北师大版九年级上册2 矩形的性质与判定精品课后复习题

第2讲  矩形的性质与判定

知识点01  矩形的概念

定义：有一个内角是    的平行四边形叫做矩形。

注意：矩形的定义的两个要素

①是平行四边形。

②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件。

知识点02  矩形的性质

矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。

1．矩形的性质定理

（1）定理1：矩形的四个角都是    。

（2）定理2：矩形的对角线    。

归纳：矩形的角、边、对角线的性质

（1）角：各角相等，均为90°。

（2）边：矩形的对边平行且相等，领边互相垂直。

（3）对角线：矩形的对角线互相平分且相等。

2．矩形的对称性

（1）矩形是轴对称图形，他有    对称轴，分别是过每一组对边中点的直线，它们互相垂直。

（2）矩形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的    。

知识点03  直角三角形斜边上的中线的性质

性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的    。

推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

注意：

（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用。

（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半。

（3）性质定理可以用来解决有关线段倍分的问题。

知识点04  矩形的判定

（1）定义法：有一个角是    的平行四边形叫做矩形。

（2）定理1：对角线    的平行四边形是矩形。

（3）定理2：有三个角是    的四边形是矩形。

注意：

在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形。

考法01  矩形的性质

【典例1】如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为（　　）

A．2 B． C． D．

【即学即练】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AC交BC于点E，EF⊥BD于点F，则OE＋EF的值为（　　）

A． B．2 C． D．2

【典例2】如图，将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．若，则的大小为　     　（度）．

【即学即练】如图，矩形中，，，以点为中心，将矩形旋转得到矩形，使得点落在边上，则的度数为　     　．

考法02  矩形的判定

【典例3】如图所示，四边形ABCD的对角线为AC，BD，且 ，则下列条件能判定四边形ABCD是矩形的是（   ）

A． B．AC，BD互相平分

C． D．

【即学即练】如图，在四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，且 ， .若要使四边形 为矩形，则可以添加的条件是（　　） 

A． B． C． D．

【典例4】如图，在平行四边形 中， 交 于O，试添加一个条件使四边形 成为矩形．你添加的条件是　                    　．（只填一个即可） 

【即学即练】如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，请添加一个条件　     　，使四边形BEFD为矩形.（填一个即可）

考法03  直角三角形斜边上的中线的性质

【典例5】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC=10，BD=24，则FG的长为（　　） 

A． B． C． D．

【即学即练】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别是AB，AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F，若四边形DCFE的周长为25cm，AC的长5cm，则AB的长为（　　）

A．13cm B．12cm C．10cm D．8cm

题组A  基础过关练

1．在下列条件中，能够判定为矩形的是（　　）

A． B． C． D．

2．有下列四个条件：①对角线互相平分的四边形；②对角线互相垂直的四边形；③对角线相等的平行四边形；④有一个角是直角的平行四边形，其中能作为矩形的判定条件的是（　　）

A．①② B．③④ C．①③ D．②④

3．有一个矩形，它的相邻两边长分别为1和2，则它的对角线长为（　　） 

A． B． C．3 D．2

4．如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在点D处，已知 ，则点D的坐标为（　　） 

A． B． C． D．

5．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，试添加一个条件　                                   　，使为矩形．

6．如图，将矩形ABCD沿AC折叠，使点B落在点B'处，B'C交AD于点E，若∠1＝25°，则∠2的度数为 　     　．

7．如图，在中，，，，，是的中位线.求证：四边形是矩形.

8．如图，E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点，且AE=DF。求证：BE=CF

题组B  能力提升练

1．一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若，则的度数为（　　）

A．28° B．56° C．36° D．62°

2．如图，菱形中，点E是边的中点，垂直交的延长线于点F，若，则菱形的边长是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．

3．如图，矩形中，，四边形是平行四边形，点在边上且，的面积是矩形面积的，则平行四边形的面积是（　　）

A．2 B．3 C． D．

4．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F.下列结论：

①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF.

其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

5．如图，矩形的对角线，相交于点，//，//.若，则四边形的周长是　     　.

6．如图，矩形 中， ， 是 的中点，线段 在边 上左右滑动；若 ，则 的最小值为 　     　 .

7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF.

（1）求证：△AOE≌△DFE；

（2）判定四边形AODF的形状并说明理由.

8．如图所示，在中，E，F分别为边，的中点，连接，，，作，交的延长线于点G，连接．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）当平分时，求证：四边形是矩形．

题组C  培优拔尖练

1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，P，Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，当四边形APQE的周长最小时，BP的长为（　　）

A．0 B．3 C．4 D．6

2．如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点（不与端点重合），若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（　　）

A．10 B．10 C．5 D．5

3．如图，在矩形中，，，动点满足，则点到、两点距离之和的最小值为（　　）

A． B． C． D．

4．如图，一块长方形场地 的长 与宽 的比是 ： ， ， ，垂足分别是 、 两点.现计划在四边形 区域种植花草，则四边形 与长方形 的面积比等于（　　） 

A．1：3 B．2：3 C．1：2 D．1：4

5．如图，矩形ABCD中，AB＝6，MN在边AB上运动，MN＝3，AP＝2，BQ＝5，PM+MN+NQ最小值是　     　.

6．如图，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点M在对角线BD上，点N为射线BC上一动点，连接MN，DN，且∠DNM＝∠DBC，当DMN是等腰三角形时，线段BN的长为　             　．

7．如图，将矩形ABCD绕着点B逆时针旋转得到矩形GBEF，使点C恰好落到线段AD上的E点处，连接CE，连接CG交BE于点H．

（1）求证：CE平分∠BED；

（2）取BC的中点M，连接MH，求证：MHBG；

（3）若BC＝2AB＝4，求CG的长．

8．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝8.

（1）P为BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）.

①如图①，当点E落在边CD上时，利用尺规作图，在图①中作出满足条件的图形（即△AEP的位置，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时DE＝        .

②如图②，PE与CD相交于点F，AE与CD相交于点G，且FC＝FE，求BP的长.

（2）如图③，已知点Q为射线BA上的一个动点，将△BCQ沿CQ翻折，点B恰好落在直线DQ上的点B’处，求BQ的长.