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初中数学北师大版九年级下册1 锐角三角函数精品课堂检测
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这是一份初中数学北师大版九年级下册1 锐角三角函数精品课堂检测，文件包含第01讲锐角三角函数和特殊角原卷版docx、第01讲锐角三角函数和特殊角解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。
第01讲 锐角三角函数和特殊角
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课程标准
1.理解锐角三角形（正切、正弦、余弦）的意义，会表述正切（正弦、余弦）与梯子倾斜程度的关系。
2.能够运用tanA，sinA和cosA表示直角三角形中两边的比。
3.能够根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算。
4.知道坡度的意义，并能进行简单的计算。
5.会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值。
6．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”。
7.利用特殊角的三角函数值解决简单的问题。
知识精讲
知识点01 锐角的正切
1．正切的定义
如图所示，在中，，如果锐角A确定，那么的对边a与邻边b的比便随之确定，这个比叫做的正切值。记作tanA，即tanA=。
2．注意事项
（1）tanA是一个完整的符号，它表示的正切，不能写成。
①对于用一个大写英文字母或希腊字母，等表示的角，表示正切时习惯省去角的符号“”，如tanA，tan等。
②对于用三个大写英文字母或阿拉伯数字表示的角，角的符号“”不能省略，如tan，tan等。
（2）tanA没有单位，它的值只与的大小有关，与所在的直角三角形的边长无关。
（3）tanA的平方用“”表示，的2倍用“2”表示。
提示：
①锐角A的大小确定之后，它所在的直角三角形的对边与邻边之比也随之确定，即锐角的正切值的大小只与锐角的大小有关，与其所在的直角三角形的大小无关。
②对于锐角A来说，的取值范围是，的值随锐角A的增大而增大。
知识点02 坡度与坡角
1．定义
如图所示，我们通常把坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度（或坡比），坡度常用字母i表示。把坡面与水平面的夹角称为坡角。
2．两者之间的关系
坡度是坡角的正切值，即。
知识点03 锐角的正弦、余弦
1．正弦
如图所示，在中，，如果锐角A确定，那么的对边a与斜边c的比便随之确定，这个比叫做的正弦。记作sinA，即sinA=。
2．余弦
如图所示，在中，，如果锐角A确定，那么的邻边b与斜边c的比便随之确定，这个比叫做的余弦。记作cosA，即cosA=。
注意：
(1)正弦、余弦的定义与正切一样，是在直角三角形中对其锐角定义的，它们实质上是两条线段的长度之比，是一个数值，没有单位，其大小与角的大小有关，与所在的直角三角形的三条边长无关。
(2)对于用一个希腊字母或一个大写英文字母表示的角，角的符号“”习惯上省略不写，但对于用三个大写英文字母或一个阿拉伯数字表示的角，角的符号“”不能省略，如sinABC，sin1。
(3)sin，cos都是一个完整的符号，不能把sin写成sin，离开了的sin是没有意义的。
(4)sin²A表示sinA·sinA=(sinA)2，不能写成sinA2；cos2A表示cosA·cosA=(cosA)2，不能写成cos A2。
知识点04 锐角三角函数的概念
（1）锐角A的正弦、余弦和正切都是的三角函数。当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化。
（2）同角的正弦、余弦之间的关系（平方关系）：。
（3）同角的正弦、余弦与正切之间的关系（商的关系）：。
（4）互余两角的三角函数之间的关系：锐角A，B，且，则，，。
知识点05 梯子的倾斜程度与三角函数的关系
如图所示，若AB表示倾斜靠墙的梯子，则梯子的倾斜程度与它的倾斜角有关，倾斜角越大，梯子越陡。
tan的值越大，梯子越陡；
sin的值越大，梯子越陡；
cos的值越小，梯子越陡。
知识点06 ，，角的三角函数值
1．图示记忆法
根据正弦、余弦和正切的定义，结合下图，可以得到如下几个常用的特殊角的正弦、余弦和正切值。
2．表格记忆法
角
sin
cos
tan
1
提示：锐角三角函数值的增减变化
（1）当角度在~之间变化时，正弦值随角度的增大而增大；余弦值随角度的增大而减小；正切值随角度的增大而增大。
（2）当锐角时，；
当锐角时，；
当锐角时，。
知识点07 特殊角的三角函数值的实际应用
利用三角函数解应用题的一般步骤：
（1）根据实际问题，构造出含有特殊角的直角三角形，建立三角函数模型；
（2）利用三角函数的定义表示题目中相关的量；
（3）找出各个量之间的关系；
（4）利用已知量与未知量的关系求出未知量；
（5）作答。
能力拓展
考法01 利用锐角三角函数求线段长或面积
【典例1】如图，在Rt△ABC中，直角边BC的长为m，∠A＝40°，则斜边AB的长是（ ）
A．msin40° B．mcos40° C． D．
【答案】C
【解析】解：∵sinA＝，
∴AB＝，
故答案为：C．
【即学即练】已知在 中， ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：∵在 中， ， ，
∴sin = ，即AB= .
