【同步讲义】北师大版数学九年级上册：第05讲 特殊平行四边形单元复习 讲义

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第5讲 特殊平行四边形单元复习
知识精讲

知识点01 平行四边形
1．定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

2．性质
（1）对边平行且相等；
（2）对角相等；邻角互补；
（3）对角线互相平分；
（4）中心对称图形.
3．面积

4．判定
边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．
边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.
注意：平行线的性质
（1）平行线间的距离都相等；
（2）等底等高的平行四边形面积相等.
知识点02 菱形
1．定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

2．性质
（1）具有平行四边形的一切性质；
（2）四条边相等；
（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积

4．判定
（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四边相等的四边形是菱形.
知识点03 矩形
1．定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2．性质
（1）具有平行四边形的所有性质；
（2）四个角都是直角；
（3）对角线互相平分且相等；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积

4．判定
（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）对角线相等的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.
注意：由矩形得直角三角形的性质：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．
知识点04 正方形
1. 定义
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.

2．性质
（1）对边平行；
（2）四个角都是直角；
（3）四条边都相等；
（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
（6）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积
边长×边长＝×对角线×对角线
4．判定
（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）对角线相等的菱形是正方形；
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
能力拓展

考法01 平行四边形
【典例1】如图，在□ABCD中，将△ABD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E为（     ）

A．112° B．118° C．120° D．122°
【答案】A
【解析】解：∵△ABD沿对角线BD折叠，得到△EBD，
∴，，
∵平行四边形ABCD，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，，，
∴．
∵，，
∴．
在中，
∵，，
∴．
故选：A．
【即学即练】如图，在平行四边形ABCD中，，，，点E在AB边上，将沿着直线DE翻折得．连结，若点恰好落在的平分线上，则，C两点间的距离为（     ）

A．3或6 B．3或 C． D．6
【答案】A
【解析】：如图，过点A′作A′F⊥CD于D，

∵平行四边形ABCD，
∴∠BCD=∠A=60°，CD=AB=3，
由翻折可得，A′D=AD=3，
∵点恰好落在的平分线上，
∴CA′平分∠BCD，
∴∠A′CF=30°，
∵A′F⊥CD，
∴CA′=2A′F，
设A′F=x，则CA′=2x，
由勾股定理，得CF=x，
∴DF=3-x,
在Rt△D A′F中,由勾股定理，得
32=（3-x）2+x2，   
解得：x1=，x2=3，
∴CA′=2x=3或6，
故选：A．
【典例2】如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A.错误，当四边形是等腰梯形时，也满足条件．
B.正确，∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
C.错误，当四边形是等腰梯形时，也满足条件．
D.错误，∵，
∴，与题目条件重复，无法判断四边形是不是平行四边形．
故选：B．
【即学即练】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O．下列条件：①AD∥BC，②AB＝CD，③AD＝BC，④∠ADC＝∠ABC，⑤BO＝DO，⑥∠DBA＝∠CAB．若添加其中一个，可得到该四边形是平行四边形，则添加的条件可以是（　　）

A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②④⑥ D．①③④⑥
【答案】B
【解析】解：①∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确；
②∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故②正确；
③∵AB∥CD，AD=BC无法得出四边形ABCD是平行四边形，故③不正确；
④∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠ADC=∠ABC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故④正确；
⑤∵AB∥CD，
∴∠ABO=∠CDO，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴AO=CO，
又∵OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，故⑤正确；
∵∠BCD+∠ADC=180°，
∴AD∥BC，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
⑥∵∠DBA=∠CAB，
∴OA=OB，
∵AB∥CD，
∴∠DBA=∠CDB，∠CAB=∠ACD，
∵∠DBA=∠CAB，
∴∠CDB=∠ACD，
∴OC=OD，
不能得出四边形ABCD是平行四边形，故⑥不正确；
故选：B．

考法02 菱形
【典例3】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是(     )

