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初中数学第二章 相交线与平行线3 平行线的性质精品达标测试
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这是一份初中数学第二章 相交线与平行线3 平行线的性质精品达标测试，文件包含23-24平行线的性质与用尺规作角原卷版docx、23-24平行线的性质与用尺规作角解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共45页， 欢迎下载使用。
2.3-2.4 平行线的性质与用尺规作角
平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等；
几何符号语言：∵AB∥CD
∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
性质2：两直线平行，内错角相等；
几何符号语言：∵AB∥CD
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
性质3：两直线平行，同旁内角互补.。
几何符号语言：∵AB∥CD
∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
【题型一】两直线平行同位角相等
【典题】（2022秋·山西临汾·七年级统考期末）如图，两条平行线a，b被第三条直线c所截．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由对顶角相等得到，再由平行线的性质得到．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵两条平行线a，b被第三条直线c所截，
∴，
故选：D
【点睛】此题考查了平行线的性质、对顶角相等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
巩固练习
1．（ê）（2022秋·河南新乡·七年级校考期末）如图，是的平分线，，若，则的度数为（ ）
A．17.5° B．35° C．55° D．70°
【答案】B
【分析】根据两直线平行，同位角相等，可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记平行线的性质是解题的关键．
2．（ê）（2022春·江苏泰州·七年级校考期末）如图，若ab，cd，则图中与∠1互补的角有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】根据平行线的性质，利用两直线平行同位角相等，再根据补角定义结合图形即可得到与∠1互补的角有4个．
【详解】解：如图所示：
，
，
，
，
，
由图及补角定义可知，；；；，
；；；，
即图中与∠1互补的角有4个，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质及补角定义，熟练掌握两直线平行同位角相等是解决问题的关键．
3．（ê）（2022春·陕西咸阳·七年级统考期末）如图，ABCD直角三角尺的直角顶点在上，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知先求出，然后利用平行线的性质，即可解答．
【详解】解：如图：
，，
，
∵AB∥CD，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，余角和补角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4．（ê）（2022春·广东深圳·七年级校考期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长交于，依据，，可得，再根据三角形外角性质，即可得到．
【详解】解：如图，延长交于，
∵，，
，
又，，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
5．（ê）（2022春·浙江湖州·七年级统考期末）如图，，点在直线上，且，，那么的度数为_________．
【答案】57°##57度
【分析】由垂线的性质和平角的定义，求出∠3的度数，再由平行线的性质，即可得出∠2的度数．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：57°
【点睛】本题考查了平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握平行线的性质，求出∠3的度数是解本题的关键．
6．（ê）（2022春·广东广州·七年级广州市天河中学校考期中）如图，已知，，若，求的度数．
【答案】75º
【分析】由得到∠1=∠4，由得到∠3=∠4，得到∠3=∠1，即可求出答案.
【详解】解：如图，
∵，
∴∠1=∠4，
∵，
∴∠3=∠4，
∴∠3=∠1，
∵，
∴∠3=75º.
【点睛】本题考查了平行线的的性质，熟练掌握平行线的性质是本题的关键．．
7．（ê）（2022秋·北京海淀·七年级101中学校考期末）如图，m∥n，直角三角板ABC的直角顶点C在两直线之间，两直角边与两直线相交所形成的锐角分别为α、β，则α+β=______．
【答案】
【详解】如图，过C作CE∥m，
∵m∥n，
∴CE∥n，
∴∠1=∠α，∠2=∠β，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠α+∠β=90°，
故答案为90°．
【题型二】两直线平行内错角相等
【典题】（2022春·重庆·七年级校考期中）如图，，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得答案．
【详解】解：∵
∴
∵平分
∴
故选B．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，关键是掌握两直线平行，内错角相等．
巩固练习
1．（êê）（2022春·广东东莞·七年级校考期中）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）
A．70° B．65° C．35° D．5°
【答案】B
【分析】作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决．
【详解】作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴AB∥DE∥DE，
∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，
∵∠1＝30°，∠2＝35°，
∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，
∴∠BCE＝65°，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．
2．（ê）（2022春·山东济南·七年级统考期末）如图，ABCD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝（ ）
A．35° B．45° C．55° D．70°
【答案】C
【分析】由平行线的性质可得∠ADC＝∠BAD＝35°，再由垂线的定义可得△ACD是直角三角形，进而根据直角三角形两锐角互余的性质即可得出∠ACD的度数．
【详解】∵AB∥CD，∠BAD=35°，
∴∠ADC＝∠BAD＝35°，
∵AD⊥AC，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣35°＝55°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质是解题关键．
3．（ê）（2022春·浙江金华·七年级校考期中）如图，一条公路经过两次转弯后又回到原来的方向，如果第一次的拐角为150°，则第二次的拐角为（ ）
A．40° B．50° C．140° D．150°
【答案】D
【分析】由于拐弯前、后的两条路平行，可考虑用平行线的性质解答．
【详解】解：∵拐弯前、后的两条路平行，
∴∠B=∠C=150°（两直线平行，内错角相等）．
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答此题的关键是将实际问题转化为几何问题，利用平行线的性质求解．
4．（ê）（2022秋·湖南衡阳·七年级衡阳市第十五中学校考期末）如图，已知，且∠1=48°，则∠2＝_____，∠3＝_____，∠4＝_____．
【答案】 48° 132° 48°
【分析】根据两直线平行内错角相等可求出∠2，根据两直线平行，同位角相等可求出∠4，同旁内角互补可求出∠3．
【详解】解：∵ //，∠1=48°，
∴∠2=∠1=48°，
∵ //，∠1=48°，
∴∠4=∠1=48°，
∵ //，
∴∠3+∠4=180°
∴∠3=180°-∠4=180°-48°=132°
故答案为：48°；132°；48°
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
5．（ê）（2022春·河北承德·七年级承德市民族中学校考期末）小红同学在做作业时，遇到这样一道几何题：