故答案为：A.
【典例2】如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，点刚好落在直线上，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：如图，连接CE，延长EA交BC于F，
∵AB＝2AC，
设AC＝a，则AB＝2a，
∴BC＝＝a，
∵将△BAC绕点A顺时针旋转至△DAE，
∴DE＝BC＝a，CA＝AE＝a，AB＝AD＝2a，∠ADE＝∠ABC，∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ADB＝∠ADE，
∴∠DEA＝∠DFA，
∴DF＝DE＝a，
又∵∠DAE＝90°，
∴AF＝AE＝a＝AC，
∴∠ECF＝90°，
∵sin∠ACB＝sin∠CFE＝＝，
∴＝，
∴CE＝a，
∵tan∠ACB＝tan∠CFE＝＝2，
∴CF＝a，
∴CD＝DF﹣CF＝a，
∴BD＝BC+DC＝a，
∴△BDE的面积＝×a×a＝×a×a×＝.
故答案为：A.
【即学即练】如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=2，tan∠ABC=2.以AB为边向三角形外部作正方形，则该正方形的面积是（ ）
A．8 B．12 C．18 D．20
【答案】D
【解析】解：∵，
∴AC=BC· tan∠ABC=2×2=4，
∴AB= ，
∴正方形的面积=AB2=20.
故答案为：D.
考法02 求锐角三角函数值
【典例3】在中，，的余弦是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：在中，，则；
故答案为：C．
【即学即练】在Rt△ABC中，，，，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：如图
∵，，
∴
∴
故答案为：A．
【典例4】在 中， ， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ ， ，
∴
故答案为：A.
【即学即练】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝1，以下正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝1，
根据勾股定理AB=，
∴cosA=，选项A不正确；
sinA＝，选项B不正确；
tanA＝，选项C正确；
cosB＝，选项D不正确.
故答案为：C.
考法03 应用坡度解决实际问题
【典例5】如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC=4m，则AB的长度为（ ）
A．2m B．4m C．4m D．6m
【答案】C
【解析】解：∵迎水坡AB的坡比为1：，
∴，即，
解得，AC＝4，
由勾股定理得，AB＝=4（m），
故答案为：C.
【即学即练】河堤横断面如图所示，堤高 米，迎水坡 的坡比为 ，则AB的长为（ ）
A． 米 B． 米 C．18米 D．21米
【答案】C
【解析】解：∵BC=9米，迎水坡AB的坡比为1： ，
∴ ，
解得，AC=9 ，
∴AB= =18.
故答案为：C.
【典例6】如图，在山坡上种树，坡度i＝1：2，AB＝5m，则相邻两树的水平距离AC为（ ）
A．5m B． m C．2 m D．10m
【答案】C
【解析】解：∵在山坡上种树，坡度i＝1：2，
∴设BC＝x，则AC＝2x，
∴x2+（2x）2＝52，
解得：x＝ （负值舍去），
故AC＝2 （m）.
故答案为：C.
【即学即练】如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）都为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）
A．5m B．6m C．7m D．8m
【答案】A
【解析】解：如下图：
∵AB的坡度为0.75=，
∴，
即：，
∴AC=3，
∴AB=5，
∴相邻两树间的坡面距离为5 m.
故答案为：A.
