣1，
故点A的坐标为（﹣1，0），
由点C、D的坐标得：直线CD的表达式为y＝﹣x﹣3，
过点P作PH⊥CD交CD于点H，

由直线CD的表达式知，∠CDP＝45°，
则PH=22PD=22|m+4|，
而AP=(−1−1)2+m2=PH=22|m+4|，
解得m＝4±26，
故点P的坐标为（1，4+26）或（1，4﹣26）．
解题秘籍：本题考查抛物线与x轴的交点，涉及到一次函数的性质、解直角三角形、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中．
针对训练4
5．（2020秋•海淀区校级月考）在平面直角坐标系．xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＜4，都有y1＞y2，求t的取值范围．
思路引领：（1）根据抛物线的对称性解决问题即可．
（2）由题意点（x1，0），（x2，0）连线的中垂线与x轴的交点的坐标小于2，利用二次函数的性质判断即可．
解：（1）由题意y1＝y2＝c，
∴x1＝0，
∵对称轴x＝1，
∴M，N关于x＝1对称，
∴x2＝2，
∴x1＝0，x2＝2时，y1＝y2＝c．
（2）①当x2≤t时，恒成立．
②当t≤x1＜x2时，恒不成立．
③当x1＜t．x2＞t时，
∵抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＜4，都有y1＞y2，
当x1+x2＝4，且y1＝y2时，对称轴x＝2，
∴满足条件的值为：t≥2．
解题秘籍：本题考查二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
第二部分 专题提升训练
1．（2022•烟台一模）一次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②若（﹣3，y1），（4，y2）在抛物线上，则y1＜y2；③当﹣1＜x＜3时，y＜0时；④8a+c＞0．其中正确的有（　　）

A．①② B．①④ C．①③④ D．②④
思路引领：根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线与y轴的交点位置可得c＜0，抛物线的对称轴可得b＜0，即可对①进行判断；通过抛物线的对称性和增减性即可对②进行判断；利用抛物线与不等式的关系即可对③进行判断；通过x＝﹣2时的函数值大于0及对称轴即可对④进行判断．
解：①由图可得：抛物线开口向上，则a＞0；
抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，
抛物线的对称轴为x=−b2a=1，则b＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②（﹣3，y1）关于对称轴x＝1的对称点为：（5，y1），
∵x＞1时，y随x的增大而增大，
∴5＞4时，y2＜y1，
∴若（﹣3，y1），（4，y2）在抛物线上，则y1＞y2，
故②错误；
③观察图象，抛物线与x轴的一个交点为﹣1＜x＜0，
∴当﹣1＜x＜3时，y不一定小于0，
故③错误；
④当x＝﹣2时，y＞0，则4a﹣2b+x＞0，
∵b＝﹣2a，
∴8a+c＞0，
故④正确；
综上，正确的有①④，
故选：B．
解题秘籍：本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，掌握二次函数系数符号与抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线的增减性，抛物线与不等式的关系等是解题关键．
2．（2022•丹棱县模拟）二次函数y＝ax+bx+c2（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（　　）

A．abc＞0 B．b2＞4ac
C．当﹣3≤x≤1时，y≥0 D．3a+c＝1
思路引领：由抛物线对称轴在y轴左侧，抛物线与y轴交点在x轴上方可判断选项A，由抛物线与x轴交点个数可判断选项B，由抛物线对称性及抛物线经过（1，0）可判断选项C，由a与b的关系及抛物线经过（1，0）可判断选项D．
解：∵抛物线对称轴为直线x=−b2a＜0，
∴ab＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0．选项A正确．
∵抛物线与x轴有两个不同交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，选项B正确．
∵抛物线经过（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线经过（﹣3，0），
∴﹣3≤x≤1时，y≥0，选项C正确．
∵−b2a=−1，
∴b＝2a，
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝3a+c＝0，选项D错误．
故选：D．
解题秘籍：本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
3．（2022•南安市模拟）将抛物线y＝﹣（x﹣1）2位于直线y＝﹣1以下的图象沿直线y＝﹣1向上翻折所得的图象与不翻折的部分组成新图象，若新图象与直线y＝﹣x+a的交点少于4个，则a的取值范围是（　　）
A．a≤1或a≥98 B．−1≤a≤54 C．1≤a≤98 D．a≤1或a≥54
思路引领：分别求出新图象与直线y＝﹣x+a的交点有3个时a的值，再结合图象可得答案．
解：如图：

