初中数学北师大版九年级上册6 应用一元二次方程精品精练

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第8讲 应用一元二次方程
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课程标准
1.能根据具体问题的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义检验所得结果是否合理；
2.认识方法模型的重要性，掌握运用方程解决实际问题的一般步骤，提高分析问题、解决问题的能力。
知识精讲

知识点01 列一元二次方程解应用题的一般步骤
1．利用方程解决实际问题的关键
寻找等量关系
2．解决应用题的一般步骤
（1）审题：仔细阅读题目，分析题目，明确已知量与未知量。
（2）找等量关系：寻找已知量和未知量之间的关系，用运算符号和等号连接。
（3）设未知数：一类是直接设所求的量为x，另一类是间接设与所求的量紧密相关且起着关键性作用的量为x，注意设未知数要带单位。
（4）列方程：用含有未知数的代数式把等量关系中的各个量表示出来，列出方程。
（5）解方程：选择合适的方法解方程。
（6）检验：检验方程的根是否正确及是否符合题意，舍去不符合题意的根。
（7）写出答案，书写答案时注意不要遗漏单位。
注意：列方程解实际问题的三个重要环节
一是整体地、系统地审题；
二是把握问题中的等量关系；
三是正确求解方程并检验解的合理性。
知识点02 一元二次方程应用题的主要类型
1．数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.
(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.
如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.
几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.
如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.
2．平均变化率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题：
平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)
(2)降低率问题：
平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)
3．利息问题
(1)概念
本金：顾客存入银行的钱叫本金.
利息：银行付给顾客的酬金叫利息.
本息和：本金和利息的和叫本息和.
期数：存入银行的时间叫期数.
利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.
(2)公式　
利息=本金×利率×期数
利息税=利息×税率
本金×(1+利率×期数)=本息和
本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)
4．利润(销售)问题
利润(销售)问题中常用的等量关系：
利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数

5．形积问题
此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.

注意：
列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.
能力拓展

考法01 数字问题
【典例1】如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数(如：8，14，15，16，17，24)．如果圈出的6个数中，最大数x与最小数的积为225，那么根据题意可列方程为(　　)

A．x(x+8)=225 B．x(x+16)=225
C．x(x﹣16)=225 D．(x+8)(x﹣8)=225
【答案】C
【解析】∵最大数为x，
∴最小数用x表示为：x-16，
∴列方程为：x(x﹣16)=225，
故选：C
【即学即练】日历中含有丰富的数学知识，如在图1所示的日历中用阴影圈出9个数，这9个数的大小之间存在着某种规律.小慧在2020年某月的日历中也按图1所示方式圈出9个数（如图2），发现这9个数中最大的数与最小的数乘积是297，则这9个数中，中间的数是（　　）
日
一
二
三
四
五
六