已知：AB∥CD∥EF，∠A＝110°，∠ACE＝100°，过点E作EH⊥EF,垂足为E，交CD于H点．
（1）依据题意，补全图形；
（2）求∠CEH的度数．
小明想了许久对于求∠CEH的度数没有思路，就去请教好朋友小丽，小丽给了他如图2所示的提示：
请问小丽的提示中理由①是 ；
提示中②是： 度；
提示中③是： 度；
提示中④是： ，理由⑤是 ．
提示中⑥是 度；
【答案】（1）补图见解析；（2）两直线平行，同旁内角互补，70，30，∠CEF，两直线平行，内错角相等，60．
【分析】（1）按照题中要求作出线段EH⊥EF于点E，交CD于点H即可；
（2）按照“小丽所给提示”的思路结合题中的已知条件根据“平行线的性质、垂直的定义”进行分析解答即可．
【详解】解：（1）依据题意补全图形如下图所示：
；
（2）根据题意可得：
①：两直线平行，同旁内角互补；
②：70°；
③：30°；
④：∠CEF；
⑤：两直线平行，内错角相等；
⑥：60°
故答案为：两直线平行，同旁内角互补，70，30，∠CEF，两直线平行，内错角相等，60．
【点睛】“读懂小丽的思路过程，熟悉平行线的性质”是解答本题的关键．
【题型三】两直线平行同旁内角互补
【典题】（2022春·广东深圳·七年级校考期中）如图，直线DE过点A，且．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两直线平行同旁内角互补求出∠BAE，即可求出∠2．
【详解】∵，
∴，
∴，
即：，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，熟记平行线的基本性质是解题关键．
巩固练习
1．（ê）（2022春·湖南娄底·七年级统考期末）如图，平行线AB，CD被直线AE所截．若∠1=70°，则∠2的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
【答案】D
【分析】直接利用对顶角以及平行线的性质分析得出答案．
【详解】解：
∵∠1＝70°，
∴∠1＝∠3＝70°，
∵ABDC，
∴∠2＋∠3＝180°，
∴∠2＝180°−70°＝110°．
故答案为：D．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及对顶角，正确掌握平行线的性质是解题关键．
2．（ê）（2022春·重庆开州·七年级统考期末）如图，，，平分，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由,知，再由角平分线性质知，继而根据两直线平行同旁内角互补可得答案．
【详解】解：∵
∴，
∵FG平分∠EFD，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行内错角相等和两直线平行同旁内角互补的性质．
3．（ê）（2022春·江西赣州·七年级统考期中）如图，AB∥CD，∠ABE＝148°，FE⊥CD于E，则∠FEB的度数是_______度．
【答案】58
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，即可求出∠BEC，再根据垂直的定义，求出∠CEF=90°，然后根据∠FEB=∠CEF-∠BEC，代入数据计算即可得解．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠ABE+∠BEC=180°，
∵∠ABE=148°，
∴∠BEC=180°-148°=32°，
∵FE⊥CD，
∴∠CEF=90°，
∴∠FEB=∠CEF-∠BEC=90°-32°=58°．
故答案为：58．
【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直的定义的应用，熟记性质并准确识图是解题的关键．
4．（ê）（2022春·广东广州·七年级校考期中）如图，，，，则的度数为__________．
【答案】132°
【分析】由求得∠BAC，再根据平行线的性质即可解得∠ACD的度数．
【详解】∵，，
∴∠BAC=90°-∠CAE=90°-42°=48°，
∵，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠ACD=180°-∠BAC=180°-48°=132°，
故答案为：132°．
【点睛】本题考查了垂直定义、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．
5．（ê）（2022春·上海静安·七年级统考期中）如图，已知ABCE，∠A=120°，∠F=100°，则∠FDC=______度
【答案】40
【分析】过F作FGAB，把∠AFD分成两个角，根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；算出∠AFG，再根据平行公理的推论∶平行于同一条直线的两直线平行；得出FGCE，再由平行线的性质：两直线平行，内错角相等；即可求出∠FDC的度数．
【详解】解：如图，过F作FGAB，
∵FGAB，∠A＝120°，
∴∠AFG+∠A＝180°
∴∠AFG＝60°，
∵∠AFD＝100°，
∴∠DFG＝100°−60°＝40°，
∵FGAB， ABCE
∴FGCE
∴∠FDC＝∠DFG=40°
故答案为：40°．
【点睛】此题考查了平行公理的推论和平行线的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线，构造同旁内角和内错角．
6．（ê）（2022秋·山东济南·七年级统考期末）如图，已知直线AB∥CD，∠B=50°，∠BEC＝25°，EC平分∠BEF.
(1)请说明AB∥EF的理由；
(2)求∠DCE的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠BEF=50°，根据内错角相等两直线平行可证AB//EF．
（2）先证明CD//EF，再根据两直线平行，同旁内角互补可求∠DCE的度数．
（1）
解：∵EC平分∠BEF，∠BEC＝25°，
∴∠BEF=2∠BEC=50°，
∵∠B=50°，
∴∠B=∠BEF，
∴AB//EF．
（2）
解：∵AB∥CD，AB//EF，
∴CD//EF，
∴∠C+∠CEF=180°，
∵EC平分∠BEF，∠BEC＝25°，
∴∠CEF＝∠BEC＝25°，
∴∠C=155°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用，熟练掌握平行线的性质与判定方法是解答本题的关键．
7．（ê）（2022秋·四川乐山·七年级统考期末）如图，已知ABCD，BC平分∠ABD交AD于点E．
(1)证明：∠1=∠3；
(2)若AD⊥BD于点D，∠CDA=34°，求∠3的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠3=28°．
【分析】（1）由角平分线的定义得到∠1=∠2，由ABCD可得∠2=∠3，根据等量代换可得∠1=∠3；
（2）由垂直的定义得出∠ADB=90°，可得∠CDB=∠CDA+∠ADB=124°，由平行线的性质得出∠ABD=56°，根据角平分线的定义即可得解．
【详解】（1）证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠1=∠2，
∵ABCD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3；
（2）解：∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∵∠CDA=34°，
∴∠CDB=∠CDA+∠ADB=34°+90°=124°，
∵ABCD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∴∠ABD=180°-124°=56°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠1=∠2=∠ABD=×56°=28°，
∵∠1=∠3，
∴∠3=28°．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
【题型四】平行线的性质在实际生活中的应用
【典题】（2022春·内蒙古呼伦贝尔·七年级统考期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，还在原来的方向上平行前进，那么这两次拐弯的角度应是（ ）
A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次左拐，第二次右拐
C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐
【答案】B
【分析】根据两条直线平行的性质：两条直线平行，同位角相等．再根据题意可得两次拐弯的方向不相同，但角度相等．
【详解】解：如图，第一次拐的角是，第二次拐的角是，
由两次拐弯后，还在原来的方向上平行前进得：，
由此可知，两次拐弯的方向不相同，但角度相等，
观察四个选项可知，只有选项B符合，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．
巩固练习
