北师大版七年级下册3 简单的轴对称图形优秀同步达标检测题

5.3 简单的轴对称图形

等腰三角形概念：有两边相等的三角形角等腰三角形。等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

等腰三角形性质：

1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）

2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）

垂直平分线的概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）。

性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；反过来，到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

线段、角的轴对称性

1）线段的轴对称性：

①线段是轴对称图形，对称轴有两条；一条是线段所在的直线，另一条是这条线段的垂直平分线。

②线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。

③到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

结论：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合

2）角的轴对称性：

①角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。

②角平分线上的点到角的两边距离相等。

③到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

结论：角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合

【题型一】考查等腰三角形的性质

【典题】如图，在中，直线是的垂直平分线，且分别交，于点，，连接，，，则为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求得的度数，再利用三角形内角和定理即可得解．

【详解】解：直线是的垂直平分线，

，

，

，，

，

．

故选：B．

【点睛】本题考查了三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．

巩固练习

1．（）等腰的一个内角为40°，则另外两个角为（　　）

A．40°，40° B．100°，40°

C．70°，70° D．70°，70°或100°，40°

【答案】D

【分析】分40°角为顶角和底角两种情况利用三角形内角和定理求解即可

【详解】解：若40°角为顶角，则另处两个角是底角为，；

若40°角为底角，则另外两个角为，40°；

故选：D．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．

2．（）一个等腰三角形的两边长分别为3和7，这个三角形的周长是（    ）

A．10 B．13 C．13或17 D．17

【答案】D

【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．

【详解】解：（1）若3为腰长，7为底边长，

由于，则三角形不存在；

（2）若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边，

所以这个三角形的周长为．

故选：D．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．

3．（）如图，中，，，AD是BC边上的中线，BE平分交AC于点E．交AD于点F．则的度数为（    ）

A．80° B．100° C．110° D．120°

【答案】C

【分析】根据等腰三角形的性质得的度数，再根据角平分线算出的度数，再由“三线合一”的性质得的度数，最后根据三角形的外角和性质求解即可．

【详解】解： ∵，，

∴，

∵平分，

∴，

∵，是上的中线，

∴，

∴，

∴．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的外角和性质是解题的关键．

4．（）如图，中，，把沿翻折，使点落在的位置，则关于线段的说法，最恰当是（    ）

A．是中边上的中线 B．是中边上的高

C．是中的角平分线 D．以上都对

【答案】D

【分析】根据折叠的性质得到，BC＝DC，AB＝AD，即AC垂直平分BD，利用等腰三角形的三线合一即可得到线段AC是△ABD中BD边上的中线，是∠BAD的角平分线；根据三角形高线的定义得到线段AC是△ACD中CD边上的高．

【详解】解：∵，△ABC沿AC翻折，点B落在D的位置，

∴，BC＝DC，AB＝AD，

∴线段AC是△ABD中BD边上的中线，是∠BAD的角平分线；线段AC是△ACD中CD边上的高．

故选：D．

【点睛】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了等腰三角形的性质以及三角形的高线、中线和角平分线．

【题型二】利用垂直平分线的性质进行计算

【典题】如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（    ）

A．AB=AD B．AC平分∠BCD

C．AB=BD D．△BEC≌△DEC

【答案】C

【详解】解：∵AC垂直平分BD，

∴AB=AD，BC=CD，故A成立，

∴AC平分∠BCD，BE=DE．故B成立，

∴∠BCE=∠DCE．

在Rt△BCE和Rt△DCE中，

∵BE=DE，BC=DC，

∴Rt△BCE≌Rt△DCE（HL）．故D成立，

没有可证明AB=BD的条件，故C不一定成立，

故选：C．

巩固练习

1．（）如图，△ABC中，∠BAC=100°，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，则∠DAE等于（　　）

A．50° B．45° C．30° D．20°

【答案】D

【详解】试题解析：根据线段的垂直平分线性质，可得AD=BD，AE=CE．

故∠EAC=∠ECA，∠ABD=∠BAD．

因为∠BAC=100°，∠ABD+∠ACE=180°-100°=80°，

∴∠DAE=100°-∠BAD-∠EAC=20°．

故选：D．

2．（）如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（ ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】C

【分析】由ED是AB的垂直平分线，可得AD=BD，又由△BDC的周长=DB+BC+CD，即可得△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC．

【详解】解：∵ED是AB的垂直平分线，

∴AD=BD，

∵△BDC的周长=DB+BC+CD，

∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．

故选C．

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，掌握转化思想的应用是解题的关键．

3．（）如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据内角和定理求得，由中垂线性质知，即，从而得出答案．

【详解】解：在中，∵，，

∴，

由作图可知为的中垂线，

∴，

∴，

∴，

故选：A．

【点睛】本题主要考查作图—基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质以及等边对等角是解题的关键．

4．（）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若的周长是，则的周长是（   ）

A．22 B．15 C．17 D．18

【答案】C

【分析】由的垂直平分线交于点D，交于点E，易得，又由的周长是，可求得，继而求得答案．

【详解】解：∵是的垂直平分线，

∴，

∵的周长是，

∴，

∵，

∴的周长是：．

故选：C．

【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意转化思想与数形结合思想的应用．

【题型三】利用角平分线的性质进行计算

【典题】如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（　　）

A．1 B．2 C． D．4

【答案】B

【分析】根据角平分线的性质直接可得．

【详解】如图，过点P作，垂足为点G，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，．

故选B．

【点睛】本题考查了角平分线的性质；掌握好有关角平分线的基础知识是关键．

巩固练习

1．（）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD＝3，则△ABD的面积为（　　）

A．15 B．30 C．12 D．10

【答案】A

【分析】根据角平分线的性质可得DE=DC，然后用三角形面积公式算出结果即可．

【详解】过D点作DE⊥AB于E，如图，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴DE＝DC＝3，

