初中数学北师大版七年级下册2 图形的全等精品课时训练

这是一份初中数学北师大版七年级下册2 图形的全等精品课时训练，文件包含42-45图形的全等探索三角形全等的条件用尺规作三角形利用三角形全等测距离原卷版docx、42-45图形的全等探索三角形全等的条件用尺规作三角形利用三角形全等测距离解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。

4.2-4.5 图形的全等 探索三角形全等的条件 用尺规作三角形 利用三角形全等测距离

知识点1 全等三角形及其性质
全等图形概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形。
全等图形的性质：①形状相同。②大小相等。③对应边相等、对应角相等。④周长、面积相等。
全等三角形概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
【补充】两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上。
全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换。
变换方式（常见）：平移、翻折、旋转。
全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。
知识点2：全等三角形的判定（重点）

一般三角形
判定
边角边（SAS）、角边角（ASA）
角角边（AAS）、边边边（SSS）
性质
对应边相等，对应角相等、周长、面积相等
对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等
【备注】判定两个三角形全等必须有一组边对应相等。
证题的思路（重点）：

 
【题型一】全等图形的识别
【典题】下列各组图形中，属于全等图形的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据全等图形的定义和性质，即可得出答案．
【详解】解：∵全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等图形；
全等图形的性质：全等图形的形状相同，大小相等
∴A选项大小不相等，不合题意；
B选项大小不相等，不合题意；
C选项形状相同，大小相等，是全等图形，符合题意；
D选项形状不同，不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查全等图形的知识，解题的关键是掌握全等图形定义和性质．
巩固练习
1．（ê）对于两个图形，下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③能够完全重合的两个图形．其中能得出这两个图形全等的结论共有（    ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】根据全等图形的判定方法分析解答．
【详解】解：①两个图形的周长相等，这两个图形不一定全等；
②两个图形的面积相等，这两个图形不一定全等；
③能够完全重合的两个图形，这两个图形一定全等．
正确的有③，
故选：B．
【点睛】此题考查了全等图形的判定，熟练掌握全等图形的判定定理是解题的关键．
2．（ê）下列说法不正确的是（　　）
A．用一张底片冲洗出来的10张一寸照片是全等图形
B．我国国旗上的4颗小五角星是全等图形
C．全等图形的面积一定相等
D．所有的正方形都是全等图形
【答案】D
【分析】根据全等形的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、用一张底片冲洗出来的10张一寸照片是全等图形，正确，故本选项不符合题意；
B、我国国旗上的4颗小五角星是全等图形，正确，故本选项不符合题意；
C、全等图形的面积一定相等，正确，故本选项不符合题意；
D、所有的正方形边长不一定相等，故所有的正方形不都是全等图形，本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等图形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．注意：能够完全重合的两个图形叫做全等图形．
3．（ê）下列说法正确的是（    ）
A．两个面积相等的三角形是全等图形 B．两个长方形是全等图形
C．两个周长相等的圆是全等图形 D．两个正方形是全等图形
【答案】C
【分析】根据全等图形的概念即可得出答案．
【详解】A、面积相等，但图形不一定完全重合，故错误；
B、两个长方形，图形不一定完全重合，故错误；
C、两个周长相等的圆，那么半径相等，所以重合，故正确；
D、两个正方形，面积不相等，也不是全等图形．
故答案选：C．
【点睛】本题主要考查了全等图形的概念，解本题的要点在于要知道全等图形是完全重合的图形，由此得到答案．
【题型二】利用SSS判定两个三角形全等
【典题】工人常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图：是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相间的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线，由此作法便可得其依据是（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由作图可得，再加上公共边，可利用证明．
【详解】解：由题意得，
在和中

∴，
故选：A．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟记判定定理是解题的关键．
巩固练习
1．（ê）如下图，在和中，，，则能说明≌的依据是(   )

A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定定理结合题意可直接得出答案．
【详解】解：∵，，AD＝AD，
∴≌（SSS），
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
2．（ê）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是（　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A
【分析】根据题意两个三角形的三条边分别对应相等，即可利用“边边边”证明这两个三角形全等，即可选择．
【详解】在和中，
，
∴，
∴，即．
∴此角平分仪的画图原理是SSS．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质．根据题意找到可证明两三角形全等的条件是解答本题的关键．
3．（ê）已知如图，在△ABC中，∠ACB是钝角，依下列步骤进行尺规作图：
（1）以C为圆心，CA为半径画弧；
（2）以B为圆心，BA为半径画弧，交前弧于点D；
（3）连接BD，交AC延长线于点E
明明同学依据作图，写出了下面四个结论，其中正确的是（　　）