1．（ê）（2022春·山西临汾·七年级统考期中）如图，木条a、b、c通过B、E两处螺丝固定在一起，且，，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面内的三条直线AC、DF、MN，若使直线AC、直线DF达到平行的位置关系，则下列描述正确的是（ ）
A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转
B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转
C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转
D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【详解】解：A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转23°，
∴∠ABE=40°+23°=63°≠∠DEM，
∴AC与DF不平行，
故A不符合题意；
B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转103°，
∴∠CBE=180°-（103°-40°）=117°≠∠DEM，
∴AC与DF不平行，
故B不符合题意；
C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转37°，
∴∠DEM=77°-37°=40°=∠ABE，
∴AC//DF，
故C符合题意；
D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转158°，
∴∠DEM=360°-77°-158°=125°≠∠CBE，
∴AC与DF不平行，
故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
2．（ê）（2022春·山东青岛·七年级统考期中）已知：某小区地下停车场的栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时∠ABC=150°，若此时CD平行地面AE，则_________度．
【答案】120
【分析】过点B作BF∥CD，因为AB⊥AE，可得∠ABF=90°，即可得出∠FBC的度数，再由BF∥CD，可得∠FBC+∠BCD=180°，代入计算即可得出答案．
【详解】解：过点B作BF∥CD，如图，
由题意可知，∠ABF=90°，
∵∠ABC=150°，
∴∠FBC=∠ABC-∠ABF=150°-90°=60°，
∵BF∥CD，
∴∠FBC+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠FBC=180°-60°=120°．
故答案为：120．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．
3．（êê）（2022春·广东河源·七年级校考期末）探照灯、汽车灯等很多灯具的光线都与平行线有关，如图所示是一探照灯碗的剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线，，经灯碗反射以后平行射出，其中，，则的度数是______
【答案】116
【分析】过O点作OE∥AB，则OE∥CD，利用平行线的性质，得内错角相等，从而求解．
【详解】解：过O点作OE∥AB，则OE∥CD，
∴∠EOB=∠ABO，∠EOC=∠DCO，
∵∠ABO=38°，∠DCO=78°，
∴∠EOB=38°，∠EOC=78°，
即∠BOC=∠BOE+∠EOC=38°+78°=116°．
故答案为：116．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解题的关键．
4．（êê）（2022春·云南昆明·七年级统考期末）《七彩云南》少数民族传统艺术表演，是七彩云南欢乐世界的王牌演艺节目，它荟萃云南人文之美，深受观众喜爱．在展演中，舞台上的灯光由灯带上位于点和点的两盏激光灯控制．如图，光线与灯带的夹角，当光线与灯带的夹角______时，．
【答案】140°或40°
【分析】当AB与在AC同侧时，CB′∥AB，同旁内角互补；当AB与CB"在AC异侧时，CB"∥AB，内错角相等．
【详解】解：如下图：
当AB与CB′在AC同侧时，
当CB′∥AB时，
∵∠CAB+∠ACB′=180°
∴∠ACB′=140°
当AB与CB"在AC异侧时，
当CB"∥AB时，
∠CAB=∠ACB"=40°
答案：140°或40°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补及需要由分论讨论的思想求解．
5．（êê）（2022春·江苏宿迁·七年级统考期中）【数学抽象】实验证明：平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图①，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角相等，即．
(1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图②是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？
(2)如图③，改变两平面镜之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变．若入射光线m与反射光线n平行但方向相反，则两平面镜的夹角为多少度？
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质及等量代换、平角的概念即可得证；
（2）根据平行线的性质、平角的概念及等量代换即可求得答案．
(1)
证明：由题可知，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
(2)
，
由题可知，，，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了平行线的性质、平角的概念，能够将实际问题转化为我们所学的数学知识是解题的关键．
6．（êê）（2022春·河南驻马店·七年级统考期中）如图是种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点与交于点，当时，人躺着最舒服，求此时扶手与支架的夹角和扶手与靠背的夹角的度数．
【答案】∠AOE=60°，∠ANM=120°
【分析】先根据平行线的性质，得出∠ODC=∠BOD=30°，再根据∠EOF=90°，即可得到∠AOE=60°，再根据平行线的性质，即可得到∠AND的度数，进而得出∠ANM的度数．
【详解】∵扶手AB与底座CD都平行于地面，
∴AB∥CD，
∴∠ODC=∠BOD=30°，
又∵∠EOF=90°，
∴∠AOE=60°，
∵DM∥OE，
∴∠AND=∠AOE=60°，
∴∠ANM=180°-∠AND=120°．
【点睛】此题考查平行线的性质的运用，解题关键在于掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．
【题型五】画特殊角
【典题】（2022秋·河北石家庄·七年级校考期末）下列各度数的角，能借助一副三角尺画出的是（ ）
A．55° B．65° C．75° D．85°
【答案】C
【分析】一副三角板，度数有：、、、，根据度数组合，可以得到答案．
【详解】解：利用一副三角板可以画出的角，是和角的组合
故选：C．
【点睛】本题考查特殊角的画法，审题清晰是解题关键.
巩固练习
1．（ê）用一副三角板不能画出的角是（ ）．
A．75° B．105° C．110° D．135°
【答案】C
【分析】105°=60°+45°，105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；75°=45°+30°，75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画；135°=90°+45°，135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画；110°角用一副三角板不能画出．
【详解】解：105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；
75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画；
110°角用一副三角板不能画出；
135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画。
故选：C．
【点睛】本题考查了利用一副三角板画出的特殊角，找出规律是解决此类题的最好方法，应让学生记住凡是能用一副三角板画出的角的度数都是15°的整数倍．
2．（ê）（2022秋·辽宁盘锦·七年级统考期末）借助一副三角尺画出15°角和105°角．
【答案】画图见解析
【分析】由105°=45°+60°,15°=45°-30°, 再利用三角板画105°,15°即可.
【详解】解：如图，画出15°角和105°角如下：
【点睛】本题考查的是角的和差运算，掌握“利用三角板画特殊角的方法”是解本题的关键.