∴S△ABD＝10×3＝15．

故选：A．

【点睛】本题考查角平分线性质，正确作出辅助线是解题的关键．

2．（）如图所示，有三条道路围成Rt△ABC，其中BC=1000m，一个人从B处出发沿着BC行走了800m，到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为（     ）

A．1000m B．800m C．200m D．1800m

【答案】C

【分析】据角平分线上一点到角两边的距离相等，知此人此时到AB的最短距离即D到AB的距离，而D到AB的距离等于CD，而CD=BC-BD即得答案．

【详解】如下图

过D作DE⊥AB于E，则此时此人到AB的最短距离即是DE的长．

∵AD平分∠CAB，AC⊥BC

∴DE=CD=BC-BD=1000-800=200（米）

故选：C．

【点睛】本题考查角平分线性质定理和“垂线段最短” ．其关键是运用角平分线上一点到角两边的距离相等得出CD等于D到AB的距离．

3．（）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°， AC＝4㎝，AB＝7㎝，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，则EB的长是（　　　　）

A．3㎝ B．4㎝ C．5㎝ D．不能确定

【答案】A

【详解】试题解析：∵AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,  

∴DE=DC，

在Rt△AED和Rt△ACD中，

∵AD=AD，DE=DC，

∴Rt△AED≌Rt△ACD(HL)，

∴AE=AC=4cm，

∴BE=AB−AE=3cm，

故选A.

4．（）在三条公路，，围成的一块平地上修建一个物流服务中心如图所示，若要使物流服务中心到三条公路的距离相等，则这个物流服务中心应修建在（    ）

A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处

C．三条中线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处

【答案】B

【分析】根据三角形三条角平分线的交点到三角形各边的距离相等的特点解答即可．

【详解】解：三角形三条角平分线的交点到三角形各边的距离相等，

要使物流服务中心到三条公路的距离相等，则这个物流服务中心应修建三条角平分线的交点．

故选：B．

【点睛】本题考查的是三角形的重心，熟知三角形三条角平分线的交点到三角形各边的距离相等是解题的关键．

5．（）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝7cm，则△DBE的周长是（    ）

A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm

【答案】B

【分析】由在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，根据角平分线的性质，可得CD=ED，AC=AE=BC，继而可得△DBE的周长=AB．

【详解】∵在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，

∴CD=ED，∠ADC=∠ADE，

∴AE=AC，

∵AC=BC，

∴BC=AE，

∴△DBE的周长是：BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AE+BE=AB=7cm．

故选 B．

【点睛】此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．

【题型四】作垂线/角平分线

【典题】如图，已知线段a及∠．用直尺和圆规，求作△ABC，使BC=a，∠B=∠，∠C=∠（保留作图痕迹，不写作法）；

【答案】见解析

【分析】先作∠的平分线得到，作射线BM，在射线BM上截取BC=a，在BC上方作∠NBM=∠，∠TCB=，射线CT交BN于点A，即可作出△ABC．

【详解】解：如图，△ABC即为所求作．

【点睛】本题考查作图-复杂作图，涉及尺规作图-作角平分线、作一个角等于已知角、作线段，属于中考常考题型，熟练掌握五种基本作图是解答的关键．

巩固练习

1．（）如图，已知．请按步骤用尺规作图，并回答下列问题：

第一步：在，上分别截取，，使．

第二步：分别以点D和点E为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点C．

第三步：作射线．（保留作图痕迹）

(1)射线是_______________________．

(2)连接，，与全等吗？请说明理由．

【答案】(1)图见解析，的角平分线

(2)全等，理由见解析

【分析】（1）根据要求作出图形即可；

（2）根据证明三角形全等即可．

（1）

解：图形如图所示：

的角平分线，

故答案为：角平分线；

（2）

解：结论：．

理由：在和中，

，

．

【点睛】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

2．（）在劳动植树节活动中，两个班的学生分别在M，N两处参加植树劳动，现要在道路的AB，AC交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM＝PN，请同学们用圆规、直尺在图中画出供应点P的位置，保留画图痕迹，不要证明．

【答案】见解析

【分析】因为P到两条道路的距离相等，且使PM＝PN，所以P应是∠BAC的平分线和MN的垂直平分线的交点．

【详解】解：∠BAC的平分线和MN的垂直平分线的交点P即为所求，如图，

【点睛】此题考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，需仔细分析题意，结合图形，利用线段的垂直平分线和角的平分线的性质是解答此题的关键．

3．（）作图（不写作法）

(1)已知：如图1，点在锐角的内部，在边上求作一点，在边上求作一点，使得的周长最小．

(2)已知：如图2，点在锐角的内部，在边上求作一点，使得点到点的距离与点到边的距离之和最小．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）根据轴对称确定最短路线问题，作出点M关于OA的对称点M1，点M关于OB的对称点M2，连接M1M2，与OA，OB的交点即为所求的点P，Q；

（2）作出点M关于OB的对称点，根据垂线段最短，作，与的交点即为所求作的点P．

【详解】（1）解：如图，点P，Q即为所求作的点；

（2）如图，点P即为所求作的点．

【点睛】本题考查轴对称确定最短路线问题，掌握相关知识是解题关键．