A．∠ABC＝∠CBE B．BE＝DE
C．AC⊥BD D．S△ABC＝AC•BE
【答案】A
【分析】根据作图得到AC=CD，AB=BD，证明△ABC≌△DBC，从而得到结论．
【详解】解：由作图可知：AC=CD，AB=BD，
∵BC=BC，
∴△ABC≌△DBC（SSS），
∴∠ABC=∠CBE，
无法证明其余三个选项的结论，

故选A．
【点睛】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【题型三】利用SAS判定两个三角形全等
【典题】如图，把两根钢条AB，CD的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）只要量得AC的长度，就可知工件的内径BD是否符合标准，这是利用的什么数学原理呢？（    ）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】B
【分析】连接AC，根据SAS证明△AOC≌△BOD，即可求解．
【详解】解：连接AC，如图，

根据题意得：AO=BO，CO=DO，
∵∠AOC=∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（SAS）．
故选：B
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
巩固练习
1．（ê）如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB，发现DE＝AB．那么判定△ABC和△DEC全等的依据是（    ）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】B
【分析】由题意知AC=DC，BC=EC，由于∠ACB=∠DCE，根据“SAS”即可证明△ABC≌△DEC．
【详解】解：由题意知CD=CA，CE=CB，
在△DCE和△ABC中，，
∴△DCE≌△ABC（SAS）．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的“SAS”方法是解题的关键．
2．（ê）如图，在△ABC中，AB＝BC，点D为AC上的点，连接BD，点E在△ABC外，连接AE，BE，使得CD＝BE，∠ABE＝∠C，过点B作BF⊥AC交AC点F，若∠BAE＝21°，∠C＝28°，则∠FBD＝（    ）

A．49° B．59° C．41° D．51°
【答案】C
【分析】由△ABE≌△BCD（SAS），可求出∠BAE＝∠CBD＝21°，△ABC是等腰三角形，BF是底边AC的高，可以求出∠DBF＝90°﹣（∠CBD＋∠C）.
【详解】在△ABE和△BCD中，
，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠BAE＝∠CBD，
∵∠BAE＝21°，∠C＝28°，
∴∠CBD＝21°，
∴∠BDF＝∠CBD＋∠C＝21°＋28°＝49°，
∵BF⊥AC，
∴∠BFD＝90°，
∴∠FBD＝90°﹣∠BDF＝90°﹣49°＝41°
故选：C.
【点睛】本题考查了全等三角形和等腰三角形的性质，此类题型比较灵活，但围绕的知识点是固定的，解题时注意结合图形寻找已知条件与问题之间的位置关系，把条件与问题的联系作为主要的思考方向.
3．（êê）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=（　　）

A．90° B．100° C．120° D．135°
【答案】D
【分析】标注字母，利用“边角边”判断出和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解．
【详解】解：如图，
在和中，
，
∴（），
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
故选：D．

【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等．
【题型四】利用ASA判定两个三角形全等
【典题】小明在学习了全等三角形的相关知识后，发现了一种测量距离的方法，如图，小明直立在河岸边的O处，他压低帽子帽沿，使视线通过帽沿，恰好落在河对岸的A处，然后转过身，保持和刷才完全一样的姿势，这时视线落在水平地面的B处（A，O，B三点在同一水平直线上），小明通过测量O，B之间的距离，即得到O，A之间的距离．小明这种方法的原理是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
巩固练习
1．（ê）如图，要测量池塘两岸相对的两点，之间的距离，可以在池塘外取的垂线上两点，，使，再画出的垂线，使点与在同一条直线上，可得，这时测得的长就是的长．判定最直接的依据是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据证明，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴．
故选：C
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
2．（ê）如图要测量河两岸相对的两点，的距离，先在的垂线上取两点，，使，再确定出的垂线，使得点，，在同一条直线上，测得米，因此，的长是（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】根据“ASA”证明得出，即可证明结论．
【详解】证明：∵，，
∴，
∵在和中
，
∴（ASA），
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
3．（ê）如图三角形纸片被遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与原三角形完全重合的三角形，他画图的依据是（    ）