考法04 特殊角的三角函数值
【典例7】计算 •tan 60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：原式= × = ，
故选：D．
【即学即练】4cos60°的值为（ ）
A． B．2 C． D．2
【答案】B
【解析】解：4cos60°=4× =2，
故选：B．
【典例8】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，那么sinA+cosB的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】解：∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=180°﹣90°﹣60°=30°，
则sinA+cosB=+=1．
故选A．
【即学即练】已知∠A，∠B均为锐角，且cosA=，sinB=，则下列结论中正确的是（ ）
A．∠A=∠B=60° B．∠A=∠B=30°
C．∠A=30°，∠B=60° D．∠A=60°，∠B=30°
【答案】D
【解析】解：∵∠A，∠B均为锐角，cosA=，sinB=，
∴∠A=60°，∠B=30°．
故选D．
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：∵直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝．
∴tanB＝．
故选：D．
2．如图，在中，，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，
则．
故选：C．
3．对角线长为的正方形，边长是多少（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】画出图形，利用等腰三角形的性质和三角函数即可得答案．
解：如图：正方形中，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴．
故选：D．
4．的值等于（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】解：．
故选：D．
5．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】解：∵∠C＝90°，sinA，
∴∠A＝60°，
∴cosA＝cos60°．
故选：A．
6．市防控办准备制作一批如图所示的核酸检测点指示牌，若指示牌的倾斜角为，铅直高度为h，则指示牌的边AB的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，过点A作于C，
在中，，
∴．
故选：B．
7．比较大小：_________（选填“＞”、“＝”或“＜”）．
【答案】＜
【解析】解：∵，且，
∴．
故答案为：＜
8．有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为20m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC= ，则此斜坡的水平距离AC=_____m
【答案】50
【解析】解：由题意作图如下，
Rt△ABC中，∠C=90°，BC=20m，tan∠A=，
∴AC=BC÷tan∠A=20×=50m，
故答案为：50．
9．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】解：（1）；
（2）；
（3）
．
10．如图，在中，，，．求的三个三角函数值．
【答案】，，
【解析】中，，，，
，
，
，
．
题组B 能力提升练
1．在中，，则= ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：如图，
在Rt△ABC中，，
则 ．
故选：C．
2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2BC，
∴设BC=x，则AC=2x，
则
故选A
3．如图，旧楼的一楼窗台高为1米，在旧楼的正南处有一新楼高25米．已知某日中午12时太阳从正南方照射的光线与水平线的夹角为，光线正好照在旧楼一楼窗台上，则两楼之间的距离为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【解析】如图，过点B作BC⊥AD于点C，
则∠ABC=α，AC=AD-CD=AD-BE=25 -1=24，
，
∴．
故选D．
4．图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F，若BC=4，sin∠CEF=，则△AEF的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】解：连接，
∵是斜边上的中线，
∵（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴，
又∵，
在△ABC中，，
在△AEC中，，
∴，
，
，设，
则，即，
解得（负值舍掉），
，
∴是的垂直平分线， ∴，
，
，
故选：C．
5．如图，在中，，，以为斜边向外作，、分别为、的中点，连接，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：在中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∵、分别为、的中点，
∴是三角形的中位线，
∴．
故选：A．
6．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点H是高AD和BE的交点，∠CAD＝30°，CD＝4，则线段BH的长度为（ ）
A．6 B． C．8 D．
【答案】C
【解析】根据题意，得
∴
∴
∵CD＝4
∴
∴
经检验，是的解
∵∠ABC＝45°，∠CAD＝30°，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
经检验，是的解
故选：C．
7．计算：__________．
【答案】
【解析】解：原式
故答案为：
