【同步讲义】北师大版数学七年级下册：第六章 概率初步（题型过关）

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第六章 概率初步 【题型一】判断事件发生可能性的大小典例1．盒中装有红球、黄球共10个，每个球除颜色外其余都相同，每次从盒中摸到一个球，摸三次，不放回，请你按要求设计出摸球方案：(1)“摸到三个球都是红球”是不可能事件；(2)“摸到红球”是必然事件；(3)“摸到两个黄球”是随机事件；(4)“摸到两个黄球”是确定事件．【答案】(1)盒中装有红球2个、黄球8个（答案不唯一）；(2)盒中装有红球8个、黄球2个（答案不唯一）；(3)盒中装有红球8个、黄球2个（答案不唯一）；(4)盒中装有红球9个、黄球1个（答案不唯一）．【分析】（1）要使“摸出的3个球都是红球”是不可能事件，只要盒子中的红球数不足3个即可；（2）要使“摸出红球”是必然事件，只要盒子中的黄球数最多为2个，则摸三次，必然会摸到红球；（3）要使“摸出2个黄球”是随机事件，即可能摸出2个黄球，也可能摸不出2个黄球，则黄球最少有2个，才能保证摸出2个黄球，但是最多有8个，否则一定可以摸出2个黄球；（4）确定事件包含不可能事件和必然事件，要使“摸出2个黄球”是必然事件，即一定可以摸出2个黄球，要使“摸出2个黄球”是不可能事件，即一定摸不出2个黄球．【详解】（1）解：盒中装有红球2个、黄球8个，则“摸到三个球都是红球”是不可能事件；（2）解：盒中装有红球8个、黄球2个，则“摸到红球”是必然事件；（3）解：盒中装有红球8个、黄球2个，则“摸到两个黄球”是随机事件；（4）解：盒中装有红球9个、黄球1个，则“摸到两个黄球”是不可能事件，属于确定事件．【点睛】本题主要考查了随机事件、必然事件以及不可能事件，解答此题要注意：不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，随机事件的概率在0和1之间．1．为了提高学生阅读能力，某校倡议八年级学生利用双休日加强课外阅读，为了解同学们阅读的情况，学校随机抽查了部分同学周末阅读时间，并且得到数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：(1)本次调查的学生有________人；请将条形统计图补充完整；(2)扇形统计图中，求出“1.5小时”部分所对的扇形圆心角度数；(3)若该校八年级共有500人，现从中随机抽取一名学生，你认为“抽到周末阅读时间为1.5小时的学生”与“抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性哪个大？________．（直接写出结果）【答案】(1)100人，见解析(2)144°；(3)“抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性大．【分析】（1）根据阅读时间1小时的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，然后即可计算出阅读时间为1.5小时的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（2）用“1.5小时”部分所对的扇形所占的百分比乘以360°即可求得答案；（3）分别求得可能性大小后比较即可确定正确的答案．【详解】（1）本次调查的学生有30÷30%=100（人），阅读1.5小时的学生有：100-12-30-18=40（人），补全的条形统计图如右图所示，故答案为：100；（2）360°×=144°，即“1.5小时”部分所对的扇形圆心角度数144°；（3）“抽到周末阅读时间为1.5小时的学生”的可能性为；“抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性为，∴“抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性大．故答案为：“抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性大．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．2．在一个不透明的口袋中装着大小、外形等一模一样的个红球、个蓝球和个白球，它们已经在口袋中被搅匀了．请判断以下事情是不确定事件、不可能事件，还是必然事件．从口袋中任意取出一个球，是一个白球；从口袋中一次任取个球，全是蓝球；从口袋中一次任意取出个球，恰好红蓝白三种颜色的球都齐了．【答案】不确定事件；不可能事件；必然事件【分析】（1）从口袋中任意取出一个球，可能是红球、篮球或白球，即可判断；（2）口袋中只有三个蓝球，则从口袋中一次任取个球，不可能全是蓝球，即可判断；（3）由于口袋中有个红球、个蓝球和个白球，任意一种或两种颜色的球的总数都小于9，所以从口袋中一次任意取出个球，必然是三个颜色都有，即可做出判断．【详解】（1）从口袋中任意取出一个球，可能是红球、蓝球或白球，所以这个事件是不确定事件；（2）口袋中只有三个蓝球，则从口袋中一次任取个球，不可能全是蓝球，所以这个事件是不可能事件；（3）由于口袋中有个红球、个蓝球和个白球，任意一种或两种颜色的球的总数都小于9，所以从口袋中一次任意取出个球，必然是三个颜色都有，因此这个事件是必然事件．