A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC
【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC⊥BD，∠DAC＝∠BAC，故A、B、D选项正确，
不能得出，故C选项不正确，
故选：C.
【即学即练】如图，在菱形中，，则（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∠DAC=25°，
∴AD∥BC，∠BAC=2∠DAC=50°，
∴∠BAC+∠B=180°，
∴∠B=180°-∠BAC=180°-50°=130°，
故选：B．
【典例4】）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法能判定四边形ABCD是菱形的是（　　）

A．AB＝CD B．BA⊥BD C．AC⊥BD D．AC＝BD
【答案】C
【解析】A.四边形ABCD是平行四边形，AB＝CD，不能判定四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B.四边形ABCD是平行四边形，BA⊥BD，不能判定四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C.四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
平行四边形ABCD是菱形,选项C符合题意；
D.四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【即学即练】如图，在平行四边形ABCD中，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．添加一个条件，使四边形AEBD是菱形，这个条件是（     ）

A． B．
C． D．DE平分
【答案】D
【解析】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAB=∠EBA，
∵点F是AB的中点，
∴AF=BF，
∵∠AFD=∠BFE，
∴△ADF≌△BEF，
∴AD=BE，
∵AD∥BE，
∴四边形AEBD是平行四边形，
A、当时，得到AB=BD，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；
B、AB=BE时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；
C、DF=EF时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；
D、当DE平分时，四边形AEBD是菱形，故该选项符合题意；
故选：D．

考法03 矩形
【典例5】如图，在矩形中，对角线，相交于点O，垂直平分，交于点E，交于点F，连接．若，则的长为（       ）

A．3 B． C． D．
【答案】B
【解析】解：四边形是矩形，
，，
垂直平分，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，，
，
，
，
，
，
故选：B．
【即学即练】如图，矩形ABCD中，点E为AB上一个动点，沿DE折叠得到，点A的对应点为点F，连接CF，过点F作交BC于点G，若，，当为等腰直角三角形时，AE的长为（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：如图，作，

∵为等腰直角三角形，
∴，
设，
，即，
解得：，
∴，
∴，
∴E、F、C三点共线，
∵，
∴
∴，
∴；
故选：D．
【典例6】如图，在中，，是边的中点，于点，若，，则的面积是（       ）

A．660 B．50 C．40 D．30
【答案】D
【解析】解：在△ABC中， ∠ACB=90°，D是AB边的中点，
∴AB=2CD，
∵CD=6，
∴AB=12，
∵CE⊥AB于点E，CE=5，
∴△ABC的面积=
故选：D．
【即学即练】如图，在中，，以B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点D，作射线BD交AC于点E，点F为BC的中点，连接EF．若，则的周长为（       ）

A． B． C． D．4
【答案】B
【解析】解：∵以B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，
∴BM=BN，
∵以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点D，
∴MD=ND，
在和中，
，
∴，
∴，
∴BE为的角平分线，
又∵AB=BC，
∴是等腰三角形，
∴BE⊥AC，E为AC的中点，
在中，BE=2，，
∴，
∵点F为斜边BC上的中点，
∴，
∴的周长=EF+CF+CE=BF+CF+CE=BC+CE=．
故选：B．

考法04 矩形
【典例7】四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD∥BC，AD＝BC，使四边形ABCD为正方形，下列条件中：①AC＝BD；②AB＝AD； ③AB＝CD；④AC⊥BD．需要满足（　　）
A．①② B．②③ C．②④ D．①②或①④
【答案】D
【解析】解：∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
若AB＝AD，
则四边形ABCD为正方形；
若AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形．
故选：D．
【即学即练】如图，AC，BD是四边形ABCD对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需要添加的条件是（     ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，
、、、分别是、、、的中位线，
∴，，，，
四边形为平行四边形，
当时，，
平行四边形是菱形；
当时，，
则，
菱形是正方形；
故选：A．
【典例8】如图，在正方形ABCD中，AB=8，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFC=120°，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则AE的长度为（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴，∠A=90°，
∴
∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，
∴∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E，
∴∠AEB'=180°-∠BEF-∠FEB'=60°，
∴∠AB'E=30°，
∴B'E=2AE，
设AE=x，则B'E=2x=BE，
∵AB=8，
∴x+2x=8，
解得．
故选：A．
【即学即练】如图，将边长为9的正方形ABCD沿MN折叠，使点B落在CD边上的处，点A对应点为，且，则AM的长是（     ）