8．如图，在矩形中，为上的点，，，则______．
【答案】
【解析】解：设，
在矩形中，为上的点，，，
，
，
，
故答案为：．
9．如图，梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，∠CDE=90°，CD=6，tan∠DCE=．
(1)求CE的长；
(2)求∠ADE的余弦．
【答案】(1)
(2)的余弦为
【解析】(1)解：∵∠CDE=90°，CD=6，tan∠DCE=，
∴=，即=，
∴DE=4，
由勾股定理得CE=；
(2)解：取CD的中点F，连接EF，
∵E是AB的中点，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
∴AD//EF，
∴∠ADE=∠DEF，
在Rt△DEF中，，，，
由勾股定理得，
∴，
∴，
即的余弦为．
10．如图，已知等边三角形ABC的边长为6cm，点P从点A出发，沿A→C→B的方向以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿B→A的方向以1cm/s的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为，请解决下列问题：
(1)若点P在边AC上，当为何值时，APQ为直角三角形？
(2)是否存在这样的值，使APQ的面积为cm2 ？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)1.2或3
(2)存在，或4
【解析】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=CA=6，∠A=∠B=∠C=60°，当点P在边AC上时，由题意知，AP=2，AQ=6-，当∠APQ=90°时，AP=AQ，即2=（6-），解得=1.2，当∠AQP=90°时，AQ=AP，即6-=×2，解得=3，所以，点P在边AC上，当为1.2s或3s时，△APQ为直角三角形；
（2）存在
①当点P在边AC上时，此时0≤≤3，
过点P作PD⊥AB于点D，在Rt△APD中，∠A=60°，AP=2，∴sinA=，即sin60°==，∴PD=，S△APQ=AQ●PD=（6-）●，由（6-）●=，得（不合题意，舍去），； ②当点P在边BC上时，此时3≤≤6，
如图，过点P作PF⊥AB于点F，在Rt△BPF中，∠B=60°，BP=12-2，∴sinB=，即sin60°==，∴PF=，S△APQ=AQ●PF=（6-）●，由（6-）●=得
因此，当t为s或4s时，△APQ的面积为．
题组C 培优拔尖练
1．Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC旋转得到△ADE，且点D恰好在AC上，sin∠DCE的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝5．
根据旋转性质可得AE＝5，AD＝3，DE＝4，
∴CD＝5﹣3＝2，
∴CE2，
在Rt△CED中，sin∠ECD，
故选：C．
2．如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，B，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴△AEF是直角三角形，∠AEF=90°，
．
故选D
3．中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，为直角三角形中的一个锐角，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】∵小正方形与每个直角三角形面积均为1，
∴大正方形的面积为5，
∴小正方形的边长为1，大正方形的边长为，
设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，其中a>0，
∴a2+(a+1)2=5，其中a>0，
解得：a1=1，a2=-2(不符合题意，舍去)，
===2，
故选：A．
4．在RtABC中，∠A＝90°，tan∠C＝，E为AC上一点，且CE＝5AE，点D为BC中点，把CDE沿ED翻折到FDE，且EG＝，则DF的长度为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】解：如图，连接CF，延长ED交CF于点T，过点G作GH⊥DE于H，过点D作DP⊥AC于P,
∵EC＝5AE，
∴可以假设AE＝a，EC＝5a，AC＝6a，
∵∠DPC＝∠A＝90°，
∴DP//AB，
∵BD＝CD，
∴AP＝PC＝3a，PE＝2a，
∵tan∠ACB＝，
∴PD＝a，
∴tan∠CET＝，
∵EC＝5a，
∴CT＝a，ET＝2a，
∵DE＝a，
∴DT＝CT＝a，
∴∠TDC＝∠TCD＝45°，
由翻折的性质可知DC＝DF，∠DEP＝∠DEG，
∴tan∠DEG＝tan∠DEP＝，
∵EG＝，
∴GH＝，EH＝，
∵∠GDH＝∠CDT＝45°，
∴GH＝DH＝，
∴DE＝a＝，
∴a＝，
∵DF＝CD＝a＝2，
故选：D．
5．如图，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD为△ABC的角平分线，若，则的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】D
【解析】解：过点D作DE⊥BC于点E，则∠DEB=∠DEC=90°，
设AB=AC=x，则AD=x-2，
∵等腰Rt△ABC中，，∠A=90°，AB=AC，，
∴∠C=（180°-∠A）=45°，
∵BD为△ABC的角平分线，
∴DE=AD=x-2，
∵，
∴，
∴，即．
故选D．
6．如图，洋洋一家驾车从A地出发，沿着北偏东60°的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50°的方向行驶来到C地，且C地恰好位于A地正东方向，则下列说法正确的是（ ）
A．B地在C地的北偏西40°方向上 B．A地在B地的南偏西30°方向上
C． D．
【答案】D
【解析】解：如图所示：
由题意可知，∠BAD=60°，∠CBP=50°，
∴∠BCE=∠CBP=50°，即B在C处的北偏西50°，故A错误；
