数学人教版24.1.1 圆学案

圆中两解或多解问题归类剖析（原卷版）

名师点金：圆中两解及多解问题不仅考查学生的基础知识和基本技能，还能考查学生的扩散思维能力，分类讨论思想以及思维的严谨性，因此备受中考出题者的青睐。这类问题一般并不困难，好多学生往往能顺利求出一解，但是容易遗漏一解或两解，而漏掉的一解或两解，学生只要不遗漏也是能解出来的。学生因此会十分懊恼。要想完美地解决这类问题，除了要加强思维扩散性能力的训练外，最重要的还是要把这类问题归类剖析。当我们总结出有关结论或经验时，再次遇到这类问题一定信心满满。

第一部分   典例剖析+针对训练

类型一 圆心与两条弦的位置关系不确定

典例1 （2021秋•松滋市期中）一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．

（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；

（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．

针对训练1

1．（1）半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为，那么这条弦所对的圆周角的度数等于　   　；

（2）在半径为1的⊙O中，弦AB，AC的长分别为和，则∠BAC的度数是　       　；

（3）已知圆内接△ABC中．AB＝AC，圆心O到BC的距离为3cm，圆的半径为7cm，求腰长AB．

类型二 弦上某点或端点位置不确定

典例2（2021秋•渝中区校级期中）在半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，点P在弦AB上，且OP的长为8，AP长为　     　．

针对训练2

2．（2021•无棣县模拟）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（　　）

A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm

3．（2020•黑龙江）在半径为的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，AB＝CD＝4，则S△ACP＝　   ．

类型三 讨论优弧、劣弧或其所对的圆周角

典例3 （2021秋•岳池县期末）在半径为2cm的⊙O中，弦AB的长为2cm，则这条弦所对的圆周角为　 　．

针对训练3

4．（2003•天津）若圆的一条弦把圆分成度数之比为1：3的两条弧，则这条弦所对的圆周角等于（　　）

A．45° B．135° C．90°和270° D．45°和135°

5．（2021秋•凉州区校级期末）如图，AB、AC分别与⊙O相切于点B、C，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是 　   　．

类型四 讨论圆内接三角形的形状（或三角形与外心的位置关系）

典例4（2021•枣庄）已知等腰△ABC内接于半径为5的⊙O，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为　 　．

针对训练4

6．（2012•资阳）直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是　 　．

类型五 讨论直线与圆的位置关系

典例5（2021秋•林州市期中）已知⊙O的直径是10，直线l上有一点P到点O的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系为（　　）

A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交

针对训练5

7．（2022春•虹口区期中）已知l1∥l2，l1、l2之间的距离是5cm，圆心O到直线l1的距离是2cm，如果圆O与直线l1、l2有三个公共点，那么圆O的半径为 　  　cm．

8．（2021秋•信都区校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，则r的取值范围为 　   　；若⊙C与AB边只有一个公共点，则r的取值范围为 　     　．

第二部分 专题提优训练

一．选择题（共10小题）

1．（2021•无棣县模拟）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（　　）

A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm

2．（2011秋•台州期末）如图，直线l与半径为10cm的⊙O相交于A，B两点，且与半径OC垂直，垂足为H，已知AB＝16厘米，若将直线l通过平移使直线l与⊙O相切，那么直线l平移的距离为（　　）

A．4cm B．6cm C．4cm或14cm D．4cm或16cm

3．（2020秋•溧阳市期末）已知△ABC是半径为2的圆内接三角形，若BC＝2，则∠A的度数为（　　）

A．30° B．60° C．120° D．60°或120°

4．（2021•滨城区二模）已知在半径为2的⊙O中，圆内接△ABC的边AB＝2，则∠C的度数为（　　）

A．60° B．30° C．60°或120° D．30°或150°

5．（2021•泰安）如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB，则弦AB所对圆周角的度数为（　　）

A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°

6．（2021•南通一模）一个点到圆的最小距离为6cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（　　）

A．1.5cm B．7.5cm 

C．1.5cm或7.5cm D．3cm或15cm

7．（2019秋•莱山区期末）⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，且AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为（　　）

A．1cm B．7cm C．3cm或4cm D．1cm或7cm

8．（2021秋•崇川区校级月考）AB是⊙O的弦，∠AOB＝60°，则弦AB所对的圆周角是（　　）

A．30° B．60° C．150°或30° D．60°或140°

9．（2021•越秀区校级二模）AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°，则弦AB所对的圆周角是（　　）

A．40° B．140°或40° C．20° D．20°或160°

10．（2010•福田区校级自主招生）一个点到圆周的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（　　）

A．2.5 cm或6.5 cm B．2.5 cm 

C．6.5 cm D．5 cm或13cm

二．填空题（共13小题）

11．（2021秋•建华区期末）直径为的⊙O中，弦AB、AC的长分别为1和，则∠BAC的度数为　　．

12．（2021秋•润州区校级月考）在⊙O中，圆心角∠AOB＝58°，弦AB所对的圆周角的度数是 　  　．

13．（2021秋•台安县期中）一个已知点P到圆周上的最长距离是9，最短距离是3，则此圆的半径是 　  　．

14．（2021秋•武汉期末）如图，PM，PN分别与⊙O相切于A，B两点，C为⊙O上异于A，B的一点，连接AC，BC．若∠P＝58°，则∠ACB的大小是 　  　．

15．（2021•黄冈模拟）在半径等于5cm的圆内有长为5cm的弦，则此弦所对的圆周角为　 　．

16．（2014秋•南岗区期末）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点M，且AB＝8cm，则线段MC的长度为　 　cm．

17．（2020•浙江自主招生）如图，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC＝30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于另一点Q，如果QP＝QO，则∠OCP＝　      　．

18．已知⊙O的半径为5cm，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝8cm，CD＝6cm，AB∥CD，则AB与CD之间的距离为　 　．

19．（2021•广西）半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为，那么这条弦所对的圆周角的度数等于　 　．

20．（2021秋•巢湖市校级月考）平面上一点P到⊙O上一点的距离最长为7cm，最短为3cm，则⊙O的半径为　 　 cm．

21．已知点P到⊙O的最长距离为6cm，最短距离为2cm．试求⊙O的半径长．

22．（2021秋•新荣区月考）综合与实践

问题情境：数学活动课上，老师出示了一个直角三角板和量角器，把量角器的中心O点放置在AC的中点上，DE与直角边AC重合，如图1所示，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，OD＝3，量角器交AB于点G，F，现将量角器DE绕点C旋转，如图2所示．

（1）点C到边AB的距离为 　　．

（2）在旋转过程中，求点O到AB距离的最小值．

（3）若半圆O与Rt△ABC的直角边相切，设切点为K，求BK的长．