【点睛】本题考查了不确定事件、不可能事件、必然事件的概念，熟练掌握各种事件的概念是判断此类问题的依据．3．如图,有一个转盘被分成6个相等的扇形,颜色分为红、绿、黄三种,指针的位置固定,转动转盘后任其自由停止,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时,重新转动).下列事件:①指针指向红色;②指针指向绿色;(③指针指向黄色;④指针不指向黄色,估计各事件的可能性大小,完成下列问题.(1)④事件发生的可能性大小是 ；(2)多次实验,指针指向绿色的频率的估计值是 ；(3)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为:   .【答案】(1)；(2)；(3)②、③、①、④.【分析】（1）共3红2黄1绿相等的六部分，④指针不指向黄色的可能性大小为；（2）共3红2黄1绿相等的六部分，②指针指向绿色的概率为；（3）分别求出摸出各种颜色球的概率，即可比较出摸出何种颜色球的可能性大．【详解】解：(1) ∵共3红2黄1绿相等的六部分，∴④指针不指向黄色的可能性大小为，则④事件发生的可能性大小是；(2) ∵共3红2黄1绿相等的六部分，∴②指针指向绿色的概率为，则多次实验,指针指向绿色的频率的估计值是；(3) ∵共3红2黄1绿相等的六部分，∴①指针指向红色的概率为，③指针指向黄色的概率为，将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为：②＜③＜①＜④ .【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比.【题型二】利用概率公式计算概率典例2．在一个不透明的口袋里装有4个白球和6个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．(1)从中任意摸出一个球，摸到 球的概率大（填“白”或“红”）；(2)从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是 ；(3)从口袋里取走x个红球后，再放入x个白球，并充分摇匀，若随机摸出白球的概率是，求x的值．【答案】(1)红(2)(3)4【分析】（1）根据红球的个数大于白球的个数即可得出答案；（2）直接利用概率公式进行计算即可得；（3）先求出口袋里白球的个数为个，再利用概率公式建立方程，解方程即可得．【详解】（1）解：因为在口袋里，红球的个数大于白球的个数，所以从中任意摸出一个球，摸到红球的概率大，故答案为：红．（2）解：从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是，故答案为：．（3）解：由题意得：口袋里红球和白球的总个数为个，白球的个数为个，则，解得，故的值为4．【点睛】本题考查了简单事件的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．1．今年“6.18”互联网促销期间，某网红店开展有奖促销活动，凡进店购物的顾客均有转动8等分圆盘的机会，（如图），如果规定当圆盘停下来时指针指向1就中一等奖，指向3或8就中二等奖，指向2或4或6就中三等奖；指向其余数字不中奖．  (1)转动转盘，中一等奖、二等奖、三等奖的概率是分别是多少？(2)顾客中奖的概率是多少？(3)6月18日这天有1600人参与这项活动，估计这天获得一等奖的人数是多少？【答案】(1)，，(2)(3)200人【分析】（1）分别找到1，3或8，2或4或6的份数即可得到概率；（2）找到1，3，8，2，4，6所占份数之和占总份数的多少，即为中奖的概率；（3）总人数乘以获得一等奖的概率即可．【详解】（1）解：由题意知，P（一等奖）=， P（二等奖）=，P（三等奖）=，即中一等奖、二等奖、三等奖的概率是分别是，，；（2）解：1，3，8，2，4，6份数之和为 6，∴转动圆盘中奖的概率为：；（3）解：由（1）知，获得一等奖的概率是，（人），估计获得一等奖的人数为200人．【点睛】本题主要考查了古典型概率，解题的关键是掌握概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率 ．2．一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共10个，它们除了颜色外完全相同，其中黄球个数比白球个数的3倍少2个，从袋中摸出一个球是红球的概率为0.4．(1)求袋中红球的个数；(2)向袋中放入若干个红球，使摸出一个球是红球的概率为0.7，求放入红球的个数；(3)在（2）的条件下，求从袋中任意摸出一个球是白球的概率．【答案】(1)袋中红球的个数为4个；(2)放入红球10个；(3)【分析】（1）根据概率的意义可求出红球的个数；（2）设放入红球个，根据概率的意义列方程进行求解；（3）设白球个数为x个，则黄球个数为个，根据三种颜色的球共10个列方程求出白球个数，然后根据概率公式计算即可．