第15讲 旋转图形中的全等模型-2022-2023学年九年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版）

第15讲   旋转图形中的全等模型（解析版）

第一部分 典例剖析+针对训练

类型一 半角模型

名师点金：共顶点的两个角所含小脚的度数是大角度数的一半，半角模型。常见的是60°含30°，90°含45°，120°含60°。

典例1 （2022春•金牛区期中）已知，如图1，四边形ABCD是正方形，E，F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．

（1）在图1中，连接EF，为了证明结论“EF＝BE+DF”，小亮将△ADF绕点A顺时针旋转90°后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；

（2）如图2，当∠EAF绕点A旋转到图2位置时，试探究EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？

针对训练1

1．（2020秋•海淀区期中）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．

（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），试猜想线段AE、CF、EF之间存在的数量关系为　         　．（不需要证明）；

（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

类型二 对角互补四边形模型

名师点金：可以过一顶点向对角两边作垂线，构造全等或相似。（本专题不涉及相似），此模型有时会结合四点共圆考查。

典例2已知如图，点P是∠MON角平分线上的一点，∠APB分别交直线OM，ON于点A，B，∠APB＝120°，∠MON＝60°．

（1）求证：PA＝PB；

（2）若OA＝3，OB＝6，求OP的值；

（3）当点A在射线OM的反向延长线上时，请探究线段OA，OB，OP之间的数量关系．

针对训练2

2．（2021秋•越秀区校级期中）如图，等边△ABC的边长为2，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB，BC于D，E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②四边形ODBE的面积始终等于；③S△ODE＝S△BDE；④△BDE周长的最小值为3．其中正确的结论是 　 　（填序号）．

类型三 中点旋转模型

名师点金：有两个等腰直角三角形或一个正方形和一个等腰直角三角形，两个图形顶点连线的中点，与这两个图形的另外两个顶点所构成的图形为等腰直角三角形。

典例3（2012春•海安市期末）在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG．

（1）试猜想EG与CG之间的关系？请直接写出你的猜想；

（2）将△BEF分别以BC和直线AB为对称轴，经两次翻折后，点E、F分别落在直线AB与直线BD上，如图②，则线段EG和CG又有怎样的关系？请写出你的猜想，并加以证明．

针对训练3

7．（2021春•常州期末）如图，将边长为2的正方形ABCD绕顶点C逆时针旋转得到正方形A′B′C′D′，P是CD的中点，Q是对角线B′D′的中点，则旋转过程中PQ的最大值为（　　）

A．2 B．1 C．3 D．1

类型四 手拉手模型

名师点金：如图，“拉手”的△ABC和△AMN是等腰三角形，且顶角相等，则旋转产生的三角形ABM和△ACN全等。反之也成立。

典例4（2017•锦州）已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD中点．

（1）当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为　     　，说明理由；

（2）在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB＝3，AD＝2，求线段FH的长；

（3）在△ADE旋转的过程中，若AB＝a，AD＝b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．

针对训练4

4．（2022•济南二模）如图1，在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，CD，点F，G，H分别是BE，CD，BC的中点．

（1）观察猜想：图1中，△FGH的形状是 　 　；

（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，△FGH的形状是否发生改变？并说明理由；

（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝3，AB＝7，请直接写出△FGH的周长的最大值．

类型五 自旋转模型（构造旋转）

典例5（2020•郑州一模）当图形具有邻边相等的特征时，我们可以把图形的一部分绕着公共端点旋转，这样将分散的条件集中起来，从而达到解决问题的目的．

（1）如图1，等腰直角三角形ABC内有一点P，连接AP，BP，CP，∠APB＝135°，为探究AP，BP，CP三条线段间的数量关系，我们可以将△ABP绕点A逆时针旋转90°得到△ACP'，连接PP'，则PP'＝　　AP，△CPP'是　 　三角形，AP，BP，CP三条线段的数量关系是　 　．

（2）如图2，等边三角形ABC内一点P，连接AP，BP，CP，∠APB＝150°，请借助第一问的方法探究AP，BP，CP三条线段间的数量关系．

（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，点P在四边形内部，且PD＝PC，∠CPD＝90°，∠APB＝135°，AD＝4，BC＝5，请直接写出AB的长．

针对训练5

5．（2019•武汉）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC＝PE．

问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是　 　．

第二部分   专题提升训练

1．（2021秋•富裕县期末）如图，点D是等边△ABC内一点，AD＝3，BD＝3，CD，△ACE是由△ABD绕点A逆时针旋转得到的，则∠ADC的度数是（　　）

A．40° B．45° C．105° D．55°

2．（2022春•顺德区期中）如图，等边△ABC中有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，则∠APB的度数的为（　　）

A．150° B．135° C．120° D．165°

3．（2021秋•咸丰县期末）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，D为△ABC外一点，且DB＝DC，∠BDC＝120°，E、F分别为边AB、AC上的动点（不与A、B、C重合），∠EDF＝60°，将△DBE绕点D顺时针旋转120°后，下列结论错误的是（　　）

A．B、E的对应点C、G和点A在同一直线上 

B．∠FDG＝∠FDE＝60° 

C．FE＝FG 

D．∠DCG＝∠DEB

4．（2022•宣城模拟）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中不正确是（　　）

A．∠PBQ＝60° B．∠PQC＝90° C．∠APC＝120° D．∠APB＝150°

5．（2022•回民区二模）如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为、、4，则正方形ABCD的面积为（　　）

A． B． C．12 D．24

6．（2022•天津）如图，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（　　）

A．AB＝AN B．AB∥NC C．∠AMN＝∠ACN D．MN⊥AC

7．（2022•苏州一模）如图，直角三角形ACB中，两条直角边AC＝8，BC＝6，将△ACB绕着AC中点M旋转一定角度，得到△DFE，点F正好落在AB边上，DE和AB交于点G，则AG的长为（　　）

A．1.4 B．1.8 C．1.2 D．1.6

8．（2022春•仙居县期中）如图，在正方形ABCD中，点M是线段AB上的一个动点，点E是CM的中点，AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接DE，DF．给出结论：①DE＝EF；②∠CDF＝45°；③若正方形的边长为2，则CF的最小值是；其中正确的结论有（　　）个．

A．0 B．3 C．2 D．1

9．（2022•镇江二模）△ABC是边长为4的等边三角形，其中点P为高AD上的一个动点，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接PE、DE、CE，则△BDE周长的最小值是（　　）

A． B． C． D．

10．（2020•荷塘区模拟）在△ABC中，若其内部的点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则称P为△ABC的费马点．如图所示，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA＝45°，PA＝4，则△PAC的面积为　 　．

11．（2021秋•漳平市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把△ABC绕AC边的中点M旋转后得△DEF，若直角顶点F恰好落在AB边上，且DE边交AB边于点G，若AC＝8，BC＝6，则AG的长为 　　．

12．（2021秋•肇源县期末）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有　   　（填序号）

①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB＝150° ④∠APC＝120°

13．（2022•沈阳二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点E（不与点B重合）是BC边上一个动点，将线段EB绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，当△DFC是直角三角形时，那么BE的长是 　  ．

14．（2022•文登区一模）如图，在△ABC中，∠CAB＝105°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，点B'刚好落在BC上．若AB'＝CB'，则∠CB'C'＝　 　．

15．（2021秋•历城区期末）如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和C的距离分别为1，2，3，将△ABP绕点B旋转至△CBP′，连接PP′．

（1）求证：△BPP′是等腰直角三角形；

（2）求∠APB的度数．

16．（2021•日照）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：

（1）EA是∠QED的平分线；

（2）EF2＝BE2+DF2．