1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31













图1
图2

A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】C
【解析】解：根据日历的特点，同一列上下两个数相差7，前后两个数相差1，
则，，，，
∵最大的数与最小的数乘积是297，
∴，解得，取正数，．
故选：C．
【典例2】两个连续奇数的积为323，设其中较小的一个奇数为x，可得方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：依题意得：较大的奇数为x+2，
则有：x（x+2）=323．
故选：B．
【即学即练】一个两位数的两个数字的和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为1458，设原两位数的个位数字为x，则可列方程（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：由题意得：原两位数的十位数字为9-x，则有，
；
故选C．
考法02 平均变化率问题
【典例3】某中学连续三年开展植树活动．已知2020年植树500棵，2022年植树720棵，假设该校这两年植树棵树的年平均增长率为x，根据题意可以列方程为(     )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：根据题意得：500（1+x）2=720，
故答案为：500（1+x）2=720．
故选：A．
【即学即练】电影《我和我的祖国》一上映就受到观众热烈追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元．若设增长率为x，则根据题意可列方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2=10．
故选：D．
【典例4】骑行带头盔，安全有保障．“一盔一带”政策的推行致头盔销量大幅增长，从2019年到2021年我国头盔销售额从18亿元增长到30.42亿元，则我国头盔从2019年到2021年平均每年增长率是（　　）
A．10% B．15% C．25% D．30%
【答案】D
【解析】解：设我国头盔从2019年到2021年平均每年增长率是x，
由题意得：18（1+x）2＝30.42，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意舍去），
答：我国头盔从2019年到2021年平均每年增长率是30%，
故选：D．
【即学即练】我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹！某贫困村从2018年开始大力发展乡村民宿旅游产业，据统计，该村2018年乡村民宿旅游收入约为2000万元，2020年该村乡村民宿旅游收入达到3380万元，则该村2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为（       ）
A．20% B．25% C．30% D．35%
【答案】C
【解析】解：设该村2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率为x，
由题意得：，即，
解得，（舍去），
答：该村2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率为30%，
故选：C．
考法03 利息问题
【典例5】王先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是4.25%，若到期后取出得到本息和（本金+利息）33825元．设王先生存入的本金为x元，则下面所列方程正确的是（　　）
A．x+3×4.25%x＝33825 B．x+4.25%x＝33825
C．3×4.25%x＝33825 D．3（x+4.25%x）＝33825
【答案】A
【解析】解：设王先生存入的本金为x元，根据题意得出：
；
故选：A．
【即学即练】小英把1000元钱按年利率存入银行，存期为两年，那么计算到期时她可以从银行取回多少钱（不计利息税），列式正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：根据题意得：，
故选：D．
【典例6】小明将前年春节所得的压岁钱买了一个某银行的两年期的理财产品，该理财产品的年回报率为4.5%，银行告知小明今年春节他将得到利息288元，则小明前年春节的压岁钱为（ ）
A．6400元 B．3200元 C．2560元 D．1600元
【答案】B
【解析】解：设小明前年的压岁钱是x元， 由题意得：
，
解得．
故选：B．
【即学即练】某人善于理财，她以两种方式共储蓄1000元．一种储蓄的年利率为3%，另一种储蓄的年利率为4%，一年后本息和为1035元（不考虑利息税）．则两种储蓄的存款分别为（       ）
A．400元，600元 B．500元，500元 C．300元，700元 D．800元，200元
【答案】B
【解析】解：设第一种储蓄存了x元，则第二种储蓄存了 元，根据题意得：
，
解得：
∴
答：两种储蓄的存款分别为500元，500元．
故选：B
考法04 利润（销售）问题
【典例7】某款品牌童装，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该品牌采取了降价措施．在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间的销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．若要保证每天的销售利润为1050元，则每件童装应降价（       ）
A．5元 B．6元 C．7元 D．9元
【答案】A
【解析】解：设每件童装应降价x元．
∵每件盈利不少于25元，
∴．
∴．
∴．
根据题意得．
解得，（舍）．
∴x=5．
∴每件童装应降价5元．
故选：A．
【即学即练】某网店销售运动鞋，若每双盈利40元，每天可以销售20双，该网店决定适当降价促销，经调查得知，每双运动鞋每降价1元，每天可多销售2双，若想每天盈利1200元，并尽可能让利于顾客，赢得市场，则每双运动鞋应降价（       ）
A．10元或20元 B．20元 C．5元 D．5元或10元
【答案】B
【解析】解：设每双鞋应降价x元，根据题意得：
（40-x）（20+2x）=1200，
解得x1=20，x2=10，
∵尽可能让利顾客， ∴x=20．
答：每双鞋应降价20元；
故选B
【典例8】宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：设房价定为x元，
根据题意得：，
故选：B．
【即学即练】某超市购进一批商品，单价40元．经市场调查，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量减少10个，因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，超市若将准备获利2000元，则定价为多少元？（       ）
A．50 B．60 C．50或60 D．100
【答案】B
【解析】解：设每个定价为x元，则销售量为180-10（x-52）=（700-10x）个，
依题意得：（x-40）（700-10x）=2000，
整理得：x2-110x+3000=0，
解得：x1=50，x2=60．
当x=50时，700-10x=200＞180，不合题意，舍去；
当x=60时，700-10x=100，符合题意．
答：每个定价为60元．
故选：B．
考法05 形积问题
【典例9】如图，在一幅长80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周，镶一条宽度相等的金色纸边制成矩形挂图，如果要使整个挂图的面积为cm2，设金色纸边的宽为x cm，则可列方程（　　　）．