【详解】（1）解：由题意得，红球的个数为：（个），答：袋中红球的个数为4个；（2）解：设放入红球个，由题意得：，解得：，答：放入红球10个；（3）解：设白球个数为x个，则黄球个数为个，由题意得：，解得：，即白球个数为2个，∴在（2）的条件下，任意摸出一个球是白球的概率为：．【点睛】此题主要考查概率的意义以及概率公式的应用，解题的关键是熟知简单事件的概率求解．3．某校为了学生的身体健康，每天开展体育活动一小时，开设排球、篮球、羽毛球、跳绳课，学生可以根据自己的爱好任选一项，老师根据学生报名情况进行了统计，并绘制了如图所示的尚未完成的频数分布直方图和扇形统计图，请你结合图中的信息，解答下列问题．(1)该校学生报名总人数有多少人？(2)从表中可知选羽毛球的学生有多少人？选排球和篮球的人数分别占报名总人数的百分之几？并补全两个统计图；(3)若从中随机抽一名学生，则该学生爱好跳绳的概率是多少？【答案】(1)400（名）(2)选羽毛球的学生人数为100名，选排球占25%，篮球占10%，图见解析(3)概率为0.4【分析】（1）根据体操占40%，它的人数是160人，即可求出校学生报名总人数；（2）根据（1）所求出的总人数，再乘以它所占的百分比，即可求出选羽毛球的学生数，最后根据选排球和篮球的人数之和，除以总人数，即可求出它们所占的百分比；根据选排球的人数和选篮球的人数分别除以总人数，即可求出它们所占的百分比，从而补全统计图；（3）从扇形统计图中．爱好跳绳的学生所占百分比就可得出答案．【详解】（1）该校学生报名总人数=160÷40%=400（名）；（2）选羽毛球的学生人数=400-100-40-160=100（名），选排球占25%，篮球占10%，（3）若从中随机抽一名学生，则该学生爱好跳绳的概率为0.4．【点睛】此题考查了频数（率）分别直方图和扇形统计图、概率公式，解题的关键是从统计图中获得必要的信息，再根据计算公式分别进行计算即可；频率=频数÷总数．4．如图，现有一个转盘被平均分成等份，分别标有、、、、、六个数字，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指向分界线时重新转动）．(1)转动转盘，转出的数字大于的概率是______．(2)现有两张分别写有和的卡片，要随即转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度，这三条线段能构成三角形的概率是多少？【答案】(1)(2)这三条线段能构成三角形的概率是【分析】（1）转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，大于3的结果有4种，由概率公式可得；（2）转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成三角形的结果有5种，由概率公式可得．【详解】（1）解：转盘被平均分成等份，转到每个数字的可能性相等，共有种可能结果，大于的结果有种，分别为4、5、6、7，转出的数字大于的概率是，故答案为：；（2）解：设三角形的第三边为x，∵和为三角形的两边，∴即转盘被平均分成等份，转到每个数字的可能性相等，共有种可能结果，其中能够成三角形的结果有种，分别为2、3、4、5、6，这三条线段能构成三角形的概率是．【点睛】本题主要考查概率公式的运用及三角形三边间的关系，熟练掌握三角形三边间的关系和概率公式是解题的关键．5．一个不透明的口袋中放有14个白球，16个黑球，若干个红球，每个球除颜色外都相同．(1)某同学从袋子里每次随机摸出一个球，记下颜色后放回袋子，然后再摸出一个球，记下颜色后放回袋子…，如此一共摸球20次，其中摸出红球的次数为4次，求这次摸球活动中红球出现的频率；(2)若袋子中白球的数量比红球的数量的2倍还多2个，求从袋中任取一个球是黑球的概率．【答案】(1)这次摸球活动中红球出现的频率为0.2(2)从袋中任取一个球是黑球的概率为【分析】（1）用摸到的红球次数除以摸球的总次数即可；（2）设口袋中红球的个数为x，根据白球的数量比红球的数量的2倍还多2个建立方程求出x的值，再利用概率公式求解即可【详解】（1）解：这次摸球活动中红球出现的频率为4÷20＝0.2；（2）解：设口袋中红球的个数为x，根据题意，得：2x+2＝14，解得x＝6，∴ 袋中红球的个数为6，∴ 从袋中任取一个球是黑球的概率为【点睛】本题考查的是概率公式，解题的关键是知道概率=所求的情况数与总情况数之比．6．在个不透明的口袋里装有5个白球和7个红球，它们除颜色外完全相同．(1)事件“从口袋里随机摸出一个球是“蓝球”发生的概率是____________；(2)事件“从口袋里随机摸出一个球是“红球”发生的概率是____________；(3)从口袋里取走x个红球后，再放入x个白球，并充分摇匀，若随机摸出白球的概率是，求x的值．【答案】(1)0(2)(3)4【分析】（1）根据口袋中没有蓝球，不可能摸出蓝球，从而得出发生的概率为0；（2）用红球的个数除以总球的个数即可；（3）设放入x个白球，根据概率公式列出算式，求出x的值即可得出答案．（1）∵不透明的口袋里装有5个白球和7个红球，∴“从口袋里随机摸出一个球是蓝球”发生的概率是0；故答案为：0；（2）∵不透明的口袋里装有5个白球和7个红球，∴“从口袋里随机摸出一个球是红球”发生的概率是；故答案为：；（3）根据题意得：，解得x＝4，则x的值是4．