【题型六】按要求尺规作角
【典题】（2022秋·河北邯郸·七年级统考期中）墨墨想在纸上作等于已知的，步骤有：①画射线；②以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；③以点为圆心，以CD为半径画弧，与已画的弧交于点，作射线；④以点为圆心，以OC为半径画弧，交于点．在上述的步骤中，作的正确顺序应为（ ）
A．①④②③ B．②③④① C．①②④③ D．①③④②
【答案】C
【分析】根据作一个角等于已知角的方法，选择合适的顺序即可．
【详解】解：根据作一个角等于已知角的步骤可知，
正确的顺序是①②④③
故选C．
【点睛】此题考查了尺规作图－作一个角等于已知角，熟练掌握其作法步骤过程是解题的关键．
巩固练习
1．（ê）（2022春·贵州毕节·七年级统考期末）如图，点 C 在∠AOB 的 OB 边上，用尺规作出了 CN∥OA，作图痕迹中，弧 FG 是（ ）
A．以点 C 为圆心，OD 为半径的弧
B．以点 C 为圆心，DM 为半径的弧
C．以点 E 为圆心，OD 为半径的弧
D．以点 E 为圆心，DM 为半径的弧
【答案】D
【分析】根据作一个角等于已知角的步骤即可得．
【详解】解：作图痕迹中，弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧，
故选：D．
【点睛】本题主要考查作图-尺规作图，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的尺规作图步骤．
2．（ê）（2022春·辽宁朝阳·七年级校考期中）如图为用直尺和圆规作一个角等于已知角，那么在能得出的正确画图过程中，下面说法正确的是（ ）
A．的长度不能随意取 B．的长度也是任意长度
C．的长度是任意长度 D．的长度必须等于
【答案】D
【分析】先分析作一个角等于已知角的作法，再利用作法进行一一判断即可．
【详解】解：作法如下：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，C；
（2）画一条射线，以点为圆心，OC长为半径画弧，交于点；
（3）以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点；
（4）过点D'画射线，则．
从上面作法可以看出，只有选项D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：基本作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
3．（ê）（2022春·内蒙古包头·七年级统考期中）如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（ ）
A．以点F为圆心，OE长为半径画弧
B．以点F为圆心，EF长为半径画弧
C．以点E为圆心，OE长为半径画弧
D．以点E为圆心，EF长为半径画弧
【答案】D
【详解】解：用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧．故选D．
4．（ê）（2022秋·河北邯郸·七年级统考期末）数学课上，老师提出一个问题：经过已知角一边上的点，做一个角等于已知角.如图，用尺规过的边上一点C（图①）作（图②）.我们可以通过以下步骤作图：
①作射线；
②以点O为圆心，小于的长为半径作弧，分别交，于点N，M；
③以点P为圆心，的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；
④以点C为圆心，的长为半径作弧，交于点P.下列排序正确的是（ ）
A．①②③④ B．②④③① C．③②④① D．④③①②
【答案】B
【分析】直接根据利用尺规作图的方法，作一个角等于已知角的作图顺序即可得出正确的排列顺序.
【详解】解：正确的排序是：②以点O为圆心，小于的长为半径作弧，分别交，于点N，M；④以点C为圆心，的长为半径作弧，交于点P；③以点P为圆心，的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；①作射线.
故选：B.
【点睛】本题考查的知识点是简单的尺规作图，属于容易题.失分的原因是：没有掌握利用尺规作一个角等于已知角的方法.
5．（ê）（2022春·福建三明·七年级统考期中）如图，若∠α＝38°，根据尺规作图的痕迹，则∠AOB的度数为 ______．
【答案】76°
【分析】由尺规作图的作法得到∠AOB=2∠α，代入数据即可得到答案．
【详解】解：由尺规作图可知，∠AOB=2∠α，
∵∠α=38°，
∴∠AOB=76°，
故答案为：76°．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图的方法是解题的关键．
6．（2022春·陕西西安·七年级校考期中）如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）
【答案】详见解析
【分析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°即可．
【详解】解： 作法：（1）以点C为圆心，以任意长为半径画弧交AC于D，交BC于E，
（2）以点B为圆心，以CD长为半径画弧，交BC于F，
（3）以点F为圆心，以DE长为半径画弧，交前弧于点M，
（3）连接BM，并延长BM与AC交于点P，则点P即为所求．
如图，点P即为所求．
【点睛】本题考查了作图——基本作图．解决本题的关键是掌握基本作图方法．
7．（ê）（2022春·重庆·七年级重庆一中校考期中）作图题：按要求用尺规作图（不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论）
已知：，；
求作：，使．
【答案】答案见详解
【分析】先作∠BOC＝∠α，再以OC为一边，在∠BOC的内部作∠COA＝∠β，则∠AOB即为所求．
【详解】如下图所示：则∠AOB＝∠α﹣∠β．
【点睛】本题主要考查了基本作图，作图的关键是理解作一个角等于已知角的作法．
8．（ê）（2022春·贵州贵阳·七年级统考期中）如图，已知．利用尺规作，使（留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】以的一条边为边，作角等于，即得出∠AOB．
【详解】如图，∠AOB为所作．
【点睛】本题考查了作图-基本作图．熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是解题关键．
9．（（ê）2022春·陕西宝鸡·七年级校考期中）尺规作图：以点B为顶点，射线BC为一边，作，使∠EBC=∠A（不写作法，只保留作图痕迹）．
【答案】图见解析
【分析】分①在射线的上方和②在射线的下方两种情况，根据作一个角等于已知角的尺规作图方法即可得．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
①当在射线的上方时，如图，即为所作．
②当在射线的下方时，如图，即为所作．
【点睛】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图，熟练掌握尺规作图，并分两种情况是解题关键．
10．（êê）（2022秋·江苏南京·七年级校联考期末）如图，已知和，请结合图中标注的角，利用直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）
(1)在图①中作，使得；
(2)在图②中作，使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作∠ACM=∠ABC，则∠BCM即为所求；
（2）作∠DEN=∠F=30°，EN交DF于点N，∠FEN即为所求．
（1）
如图，∠BCM即为所求．
（2）
如图，∠FEN即为所求．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，熟练掌握五种基本作图．
11．（êê）（2022春·江西吉安·七年级统考期中）已知和，作一个角等于．（保留作图痕迹，不必写作法）
【答案】见解析
【分析】先作，再作，则即为所求．
【详解】如图所示，，，则即为所求．
作法：①作射线，
②以任意长度为半径，的顶点为圆心作弧，的定点为圆心作弧，以同样长度为半径，以为圆心，作弧，交射线于点，
③以的长为半径，为圆心，作弧交弧于点，过点，作射线，则，
③以的长为半径，为圆心，作弧交弧于点，
④以的长为半径，为圆心，作弧交弧于点，
⑤过点作射线，则
【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，角度的计算，掌握基本作图是解题的关键．
2.3-2.4 平行线的性质与用尺规作角
平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等；
几何符号语言：∵AB∥CD
∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