在y＝﹣（x﹣1）2中，令y＝﹣1得x＝2或x＝0，
∴B（2，﹣1），
由图可知，当直线y＝﹣x+a经过B时，新图象与直线y＝﹣x+a的交点有3个，
此时﹣1＝﹣2+a，
∴a＝1，
当直线y＝﹣x+a为直线l2时，新图象与直线y＝﹣x+a的交点有3个，
此时﹣（x﹣1）2＝﹣x+a有两个相等实数根，
即x2﹣3x+a+1＝0的判别式Δ＝0，
∴9﹣4（a+1）＝0，
∴a=54，
由图可知，若新图象与直线y＝﹣x+a的交点少于4个，则a≤1或a≥54，
故选：D．
解题秘籍：此题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数的性质、函数图象交点以及根据值域确定二次函数参数取值范围的问题，综合性强，难度较大．
4．（2022•碑林区校级模拟）已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1．若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，且x1＜x2，﹣2＜x1＜﹣1，则下列说法正确的是（　　）

A．ab＞0 B．x1+x2＝1 C．4＜x2＜5 D．3＜x2＜4
思路引领：根据抛物线的对称性，根据抛物线与x轴的一个交点位置确定另一个交点位置即可．
解：由题意可知，（x1，0）（x2，0）是抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点，
∵抛物线的对称轴为直线x＝1．且x1＜x2，﹣2＜x1＜﹣1，
∴3＜x2＜4，
故选：D．
解题秘籍：本题考查二次函数与x轴的交点，掌握二次函数的对称性是正确判断的前提．
5．（2021秋•南沙区期末）已知平面直角坐标系中有点A（﹣4，﹣4），点B（a，0），二次函数y＝x2+（k﹣3）x﹣2k的图象必过一定点C，则AB+BC的最小值是（　　）
A．413 B．213 C．62 D．32
思路引领：先通过二次函数的解析式求得C的坐标，然后作C关于x轴的对称点C′（2，2），连接AC′，交x轴于B，此时，
AB+BC的值最小，最小值为AC′．
解：二次函数y＝x2+（k﹣3）x﹣2k＝（x﹣2）（x﹣1）+（x﹣2）k﹣2＝（x﹣2）（x﹣1+k）﹣2，
∴图象必过一定点C（2，﹣2），
∴点C关于x轴的对称点C′（2，2），
∵A（﹣4，﹣4），
∴AC′=(−4−2)2+(−4−2)2=62，
∴AB+BC的最小值是62，
故选：C．

解题秘籍：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，轴对称﹣最小距离问题，正确求得C的坐标是解题的关键．
6．（2022•海曙区校级开学）函数y＝ax2+bx+3，当x＝1与x＝2021时，函数值相等，则当x＝2022时，函数值等于（　　）
A．﹣3 B．−32 C．32 D．3
思路引领：根据二次函数的图象具有对称性，可以得到该函数的对称轴，从而可以得到和x＝2022对应函数值相等的自变量x的值，然后即可得到当x＝2022时的函数值．
解：∵二次函数y＝ax2+bx+3，当x＝1与x＝2021时，函数值相等，
∴该函数的对称轴为直线x=1+20212=1011，
∴x＝2022和x＝1011×2﹣2022＝0时的函数值相等，
∵当x＝0时，y＝3，
∴当x＝2022时，y＝3，
故选：D．
解题秘籍：本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确二次函数的性质，求出该函数的对称轴．
7．（2021•杭州模拟）已知二次函数y＝x2+mx+n，当x＝0和x＝2时对应的函数值相等，则下列说法中不正确的是（　　）
A．抛物线y＝x2+mx+n的开口向上
B．抛物线y＝x2+mx+n与y轴有交点
C．当n＞1时，抛物线y＝x2+mx+n与x轴有交点
D．若P（﹣1，y1），Q（3，y2）是抛物线y＝x2+mx+n上两点，则y1＝y2
思路引领：根据函数图象的性质和特点，逐次求解即可．
解：A．∵1＞0，故抛物线开口向上，故A正确，不符合题意；

B．二次函数y＝x2+mx+n为开口向上的抛物线，一定和y轴有交点，故B正确，不符合题意；

C．当x＝0和x＝2时对应的函数值相等，则抛物线的对称轴为直线x=12（0+2）＝1=−m2×1，解得m＝﹣2，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x+n，当n＞1时，
则△＝4﹣4n＜0，故抛物线y＝x2+mx+n与x轴无交点，故C错误，符合题意；