A．SSS B．AAS C．ASA D．SAS
【答案】C
【分析】图中三角形没被遮住的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可．
【详解】解：由图可知，三角形两角及夹边还存在，
∴根据可以根据三角形两角及夹边作出图形，
所以，依据是ASA．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
【题型五】利用AAS判定两个三角形全等
【典题】如图，在中，，的平分线交于点E，于点D，若的周长为12，，则的周长为（    ）

A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】D
【分析】通过证明得到、，的周长，即可求解．
【详解】解：∵平分
∴，
又∵
∴
又∵
∴（AAS）
∴、，
的周长为
，
故选：D，
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法与性质，以及线段之间的等量关系．
巩固练习
1．（ê）如图，，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm，则BE=（     ）

A．1cm B．0.8cm C．4.2cm D．1.5cm
【答案】B
【分析】根据，得，则，再由，得，则，从而证出，进而得出的长．
【详解】解：∵BE⊥CE，，
，
∴，
，
，
，
又，
，
，，
cm，cm，
cm．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相应的判定定理及性质．
2．（êê）如图，在中，，，是上一点，与相交于点，当时，图中阴影部分的面积为(    )

A．24 B．36 C．48 D．60
【答案】A
【分析】证明，则，利用割补法可得阴影部分面积．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴图中阴影部分面积


，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形的面积计算方法，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键．
3．（ê）如图，AB⊥BC，EC⊥BC，AD⊥DE，AD=DE，AB=3，BC=8，则CE长为（    ）

A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】B
【分析】由“AAS”可证△ADB≌△DEC，可得AB=DC=3，BD=CE，即可求解．
【详解】解：∵AB⊥BC，EC⊥BC，AD⊥DE，
∴∠B=∠C=∠ADE=90°，
∴∠A+∠ADB=90°=∠ADB+∠EDC，
∴∠A=∠EDC，
在△ADB和△DEC中，
，
∴△ADB≌△DEC（AAS），
∴AB=DC，BD=CE，
∵AB=3，
∴DC=3，
∵BC=8
∴BD=CE=BC-DC=5，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【题型六】添加条件使三角形全等
【典题】如图，已知，，下列条件能判定的是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵，，
A、∵，
∴，
此时满足边边角，不能判定，故本选项不符合题意；
B、若，此时满足边边角，不能判定，故本选项不符合题意；
C、，满足边角边，能判定，故本选项符合题意；
D、，无法判定，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
巩固练习
1．（ê）如图，已知，在下列条件：①；②；③；④中，只补充一个就一定可以判断的条件是（    ）

A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
【答案】B
【分析】根据等角的补角相等可得，然后根据全等三角形的判定方法逐一判断即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
①∵，
∴（），
∴①符合题意；
②∵，
∴（），
∴②符合题意；
③∵，
∴（），
∴③符合题意；
④∵，
不能判断，
∴④不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．
2．（ê）如图，如果，要使，所添条件错误的是（　　）  

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定定理判断A即可；根据判断B即可；根据判断C即可；根据判断D即可．
【详解】解：A、根据两边和其中一边的对角不能判断两三角形全等；故本选项错误；
B、在和中

∴，故该项正确；
C、在和中

∴，故该项正确；
D、在和中

∴，故该项正确；
故选：A
【点睛】本题主要考查对全等三角形的判定的理解和掌握，能熟练地根据全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键．
3．（ê）如图，已知，添加下列条件还不能判定的是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定：可得答案．
【详解】解：由题意，得，
A、三角形不全等，故A符合题意；
B、在与中，
，
，故B不符合题意；
C、在与中，

，故C不符合题意；
D、在与中，
，
，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【题型七】灵活选定判定方法证明两个三角形全等
【典题】．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明和小颖想用绳子测量A，B两点间的距离，他们想出了这样一个办法：先在地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB；连接DE并测量出它的长度，DE 的长度就是A、B两点间的距离”
（1）你能说明其中的道理吗？
（2）你还有别的不同的方法吗？（可以使用直角工具）请写出具体方法，并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）只需要证明△ABC≌△DEC得到AB = DE，即DE的长度就是A，B两点间的距离；
（2）在地面上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接AC，BC，使∠ACB＝90°，然后在AC的延长线上确定点D，使CD＝AC，连接BD并测量BD的长度，BD的长度就是A、B两点之间的距离．
【详解】解：（1）在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS）
∴AB = DE，即DE的长度就是A，B两点间的距离.     
（2）方法：在地面上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接AC，BC，使∠ACB＝90°，然后在AC的延长线上确定点D，使CD＝AC，连接BD并测量BD的长度，BD的长度就是A、B两点之间的距离，                                                                    理由：在△ABC和△DBC中，
∵
△ABC≌△DBC（SAS）
∴AB=BD，
∴通过测量BD的长可得AB的长．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够根据题意构造全等三角形．
巩固练习
1．（êê）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠A的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AD于E．
（1）说明△ACD≌△BCF的理由；
（2）BE与AD的长度关系是 　 　，请说明理由．