【点睛】此题考查了概率的定义：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．7．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黄球6个．(1)从袋子里摸出一个球为红球的概率为______；从袋子里摸出一个球为黄球的概率为______；(2)先从袋子中取出m个红球（m＞1且m为正整数），再从袋子中随机摸一个小球，将“摸出黄球”记为事件A．①若事件A为必然事件，则m的值为______；②若事件A为随机事件，则m的值为______．【答案】(1)，(2)①4；②2或3【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；（2）①必然事件发生的概率为1，据此求得m的值即可；②根据随机事件发生的概率大于0且小于1，据此求得m的值即可．（1）解：P（摸到红球）＝＝；P（摸到黄球）＝．故答案为：；．（2）解：①若事件A为必然事件，则袋子中全部为黄球，∴m＝4．故答案为：4．②若事件A为随机事件，则袋子中还有红球，∵m＞1且m为正整数，∴m＝2或3．故答案为：2或3．【点睛】本题主要考查了概率的计算，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．8．一只不透明的袋子中装有5个灰球和3个黄球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．(1)从中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是______．(2)从中任意摸出一个球，要使得摸到灰球和黄球的概率相等，应向里面添加______个黄球（除颜色外都相同）．(3)“一次性摸出4个球，摸到的球中至少有一个灰球”，这一事件是______事件（填“必然”“随机”或“不可能”）．【答案】(1)(2)2(3)必然【分析】（1）根据概率公式即可求解；（2）使得球的数量相同即可得到概率相同；（3）根据必然事件，不可能事件，随机事件的概念进行判断即可．（1）解：从中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是，故答案为：；（2）要使得摸到灰球和黄球的概率相等，只需使袋子中两种颜色球的数量相等即可，所以应向里面添加5-3=2个黄球，故答案为：2；（3）一只不透明的袋子中装有5个灰球和3个黄球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀则事件“一次性摸出4个球，摸到的球中至少有一个灰球”是必然事件，故答案为：必然．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及概率的公式，跟于概率基础题，球的数量相同即可得到概率相同．9．一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共100个，它们除颜色外都相同，其中黄球的个数是白球个数的2倍少5个，已知从袋中摸出一个红球的概率是．(1)求袋中红球的个数；(2)求从袋中摸出一个球是白球的概率；(3)取走5个黄球5个白球，求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率．【答案】(1)红球有30个；(2)摸出一个球是白球的概率为；(3)从剩余的球中摸出一个球是红球的概率为．【分析】（1）用三种颜色的球的总个数乘以摸出红球的概率即可；（2）设白球有x个，根据题意列方程求出白球的个数，再利用概率公式计算即可；（3）先求出取走5个黄球5个白球后，还剩的球的个数，再利用概率公式计算即可．（1）解：根据题意得：100×＝30（个），答：红球有30个；（2）设白球有x个，则黄球有（2x−5）个，根据题意得：x＋2x−5＝100−30，解得：x＝25，所以摸出一个球是白球的概率为：；（3）因为取走5个黄球5个白球后，还剩90个球，其中红球的个数没有变化，所以从剩余的球中摸出一个球是红球的概率为：．【点睛】此题主要考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．10．一个不透明袋中有红、黄、绿三种颜色的球共45个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数是绿球个数的2倍．已知从袋中摸出一个球是红球的概率是．(1)求绿球的个数；(2)若从袋中取走5个黄球后，求从袋中随机摸出一个球是黄球的概率．【答案】(1)10(2)【分析】（1）先求出红球的个数，设绿球的个数为x个，根据黄球个数是绿球个数的2倍，列出方程求解即可；（2）先求出黄球的个数，再根据概率公式计算即可．（1）解：∵从袋中摸出一个球是红球的概率为，∴红球的个数是：45 ×=15（个），设绿球的个数为x个，根据题意得：x+2x=45-15=30，解得：x=10，答：绿球的个数是10个；（2）根据题意得：黄球的个数是：2×10-5=15（个），则从袭中随机摸出一个球是黄球的概率为：．【点睛】本题考查利用概率公式求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．