性质2：两直线平行，内错角相等；
几何符号语言：∵AB∥CD
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
性质3：两直线平行，同旁内角互补.。
几何符号语言：∵AB∥CD
∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
【题型一】两直线平行同位角相等
【典题】（2022秋·山西临汾·七年级统考期末）如图，两条平行线a，b被第三条直线c所截．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由对顶角相等得到，再由平行线的性质得到．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵两条平行线a，b被第三条直线c所截，
∴，
故选：D
【点睛】此题考查了平行线的性质、对顶角相等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
巩固练习
1．（ê）（2022秋·河南新乡·七年级校考期末）如图，是的平分线，，若，则的度数为（ ）
A．17.5° B．35° C．55° D．70°
【答案】B
【分析】根据两直线平行，同位角相等，可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记平行线的性质是解题的关键．
2．（ê）（2022春·江苏泰州·七年级校考期末）如图，若ab，cd，则图中与∠1互补的角有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】根据平行线的性质，利用两直线平行同位角相等，再根据补角定义结合图形即可得到与∠1互补的角有4个．
【详解】解：如图所示：
，
，
，
，
，
由图及补角定义可知，；；；，
；；；，
即图中与∠1互补的角有4个，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质及补角定义，熟练掌握两直线平行同位角相等是解决问题的关键．
3．（ê）（2022春·陕西咸阳·七年级统考期末）如图，ABCD直角三角尺的直角顶点在上，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知先求出，然后利用平行线的性质，即可解答．
【详解】解：如图：
，，
，
∵AB∥CD，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，余角和补角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4．（ê）（2022春·广东深圳·七年级校考期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长交于，依据，，可得，再根据三角形外角性质，即可得到．
【详解】解：如图，延长交于，
∵，，
，
又，，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
5．（ê）（2022春·浙江湖州·七年级统考期末）如图，，点在直线上，且，，那么的度数为_________．
【答案】57°##57度
【分析】由垂线的性质和平角的定义，求出∠3的度数，再由平行线的性质，即可得出∠2的度数．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：57°
【点睛】本题考查了平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握平行线的性质，求出∠3的度数是解本题的关键．
6．（ê）（2022春·广东广州·七年级广州市天河中学校考期中）如图，已知，，若，求的度数．
【答案】75º
【分析】由得到∠1=∠4，由得到∠3=∠4，得到∠3=∠1，即可求出答案.
【详解】解：如图，
∵，
∴∠1=∠4，
∵，
∴∠3=∠4，
∴∠3=∠1，
∵，
∴∠3=75º.
【点睛】本题考查了平行线的的性质，熟练掌握平行线的性质是本题的关键．．
7．（ê）（2022秋·北京海淀·七年级101中学校考期末）如图，m∥n，直角三角板ABC的直角顶点C在两直线之间，两直角边与两直线相交所形成的锐角分别为α、β，则α+β=______．
【答案】
【详解】如图，过C作CE∥m，
∵m∥n，
∴CE∥n，
∴∠1=∠α，∠2=∠β，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠α+∠β=90°，
故答案为90°．
【题型二】两直线平行内错角相等
【典题】（2022春·重庆·七年级校考期中）如图，，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得答案．
【详解】解：∵
∴
∵平分
∴
故选B．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，关键是掌握两直线平行，内错角相等．
巩固练习
1．（êê）（2022春·广东东莞·七年级校考期中）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）
A．70° B．65° C．35° D．5°
【答案】B
【分析】作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决．
【详解】作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴AB∥DE∥DE，
∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，
∵∠1＝30°，∠2＝35°，
∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，
∴∠BCE＝65°，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．
2．（ê）（2022春·山东济南·七年级统考期末）如图，ABCD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝（ ）
A．35° B．45° C．55° D．70°
【答案】C
【分析】由平行线的性质可得∠ADC＝∠BAD＝35°，再由垂线的定义可得△ACD是直角三角形，进而根据直角三角形两锐角互余的性质即可得出∠ACD的度数．
【详解】∵AB∥CD，∠BAD=35°，
∴∠ADC＝∠BAD＝35°，
∵AD⊥AC，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣35°＝55°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质是解题关键．
3．（ê）（2022春·浙江金华·七年级校考期中）如图，一条公路经过两次转弯后又回到原来的方向，如果第一次的拐角为150°，则第二次的拐角为（ ）
A．40° B．50° C．140° D．150°
【答案】D
【分析】由于拐弯前、后的两条路平行，可考虑用平行线的性质解答．
【详解】解：∵拐弯前、后的两条路平行，
∴∠B=∠C=150°（两直线平行，内错角相等）．
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答此题的关键是将实际问题转化为几何问题，利用平行线的性质求解．
4．（ê）（2022秋·湖南衡阳·七年级衡阳市第十五中学校考期末）如图，已知，且∠1=48°，则∠2＝_____，∠3＝_____，∠4＝_____．
【答案】 48° 132° 48°
【分析】根据两直线平行内错角相等可求出∠2，根据两直线平行，同位角相等可求出∠4，同旁内角互补可求出∠3．
【详解】解：∵ //，∠1=48°，
∴∠2=∠1=48°，
∵ //，∠1=48°，
∴∠4=∠1=48°，
∵ //，
∴∠3+∠4=180°
∴∠3=180°-∠4=180°-48°=132°
故答案为：48°；132°；48°
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
5．（ê）（2022春·河北承德·七年级承德市民族中学校考期末）小红同学在做作业时，遇到这样一道几何题：
已知：AB∥CD∥EF，∠A＝110°，∠ACE＝100°，过点E作EH⊥EF,垂足为E，交CD于H点．
（1）依据题意，补全图形；
（2）求∠CEH的度数．
小明想了许久对于求∠CEH的度数没有思路，就去请教好朋友小丽，小丽给了他如图2所示的提示：
请问小丽的提示中理由①是 ；
提示中②是： 度；
提示中③是： 度；
提示中④是： ，理由⑤是 ．
提示中⑥是 度；
【答案】（1）补图见解析；（2）两直线平行，同旁内角互补，70，30，∠CEF，两直线平行，内错角相等，60．
【分析】（1）按照题中要求作出线段EH⊥EF于点E，交CD于点H即可；