∵∠ABP=60°，
∴A地在B地的南偏西60°方向上，故B错误；
∵∠ACB=90°-∠BCE=40°，故C错误．
∵∠BAD=60°，
∴∠BAC=30°，
∴sin∠BAC=，故D正确．
故选：D．
7．两块全等的等腰直角三角形如图放置，交于点P，E在斜边上移动，斜边交于点Q，，当是等腰三角形时，则的长为___________．
【答案】或或
【解析】解：当BE=PE时，
∵∠B=∠C=∠DEF=∠DFE=45°，
∴∠BPE=45°，∠BEP=90°，∠QEC=45°，∠EQC=90°，
∴PE=BE=BPsin45°=，EQ=CQ=ECsin45°=，
∵ BC=10，
∴AC=BCsin45°=，
∴AQ=AC-QC=．
当PB=PE时，
根据前面计算，得到BH=PH=3，
∴BH=HE=3，
∵∠B=∠C=∠DEF=∠DFE=45°，
∴∠EQC=45°，∠CEQ=90°，EC=EQ=BC-BE=10-6=4，
∴CQ=，
∵ BC=10，
∴AC=BCsin45°=，
∴AQ=AC-QC=．
当BP=BE时，
∵∠B=∠C=∠DEF=∠DFE=45°，
∴∠BPE=∠BEP=∠QEC=∠EQC，
∴PE=BE=，EQ=CQ=BC-BE=，
∵ BC=10，
∴AC=BCsin45°=，
∴AQ=AC-QC=，
综上所述AQ的长为或或，
故答案为：或或．
8．如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F．若∠ACB＝60°，CD＝4，则四边形CEDF的周长是_______．
【答案】16
【解析】解：连接EF交CD于O，如图：
∵DEAC，DFBC，
∴四边形CEDF是平行四边形，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠FCD＝∠ECD，
∵DEAC，
∴∠FCD＝∠CDE，
∴∠ECD＝∠CDE，
∴CE＝DE，
∴四边形CEDF是菱形，
∴CD⊥EF，∠ECD＝∠ACB＝30°，OC＝CD＝，
在Rt△COE中，
CE＝＝＝4，
∴四边形CEDF的周长是4CE＝4×4＝16，
故答案为：16．
9．已知中，，、是的两条高，直线与直线交于点．
(1)如图，当为锐角时，
①求证：；
②如果，求的正切值；
(2)如果，，求的面积．
【答案】(1)①见解析；②2
(2)或
【解析】（1）①证明：，，
，
，，且，
，
，
，
，
；
②由题意知：设，则，，
，
，
，，
，
在中，
；
(2)解： 设，
，
，，
，，
，
且，
在Rt△BDQ中根据勾股定理可得，，
，
1°当为锐角时，
，
，解得；
∴，
，
；
2°当为钝角时，
，
，解得，
∴，
，
．
10．在平行四边形ABCD中，对角线AC与边CD垂直，tan∠ACB=，点E是AD延长线上的一点，点F是射线AB上的一点，且∠CED=∠CDF．
(1)如图1，如果点F与点B重合，则∠AFD的余弦值=______；
(2)如图2，若四边形ABCD的周长是16，设AE=x，BF=y，
①求y关于x的函数关系式并写出自变量x取值范围；
②若BF:FA=1:2，求△CDE的面积．
【答案】(1)
(2)①y=-x+(5＜x≤)；②△CDE的面积是或．
【解析】(1)解：如果点F与点B重合，设DF与AC交于点M，
∵AC⊥CD，
∴∠DCA=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠CAB=∠DCA=90°，
∵tan∠ACB=，即，
设AB=3k，则AC=4k，AM=2k，
∴FM==k，
∴cos∠AFD==；
故答案为：；
(2)①解：∵CD∥AB，
∴∠EDC=∠FAD，∠CDF=∠AFD，
∵∠CED=∠CDF，
∴∠CED=∠AFD，
∴△CDE∽△DAF，
∴，
由题意，得AD=BC=5，DE=x-5，DC=AB=3，AF=3-y，
∴，
∴y=-x+，
自变量x取值范围：5＜x≤；
②解：点F在射线AB上都能得到：△CDE∽△DAF，
∴，
①当点F在边AB上，
∵BF：FA=1：2，AB=3，
∴AF=2，
由题意，得S△DAF=AF•AC，
∵AC=4，
∴S△DAF=AF•AC=×2×4=4，
∴，
∴S△CDE=；
②当点F在AB的延长线上，
∵BF：FA=1：2，AB=3，
∴AF=6，
由题意，得S△DAF=AF•AC，
∴S△DAF=AF•AC=12，
∴，
∴S△CDE=．
综上所述，△CDE的面积是或．
第01讲 锐角三角函数和特殊角
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课程标准
1.理解锐角三角形（正切、正弦、余弦）的意义，会表述正切（正弦、余弦）与梯子倾斜程度的关系。
2.能够运用tanA，sinA和cosA表示直角三角形中两边的比。
3.能够根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算。
4.知道坡度的意义，并能进行简单的计算。
5.会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值。
6．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”。
7.利用特殊角的三角函数值解决简单的问题。
知识精讲
知识点01 锐角的正切
1．正切的定义
如图所示，在中，，如果锐角A确定，那么的对边a与邻边b的比便随之确定，这个比叫做的正切值。记作tanA，即tanA=。
2．注意事项
（1）tanA是一个完整的符号，它表示的正切，不能写成。
①对于用一个大写英文字母或希腊字母，等表示的角，表示正切时习惯省去角的符号“”，如tanA，tan等。
②对于用三个大写英文字母或阿拉伯数字表示的角，角的符号“”不能省略，如tan，tan等。
（2）tanA没有单位，它的值只与的大小有关，与所在的直角三角形的边长无关。
（3）tanA的平方用“”表示，的2倍用“2”表示。
提示：
①锐角A的大小确定之后，它所在的直角三角形的对边与邻边之比也随之确定，即锐角的正切值的大小只与锐角的大小有关，与其所在的直角三角形的大小无关。
②对于锐角A来说，的取值范围是，的值随锐角A的增大而增大。
知识点02 坡度与坡角