A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【解析】解：连接，过M作交BC于点H，MN交于点I，

由翻折可知：，，
设，
正方形ABCD的边长为9，
，
在中，，
，即，
解得，
，
，
四边形ABHM为矩形，
，，
，
，即，
，
，
，
，
．
故选：A．
考法05 综合应用
【典例9】如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（       ）

A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形
【答案】D
【解析】解：A．当时，它是菱形，选项正确，不符合题意；
B．当时，它是菱形，选项正确，不符合题意；
C．当时，它是矩形，选项正确，不符合题意；
D．当且AC⊥BD时，它是正方形，选项错误，
【即学即练】如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列三种说法：

① .四边形EFGH一定是平行四边形；
②.若AC＝BD，则四边形EFGH 是菱形；
③.若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形．
其中正确的是（     ）
A．① B．①② C．①③ D．①②③
【答案】D
【解析】解：∵点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
∴，EH=BD， EF=AC，

∴四边形EHGF是平行四边形，故①符合题意；
若AC=BD，则EF=EH，
∴平行四边形EHGF是菱形，故②符合题意；
若AC⊥BD，则EF⊥EH，
∴平行四边形EHGF是矩形，故③符合题意；
故选：D．
【典例10】如图，菱形的对角线相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F．若，，则的最小值为（       ）


A． B． C．4 D．
【答案】D
【解析】解：连接OP，


∵是菱形，∴，即，
∵，，
∴四边形OEPF是矩形，
∴，
当时，OP的值最小，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，即EF的最小值为：，
故选：D．
【即学即练】如图，已知点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H得到四边形EFGH，我们把四边形EFGH叫做四边形ABCD的“中点四边形”．若四边形ABCD是矩形，则矩形ABCD的“中点四边形”一定是（       ）


A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
【解析】解：连接AC和BD
、分别是、的中点，
是的中位线，
，
同理，，，．
四边形是平行四边形．
四边形是矩形时，
，则，
平行四边形是菱形
故选：C.

分层提分

题组A 基础过关练
1．在菱形ABCD中，周长为24，已知其两个相邻的内角度数比为，则菱形ABCD中较短对角线长度为（       ）
A．6 B．8 C． D．
【答案】A
【解析】解：如图，

∵四边形ABCD是菱形，且周长为24，
∴，，
∴，
∵两个相邻的内角度数比为，
∴，
∴△ABD是等边三角形，
∴，
即菱形较短的对角线长为6；
故选A．
2．如图，长方形沿折叠后，若，则的度数是（       ）

A．65° B．60° C．55° D．50°
【答案】D
【解析】解：如图，

由折叠可得：∠BFE＝∠GFE，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE＝∠DEF＝65°，
∴∠GFE＝65°，
∴∠1＝180°−∠BFE−∠GFE＝50°．
故选：D．
3．一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若，则的度数为（       ）

A．28° B．56° C．36° D．62°
【答案】D
【解析】解：如图所示标注字母，

∵四边形EGHF为矩形，
∴EF∥GH，
过点C作CA∥EF，
∴CA∥EF∥GH，
∴∠2=∠MCA，∠1=CAN，
∵∠1=28°，∠MCN=90°，
∴∠2=∠MCA=90°-∠1=62°，
故选：D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，若EF=12，则CD的长为（            ）

A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【解析】解：∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴EF是△CAB的中位线，CD是Rt△ABC的斜边中线，
∴EF=AB，CD=AB，
∴CD=EF=12，
故选：D．
5．如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（   ）

A．12 B．9 C．6 D．
【答案】B
【解析】解： AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
，
，
∠EBC＝45°，
，
为等腰直角三角形，
，
，
则△EBC的面积是．
故选B．
6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OB的中点，连接AE，若AB=4，则线段AE的长为（       ）

A． B．3 C． D．
【答案】C
【解析】解：在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=4，
∴AC=BD=4，AC⊥BD，
∴AO=BO=2，
∵点E是OB的中点，
∴EO=，
在Rt△EOA中，EO=，AO=2，
∴AE=，
故选：C．
7．如图，在正方形ABCD中，点E为边长AB延长线上一点，且，则______．