（2）按照“小丽所给提示”的思路结合题中的已知条件根据“平行线的性质、垂直的定义”进行分析解答即可．
【详解】解：（1）依据题意补全图形如下图所示：
；
（2）根据题意可得：
①：两直线平行，同旁内角互补；
②：70°；
③：30°；
④：∠CEF；
⑤：两直线平行，内错角相等；
⑥：60°
故答案为：两直线平行，同旁内角互补，70，30，∠CEF，两直线平行，内错角相等，60．
【点睛】“读懂小丽的思路过程，熟悉平行线的性质”是解答本题的关键．
【题型三】两直线平行同旁内角互补
【典题】（2022春·广东深圳·七年级校考期中）如图，直线DE过点A，且．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两直线平行同旁内角互补求出∠BAE，即可求出∠2．
【详解】∵，
∴，
∴，
即：，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，熟记平行线的基本性质是解题关键．
巩固练习
1．（ê）（2022春·湖南娄底·七年级统考期末）如图，平行线AB，CD被直线AE所截．若∠1=70°，则∠2的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
【答案】D
【分析】直接利用对顶角以及平行线的性质分析得出答案．
【详解】解：
∵∠1＝70°，
∴∠1＝∠3＝70°，
∵ABDC，
∴∠2＋∠3＝180°，
∴∠2＝180°−70°＝110°．
故答案为：D．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及对顶角，正确掌握平行线的性质是解题关键．
2．（ê）（2022春·重庆开州·七年级统考期末）如图，，，平分，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由,知，再由角平分线性质知，继而根据两直线平行同旁内角互补可得答案．
【详解】解：∵
∴，
∵FG平分∠EFD，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行内错角相等和两直线平行同旁内角互补的性质．
3．（ê）（2022春·江西赣州·七年级统考期中）如图，AB∥CD，∠ABE＝148°，FE⊥CD于E，则∠FEB的度数是_______度．
【答案】58
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，即可求出∠BEC，再根据垂直的定义，求出∠CEF=90°，然后根据∠FEB=∠CEF-∠BEC，代入数据计算即可得解．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠ABE+∠BEC=180°，
∵∠ABE=148°，
∴∠BEC=180°-148°=32°，
∵FE⊥CD，
∴∠CEF=90°，
∴∠FEB=∠CEF-∠BEC=90°-32°=58°．
故答案为：58．
【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直的定义的应用，熟记性质并准确识图是解题的关键．
4．（ê）（2022春·广东广州·七年级校考期中）如图，，，，则的度数为__________．
【答案】132°
【分析】由求得∠BAC，再根据平行线的性质即可解得∠ACD的度数．
【详解】∵，，
∴∠BAC=90°-∠CAE=90°-42°=48°，
∵，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠ACD=180°-∠BAC=180°-48°=132°，
故答案为：132°．
【点睛】本题考查了垂直定义、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．
5．（ê）（2022春·上海静安·七年级统考期中）如图，已知ABCE，∠A=120°，∠F=100°，则∠FDC=______度
【答案】40
【分析】过F作FGAB，把∠AFD分成两个角，根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；算出∠AFG，再根据平行公理的推论∶平行于同一条直线的两直线平行；得出FGCE，再由平行线的性质：两直线平行，内错角相等；即可求出∠FDC的度数．
【详解】解：如图，过F作FGAB，
∵FGAB，∠A＝120°，
∴∠AFG+∠A＝180°
∴∠AFG＝60°，
∵∠AFD＝100°，
∴∠DFG＝100°−60°＝40°，
∵FGAB， ABCE
∴FGCE
∴∠FDC＝∠DFG=40°
故答案为：40°．
【点睛】此题考查了平行公理的推论和平行线的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线，构造同旁内角和内错角．
6．（ê）（2022秋·山东济南·七年级统考期末）如图，已知直线AB∥CD，∠B=50°，∠BEC＝25°，EC平分∠BEF.
(1)请说明AB∥EF的理由；
(2)求∠DCE的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠BEF=50°，根据内错角相等两直线平行可证AB//EF．
（2）先证明CD//EF，再根据两直线平行，同旁内角互补可求∠DCE的度数．
（1）
解：∵EC平分∠BEF，∠BEC＝25°，
∴∠BEF=2∠BEC=50°，
∵∠B=50°，
∴∠B=∠BEF，
∴AB//EF．
（2）
解：∵AB∥CD，AB//EF，
∴CD//EF，
∴∠C+∠CEF=180°，
∵EC平分∠BEF，∠BEC＝25°，
∴∠CEF＝∠BEC＝25°，
∴∠C=155°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用，熟练掌握平行线的性质与判定方法是解答本题的关键．
7．（ê）（2022秋·四川乐山·七年级统考期末）如图，已知ABCD，BC平分∠ABD交AD于点E．
(1)证明：∠1=∠3；
(2)若AD⊥BD于点D，∠CDA=34°，求∠3的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠3=28°．
【分析】（1）由角平分线的定义得到∠1=∠2，由ABCD可得∠2=∠3，根据等量代换可得∠1=∠3；
（2）由垂直的定义得出∠ADB=90°，可得∠CDB=∠CDA+∠ADB=124°，由平行线的性质得出∠ABD=56°，根据角平分线的定义即可得解．
【详解】（1）证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠1=∠2，
∵ABCD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3；
（2）解：∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∵∠CDA=34°，
∴∠CDB=∠CDA+∠ADB=34°+90°=124°，
∵ABCD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∴∠ABD=180°-124°=56°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠1=∠2=∠ABD=×56°=28°，
∵∠1=∠3，
∴∠3=28°．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
【题型四】平行线的性质在实际生活中的应用
【典题】（2022春·内蒙古呼伦贝尔·七年级统考期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，还在原来的方向上平行前进，那么这两次拐弯的角度应是（ ）
A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次左拐，第二次右拐
C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐
【答案】B
【分析】根据两条直线平行的性质：两条直线平行，同位角相等．再根据题意可得两次拐弯的方向不相同，但角度相等．
【详解】解：如图，第一次拐的角是，第二次拐的角是，
由两次拐弯后，还在原来的方向上平行前进得：，
由此可知，两次拐弯的方向不相同，但角度相等，
观察四个选项可知，只有选项B符合，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．
巩固练习
1．（ê）（2022春·山西临汾·七年级统考期中）如图，木条a、b、c通过B、E两处螺丝固定在一起，且，，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面内的三条直线AC、DF、MN，若使直线AC、直线DF达到平行的位置关系，则下列描述正确的是（ ）