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：设金色纸边的宽为xcm，
依题意得：（80+2x）（50+2x）=5400．
故选：B．
【即学即练】如图，把一块长为50cm，宽为40cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为800，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（       ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：设剪去小正方形的边长为xcm，则由题意可列方程为；
故选D．
【典例10】南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．”意思是：一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？设它的宽为x步，则可列方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：设它的宽为x步，则长为(60-x)步，
∴x(60-x)=864，
故选：D．
【即学即练】我国古代著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高几何？”大意是说：已长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈（1丈=10尺，1尺=10寸），那么门的高为（       ）
A．96寸 B．86寸 C．62寸 D．28寸
【答案】A
【解析】解：设长方形门的宽是x尺，则高为（x+6.8）尺，


解得，，（舍），
∴门的宽是2.8尺，
则门的高为（尺），
（寸），
即门的高为96寸，
故选A．
分层提分

题组A 基础过关练
1．某景区门票经过两轮涨价，每人次价格从108元上调到168元，已知两次调价的百分率相同，设每次调价的百分率为x，根据题意可列方程（       ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：根据题意得：108（1+x）2＝168，
故选：A．
2．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分比率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：设每次降价的百分率为x，
由题意得：．
故选D．
3．有数据显示，我国的三十五至七十四岁人群中，高血压患者人数已接近一亿三千万．为了给人民群众带来实惠，某降压药经过两次降价，每瓶零售价由60元降为36元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程得(     )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：由题意得，第一次降价后的价格为60（1-x）元，第二次降价后的价格为60（1-x）（1-x）=36元；
即；
故选：A．
4．一份摄影作品【七寸照片（长7英寸，宽5英寸）】，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，则矩形衬纸的长为英寸，宽为英寸，
由题意得，
故选D．
5．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株楼后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
∴一株椽的价钱为3（x−1）文，依题意得：3（x−1）x＝6210，
故选：A．
6．某海洋养殖场每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖场第一年的可变成本为2.6万元，第三年的养殖成本为7.146万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x，则可列方程为_____．
【答案】
【解析】设可变成本平均每年增长的百分率为x，
则可列方程为：．
故答案为：．
7．为增强学生身体素质，某校开展篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排36场比赛，应安排多少个球队参赛？设安排个球队参赛，根据题意，可列方程为 __．
【答案】
【解析】解：依题意得：．
故答案为：．
8．某菜农大量种植蔬菜计划以每千克5元的价格对外批发销售，因销售不利，为减少损失，菜农决定降价出售，经过两次下调售价后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．求每次下调的百分率．
【答案】每次下调的百分率为20%
【解析】解：设每次下调的百分率为x，
依题意得：5（1﹣x）2＝3.2，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝2.2（不合题意，舍去）．
答：每次下调的百分率为20%．
9．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为18000个，1月底市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到21780个．
(1)求口罩日产量的月平均增长率；
(2)按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
【答案】(1)口罩日产量的月平均增长率为10%
(2)预计4月份平均日产量为23958个
【解析】(1)解：设口罩日产量的月平均增长率为x，
根据题意，得18000（1＋x）2＝21780，
解得x1＝−2.1（舍去），x2＝0.1＝10%，
答：口罩日产量的月平均增长率为10%；
(2)解：21780×（1＋10%）＝23958（个）．
答：预计4月份平均日产量为23958个．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒 个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连接两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连接PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．