D．由点P、Q的坐标知，这两个点关于抛物线对称轴对称，故y1＝y2正确，不符合题意；
故选：C．
解题秘籍：本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
8．（2022•茶陵县模拟）已知二次函数y＝x2+mx+n，当x＝0和x＝2时对应的函数值相等，则下列说法中不正确的是（　　）
A．抛物线y＝x2+mx+n的开口向上
B．当n＞1时，抛物线y＝x2+mx+n与x轴有交点
C．抛物线y＝x2+mx+n与y轴有交点
D．若P（﹣1，y1），Q（3，y2）是抛物线y＝x2+mx+n上两点，则y1＝y2
思路引领：由函数的二次项系数a＞0得到函数图象开口向上；由x＝0和x＝2时对应的函数值相等得到函数的对称轴，进而求得m的值，然后通过二次函数图象与x轴的交点与系数之间的关系求得当n＞1时，抛物线与x轴的交点个数；令x＝0求得函数与y轴的交点；然后由对称轴和开口方向得到函数的增减性求得y1与y2之间的关系．
解：∵函数的二次项系数a＞0，
∴函数图象开口向上，故选项A正确，不符合题意；
∵x＝0和x＝2时对应的函数值相等，
∴函数的对称轴为直线x＝1，
∴−m2=1，
∴m＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+n，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4n＝4﹣4n，
当n＞1时，4﹣4n＜0，
∴当n＞1时，抛物线y＝x2+mx+n与x轴没有交点，故选项B错误，符合题意；
当x＝0时，y＝n，
∴抛物线y＝x2+mx+n与y轴有交点，故选项C正确，不符合题意；
∵对称轴为直线x＝1，开口向上，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，
∵−1+32=1，
∴y1＝y2，故选项D正确，不符合题意；
故选：B．
解题秘籍：本题考查了二次函数的解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与x轴的交点，解题的关键是熟知由已知条件得到函数的对称轴．
9．（2022•高青县一模）已知点A（2，4），B（0，1），点M在抛物线y=14x2上运动，则AM+BM的最小值为 　 　．
思路引领：设点M（m，14m2），用含m代数式表示BM=14m2+1，可得点M到点B的距离与点M到直线y＝﹣1的距离相等，进而求解．
解：设点M（m，14m2），
则点M到x轴距离为14m2，BM=(m−0)2+(14m2−1)2=14m2+1，
∴点M到点B的距离与点M到直线y＝﹣1的距离相等，
∵点A横坐标为x＝2，
∴点M为直线x＝2与抛物线交点，
如图，设直线x＝2与直线y＝﹣1交点B'（2，﹣1），

∴AB'为AM+BM最小值，AB'＝4﹣（﹣1）＝5，
故答案为：5．
解题秘籍：本题考查二次函数与图形的结合问题，解题关键是找出抛物线y=14x2上的点到（0，1）的距离的特点．
10．（2021秋•天河区期末）已知二次函数y＝3（x﹣5）2，当x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x=x1+x22时，函数值为 　 　．
思路引领：根据题目中的函数解析式和题意，可知x=x1+x22=5，从而可以得到当x=x1+x22时的函数值．
解：∵二次函数y＝3（x﹣5）2，
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝5，
∵当x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，
∴当x=x1+x22=5时，此时函数值为0，
故答案为：0．
解题秘籍：本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数图象具有对称性解答．
11．（2021秋•泰安期末）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，且经过（0，2），有下列结论：①ac＞0；②b2﹣4ac＞0；③a+c＜2﹣b；④a＜−14；⑤x＝﹣5和x＝7时函数值相等，其中正确的结论有　 　．