A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转
B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转
C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转
D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【详解】解：A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转23°，
∴∠ABE=40°+23°=63°≠∠DEM，
∴AC与DF不平行，
故A不符合题意；
B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转103°，
∴∠CBE=180°-（103°-40°）=117°≠∠DEM，
∴AC与DF不平行，
故B不符合题意；
C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转37°，
∴∠DEM=77°-37°=40°=∠ABE，
∴AC//DF，
故C符合题意；
D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转158°，
∴∠DEM=360°-77°-158°=125°≠∠CBE，
∴AC与DF不平行，
故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
2．（ê）（2022春·山东青岛·七年级统考期中）已知：某小区地下停车场的栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时∠ABC=150°，若此时CD平行地面AE，则_________度．
【答案】120
【分析】过点B作BF∥CD，因为AB⊥AE，可得∠ABF=90°，即可得出∠FBC的度数，再由BF∥CD，可得∠FBC+∠BCD=180°，代入计算即可得出答案．
【详解】解：过点B作BF∥CD，如图，
由题意可知，∠ABF=90°，
∵∠ABC=150°，
∴∠FBC=∠ABC-∠ABF=150°-90°=60°，
∵BF∥CD，
∴∠FBC+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠FBC=180°-60°=120°．
故答案为：120．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．
3．（êê）（2022春·广东河源·七年级校考期末）探照灯、汽车灯等很多灯具的光线都与平行线有关，如图所示是一探照灯碗的剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线，，经灯碗反射以后平行射出，其中，，则的度数是______
【答案】116
【分析】过O点作OE∥AB，则OE∥CD，利用平行线的性质，得内错角相等，从而求解．
【详解】解：过O点作OE∥AB，则OE∥CD，
∴∠EOB=∠ABO，∠EOC=∠DCO，
∵∠ABO=38°，∠DCO=78°，
∴∠EOB=38°，∠EOC=78°，
即∠BOC=∠BOE+∠EOC=38°+78°=116°．
故答案为：116．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解题的关键．
4．（êê）（2022春·云南昆明·七年级统考期末）《七彩云南》少数民族传统艺术表演，是七彩云南欢乐世界的王牌演艺节目，它荟萃云南人文之美，深受观众喜爱．在展演中，舞台上的灯光由灯带上位于点和点的两盏激光灯控制．如图，光线与灯带的夹角，当光线与灯带的夹角______时，．
【答案】140°或40°
【分析】当AB与在AC同侧时，CB′∥AB，同旁内角互补；当AB与CB"在AC异侧时，CB"∥AB，内错角相等．
【详解】解：如下图：
当AB与CB′在AC同侧时，
当CB′∥AB时，
∵∠CAB+∠ACB′=180°
∴∠ACB′=140°
当AB与CB"在AC异侧时，
当CB"∥AB时，
∠CAB=∠ACB"=40°
答案：140°或40°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补及需要由分论讨论的思想求解．
5．（êê）（2022春·江苏宿迁·七年级统考期中）【数学抽象】实验证明：平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图①，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角相等，即．
(1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图②是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？
(2)如图③，改变两平面镜之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变．若入射光线m与反射光线n平行但方向相反，则两平面镜的夹角为多少度？
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质及等量代换、平角的概念即可得证；
（2）根据平行线的性质、平角的概念及等量代换即可求得答案．
(1)
证明：由题可知，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
(2)
，
由题可知，，，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了平行线的性质、平角的概念，能够将实际问题转化为我们所学的数学知识是解题的关键．
6．（êê）（2022春·河南驻马店·七年级统考期中）如图是种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点与交于点，当时，人躺着最舒服，求此时扶手与支架的夹角和扶手与靠背的夹角的度数．
【答案】∠AOE=60°，∠ANM=120°
【分析】先根据平行线的性质，得出∠ODC=∠BOD=30°，再根据∠EOF=90°，即可得到∠AOE=60°，再根据平行线的性质，即可得到∠AND的度数，进而得出∠ANM的度数．
【详解】∵扶手AB与底座CD都平行于地面，
∴AB∥CD，
∴∠ODC=∠BOD=30°，
又∵∠EOF=90°，
∴∠AOE=60°，
∵DM∥OE，
∴∠AND=∠AOE=60°，
∴∠ANM=180°-∠AND=120°．
【点睛】此题考查平行线的性质的运用，解题关键在于掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．
【题型五】画特殊角
【典题】（2022秋·河北石家庄·七年级校考期末）下列各度数的角，能借助一副三角尺画出的是（ ）
A．55° B．65° C．75° D．85°
【答案】C
【分析】一副三角板，度数有：、、、，根据度数组合，可以得到答案．
【详解】解：利用一副三角板可以画出的角，是和角的组合
故选：C．
【点睛】本题考查特殊角的画法，审题清晰是解题关键.
巩固练习
1．（ê）用一副三角板不能画出的角是（ ）．
A．75° B．105° C．110° D．135°
【答案】C
【分析】105°=60°+45°，105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；75°=45°+30°，75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画；135°=90°+45°，135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画；110°角用一副三角板不能画出．
【详解】解：105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；
75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画；
110°角用一副三角板不能画出；
135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画。
故选：C．
【点睛】本题考查了利用一副三角板画出的特殊角，找出规律是解决此类题的最好方法，应让学生记住凡是能用一副三角板画出的角的度数都是15°的整数倍．
2．（ê）（2022秋·辽宁盘锦·七年级统考期末）借助一副三角尺画出15°角和105°角．
【答案】画图见解析
【分析】由105°=45°+60°,15°=45°-30°, 再利用三角板画105°,15°即可.
【详解】解：如图，画出15°角和105°角如下：
【点睛】本题考查的是角的和差运算，掌握“利用三角板画特殊角的方法”是解本题的关键.