1．定义
如图所示，我们通常把坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度（或坡比），坡度常用字母i表示。把坡面与水平面的夹角称为坡角。
2．两者之间的关系
坡度是坡角的正切值，即。
知识点03 锐角的正弦、余弦
1．正弦
如图所示，在中，，如果锐角A确定，那么的对边a与斜边c的比便随之确定，这个比叫做的正弦。记作sinA，即sinA=。
2．余弦
如图所示，在中，，如果锐角A确定，那么的邻边b与斜边c的比便随之确定，这个比叫做的余弦。记作cosA，即cosA=。
注意：
(1)正弦、余弦的定义与正切一样，是在直角三角形中对其锐角定义的，它们实质上是两条线段的长度之比，是一个数值，没有单位，其大小与角的大小有关，与所在的直角三角形的三条边长无关。
(2)对于用一个希腊字母或一个大写英文字母表示的角，角的符号“”习惯上省略不写，但对于用三个大写英文字母或一个阿拉伯数字表示的角，角的符号“”不能省略，如sinABC，sin1。
(3)sin，cos都是一个完整的符号，不能把sin写成sin，离开了的sin是没有意义的。
(4)sin²A表示sinA·sinA=(sinA)2，不能写成sinA2；cos2A表示cosA·cosA=(cosA)2，不能写成cos A2。
知识点04 锐角三角函数的概念
（1）锐角A的正弦、余弦和正切都是的三角函数。当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化。
（2）同角的正弦、余弦之间的关系（平方关系）：。
（3）同角的正弦、余弦与正切之间的关系（商的关系）：。
（4）互余两角的三角函数之间的关系：锐角A，B，且，则，，。
知识点05 梯子的倾斜程度与三角函数的关系
如图所示，若AB表示倾斜靠墙的梯子，则梯子的倾斜程度与它的倾斜角有关，倾斜角越大，梯子越陡。
tan的值越大，梯子越陡；
sin的值越大，梯子越陡；
cos的值越小，梯子越陡。
知识点06 ，，角的三角函数值
1．图示记忆法
根据正弦、余弦和正切的定义，结合下图，可以得到如下几个常用的特殊角的正弦、余弦和正切值。
2．表格记忆法
角
sin
cos
tan
1
提示：锐角三角函数值的增减变化
（1）当角度在~之间变化时，正弦值随角度的增大而增大；余弦值随角度的增大而减小；正切值随角度的增大而增大。
（2）当锐角时，；
当锐角时，；
当锐角时，。
知识点07 特殊角的三角函数值的实际应用
利用三角函数解应用题的一般步骤：
（1）根据实际问题，构造出含有特殊角的直角三角形，建立三角函数模型；
（2）利用三角函数的定义表示题目中相关的量；
（3）找出各个量之间的关系；
（4）利用已知量与未知量的关系求出未知量；
（5）作答。
能力拓展
考法01 利用锐角三角函数求线段长或面积
【典例1】如图，在Rt△ABC中，直角边BC的长为m，∠A＝40°，则斜边AB的长是（ ）
A．msin40° B．mcos40° C． D．
【答案】C
【解析】解：∵sinA＝，
∴AB＝，
故答案为：C．
【即学即练】已知在 中， ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：∵在 中， ， ，
∴sin = ，即AB= .
故答案为：A.
【典例2】如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，点刚好落在直线上，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：如图，连接CE，延长EA交BC于F，
∵AB＝2AC，
设AC＝a，则AB＝2a，
∴BC＝＝a，
∵将△BAC绕点A顺时针旋转至△DAE，
∴DE＝BC＝a，CA＝AE＝a，AB＝AD＝2a，∠ADE＝∠ABC，∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ADB＝∠ADE，
∴∠DEA＝∠DFA，
∴DF＝DE＝a，
又∵∠DAE＝90°，
∴AF＝AE＝a＝AC，
∴∠ECF＝90°，
∵sin∠ACB＝sin∠CFE＝＝，
∴＝，
∴CE＝a，
∵tan∠ACB＝tan∠CFE＝＝2，
∴CF＝a，
∴CD＝DF﹣CF＝a，
∴BD＝BC+DC＝a，
∴△BDE的面积＝×a×a＝×a×a×＝.
故答案为：A.
【即学即练】如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=2，tan∠ABC=2.以AB为边向三角形外部作正方形，则该正方形的面积是（ ）
A．8 B．12 C．18 D．20
【答案】D
【解析】解：∵，
∴AC=BC· tan∠ABC=2×2=4，
∴AB= ，
∴正方形的面积=AB2=20.
故答案为：D.
考法02 求锐角三角函数值
【典例3】在中，，的余弦是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：在中，，则；
故答案为：C．
【即学即练】在Rt△ABC中，，，，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：如图
∵，，
∴
∴
故答案为：A．
【典例4】在 中， ， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ ， ，
∴
故答案为：A.
【即学即练】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝1，以下正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝1，
根据勾股定理AB=，
∴cosA=，选项A不正确；
sinA＝，选项B不正确；
tanA＝，选项C正确；
cosB＝，选项D不正确.
故答案为：C.
考法03 应用坡度解决实际问题
【典例5】如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC=4m，则AB的长度为（ ）
A．2m B．4m C．4m D．6m
【答案】C
【解析】解：∵迎水坡AB的坡比为1：，
∴，即，
解得，AC＝4，
由勾股定理得，AB＝=4（m），
故答案为：C.
