初中数学5 平方差公式优秀精练

1.5-1.6 平方差公式与完全平方式

1)平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2  (特征：用相同项的平方减相反项的平方。)

【扩展】常见平方差公式的变形

①     位置变化：如

②     系数变化：如

③     指数变化：如

④     符号变化：如（相同项为b,“相反项”为a）

⑤     增项变化：如

⑥     增因式变化：如

【注意事项】

1）对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式。
2）公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误。

2）完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

                （a－b）2＝a2－2ab＋b2

【扩展】

扩展一(公式变化)：

扩展二：

扩展三：

【补充】：

【题型一】运用平方差公式进行计算

【典题】（2022春·湖南张家界·七年级统考期中）下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（    ）

A． B．

C． D．

【详解】解：A、（x＋2）（x＋2）＝ ，不符合平方差公式的特点，故选项A错误；

B、（−x＋y）（x−y）＝，不符合平方差公式的特点，故选项B错误；

C、（2x−y）（2x＋y）＝ ，符合平方差公式的特点，故选项C正确；

D、（−x−y）（x＋y）＝ 不符合平方差公式的特点，故选项D错误．

故选：C．

巩固练习

1．（）（2022春·广东揭阳·七年级校考期末）的计算结果是（ ）

A． B． C． D．

【详解】．

故选C

2．（）（2022春·河北石家庄·七年级统考期末）若，则（    ）

A．12 B．10 C．8 D．6

【详解】原等式变形得：

．

故选：B．

3．（）（2022春·湖南株洲·七年级株洲市景弘中学校考期中）已知，则的值是（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【详解】解：∵，

∴====，

故答选：C

4．（）（2022春·福建宁德·七年级校联考期中）计算的结果是（    ）

A．0 B．1 C．-1 D．3

【详解】解：

=

=

=-1．

故选C．

5．（）（2022春·江苏南京·七年级南京市人民中学校联考期中）用简便方法计算：．

【详解】解：

6．（）（2022春·安徽滁州·七年级校考期中）（1）计算并观察下列各式填空：

；

；

              ；

（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接填写下面的空格：

（              ）；

（3）利用你发现的规律计算：              ；

（4）利用该规律计算：的值．

【详解】解：（1），

故答案为：；

（2）

故答案为：；

（3），

故答案为：；

（4）．

7．（）（2022春·安徽合肥·七年级校考期中）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2中阴影部分剪裁后拼成的一个长方形．

（1）设如图1中阴影部分面积为S1，如图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；

（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；

（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1

【详解】解：（1）S1=a2-b2，S2=（a+b）（a﹣b）；

（2）（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；

（3）原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1

=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1

=（24﹣1）（24+1）（28+1）+1

=（28﹣1）（28+1）+1

=（216﹣1）+1

=216．

【题型二】利用平方差解决几何面积

【典题】（2022春·河北石家庄·七年级统考期中）如图1，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图，利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（   ）

A． B．

C． D．

【详解】解：左图中阴影部分的面积是，右图中梯形的面积是，

．

故选：．

巩固练习

1．（）（2022春·广东深圳·七年级校考期中）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为米（）的正方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ）

A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定

【详解】原来的土地面积为平方米，第二年的面积为

所以面积变小了，

故选C．

2．（）（2022春·江苏无锡·七年级校联考期中）如图，边长为a的正方形中挖掉边长为b的正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个矩形，通过计算两处图形的面积，验证了一个等式，此等式是（  ）

A． B．

C． D．

【详解】由图得，正方形剩下面积：

∵矩形边长为，

∴矩形面积：

又∵正方形面积等于矩形面积

∴

故选：A．

3．（）（2022春·湖南怀化·七年级校考期中）如图，从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形，然后拼成一个平行四边形，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）

A．   B．

C．  D．

【详解】∵将小正方形一边向两方延长，得到两个梯形的高，两条高的和为a-b，即平行四边形的高为a-b，

∴平行四边形的面积为：（a+b）（a-b）

∵正方形中阴影部分的面积为：a2-b2

∵两个图中的阴影部分的面积相等，

∴a2-b2=（a+b）（a-b）．

所以验证成立的公式为：a2-b2=（a+b）（a-b）．

故选：D．

【题型三】运用完全平方式进行计算

【典题】（2022春·河北邯郸·七年级统考期末）将9.52变形正确的是（　　）

A．9.52=92+0.52 B．9.52=（10+0.5）（10﹣0.5）

C．9.52=102﹣2×10×0.5+0.52 D．9.52=92+9×0.5+0.52

【详解】9.52=（10﹣0.5）2=102﹣2×10×0.5+0.52，

或9.52=（9+0.5）2=92+2×9×0.5+0.52，

观察可知只有C选项符合，

故选C．

巩固练习

1．（）（2022春·湖南湘潭·七年级统考期末）若是完全平方式，则的值为（    ）

A． B． C．  D．

【详解】解：∵是一个完全平方式，

这个完全平方式为：或，

∴，

故选：A．

2．（）（2022春·四川巴中·七年级统考期末）下列运算正确的是（　　）

A．（x+y）（y﹣x）＝x2﹣y2 B．（﹣x+y）2＝﹣x2+2xy+y2

C．（﹣x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2 D．（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2