(1)当t=3时，求PD的长？
(2)当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的一半？
(3)是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)4
(2)当 时，四边形BQPD的面积为三角形ABC面积的一半
(3)存在t的值，当t＝2.4时，使四边形PDBQ为平行四边形
【解析】(1)解：当t=3时，AD=5，AP=3，
，
；
(2)解：∵由题意可得：CQ＝2t，AP＝t， ，
∴BQ＝8﹣2t，CP＝8﹣t，
又∵PD⊥AC，
，
∵∠C=90°，BC=8，AC=6，
得S△ABC=，
∵S四边形BQPD＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△APD= S△ABC，
∴ ，
解得 ，
（不合题意，应舍去），
∴当 时，四边形BQPD的面积为三角形ABC面积的一半；
(3)解：存在 ，
由BQ⊥AC，PD⊥AC得BQ∥PD，
若BQ与PD相等，则四边形BQPD为平行四边形，
即： t＝8﹣2t
解得t＝2.4．
答：存在t的值，当t＝2.4时，使四边形PDBQ为平行四边形．
题组B 能力提升练
1．2021年9月份，全国新冠疫苗当月接种量约为1.4亿剂次，11月份新冠疫苗当月接种量达到2.3亿剂次，若设平均每月的增长率为x，则下列方程中符合题意的是（        ）
A．1.4x2 =2.3 B．1.4（1+x2）=2.3 C．1.4（1+x）2 =2.3 D．1.4（1+2x）=2.3
【答案】C
【解析】解：设平均每月的增长率为，
那么根据题意得：．
故选：C．
2．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：设门高AB为x尺，则门宽BC为（x-6.8）尺，根据勾股定理得：
．
故选：B
3．有一个人患了流感，经过两轮后共有121个人患了流感，如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后总共传染的人数是（　　　）
A．1331 B．1000 C．1728 D．1111
【答案】A
【解析】解：设平均一人传染了x人，
根据题意，得（x+1）+(x+1)x=121
解得 x1=10，x2= -12（不符合题意，舍去）
∴经过三轮传染后患上流感的人数为：
121+10121=1331．
故选A．
4．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排21场比赛，则八年级班级的个数为（       ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】解：设有x个班级参加比赛，
x(x−1)=21，
，
解得：（舍），
则共有7个班级参加比赛，
故选：C．
5．某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品．该商品可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店计划要获利400元．则每件商品的售价应定为（       ）
A．22元 B．24元 C．26元 D．28元
【答案】A
【解析】设商店的获利为元，
得，
当时，，
得，
，
解方程得元或元，
当元，，
∴元舍去，
∴元，
故选：A．
6．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种农作物的产量两年内从300千克增加到363千克，则平均每年增产的百分率为____．
【答案】10%
【解析】解：设平均每年增产的百分率为x，则第一年的产量为300×(1+x)，第二年的产量为300×(1+x)×(1+x)，
根据题意可得300(1+x)2=363，
解得x1=0.1=10％，x2=−2.1(不符合题意，舍去)，
即平均每年增产的百分率为10％，
故答案为：10％．
7．2022年女足亚洲杯在2022年1月20日至2月6日举行，由小组赛和淘汰赛组成．按比赛规则小组赛赛制为单循环赛制（即每个小组的两个球队之间进行一场比赛），在小组赛阶段，中国队凭借着小组赛比赛前几个场次的赢球，成为最先获得八强资格的球队，并在2022年2月6日的亚洲杯决赛中以3∶2战胜韩国女足，获得亚洲杯冠军．已知中国女足队所在的A组共安排了6场比赛，则中国女足所在的A组共有______支球队．
【答案】4
【解析】解：设中国女足所在的A组共有x支球队，根据题意得：
，
解得：，（舍去）
故答案为：4．
8．某商场于今年年初以每件40元的进价购进一批商品．当商品售价为60元时，一月份销售64件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到100件．设二、三这两个月月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的月平均增长率；
(2)从四月份起，商场决定采用降价促销，经调查发现，该商品每降价2元，销售量增加20件，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售，商场获利2240元?
【答案】(1)二、三这两个月的月平均增长率为25%
(2)该店应按原售价的九折出售
【解析】(1)解：设二、三这两个月的月平均增长率为a，根据题
意可得：，
解得：，（不合题意舍去）
答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；
(2)设商品应降价x元，
根据题意，得，
化简，得，解得，，
∵要尽可能让利于顾客，