【即学即练】河堤横断面如图所示，堤高 米，迎水坡 的坡比为 ，则AB的长为（ ）
A． 米 B． 米 C．18米 D．21米
【答案】C
【解析】解：∵BC=9米，迎水坡AB的坡比为1： ，
∴ ，
解得，AC=9 ，
∴AB= =18.
故答案为：C.
【典例6】如图，在山坡上种树，坡度i＝1：2，AB＝5m，则相邻两树的水平距离AC为（ ）
A．5m B． m C．2 m D．10m
【答案】C
【解析】解：∵在山坡上种树，坡度i＝1：2，
∴设BC＝x，则AC＝2x，
∴x2+（2x）2＝52，
解得：x＝ （负值舍去），
故AC＝2 （m）.
故答案为：C.
【即学即练】如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）都为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）
A．5m B．6m C．7m D．8m
【答案】A
【解析】解：如下图：
∵AB的坡度为0.75=，
∴，
即：，
∴AC=3，
∴AB=5，
∴相邻两树间的坡面距离为5 m.
故答案为：A.
考法04 特殊角的三角函数值
【典例7】计算 •tan 60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：原式= × = ，
故选：D．
【即学即练】4cos60°的值为（ ）
A． B．2 C． D．2
【答案】B
【解析】解：4cos60°=4× =2，
故选：B．
【典例8】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，那么sinA+cosB的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】解：∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=180°﹣90°﹣60°=30°，
则sinA+cosB=+=1．
故选A．
【即学即练】已知∠A，∠B均为锐角，且cosA=，sinB=，则下列结论中正确的是（ ）
A．∠A=∠B=60° B．∠A=∠B=30°
C．∠A=30°，∠B=60° D．∠A=60°，∠B=30°
【答案】D
【解析】解：∵∠A，∠B均为锐角，cosA=，sinB=，
∴∠A=60°，∠B=30°．
故选D．
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：∵直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝．
∴tanB＝．
故选：D．
2．如图，在中，，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，
则．
故选：C．
3．对角线长为的正方形，边长是多少（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】画出图形，利用等腰三角形的性质和三角函数即可得答案．
解：如图：正方形中，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴．
故选：D．
4．的值等于（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】解：．
故选：D．
5．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】解：∵∠C＝90°，sinA，
∴∠A＝60°，
∴cosA＝cos60°．
故选：A．
6．市防控办准备制作一批如图所示的核酸检测点指示牌，若指示牌的倾斜角为，铅直高度为h，则指示牌的边AB的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，过点A作于C，
在中，，
∴．
故选：B．
7．比较大小：_________（选填“＞”、“＝”或“＜”）．
【答案】＜
【解析】解：∵，且，
∴．
故答案为：＜
8．有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为20m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC= ，则此斜坡的水平距离AC=_____m
【答案】50
【解析】解：由题意作图如下，
Rt△ABC中，∠C=90°，BC=20m，tan∠A=，
∴AC=BC÷tan∠A=20×=50m，
故答案为：50．
9．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】解：（1）；
（2）；
（3）
．
10．如图，在中，，，．求的三个三角函数值．
【答案】，，
【解析】中，，，，
，
，
，
．
题组B 能力提升练
1．在中，，则= ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：如图，
在Rt△ABC中，，
则 ．
故选：C．
2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2BC，
∴设BC=x，则AC=2x，
则
故选A
3．如图，旧楼的一楼窗台高为1米，在旧楼的正南处有一新楼高25米．已知某日中午12时太阳从正南方照射的光线与水平线的夹角为，光线正好照在旧楼一楼窗台上，则两楼之间的距离为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【解析】如图，过点B作BC⊥AD于点C，
则∠ABC=α，AC=AD-CD=AD-BE=25 -1=24，
，
∴．
故选D．
4．图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F，若BC=4，sin∠CEF=，则△AEF的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】解：连接，
∵是斜边上的中线，
∵（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴，
又∵，
在△ABC中，，
在△AEC中，，
∴，
，
，设，
则，即，
解得（负值舍掉），
，
∴是的垂直平分线， ∴，
，
，
故选：C．
5．如图，在中，，，以为斜边向外作，、分别为、的中点，连接，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：在中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∵、分别为、的中点，