【题型六】按要求尺规作角
【典题】（2022秋·河北邯郸·七年级统考期中）墨墨想在纸上作等于已知的，步骤有：①画射线；②以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；③以点为圆心，以CD为半径画弧，与已画的弧交于点，作射线；④以点为圆心，以OC为半径画弧，交于点．在上述的步骤中，作的正确顺序应为（ ）
A．①④②③ B．②③④① C．①②④③ D．①③④②
【答案】C
【分析】根据作一个角等于已知角的方法，选择合适的顺序即可．
【详解】解：根据作一个角等于已知角的步骤可知，
正确的顺序是①②④③
故选C．
【点睛】此题考查了尺规作图－作一个角等于已知角，熟练掌握其作法步骤过程是解题的关键．
巩固练习
1．（ê）（2022春·贵州毕节·七年级统考期末）如图，点 C 在∠AOB 的 OB 边上，用尺规作出了 CN∥OA，作图痕迹中，弧 FG 是（ ）
A．以点 C 为圆心，OD 为半径的弧
B．以点 C 为圆心，DM 为半径的弧
C．以点 E 为圆心，OD 为半径的弧
D．以点 E 为圆心，DM 为半径的弧
【答案】D
【分析】根据作一个角等于已知角的步骤即可得．
【详解】解：作图痕迹中，弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧，
故选：D．
【点睛】本题主要考查作图-尺规作图，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的尺规作图步骤．
2．（ê）（2022春·辽宁朝阳·七年级校考期中）如图为用直尺和圆规作一个角等于已知角，那么在能得出的正确画图过程中，下面说法正确的是（ ）
A．的长度不能随意取 B．的长度也是任意长度
C．的长度是任意长度 D．的长度必须等于
【答案】D
【分析】先分析作一个角等于已知角的作法，再利用作法进行一一判断即可．
【详解】解：作法如下：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，C；
（2）画一条射线，以点为圆心，OC长为半径画弧，交于点；
（3）以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点；
（4）过点D'画射线，则．
从上面作法可以看出，只有选项D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：基本作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
3．（ê）（2022春·内蒙古包头·七年级统考期中）如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（ ）
A．以点F为圆心，OE长为半径画弧
B．以点F为圆心，EF长为半径画弧
C．以点E为圆心，OE长为半径画弧
D．以点E为圆心，EF长为半径画弧
【答案】D
【详解】解：用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧．故选D．
4．（ê）（2022秋·河北邯郸·七年级统考期末）数学课上，老师提出一个问题：经过已知角一边上的点，做一个角等于已知角.如图，用尺规过的边上一点C（图①）作（图②）.我们可以通过以下步骤作图：
①作射线；
②以点O为圆心，小于的长为半径作弧，分别交，于点N，M；
③以点P为圆心，的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；
④以点C为圆心，的长为半径作弧，交于点P.下列排序正确的是（ ）
A．①②③④ B．②④③① C．③②④① D．④③①②
【答案】B
【分析】直接根据利用尺规作图的方法，作一个角等于已知角的作图顺序即可得出正确的排列顺序.
【详解】解：正确的排序是：②以点O为圆心，小于的长为半径作弧，分别交，于点N，M；④以点C为圆心，的长为半径作弧，交于点P；③以点P为圆心，的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；①作射线.
故选：B.
【点睛】本题考查的知识点是简单的尺规作图，属于容易题.失分的原因是：没有掌握利用尺规作一个角等于已知角的方法.
5．（ê）（2022春·福建三明·七年级统考期中）如图，若∠α＝38°，根据尺规作图的痕迹，则∠AOB的度数为 ______．
【答案】76°
【分析】由尺规作图的作法得到∠AOB=2∠α，代入数据即可得到答案．
【详解】解：由尺规作图可知，∠AOB=2∠α，
∵∠α=38°，
∴∠AOB=76°，
故答案为：76°．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图的方法是解题的关键．
6．（2022春·陕西西安·七年级校考期中）如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）
【答案】详见解析
【分析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°即可．
【详解】解： 作法：（1）以点C为圆心，以任意长为半径画弧交AC于D，交BC于E，
（2）以点B为圆心，以CD长为半径画弧，交BC于F，
（3）以点F为圆心，以DE长为半径画弧，交前弧于点M，
（3）连接BM，并延长BM与AC交于点P，则点P即为所求．
如图，点P即为所求．
【点睛】本题考查了作图——基本作图．解决本题的关键是掌握基本作图方法．
7．（ê）（2022春·重庆·七年级重庆一中校考期中）作图题：按要求用尺规作图（不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论）
已知：，；
求作：，使．
【答案】答案见详解
【分析】先作∠BOC＝∠α，再以OC为一边，在∠BOC的内部作∠COA＝∠β，则∠AOB即为所求．
【详解】如下图所示：则∠AOB＝∠α﹣∠β．
【点睛】本题主要考查了基本作图，作图的关键是理解作一个角等于已知角的作法．
8．（ê）（2022春·贵州贵阳·七年级统考期中）如图，已知．利用尺规作，使（留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】以的一条边为边，作角等于，即得出∠AOB．
【详解】如图，∠AOB为所作．
【点睛】本题考查了作图-基本作图．熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是解题关键．
9．（（ê）2022春·陕西宝鸡·七年级校考期中）尺规作图：以点B为顶点，射线BC为一边，作，使∠EBC=∠A（不写作法，只保留作图痕迹）．
【答案】图见解析
【分析】分①在射线的上方和②在射线的下方两种情况，根据作一个角等于已知角的尺规作图方法即可得．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
①当在射线的上方时，如图，即为所作．
②当在射线的下方时，如图，即为所作．
【点睛】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图，熟练掌握尺规作图，并分两种情况是解题关键．
10．（êê）（2022秋·江苏南京·七年级校联考期末）如图，已知和，请结合图中标注的角，利用直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）
(1)在图①中作，使得；
(2)在图②中作，使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作∠ACM=∠ABC，则∠BCM即为所求；
（2）作∠DEN=∠F=30°，EN交DF于点N，∠FEN即为所求．
（1）
如图，∠BCM即为所求．
（2）
如图，∠FEN即为所求．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，熟练掌握五种基本作图．
11．（êê）（2022春·江西吉安·七年级统考期中）已知和，作一个角等于．（保留作图痕迹，不必写作法）
【答案】见解析
【分析】先作，再作，则即为所求．
【详解】如图所示，，，则即为所求．
作法：①作射线，
②以任意长度为半径，的顶点为圆心作弧，的定点为圆心作弧，以同样长度为半径，以为圆心，作弧，交射线于点，
③以的长为半径，为圆心，作弧交弧于点，过点，作射线，则，
③以的长为半径，为圆心，作弧交弧于点，
④以的长为半径，为圆心，作弧交弧于点，
⑤过点作射线，则
【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，角度的计算，掌握基本作图是解题的关键．
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