∴每千克核桃应降价6元，
此时，售价为：（元），，
答：该店应按原售价的九折出售．
9．自2020年年初以来，全国多地猪肉价格连续上涨，引起了民众与政府的高度关注，政府向市场投入储备猪肉进行了价格平抑．据统计：某超市2020年1月10日猪肉价格为每千克56元，价格比去年同一天上涨了40%．
(1)求2019年1月10日该超市猪肉的价格为每千克多少元？
(2)现在某超市以每千克46元的价格购进猪肉，按2020年1月10日价格出售，平均一天能销售100千克．经调查表明：猪肉的售价每千克下降1元，平均每日销售量就增加20千克，超市为了实现销售猪肉平均每天有1120元的销售利润，在尽可能让利于顾客的前提下．每千克猪肉应该定价为多少元？
【答案】(1)2019年1月10日该超市猪肉的价格为每千克40元
(2)每千克猪肉应该定价为53元
【解析】(1)解：设2019年1月10日该超市猪肉的价格为每千克x元，
根据题意，得：（1+40%）x=56，
解得：x=40，
答：2019年1月10日该超市猪肉的价格为每千克40元；
(2)解：设每千克猪肉下降y元，
根据题意，得：（56-46-x）（100+20x）=1120，
整理得：x2－5x+6=0，
解得：x1=2，x2=3，
∵要尽可能让利于顾客，
∴x=3，则56-3=53（元），
答：设每千克猪肉应该定价为53元．
10．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克128元，连续两次降价后每千克98元，若每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率；
(2)若该水果每千克盈利20元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证销售该水果每天盈利9000元，且要减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【答案】(1)12.5%
(2)10元
【解析】(1)解：设每次下降的百分率为a，根据题意，得：
128（1-a）2=98，
解得：a1=（舍去），a2=0.125=12.5%，
答：每次下降的百分率为12.5%；
(2)设每千克应涨价x元，由题意，得：
（20+x）（500-20x）=9000，
整理，得 x2-5x-50=0，
解得：x1=10，x2=-5（不合题意舍去），
答：该商场要保证每天盈利9000元，那么每千克应涨价10元．
题组C 培优拔尖练
1．某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元．当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶，经市场调查表明，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少20瓶．若超市计划该饮料日均总利润为700元，且尽快减少库存，则每瓶该饮料售价为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】A
【解析】解：设每瓶售价x元时，所得日均总利润为700元，根据题意的，
，
解得x1=11， x2=13，
当x1=11时， ，当x2=13时， ，且，
尽快减少库存，
每瓶该饮料售价为11元．
故选：A．
2．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（       ）．
A．1轮后有个人患了流感 B．第2轮又增加个人患流感
C．依题意可得方程 D．不考虑其他因素经过三轮一共会有1210人感染
【答案】D
【解析】解：设每轮传染中平均每人传染了x人．
则第一轮后共有（1+x）人患了流感，
故A正确，不符合题意；
第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，
第2轮又增加个人患流感，
故B正确，不符合题意；
依题意，得1+x+x（1+x）=121，
即（1+x）2=121，
故C正确，不符合题意；
解方程，得x1=10，x2=-12（舍去）．
∴每轮传染中平均每人传染了10人．
∴经过三轮一共会有人感染，
故D错误，符合题意；
故选：D．
3．某渔具店销售一种鱼饵，每包成本价为10元，经市场调研发现：售价为20元时，每天可销售40包，售价每上涨1元，销量将减少3包．如果想获利480元，设这种鱼饵的售价上涨x元，根据题意可列方程为（       ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：设这种鱼饵的售价上涨x元，则每包的销售利润为（20+x﹣10）元，每天可销售（40﹣3x）包，
依题意得：（20+x﹣10）（40﹣3x）＝480．
故选：C．
4．据统计2019年某款APP用户数约为2400万，2021年底达到5000万．假设未来几年内仍将保持相同的年平均增长率，则这款APP用户数首次突破一亿的年份是（     ）
A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年
【答案】B
【解析】解：设年平均增长率为，
依题意得，，
∴，
∴或（不合题意舍去），
∴（万），（万），
∵7200万＜10000万＜10417万，
∴该款APP用户在2023年首次突破一亿．
故选：B．
5．清代著名数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理（如图）．设四个全等直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，五边形的面积为，的面积为，若，，则的值为　　

