【同步讲义】北师大版数学九年级上册：第09讲 一元二次方程单元复习 讲义

第9讲  一元二次方程单元复习

知识点01  一元二次方程的有关概念

1. 一元二次方程的概念：
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
2. 一元二次方程的一般式：

3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
注意：

（1）判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为1。

（2）对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．

知识点02  一元二次方程的解法

1．基本思想

一元二次方程一元一次方程

2．基本解法

直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．

注意：

解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．

知识点03  一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

1．一元二次方程根的判别式 

一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即

（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；

（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.

2．一元二次方程的根与系数的关系

如果一元二次方程的两个实数根是，

那么，.

注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.

注意：

1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：
(1)不解方程判定方程根的情况；
(2)根据参系数的性质确定根的范围；
(3)解与根有关的证明题．
2. 一元二次方程根与系数的应用很多：
(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；
(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．

知识点04  列一元二次方程解应用题

1.列方程解实际问题的三个重要环节：
一是整体地、系统地审题；
二是把握问题中的等量关系；
三是正确求解方程并检验解的合理性.
2.利用方程解决实际问题的关键

寻找等量关系
3.解决应用题的一般步骤
审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；
解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；

验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；
答 (写出答案，切忌答非所问).
4.常见应用题型
数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.
注意：

列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.

考法01   一元二次方程的有关概念

【典例1】下列方程中，一元二次方程共有（       ）个．

①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2＋y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2

A．1 B．2 C．3 D．4

【即学即练】下列方程是一元二次方程的是（       ）

A． B．

C． D．

【典例2】方程是关于x，y的二元一次方程，则m的值为（       ）

A． B． C．2 D．4

【即学即练】若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（            ）

A． B． C． D．

考法02   一元二次方程的解法

【典例3】用配方法解方程x2＋4x﹣1＝0时，配方结果正确的是（       ）

A．（x＋4）2＝5 B．（x＋2）2＝5 C．（x＋4）2＝3 D．（x＋2）2＝3

【即学即练】用配方法解方程，下列变形正确的是（     ）

A． B． C． D．

【典例4】已知△ABC为等腰三角形，若BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，则m的值等于（　　）

A．12 B．16 C．﹣12或﹣16 D．12或16

【即学即练】已知a、b、5分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且a、b是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值等于（       ）

A．3 B．7 C．3或7 D．-3或7

【典例5】已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为（       ）

A．9 B．12 C．2或5 D．9或12

【即学即练】方程x2﹣x＝0的解是（　　）

A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝1

考法03   一元二次方程根的判别式的应用

【典例6】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（       ）

A． B．且 C． D．

【即学即练】对于任意实数k，关于x的方程的根的情况为（       ）

A．有两个相等的实数根 B．无实数根

C．有两个不相等的实数根 D．无法判定

考法04  一元二次方程的根与系数的关系

【典例7】若 x1，x2 是一元二次方程 x2﹣3x﹣6＝0 的两个根，则 x1+x2 的值是（        ）

A．3 B．﹣3 C．﹣6 D．6

【即学即练】已知m，n是方程x210x＋1＝0的两根，则代数式m29m＋n的值等于（　　）

A．0 B．＋11 C．9 D．11

【典例8】．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（       ）

A．4045 B．4044 C．2022 D．1

【即学即练】关于x的方程的一个根为1，则方程的另一个根与m的值分别为（       ）

A．， B．， C．， D．，

考法05  一元二次方程的应用

【典例9】某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分比率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是(     )

A．560（1﹣x2）＝315 B．315（1+x）2＝560

C．560（1﹣2x）＝315 D．560（1﹣x）2＝315

【即学即练】一个两位数等于其各数位上数字的积的3倍，且个位上的数比十位上的数字大2，则这个两位数是（       ）

A．24 B．35 C．42 D．53

【典例10】“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（       ）

A． B．

C． D．

【即学即练】如图，面积为的矩形试验田一面靠墙（墙的长度不限），另外三面用22m长的篱笆围成，平行于墙的一边开有一扇1m宽的门（门的材料另计）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为x（m），则所列方程正确的是（       ）

A． B．

C． D．

题组A  基础过关练

1．已知x＝﹣1是一元二次方程x2﹣x﹣m＝0的解，则m的值为（　　）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