【答案】
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAE=∠ACB=45°，
∵，
∴，
∴；
故答案为．
8．如图，将沿着方向平移得到，只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是____________．（写出一个即可）

【答案】AB=BE（答案不唯一）
【解析】解：添加AB=BE，
∵将沿着方向平移得到，
∴AB=DE，AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形，
又∵AB=BE，
∴四边形是菱形，
故答案为：AB=BE（答案不唯一）
9．如图，在ABC中，AB＝AC，过A、C两点分别作ADBC，CDAB交于点D，延长DC至点E，使DC＝CE，连接BE．


(1)求证：四边形ACEB是菱形；
(2)若AB＝4，BC＝6，求四边形ACEB的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)；
【解析】(1)∵AD∥BC，CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∵DC＝CE，
∴AB＝CE，
∵AB∥CD，
∴AB∥CE，
∴四边形ACEB是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴平行四边形ACEB是菱形；
(2)如图，连接AE，交BC于点O，

∵四边形ACEB是菱形，
∴AE⊥BC，
∵AB＝4，BC＝6，
∴OB＝BC＝3，
∴OA＝，
∴AE＝2OA＝2，
∴S四边形ACEB．
10．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，O为AC的中点，连接BO并延长至D使OD=OB，连AD、CD．

(1)求证：四边形ABCD为矩形；
(2)若∠AOB＝60°，E为BC的中点，连OE，OE=2．求对角线的长及矩形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)对角线的长为8，矩形的面积为
【解析】(1)证明：∵O为AC的中点，
∴OA=OC，
又∵OD=OB，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD为矩形；
(2)解：∵OA=OC，
∴E为BC的中点，
∴BE=CE，
∴OE为△ABC的中位线，
∴AB=2OE=2×2=4，
∵ABCD为矩形，
∴OA=AC，OB=BD，
∵AC= BD，
∴OA= OB，
又∵∠AOB＝60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴OA=BO=AB=4，
∴对角线AC=BD=2OA=8，
∵∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AB=4，AC=8，
∴，
∴ 矩形的面积.
题组B 能力提升练
1．如图，在中，，，点为边的中点，，则的长为（　　　）

A． B． C．2 D．4
【答案】C
【解析】解：∵∠ABC=90°，∠C=60°，
∴∠A=30°，
∵点D为边AC的中点，BD=2
∴AC=2BD=4，
∴BC=，
故选：C．
2．如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝70°，则∠ACD的大小为（　　）

A．25° B．35° C．45° D．55°
【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD＝∠BCD，AC平分∠BAD和∠BCD，
∵∠BAD＝70°，
∴∠BCD＝70°，
∴∠ACD＝∠ACB＝35°，
故选：B．
3．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（       ）

A．1cm B．2cm C．(－1)cm D．(2－1)cm
【答案】D
【解析】解：由题意，BD=cm，
由平移性质得=1cm，
∴点D，之间的距离为==（）cm，
故选：D．
4．如图，O为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在正方形中：，
∴，
∵O为正方形对角线的中点，
∴，
∵为等边三角形, O为的中点，
∴，，
∴,
∴,
故选：B．
5．如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（       ）

A．3 B．5 C． D．
【答案】A
【解析】如图：连接BE，
，
∵菱形ABCD，
∴B、D关于直线AC对称，
∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小
∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．，
∵菱形ABCD，，点，
∴，，
∴
∴△CDB是等边三角形
∴
∵点是的中点，
∴,且BE⊥CD，
∴
故选：A．
6．如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上一动点，将△CBE沿直线CE折叠，点B落在点F处，连接DF交CE的延长线于点H，连接BH．下列四个结论：①BH＝FH；②∠CHD＝45°；③DF∶AH＝；④∠AHD＝∠BHC；其中正确的是（       ）

A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【解析】
连接BF交HC于点O，过点A作交DH于点N，过点C作，交DH于点M；
∵
∴
∴
故①BH＝FH正确
∵
∴
∴
∵
∴为等腰三角形
∵
∴
∵=
∵，
∴
∵
∴
故②∠CHD＝45°正确
∵
∴
∵
∴
∵