A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解析】解：四个直角三角形全等，
，，，，
，
四边形是正方形，
，
，
，，三点共线，
五边形的面积为，
，
，
，
，
的面积为
，
，
，
，（不合题意，舍去），
故的值为5．
故选：．

6．某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的单价每上涨1元，其销售量将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，从消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定为______元．
【答案】50
【解析】解：设商场对这种台灯的售价为x元，由题意得：
，
解得：，
由从消费者的角度考虑，可得这种台灯的售价应为50元；
故答案为50．
7．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，第___个图案中黑色三角形的个数为300．

【答案】24
【解析】解：由图形的变化规律知，第ⓝ团中黑三角的个数为1+2+3+4+…+n＝n（n+1），
由题意得，n（n+1）＝300，
解得，
∵n＞0，
∴n＝24．
故答案为：24
8．如图，某中学课外兴题小组准备围建一个矩形花园 ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长为60 m的篱笆围成，与墙平行的一边 BC上要预留2 m宽的入口（如图中MN所示，不用篱笆），已知墙长为 28 m．

(1)当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；
(2)能否围成500平方米的矩形花园?若能求出 BC长；若不能，说明理由．
【答案】(1)当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米
(2)不能围成500平方米的矩形花园，理由见解析
【解析】(1)设矩形花园BC的长为x米，则其宽为（60﹣x+2）米，依题意列方程得：
（60﹣x+2）x＝300，
x2﹣62x+600＝0，
解这个方程得：x1＝12，x2＝50，
∵28＜50，
∴x2＝50（不合题意，舍去），
∴x＝12．
答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米；
(2)设矩形花园BC的长为x米，则其宽为（60﹣x+2）米，依题意列方程得：
（60﹣x+2）x＝500，
x2﹣62x+1000＝0，
△＝622﹣4000＝﹣156＜0，
则该方程无解，即不能围成500平方米的矩形花园．
答：不能围成500平方米的矩形花园．
9．某商店今年3月第一周购进一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一个“冰墩墩”的进价比一个“雪容融”的进价多40元，购进20个“冰墩墩”和30个“雪容融”的金额相同．
(1)今年3月第一周每个“冰墩墩”和每个“雪容融”的进价分别是多少元？
(2)今年3月份第一周，商店以150元每个售出“冰墩墩”120个，以100元每个售出“雪容融”150个，第二周商店决定调整价格，每个“冰墩墩”的价格不变，销量比第一周增加了个，每个“雪容融”的售价在第一周的基础上下降了m元，销量比第一周增加了2m个，若该商家今年3月份第一、二周共获利13200元，求m的值．
【答案】(1)今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是120元，每个“雪容融”的进价是80元
(2)15
【解析】(1)解：设今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是x元，每个“雪容融”的进价是y元，
依题意得：，
解得：．
答：今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是120元，每个“雪容融”的进价是80元．
(2)依题意得：（150-120）×120+（100-80）×150+（150-120）×（120+）+（100-m-80）×（150+2m）=13200，
整理得：m2-15m=0，
解得：m1=15，m2=0（舍去）．
答：m的值为15．
10．某汽车租赁公司用650万元资金购进A、B两种型号小轿车共30辆，已知A型车每辆25万元，比每辆B型车贵10万元．
(1)求该公司购进A、B两种型号的轿车数量分别是多少；
(2)据统计，每辆A型车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加300元，未租出的车将增加1辆．B型车的月租金为每辆3000元，因价格相对较低，每月均能全部租出．租出的车每辆每月的平均维护费为500元，未租出的车辆每月平均维护费为100元．规定每辆车月租金不能超过5000元，当每辆A型车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到9.95万元？
【答案】(1)购进A种型号的轿车20辆，B种型号的轿车10辆；
(2)4900
【解析】(1)解：设该公司购进A种型号的轿车x辆，B种型号的轿车y辆，根据题意得：
，解得：，
答：该公司购进A种型号的轿车20辆，B种型号的轿车10辆；
(2)解：设每辆A型车的月租金定为m元，则可租出辆，根据题意得：
，
整理得：，
解得：，
∵规定每辆车月租金不能超过5000元，
∴m=4900，
答：当每辆A型车的月租金定为4900元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到9.95万元．