北师大版九年级上册1 投影精品巩固练习

第16讲  投影与视图

知识点01  投影

1. 投影现象

物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象.影子所在的平面称为       .

2. 中心投影
（1）中心投影的定义

手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，这样的光线照射在物体上所形成的投影，称为       .

（2）重要结论

①     的物体              放置时，如图1所示，在灯光下，         的物体，它的       ，       的物体，它的       .
　　　　　　　　　
②       的物体              时，如图2所示.一般情况下，离点光源     ，影子     ；离点光源      ，影子      ，但                     .
③在中心投影的情况下，       、              以及它在影子上的       在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.
注意：
光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.

3. 平行投影
（1）平行投影的定义

太阳光线可看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影。

物体在       形成的影子随着物体与投影面的       的改变而改变。

（2）重要结论
①       的物体              放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子的长度相等。
　　　　　　　　
②       的物体              放置时，如图2所示，在太阳光下，它们的影子的长度相等。

③在同一时刻，不同物体的高度比和其影长比       。

（3）物高与影长的关系

①在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.

②在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.
即：.
利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.
注意：

（1）平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.
（2）物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.

（3）利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.

4. 中心投影和平行投影的异同点

5. 正投影

如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，当平行光线与投影面垂直时，这种投影称为正投影.

知识点02  视图

1．三视图
（1）视图
用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图.
（2）三视图
在实际生活和工程中，人们常常从正面、左面和上面三个不同方向观察一个物体，分别得到这个物体的三个视图.通常我们把从       得到的视图叫做主视图，从       得到的视图叫做左视图，从       得到的视图叫做俯视图.

主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.
2．三视图之间的关系

（1）位置关系
一般地，把俯视图画在主视图下面，把左视图画在主视图右面，如图(1)所示.
　　　　　　　　　　　
（2）大小关系
三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的       ，主视图与左视图的       ，左视图与俯视图的       的原则.如图(2)所示.
注意：
三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础.

3．画几何体的三视图

画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：
(1)确定主视图的位置，画出主视图；
(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；
(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.
几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线要画成虚线.
注意：
画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图.

4．由三视图想象几何体的形状
由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形.
注意：
由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法.

考法01   投影

【典例1】下列各种现象属于中心投影的是（       ）

A．晚上人走在路灯下的影子 B．中午用来乘凉的树影

C．上午人走在路上的影子 D．阳光下旗杆的影子

【即学即练】如图所示是两根标杆在地面上的影子，根据这些投影，在灯光下形成的影子是（       ）

A．①和② B．②和④ C．③和④ D．②和③

【典例2】如图是某学校操场上单杠（图中实线部分）在地面上的影子（图中虚线部分），可判断形成该影子的光线为（　　）

A．该影子实际不可能存在 B．可能是太阳光线也可能是灯光光线

C．太阳光线 D．灯光光线

【即学即练】下面四幅图是两个物体不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序正确的是（       ）

A．A⇒B⇒C⇒D B．D⇒B⇒C⇒A C．C⇒D⇒A⇒B D．A⇒C⇒B⇒D

考法02   三视图

【典例3】下面四个几何体中，从正面看得到的图形是圆形的是（       ）

A． B． C． D．

【即学即练】下列几何体中，从左面看和从上面看得到的图形相同的是（       ）

A． B． 

C．  D．

【典例4】如图是由一个正方体，在底部截去了一个半圆柱的得到的几何体，则其是左视图是（       ）

A．B．C．D．

【即学即练】如图所示的几何体，其左视图是（       ）

A．B． C． D．

考法03   三视图的有关计算

【典例5】如图2所示的是图1中长方体的三视图，若用表示面积，，，则长方体的表面积为（       ）

A． B．

C． D．

【即学即练】如图是一个几何体的三视图，根据图中数据计算这个几何体的表面积是（       ）

A． B． C． D．

【典例6】如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积是（　　）

A．2π B．4π C．6π D．8π

【即学即练】一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为（       ）

A．48cm3 B．72cm3 C．144cm3 D．288cm3

题组A  基础过关练

1．人从路灯下走过时，影子的变化是（       ）．

A．长→短→长 B．短→长→短 C．长→长→短 D．短→短→长

2．媛媛拿一个等边三角形木框在阳光下玩（木框宽度忽略不计），等边三角形木框在地面上形成的投影不可能是（       ）

A． B．

C． D．

3．如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面距离BC＝1米，已知某一时刻BC在地面的影长CN＝1.5米，AC在地面的影长CM＝4.5米，则AB高为（       ）

A．3.5 B．2 C．1.5 D．2.5

4．如图所示的几何体由9个相同的立方块搭成的，将小立方块①移走后，从三个不同的方向观察所得几何体，没有发生变化的是（   ）

A．从正面看和从左面看 B．从正面看和从上面看

C．从左面看和从上面看 D．从正面看，从左面看和从上面看

5．如图，该几何体的主视图是（       ）

A． B． C． D．

6．如图，由10个完全相同的小立方块搭成的几何体，若每个小立方块的棱长为1，则主视图的面积是（       ）

A．5 B．6 C．7 D．8

7．某天小颖在室外的阳光下观察大树的影子随太阳转动的情况如下图所示，这五张图所对应的时间顺序是 __________________．

8．一个几何体从正面看、从左面看、从上面看到的形状图如图所示，该几何体是_______

9．如图，在地面上竖直安装着AB、CD、EF三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱AB、CD形成的影子为BG与DH.