∴
∵
∴为等腰直角三角形
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故④正确
∵
∵
∴
故③DF∶AH＝正确
故选：D．
7．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，AB上一点，且EF＝EC，，若DE＝2，矩形ABCD的周长为24，则矩形ABCD的面积为________．

【答案】35
【解析】解：∵四边形ABD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠D=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∵∠DCE+∠DEC=90°．
∴∠AEF=∠DCE，
在△AEF和△DCE中，
，
∴△AEF≌△DCE（AAS）．
∴AE=CD，AF=DE=2，
∴AD=AE+DE=AE+2，
∵矩形ABCD的周长为24，
∴2（AE+ED+CD）=24，
∴2（2AE+2）=24，
解得：CD=AE=5，
∴AD=7，
∴矩形ABCD的面积=AD×CD=7×5=35，
故答案为：35．
8．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 _____．

【答案】10
【解析】解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，

∵，EF＝CG，
∴四边形EFGC是平行四边形，
∴CE＝FG，
∴AF+CE＝AF+FG，
∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，
由勾股定理得，AG＝＝＝10，
∴AF+CE的最小值为10，
故答案为：10．
9．综合与实践
【问题情境】如图①，在中，，，点D为AB上一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到的对应线段为CE，连接BE．
【问题解决】
(1)试判断AD与BE的位置关系和数量关系，并直接写出你的结论；
(2)如图②，将沿AB的垂直平分线对折，得到，连接EG，过点E作，交BC于点F，交AC于点H，连接HD，FG．

①试判断线段EG与EF的数量关系，并证明你的结论；
②试判断四边形DGFH的形状，并证明你的结论．
【答案】(1)，
(2)①，证明见解析；②四边形是矩形，证明见解析
【解析】(1)解：与的位置关系为，数量关系为；
∵将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到的对应线段为CE，
∴CD=CE，，，
∵，AC=BC
，
在与中，

，
，，
，
，
∴与的位置关系为，数量关系为；
(2)解：①；
证明：∵，，
，
，
由对折知：CD=CG=CE，，BG=BE，
，
∴HD=FG=EF，
∵AD=GB=BE，BF=BF，GF=EF，
，
，
∵，
，
，
又∵BG=BE，
∴四边形FGBE为正方形，
∴；
②四边形是矩形；
证明：由①知，，
∵，
∴AH=BF，AD=BG，

，
∴，
．
∴四边形为矩形．
10．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，AE是折痕．

(1)如图1，若AB=4，AD=5，求折痕AE的长；
(2)如图2，若AE=，且EC：FC=3：4，求矩形ABCD的周长．
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AB=CD=4，AD=BC=5，
由折叠可知，AD=AF=5，DE=EF，
∴BF==3，
∴FC=BC-BF=5-3=2，
设EF=DE=x，则CE=4-x，
∵CF2+CE2=EF2，
∴22+（4-x）2=x2，
解得：x=，
∴DE=，
∴AE=；
(2)解：∵EC：FC=3：4，
∴设EC=3x，则FC=4x，
∴EF= =5x，
∴DE=5x，
∴AB=CD=8x，
设AF=AD=y，则BF=y-4x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，
∴（8x）2+（y-4x）2=y2，
解得y=10x，
在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，
∴（10x）2+（5x）2=（）2，
解得x=或x=-（舍去），
∴AD=10x=2，AB=8x=，
∴矩形ABCD的周长为（2+）×2=．
题组C 培优拔尖练
1．如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝，则CF的长是（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D=∠BAD=90°，AB=BC=CD=AD=1，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠BAE=∠DAF，
∵∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠DAF=30°，
∴∠DAF=15°，
在AD上取一点G，使∠GFA=∠DAF=15°，如图所示：

∴AG=FG，∠DGF=30°，
∴DF=FG=AG，DG=DF，
设DF=x，则DG=x，AG=FG=2x，
∵AG+DG=AD，
∴2x+x=1，
解得：x=2-，
∴DF=2-，
∴CF=CD-DF=1-（2-）=-1；
故选：C．
2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，下列说法错误的是（       ）