【答案】（1）理由见解析；（2）理由见解析．
【分析】（1）两三角形已经具备一边一角的条件，由已知可再找一角的条件，利用ASA来说明理由；
（2）结合（1）的结论可得到AD=BF，只需判断BF与BE之间的数量关系即可．
【详解】（1）证明：如图所示，








∵∠ACB=90°，
∴∠BCF=90°．
在和中，


（2）BE与AD之间的数量关系是理由如下：
∵AD平分∠BAC，

在和中，





∴AD=BF.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段的中点的性质等知识点，熟知三角形全等的判定与性质是解题的基础；作为连续性问题，上一问题的结论对后面问题的提示和帮助作用不可忽视．
2．（ê）如图，AB//CD，∠B＝∠D，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．
（1）试判断AD与BE有怎样的位置关系，并说明理由；
（2）试说明△AOD≌△EOC．

【答案】（1）AD//BE，理由见解析；（2）见解析．
【分析】（1）由AB//CD可得∠B＝∠DCE，进而可得∠DCE＝∠D，问题得证；
（2）由O是CD的中点，可得DO＝CO，结合（1）中∠DCE＝∠D，再结合对顶角，可根据ASA判定全等．
【详解】（1）AD//BE，
理由：∵AB//CD，
∴∠B＝∠DCE，
∵∠B＝∠D，
∴∠DCE＝∠D，
∴AD//BE；
（2）∵O是CD的中点，
∴DO＝CO，
在△ADO和△ECO中，

∴△AOD≌△EOC（ASA）．
【点睛】本题主要考查了全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
3．（êê）综合实践：
某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如下几种方案：
甲：如图①，先在平地取一个可直接到达的点，再连接，并分别延长至至，使，最后测出的长即为的距离．
  
乙：如图②，先过点作的垂线，再在上取两点，使，接着过点作的垂线交的延长线于点，则测出的长即为的距离．
丙：如图③，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为的距离．
以上三位同学所设计的方案，可行的有 ；
请你选择一可行的方案，说说它可行的理由．
【答案】（1）甲、乙、丙；（2）选甲（答案不唯一），理由见解析．
【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质解题；
（2）根据全等三角形的判定与性质解题,甲（SAS），乙（ASA），丙（ASA）．
【详解】（1）甲、乙、丙；
（2）选甲（答案不唯一），理由如下：
在和中，


；
选乙：

在和中，


；
选丙：在和中，


．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、全等三角形的实际应用等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【题型八】与尺规作图有关的全等问题
【典题】小刚自己研究了用直尺、圆规平分一个已知角的方法：
（1）在OA和OB上分别截取．
（2）分别以D，E为圆心，以大于DE长为半径作弧，在的内部两弧交于点C．
（3）作射线OC，则有．你能指出作法中的道理吗？

【答案】见解析
【分析】利用画法得到OE=OD，CE=CD，加上OC为公共边，可根据“SSS”证明△COD≌△COE，据此可以得∠AOC=∠BOC．
【详解】解：由作法得：
OE=OD，CE=CD，
而OC为公共边，即OC=OC，
∴△COD≌△COE（SSS），
∴∠AOC=∠BOC．

【点睛】本题考查了基本作图以及全等三角形的判定，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
巩固练习
1．（ê）如图1，在边长为1的9×9正方形网格中，老师请同学们过点C画线段AB的垂线．如图2，小明在多媒体展台上展示了他画出的图形．请你利用所学知识判断并说明直线CD是否为线段AB的垂线．（点A，B，C，D，E，F都是小正方形的顶点）

【答案】见解析
【分析】根据全等三角形的判定和性质解答即可．
【详解】证明：如图所示：
通过图可知：DF＝BE＝2，CF＝EA＝5，∠DFC＝∠BEA＝90°，
∴△DFC≌△BEA（SAS），
∴∠A＝∠C，
∵∠AGH＝∠CGP，
∴∠AHG＝∠APC＝90°，
∴直线CD为线段AB的垂线．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
2．（ê）尺规作图：
已知：.求作：，使与全等.