（1）填空：判断此光源下形成的投影是：        投影.

（2）作出立柱EF在此光源下所形成的影子.

10．（1）如图，若将一个小立方块①移走，则变化后的几何体与变化前的几何体从______看到的形状图没有发生改变；（填“正面”、“上面”或“左面”）

（2）如图，请画出由个小立方块搭成的几何体从上面看到的形状图；

（3）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，请画出从左面看到的形状图．

题组B  能力提升练

1．如果在同一盏路灯下，小明与小强的影子一样长，下列说法正确的是（       ）

A．小明比小强的个子高 B．小强比小明的个子高

C．两个人的个子一样高 D．无法判断谁的个子高

2．由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影是（       ）

A． B． C． D．

3．下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是（　　）

A． B． C． D．

4．如图，该几何体是由六个大小相同的小立方块搭成的，我们从正面、左面和上面三个不同方向观察该几何体，下列说法正确的是（       ）

A．从正面看到的几何体的形状图的面积最大

B．从左面看到的几何体的形状图的面积最大

C．从上面看到的几何体的形状图的面积最大

D．从三个方向看到的几何体的形状图的面积一样大

5．几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为（       ）

A．3 B．4 C．6 D．9

6．我市江华县有“神州摇都”的美涨，每逢“盘王节”会表演长鼓舞，长鼓舞中使用的“长鼓”内腔挖空，两端相通，两端鼓口为圆形，中间鼓腰较为细小．如图为类似“长鼓”的几何体，其俯视图的大致形状是（　　　）

A． B． C． D．

7．一天下午小红先参加了校运动会女子200m比赛，过一段时间又参加了女子400m比赛，如图所示是摄影师在同一位置拍摄的两张照片，那么_____（填“甲”或“乙”） 照片是参加400m比赛时照的．

8．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体，从正面看和从上面看的形状图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最少为______个，搭成该几何体的小正方体的个数最多为______个．

9．如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC=3m．

(1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影;

(2)在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，计算DE的长

10．如图所示几何体由棱长为1的小正方体组成：

(1)请画出这个几何体的三视图；

(2)请计算这个几何体的表面积（包含底面面积）．

题组C  培优拔尖练

1．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图、左视图和俯视图都是如图所示的“田”字形，则搭成该几何体的小正方体的个数最少为（     ）

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个

2．如图是由n个相同的小正方体组合成的一个几何体的三视图，则n的值为（       ）．

A．4 B．5 C．6 D．7

3．如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗框AB在地面上的影长，窗户下檐到地面的距离，，那么窗户的高AB为（       ）

A．1.5m B．1.6m C．1.8m D．2.5m

4．用小立方块搭成的几何体，从正面看和从上面看的形状图如下，则组成这样的几何体需要的立方块个数为(       )

A．最多需要8块，最少需要6块 B．最多需要9块，最少需要6块

C．最多需要8块，最少需要7块 D．最多需要9块，最少需要7块

5．如图，在直角坐标系中，点P(2，2)是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为(0，1)，(3，1)．则木杆AB在x轴上的投影长为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

6．图1、图2均是正方体，图3是由一些大小相同的正方体搭成的几何体从正面看和左面看得到的形状图，小敏同学经过研究得到如下结论：

（1）若将图1中正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，需要剪开7条棱；

（2）用一个平面从不同方向去截图1中的正方体，得到的截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形；

（3）用一个平面去截图1中的正方体得到图2，截面三角形ABC中∠ABC＝45°；

（4）如图3，要搭成该几何体的正方体的个数最少是a，最多是b，则a＋b＝19

其中正确结论的个数有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．10个棱长为1cm的正方体，摆放成如图的形状，则这个图形的表面积为____cm2

8．数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为______米．

9．用若干个大小相同的小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中字母表示在该位置小立方体的个数，请解答下列问题：

(1)a＝　   　，b＝　   　，c＝　   ；

(2)这个几何体最少由 　   　个小立方体搭成，最多由 　   　个小立方体搭成．

(3)当d＝2，e＝1，f＝2时，画出这个几何体的左视图．

10．如图，身高为的小王晚上沿箭头的方向散步至一路灯下，她想通过自己的影子来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部向东走20步到处，发现自己影子端点恰好在点处，继续沿刚才自己的影子走5步到处，此时影子的端点在处．

(1)找出路灯的位置；

(2)估计路灯的高度，并求影长．