2．方程的解是（   ）

A． B． C．， D．，

3．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（       ）

A．-2 B．-1 C．0 D．1

4．如果二次三项式x2＋px＋q能分解成（x＋3）（x﹣1）的形式，则方程x2＋px＋q＝0的两个根为（       ）

A．x1＝﹣3，x2＝1 B．x1＝﹣3；x2＝﹣1 C．x1＝3；x2＝﹣1 D．x1＝3；x2＝1

5．设x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1＋x2的值为（       ）

A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3

6．已知某企业2019年年营业收入为2500万元，2021年年营业收入达到3600万元，求这两年该企业年营业收入的平均增长率．设这两年年营业收入的平均增长率为x，根据题意列方程为（       ）

A．2500x2＝3600 B．2500（1+x）＝3600

C．2500（1+x）2＝3600 D．2500[1+（1+x）+（1+x）2]＝3600

7．若x1和x2是一元二次方程2x2+4x-3=0的两个实数根，则x1+x2= ________；x1x2=_________．

8．我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则可列方程______．

9．解方程：

(1)（x﹣1）2﹣4＝0；

(2)（x＋1）2＝2（x＋1）．

10．某水果经销商以10元/千克的价格向当地果农收购某种水果，该水果的市场销售价为20元/千克，根据市场调查，经销商决定降价销售．已知这种水果日销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0≤x＜10）之间满足如图所示的一次函数关系．

(1)求y与x之间的关系式；

(2)若经销商计划该种水果每日获利440元，那么该种水果每千克应降价多少元进行销售？其相应的日销售量为多少？

题组B  能力提升练

1．用配方法解一元二次方程，此方程可化为（       ）

A． B． C． D．

2．把方程化成一般式，则正确的是（　　　）

A．， B．， C．， D．，

3．如图，△ABC中， AB =AC=24 cm， BC=16cm，AD= BD．如果点P在线段BC上以 2 cm/s 的速度由B点向C点运动，同时，点 Q在线段CA上以v cm/s 的速度由C点向A点运动，那么当△BPD 与△CQP全等时，v =（   ）

A．3 B．4 C．2或 4 D．2或3

4．若是关于的方程的一个根，则此方程的另一个根（       ）

A．-5 B． C．5 D．

5．已知实数a，b同时满足，则b的值是（       ）

A．2或 B．2 C．或6 D．

6．若关于x的方程有实数根，则m的值可以是（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

7．如图，点为正方形外一点，，将绕点逆时针方向旋转90°得到，的延长线交于点，若，，则______．

8．利用配方法解一元二次方程时，将方程配方为，则mn=______．

9．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000平方米，施工队绿化了22000平方米后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．

(1)该项绿化工程原计划每天完成多少平方米？

(2)该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度是多少米？

10．已知关于x的一元二次方程．

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若方程两个根的差是2，求实数的值．

题组C  培优拔尖练

1．若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（       ）．

A．2020 B．2021 C．2022 D．2023

2．关于的方程有实数根，则的取值范围值是（       ）

A． B． C．且 D．且

3．关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（       ）

A．有两个相异正根 B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根

4．有一块矩形铁皮，长50cm，宽30cm，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，要制作的无盖方盒的底面积为．设切去的正方形的边长为，可列方程为（       ）

A． B．

C． D．

5．已知，，下列结论正确的个数为(     )

①若是完全平方式，则；

②B－A的最小值是2；

③若n是的一个根，则；

④若，则

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．用配方法解方程，经过配方可转化为（       ）

A． B． C． D．

7．关于x的一元二次方程的一个根是1，则这个方程的另一个根是______．

8．已知实数， 满足等式，，则的值是______．

9．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．

(1)求m的取值范围；

(2)当时，求m的值．

10．随着武汉解封，湖北各地的复工复产正有序进行，经济复苏也按下了“重启键”．为助力湖北复苏，月日抖音发起了“湖北重启，抖来助力--抖音援鄂复苏计划”，通过直播或短视频助力推广湖北特色产品已知当天的直播活动中热干面和周黑鸭共销售万份，其中周黑鸭的销量是热干面的倍．

(1)求当天的直播活动中销售了多少万份周黑鸭？

(2)为刺激消费，直播中推出了优惠活动疫情前，疫情期间售价均为元一份的周黑鸭（一份里面有一盒锁骨，两盒鸭脖，一盒鸭掌），以折力度售卖．疫情前，疫情期间售价均为元一份的热干面（一份里面有包热干面），以折力度售卖．已知疫情前周黑鸭的日销售量比直播当天的销量少，疫情期间的日销售额比疫情前的日销售额减少了万元；疫情前热干面的日销量比直播当天热干面的销量少，疫情期间的日销售量比疫情前的日销售量减少了；疫情期间周黑鸭和热干面的总日销售额比直播当天的总销售额少，求的值．