A．若AC⊥BD，四边形ABCD是菱形
B．若AB＝BC，AC＝BD，四边形ABCD是正方形
C．若AC＝BD，四边形ABCD是矩形
D．若∠ABC＝90°，四边形ABCD是正方形
【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
A．∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故该选项不符合题意；
B. ∵AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∵AC=BD，
∴菱形ABCD是正方形；故该选项不符合题意；
C. ∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故该选项不符合题意；
D．∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故该选项符合题意；
故选：D．
3．如图，在中，点D、E、F分别为边、、的中点，分别连结、、、，点O是与的交点，下列结论中，正确的个数是（       ）

①的周长是周长的一半；②与互相平分；③如果，那么点O到四边形四个顶点的距离相等；④如果，那么点O到四边形四条边的距离相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】解：①∵点D、E、F分别为边、、的中点，
∴DE、EF、DF是的中位线，
∴，
∴，
即的周长是周长的一半，
故①正确，符合题意；
②∵点D、E、F分别为边、、的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴与互相平分，
故②正确，符合题意；
③由②得四边形ADEF是平行四边形，
当时，如图1，

∴四边形ADEF是矩形，
∴，
∴，
∴点O到四边形四个顶点的距离相等，
故③正确，符合题意；
④由①得，
当时，如图2，

∴，
由②得四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴点O到四边形四条边的距离相等，
故④正确，符合题意．
故选D．
4．如图①，在正方形中，点以每秒的速度从点出发，沿的路径运动，到点停止．过点作，与边（或边）交于点，的长度与点的运动时间（秒）的函数图象如图②所示．当点运动2.5秒时，的长是（       ）


A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据函数图象可知，当时，最大为，
正方形的边长为4
点P运动2.5秒时P点运动了5cm，且5>4，
∴点P在线段BC上，且CP＝8﹣5＝3(cm)，
∵PQ∥BD，
∴CQ=CP=3cm，
在Rt△CPQ中，由勾股定理，得PQ＝(cm)．
故选：B．
5．如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（　　）

A．2 B． C．1.5 D．
【答案】A
【解析】解：取AB中点G点，连接PG，如图，

∵四边形ABCD是菱形，且边长为2，
∴AD=DC=AB=BC=2，
∵E点、G点分别为AD、AB的中点，
∴根据菱形的性质可知点E、点G关于对角线AC轴对称，
∴PE=PG，
∴PE+PF=PG+PF，
即可知当G、P、F三点共线时，PE+PF=PG+PF最小，且为线段FG，
如下图，G、P、F三点共线，连接FG，

∵F点是DC中点，G点为AB中点，
∴，
∵在菱形ABCD中，，
∴，
∴四边形AGFD是平行四边形，
∴FG=AD=2，
故PE+PF的最小值为2，
故选：A．
6．如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．已知，，垂足为，的延长线交于点．若，则的值为　　

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图，设BH交CF于P，CG交DF于Q，
∵由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形，
∴BE=PC=DF，AE=BP=CF，
∵，
∴BE=PE=PC=PF=DF，
∵∠CFD=∠BPC，
∴DF//EH，
∴PH为△CFQ的中位线，
∴PH=QF，CH=HQ，
∵四边形EPFN是正方形，
∴∠EFN=45°，
∵GD⊥DF，
∴△FDG是等腰直角三角形，
∴DG=FD=PC，
∵∠GDQ=∠CPH=90°，
∴DG//CF，
∴∠DGQ=∠PCH，
在△DGQ和△PCH中，，
∴△DGQ≌△PCH，
∴PH=DQ，CH=GQ，
∴PH=DF=BE，CG=3CH，
∴BH=BE+PE+PH=，
在Rt△PCH中，CH==，
∴CG=BE，
∴．

故选：C．
7．如图，已知正方形的边长为1，点是边的中点，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，联结并延长交射线于点，那么的长为______．