思路引领：由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线与y轴的交点位置得c＞0，所以ac＜0；由于抛物线与x轴有2个交点，所以b2﹣4ac＞0；根据抛物线的对称轴为直线x＝1，则x＝1时，y最大，所以a+b+c＞2，即a+c＞2﹣b；由于x＝﹣2时，y＜0，所以4a﹣2b+c＜0，由于−b2a=1，c＝2，则4a+4a+2＜0，所以a＜−14；由于抛物线的对称轴为直线x＝1，根据抛物线的对称性得到x＝﹣5和x＝7时函数值相等．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴ac＜0，所以①错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，y最大，即a+b+c＞2，
∴a+c＞2﹣b，所以③错误；
∵x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，
而−b2a=1，c＝2，
∴4a+4a+2＜0，
∴a＜−14，所以④正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝﹣5和x＝7时函数值相等，所以⑤正确．
故答案为：②④⑤
解题秘籍：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
12．（2022春•思明区校级月考）关于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（a＞0）的四个结论：
①对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；
②对任意a＞0，一定存在实数x，使得代数式ax2﹣4ax﹣5的值为0；
③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则0＜a≤1；
④对于a（＞0）的每一个确定值，若一元二次方程ax2﹣4ax﹣5a＝p（p为常数，p＜0）的根为整数，则p的值只有两个．
其中正确的结论是 　 　（填写序号）．
思路引领：由题意可求次函数y＝ax2﹣4ax﹣5的对称轴为直线x＝2，由对称性可判断①；利用一元二次方程根的判别式可判断②；根据一元二次方程根与系数的关系可求解，可判断③；由一元二次方程一元二次方程ax2﹣4ax﹣5＝p（p为常数，p＜0）的根为整数，可得根只能为0、2、4，进一步即可判断结论④．
解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5的对称轴为直线x=−−4a2a=2，
∴x1＝2+m与x2＝2﹣m关于直线x＝2对称，
∴对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；
故①正确；
∵a＞0，
∴Δ＝（﹣4a）2﹣4a•（﹣5）＝16a2+20a＞0，
∴方程ax2﹣4ax﹣5＝0有两个实数根，
∴对任意a＞0，一定存在实数x，使得代数式ax2﹣4ax﹣5的值为0，
故②正确；
设A（x1，0），B（x2，0），则AB＝|x1﹣x2|，
∴x1、x2是方程ax2﹣4ax﹣5＝0（a＞0）的两个解，
∴x1+x2＝4，x1x2=−5a，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2，＝16+20a，
∵AB≤6，
∴16+20a≤36，
∵a＞0，
∴20a≥20，
∴a≥1，
∴抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则a≥1，
故③错误；
如图，
∵p＜0，方程ax2﹣4ax﹣5＝p的根为整数，
∴根只能为0、2、4，
第一种情况：根为0和4，
第二种情况：两根相等且为2，
∴p的值只有两个，
故④正确．
故答案为：①②④．
解题秘籍：本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系是解决本题的关键．
13．（2021秋•永城市月考）已知二次函数y＝ax2+bx﹣5，当x＝1与x＝2021时，函数值相等．则当x＝2022时，函数值等于 　 ．
思路引领：根据二次函数的图象具有对称性，可以得到该函数的对称轴，从而可以得到和x＝2022对应函数值相等的自变量x的值，然后即可得到当x＝2022时的函数值．
解：∵二次函数y＝ax2+bx﹣5，当x＝1与x＝2021时，函数值相等，
∴该函数的对称轴为直线x=1+20212=1011，
∴x＝2022和x＝1011×2﹣2022＝0时的函数值相等，
∵当x＝0时，y＝﹣5，
∴当x＝2022时，y＝﹣5，
故答案为：﹣5．
解题秘籍：本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确二次函数的性质，求出该函数的对称轴．
14．（2022•鹿城区一模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣1，0），（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式和对称轴．
（2）该抛物线向上平移m（m＞0）个单位长度后，与y轴相交于点A，与直线y＝2x交于第一象限点B，若点A，B的纵坐标相等，求m的值．

思路引领：（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b与c的值即可；
（2）写出平移后的解析式，即可求得A、B的坐标，根据点A，B的纵坐标相等得到3+m＝23+m，解得m＝1．
解：（1）把（﹣1，0），（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：−1−b+c=0c=3，
解得：b=2c=3，
则抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1；

（2）将抛物线向上平移m（m＞0）个单位长度后得y＝﹣（x﹣1）2+4+m，
令x＝0，则y＝3+m，
∴A（0，3+m），
解y=−(x−1)2+4+my=2x得x=3+my=23+m或x=−3+my=−23+m，
∴B（3+m，23+m），
∵点A，B的纵坐标相等，
∴3+m＝23+m，
解得m＝1或m＝﹣3（舍去），
故m的值为1．
解题秘籍：此题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
15．（2020秋•寻乌县期末）已知二次函数y＝x2﹣mx+3在x＝0和x＝2时的函数值相等，那么m的值是　 　．
思路引领：由当x＝0和x＝2时的函数值相等可得二次函数图象的对称轴x=0+22=−m2，据此可得m的值．
解：∵当x＝0和x＝2时的函数值相等，
∴二次函数图象的对称轴x=0+22=1，
∵对称轴x=−−m2×1=12m，
∴12m＝1，即m＝2，
故答案为：2．
解题秘籍：本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，根据当x＝0时的函数值与x＝2时的函数值相等得出函数图象的对称轴是解题的关键．
16．（2022•兰山区一模）如图，抛物线y=−14x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y=−14x+1过B、C两点，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M（3，1）是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PM的最小值．