要求：（1）不写作法，保留作图痕迹；
（2）写出作图时选取的相等的边或角.
【答案】见解析
【分析】利用全等三角形的判定定理SSS、AAS、ASA、SAS之一来作，作线段B′C′=BC，分别以B′、C′为圆心，BA，CA为半径画弧，两弧交于点A′，连接A′B′，A′C′．（答案不唯一）
【详解】解：选取AB、BC、AC作图，使其分别等于A′B′、B′C′、A′C′，
如图，即为所作三角形：

【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【题型九】利用全等三角形测量距离
【典题】 小明为了测量河的宽度，他在河的岸边取一点B，又选对岸B点正对的一棵树A，然后沿河岸边直走25m有一棵树C，继续前行25m到达D处，最后从D处沿河岸垂直的方向行走到E点，此时A树、C树、点E恰好在一条直线上，测得DE的长为10.5m．

(1)由此可得河的宽度是______米；
(2)请你说明小明做法的正确性．
【答案】(1)10.5
(2)见解析
【分析】（1）直接根据全等三角形的性质可得出答案；
（2）将题目中的实际问题转化为数学问题，然后利用全等三角形的判定方法证得两个三角形全等即可说明其做法的正确性．
（1）
解：由题意知，m，即河的宽度是10.5米．
故答案是：10.5．
（2）
解：理由：
由题知，，
∴，
又∵，
，
所以
∴
∵
∴
答：河的宽度为10.5米．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题．
巩固练习
1．（ê）如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小明家所在单元楼的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小华在自己家阳台C处测得E处的俯角为，小明站在E处测得楼顶A的仰角为，发现与互余，过点F作于点G，已知米，米，米，点B、E、D在一条直线上，，试求单元楼的高．（注：与互余）．

【答案】39米
【分析】根据题意得出，，FG=CD，然后利用全等三角形的判定和性质求解即可．
【详解】解：由图可得，
∴，
∵FG⊥AB，CD⊥BD，
∴，
∵BE=CD，FG=BE，
∴FG=CD，
在与中，

∴，
∴（米），
∴（米），
答：单元楼的高为39米．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用全等三角形的判定和性质是解题关键．
2．（ê）如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，、的长表示两个工厂到河岸的距离，其中是进水口，、为污水净化后的出口．已知，，，，点、、在同一直线上，米，米，求两个排污口之间的水平距离．

【答案】500米
【分析】证明，即可得到对应边相等，即可求出水平距离．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴（米）．
【点睛】本题考查了K型图的全等三角形，证明三角形全等是本题的关键．
3．（ê）【问题情境】如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，如果米，那么间的距离为___________米．
【探索应用】如图2，在中，若，求边上的中线的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到），把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，中线的取值范围是___________；
【拓展提升】如图3，在中，的延长线交于点F，求证：．

【答案】（1）100米；（2）1＜AD＜4；（3）见详解
【分析】（1）证明△ABC≌△DEC，由全等三角形的性质即可得AB＝DE；
（2）延长到点E使，再连接，由“SAS”可证△ADC≌△EDB，可得AC＝BE＝3，由三角形三边关系可得1＜AD＜4；
（3）在BC上截取BG＝AF，易证△ABG≌△ADF，可得DF＝AG和∠DFA＝∠BGA，即可求证△ACG≌△EAF，可得GE＝AF，即可解题．
【详解】（1）解：在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴DE＝AB=100米；
故答案为：100米
（2）延长到点E使，再连接
如图所示

∵AD＝DE，CD＝BD，∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△EDB（SAS）
∴AC＝BE＝3，
∵在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4，
故答案为：1＜AD＜4；
（3）证明：在BC上截取BG＝AF，

∵∠BAD＝∠CAE＝∠ACB＝90°
∴∠BAC+∠ABC＝∠BAC+∠DAF＝90°
∴∠CBA＝∠DAF，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF，（SAS）
∴DF＝AG，∠DFA＝∠BGA，
∴∠EFA＝∠CGA，
∵在△ACG和△EAF中，
，
∴△ACG≌△EAF（AAS）
∴EE＝AG＝FD．
∴
【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．