【答案】
【解析】过B作BH⊥AF于H，连接EC交BM于G

∵正方形的边长为1，点是边的中点，
∴
∴
∵将沿直线翻折，
∴EC⊥BM，,
∵BH⊥AF,
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：．
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，点F沿线段AO从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，连接OE．现给出以下结论：
①；②；③直线；④点E运动的路程是．
其中正确的结论是______．（写出所有正确结论的序号）

【答案】①②③
【解析】解：①∵∠DAC＝60°，OD＝OA，
∴△OAD为等边三角形，
∴∠DOA＝∠DAO＝∠ODA＝60°，AD＝OD，
∵△DFE为等边三角形，
∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝DE，
∵∠BDE+∠FDO＝∠ADF+∠FDO＝60°，
∴∠BDE＝∠ADF，
∵∠ADF+∠AFD+∠DAF＝180°，
∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣∠DAF＝120°，
∵∠EFC+∠AFD+∠DFE＝180°，
∴∠EFC+∠AFD＝180°﹣∠DFE＝120°，
∴∠ADF＝∠EFC，
∴∠BDE＝∠EFC，
故结论①正确；
②如图，连接OE，
在△DAF和△DOE中，
，
∴△DAF≌△DOE（SAS），
∴∠DOE＝∠DAF＝60°，
∵∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°，
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝120°﹣60°＝60°，
∴∠COE＝∠DOE，
在△ODE和△OCE中，
，
∴△ODE≌△OCE（SAS），
∴ED＝EC，∠OCE＝∠ODE，
故结论②正确；
③∵∠ODE＝∠ADF，
∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF，
故结论③正确；
④如图，延长OE至，使＝OD，连接，
∵△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，
∴点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段运动到，
∵＝OD＝AD＝AB•tan∠ABD＝4•tan30°＝ ，
∴点E运动的路程是，
故结论④错误．
故答案为①②③．

9．某数学兴趣小组开展图形的折叠实验探究，如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E为CD上一动点（不与C，D重合）

(1)如图（1），将沿BE折叠，使得点C的对应点恰好落在AD边上的F处，求DE的长；
(2)如图（2），将沿BE折叠，使得点C的对应点为F，连接DF，当DF取得最小值时，求DE的长；
(3)如图（3），小明准备用上述纸片折叠一种纸飞机，发现其中一个步骤是需将沿BE折叠，使点C的对应点F落在矩形ABCD的对称轴上，在这种情况下，求DE的长．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【解析】(1)解：∵，，
由翻折可知，，FE=EC，
设DE=x，则FE=EC=6-x，
，
FD=AD-AF=2，
∴，
解得，，
DE长为．
(2)解：连接BD，如图1所示，
∵DF≥BD-BF，当B、F、D三点共线时，DF最小，如图2所示，
，
设DE=x，则FE=EC=6-x，
FD=BD-BF= ，
∴，
解得，，
DE长为．

图1                                                     图2
(3)解：如图3所示，点F落在CD中垂线上，设中垂线与CD、AB分别交于M、N，
则BN=CM=DM=3，
由折叠可知，BF=BC=10，
，
设ME=y，则FE=EC=3-y，
FM=MN-NF= ，
，
，
DE长为．
如图4所示，点F落在AD中垂线上，设中垂线与AD、CB分别交于U、T，作FV⊥DC，交CD延长线于点V，
则BT=CT=DU= FV=5，
由折叠可知，BF=BC=10，
，
设VE=m，则FE=EC= ，
，
，
∵，
DE长为．

图3                                                                             图4
10．已知，AB＝AC，AB＞BC．


(1)如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；
(2)如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；
(3)如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若，求∠ADB的度数．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
(3)30°
【解析】(1)∵，
∴AC＝DC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，
∵CB平分∠ACD，
∴，
∴，
∴，
∴四边形ABDC是平行四边形，
又∵AB＝AC，
∴四边形ABDC是菱形；
(2)结论：．
证明：∵，
∴，
∵AB＝AC，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
(3)在AD上取一点M，使得AM＝CB，连接BM，

∵AB＝CD，，
∴，
∴BM＝BD，，
∴，
∵，
∴，
设，，则，
∵CA＝CD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，   
∴，
∴，即∠ADB＝30°．