思路引领：（1）直线y=−14x+1过B、C两点，可求B、C两点坐标，把B（4，0），C（0，2）分别代入y=−14x2+bx+c，可得解析式；
（2）设点D的坐标为（x，−14x2+34x+1），则点E的坐标为（x，−14x+1），得DE=−14x2+x，当x＝2时，线段DE的长度最大，此时，点D的坐标为（2，32），即点C和点M关于对称轴对称，连接CD交对称轴于点P，此时PD+PM最小，连接CM交直线DE于点F，则∠DFC＝90°，由勾股定理得CD=172，根据PD+PM＝PC+PD＝CD，即可求解．
解：（1）∵直线y=−14x+1过B、C两点，
当x＝0时，得y＝1，
∴C（0，1），
当y＝0时，代入y=−14x+1，得x＝4，
∴B（4，0），
把B（4，0），C（0，1）分别代入y=−14x2+bx+c，
得−4+4b+c=0c=1，
解得：b=34c=1，
∴抛物线的解析式为y=−14x2+34x+1；
（2）设点D的坐标为（x，−14x2+34x+1），
则点E的坐标为（x，−14x+1），
∴DE=−14x2+34x+1﹣（−14x+1）=−14x2+34x+1+14x﹣1=−14x2+x=−14（x﹣2）2+1，
∵−14＜0，
∴当x＝2时，DE有最大值，最大值为1，
此时，点D的坐标为（2，32），
∵C（0，1），M（3，1），
∴点C和点M关于对称轴对称，
连接CD交对称轴于点P，此时PD+PM最小，如图所示：

连接CM交直线DE于点F，则∠DFC＝90°，点F的坐标为（2，1），
∴CD=CF2+DF2=172，
∵PD+PM＝PC+PD＝CD，
∴PD+PM的最小值为172．
解题秘籍：本题考查二次函数的应用，解本题的关键熟练掌握数形结合思想、二次函数的性质、对称性．

17．（2021秋•宽城区期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3，抛物线上不重合的两点A、B的横坐标分别为2n﹣1，n+3．
（1）求这条抛物线的顶点C的坐标．
（2）若A、B两点的纵坐标相等，求n的值．
（3）当点A在对称轴左侧时，将抛物线上A、B两点之间（含A、B两点）的图象记为L，设图象L的最高点与最低点的纵坐标之差为d，求d与n之间的函数关系式，并直接写出d随n的增大而减小时n的取值范围．
（4）当点A在点B的左侧时，过A、B两点分别向抛物线的对称轴作垂线，垂足分别为点M、N（点M、N不与顶点C重合）．若点M、N、C中其中一点到另两点距离相等，直接写出n的值．
思路引领：（1）配方成顶点式即可得出答案；
（2）由A、B两点的纵坐标相等知点A、B关于对称轴对称，据此求解可得；
（3）先得出A、B的坐标分别为（2n﹣1，4n2﹣8n）、（n+3，n2+4n），再分n≤﹣2，﹣2＜n≤0、0＜n＜1三种情况分别求解；
（4）由点A、B的坐标分别为（2n﹣1，4n2﹣8n）、（n+3，n2+4n）知点M（1，4n2﹣8n），N（1，n2+4n），再分点N是MC中点和点M是NC中点两种情况求解即可．
解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线顶点C的坐标为（1，﹣4）；
（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴2n−1+n+32=1．
∴n＝0；
（3）点A、B的坐标分别为（2n﹣1，4n2﹣8n）、（n+3，n2+4n）．
当n≤﹣2时，d＝4n2﹣8n﹣（n2+4n）＝3n2﹣12n．
当﹣2＜n≤0时，d＝4n2﹣8n﹣（﹣4）＝4n2﹣8n+4．
当0＜n＜1时，d＝n2+4n﹣（﹣4）＝n2+4n+4．
当n≤0时，d随n的增大而减小．
（4）∵点A、B的坐标分别为（2n﹣1，4n2﹣8n）、（n+3，n2+4n），
∴点M（1，4n2﹣8n），N（1，n2+4n），
①当点N是MC中点时，有（4n2﹣8n）﹣（n2+4n）＝n2+4n﹣（﹣4），
整理，得：n2﹣8n﹣2＝0，
解得n＝4+32或n＝4﹣32，
∵点A在点B的左侧，
∴2n﹣1＜n+3，即n＜4，
∴n＝4﹣32；
②当点M是NC中点时，有（n2+4n）﹣（4n2﹣8n）＝4n2﹣8n﹣（﹣4），
整理，得：7n2﹣20n+4＝0，
解得n=10±627；
综上，n的值为4−32或10−627或10+627．
解题秘籍：本题是二次函数综合问题，考查了二次函数的最值，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握基本知识是解题的关键．