【详解】解：A、结果是y2−x2，原计算错误，故本选项不符合题意；

B、结果是x2−2xy＋y2，原计算错误，故本选项不符合题意；

C、结果是x2＋2xy＋y2，原计算错误，故本选项不符合题意；

D、结果是x2﹣y2，原计算正确，故本选项符合题意；

故选：D．

3．（）（2022春·江西抚州·七年级校联考期中）无论，为何值代数式的值总是（    ）

A．非负数 B． C．正数 D．负数

【详解】解：原式

，

，，

，

即原式的值总是正数．

故选：C．

4 （）（2022春·江西抚州·七年级统考期中）如果x2+4y2﹣2x﹣4y+2＝0，则（2x﹣3y）2﹣（3y+2x）2＝_____．

【详解】解：∵x2+4y2﹣2x﹣4y+2＝0，

∴（x﹣1）2+4（y﹣）2＝0，

∴x﹣1＝0，y﹣＝0，即x＝1，y＝，

∴xy＝

则（2x﹣3y）2﹣（3y+2x）2

＝（2x﹣3y+3y+2x）（2x﹣3y﹣3y﹣2x）

＝4x•（﹣6y）

＝﹣24xy

＝﹣24×

＝﹣12．

故答案是：﹣12．

5．（）（2022春·江苏宿迁·七年级统考期中）简便计算

(1)

(2)

【详解】（1）解：

；

（2）解：

．

【题型四】通过对完全平方式变形求解

【典题】（2022秋·重庆渝北·七年级重庆市两江育才中学校校考期末）已知，，则代数式的值为（    ）

A．8 B．18 C．19 D．25

【详解】解：∵，，

∴，

故选：C．

  巩固练习

1．（）（2022秋·福建福州·七年级校考期末）已知，那么x2+y2的值为（　　）

A．13 B．7 C．6 D．5

【详解】解：∵，

∴，

∴．

故选：D．

2．（）（2022秋·黑龙江大庆·七年级校联考期中）已知，则的值是（　）

A． B． C． D．

【详解】解：，

，

，

．

故选：B

3．（）（2021春·重庆·七年级重庆一中校考期末）若a2﹣ab＝7﹣m，b2﹣ab＝9+m，则a﹣b的值为（　　）

A．2 B．±2 C．4 D．±4

【详解】解：∵，

∴，

故选：D．

4．（）（2021秋·湖北恩施·七年级统考期末）已知（m-n）2=8，（m+n）2=2，则m2+n2=（　）

A．10 B．6 C．5 D．3

【详解】解：由题意得 ，

把两式相加可得2m2+2n2=10，则m2+n2=5

故选：C.

5．（）（2020秋·吉林长春·七年级统考期末）已知，．

（1）求的值．

（2）求的值．

【详解】解：（1）∵，

∴，

∴．

∵，

∴．

∴的值为19．

（2）∵，，

∴，

∴，

∴的值为．

6．（）（2021秋·福建泉州·七年级统考期末）已知，．求下列各式的值．

（1）；

（2）．

【详解】解：（1）∵，

∴，

∵，

∴，

∴．

（2）原式

．

【题型五】求完全平方公式字母系数

【典题】（2022秋·陕西西安·七年级校考期末）若是一个完全平方式，则常数k的值为　　

A．6 B． C． D．无法确定

【详解】解：是一个完全平方式，

，

解得：，

故选C．

巩固练习

1．（）（2021春·广东茂名·七年级统考期中）若x2+mx+9＝（x﹣3）2，则m的值为（　　）

A．6 B．﹣6 C．±6 D．3

【详解】解：，

可得m=-6．

故选：B．

2．（）（2021秋·海南海口·七年级校联考期中）如果多项式是一个二项式的完全平方式，那么m的值为（    ）

A．6 B． C．10或 D．6或

【详解】解：∵，

∴，

∴，

∴或，

∴或．

故选择：C．

3．（）（2022秋·四川绵阳·七年级校联考期末）若是完全平方式，且，则（    ）

A． B．或27 C．27或 D．或

【详解】解：∵x2＋2（b−1）x＋4是完全平方式，

∴2（b−1）x＝±2•x•2，

解得：b＝3或−1，

当b=3时，，当b=-1时，，

故选：D．

【题型六】完全平方公式在几何中的应用

【典题】（2022秋·河南驻马店·七年级校考期中）如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a＋b＝10，ab＝22，那么阴影部分的面积是（   ）

A．15 B．17 C．20 D．22

【详解】解：由题意可得：阴影部分面积．

，，

，

阴影部分面积．

故选：B．

巩固练习

1．（）（2021春·湖南株洲·七年级统考期中）如图：把长和宽分别为a和 b的四个完全相同的小长方形（a＞b）拼成的一个“回形”正方形，图中的阴影部分的面积正好可以验证下面等式的正确性的是（          ）

A． B．

C． D．

【详解】∵整个图形是一个边长为（a+b）的正方形，中间的空白是一个边长为（a-b）的正方形，

∴阴影部分的面积等于两个正方形的面积差，

∴，

故选D．

2．（）（2021秋·重庆万州·七年级统考期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（　　　）

A． B． C． D．

【详解】解：由题意可知，

矩形的面积就是边长是的正方形与边长是的正方形的面积的差，

S矩形=

=

=．

故选：A．

3．（）（2021秋·内蒙古赤峰·七年级统考期末）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．根据如图能得到的数学公式是（  ）

A．（a+b）（a-b）=a2-b2 B．（a-b）2=a2-2ab+b2

C．a（a+b）=a2 +ab D．a（a-b）=a2-ab

【详解】解：从图中可知：阴影部分的面积是（a-b）2和b2，剩余的矩形面积是（a-b）b和（a-b）b，

即大阴影部分的面积是（a-b）2，

∴（a-b）2=a2-2ab+b2，

故选：B．