∴是三角形的中位线，
∴．
故选：A．
6．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点H是高AD和BE的交点，∠CAD＝30°，CD＝4，则线段BH的长度为（ ）
A．6 B． C．8 D．
【答案】C
【解析】根据题意，得
∴
∴
∵CD＝4
∴
∴
经检验，是的解
∵∠ABC＝45°，∠CAD＝30°，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
经检验，是的解
故选：C．
7．计算：__________．
【答案】
【解析】解：原式
故答案为：
8．如图，在矩形中，为上的点，，，则______．
【答案】
【解析】解：设，
在矩形中，为上的点，，，
，
，
，
故答案为：．
9．如图，梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，∠CDE=90°，CD=6，tan∠DCE=．
(1)求CE的长；
(2)求∠ADE的余弦．
【答案】(1)
(2)的余弦为
【解析】(1)解：∵∠CDE=90°，CD=6，tan∠DCE=，
∴=，即=，
∴DE=4，
由勾股定理得CE=；
(2)解：取CD的中点F，连接EF，
∵E是AB的中点，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
∴AD//EF，
∴∠ADE=∠DEF，
在Rt△DEF中，，，，
由勾股定理得，
∴，
∴，
即的余弦为．
10．如图，已知等边三角形ABC的边长为6cm，点P从点A出发，沿A→C→B的方向以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿B→A的方向以1cm/s的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为，请解决下列问题：
(1)若点P在边AC上，当为何值时，APQ为直角三角形？
(2)是否存在这样的值，使APQ的面积为cm2 ？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)1.2或3
(2)存在，或4
【解析】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=CA=6，∠A=∠B=∠C=60°，当点P在边AC上时，由题意知，AP=2，AQ=6-，当∠APQ=90°时，AP=AQ，即2=（6-），解得=1.2，当∠AQP=90°时，AQ=AP，即6-=×2，解得=3，所以，点P在边AC上，当为1.2s或3s时，△APQ为直角三角形；
（2）存在
①当点P在边AC上时，此时0≤≤3，
过点P作PD⊥AB于点D，在Rt△APD中，∠A=60°，AP=2，∴sinA=，即sin60°==，∴PD=，S△APQ=AQ●PD=（6-）●，由（6-）●=，得（不合题意，舍去），； ②当点P在边BC上时，此时3≤≤6，
如图，过点P作PF⊥AB于点F，在Rt△BPF中，∠B=60°，BP=12-2，∴sinB=，即sin60°==，∴PF=，S△APQ=AQ●PF=（6-）●，由（6-）●=得
因此，当t为s或4s时，△APQ的面积为．
题组C 培优拔尖练
1．Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC旋转得到△ADE，且点D恰好在AC上，sin∠DCE的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝5．
根据旋转性质可得AE＝5，AD＝3，DE＝4，
∴CD＝5﹣3＝2，
∴CE2，
在Rt△CED中，sin∠ECD，
故选：C．
2．如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，B，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴△AEF是直角三角形，∠AEF=90°，
．
故选D
3．中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，为直角三角形中的一个锐角，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】∵小正方形与每个直角三角形面积均为1，
∴大正方形的面积为5，
∴小正方形的边长为1，大正方形的边长为，
设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，其中a>0，
∴a2+(a+1)2=5，其中a>0，
解得：a1=1，a2=-2(不符合题意，舍去)，
===2，
故选：A．
4．在RtABC中，∠A＝90°，tan∠C＝，E为AC上一点，且CE＝5AE，点D为BC中点，把CDE沿ED翻折到FDE，且EG＝，则DF的长度为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】解：如图，连接CF，延长ED交CF于点T，过点G作GH⊥DE于H，过点D作DP⊥AC于P,
∵EC＝5AE，
∴可以假设AE＝a，EC＝5a，AC＝6a，
∵∠DPC＝∠A＝90°，
∴DP//AB，
∵BD＝CD，
∴AP＝PC＝3a，PE＝2a，
∵tan∠ACB＝，
∴PD＝a，
∴tan∠CET＝，
∵EC＝5a，
∴CT＝a，ET＝2a，
∵DE＝a，
∴DT＝CT＝a，
∴∠TDC＝∠TCD＝45°，
由翻折的性质可知DC＝DF，∠DEP＝∠DEG，
∴tan∠DEG＝tan∠DEP＝，
∵EG＝，
∴GH＝，EH＝，
∵∠GDH＝∠CDT＝45°，
∴GH＝DH＝，
∴DE＝a＝，
∴a＝，
∵DF＝CD＝a＝2，
故选：D．
5．如图，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD为△ABC的角平分线，若，则的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】D
【解析】解：过点D作DE⊥BC于点E，则∠DEB=∠DEC=90°，
设AB=AC=x，则AD=x-2，
∵等腰Rt△ABC中，，∠A=90°，AB=AC，，
∴∠C=（180°-∠A）=45°，
∵BD为△ABC的角平分线，
∴DE=AD=x-2，
∵，
∴，
∴，即．
故选D．
6．如图，洋洋一家驾车从A地出发，沿着北偏东60°的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50°的方向行驶来到C地，且C地恰好位于A地正东方向，则下列说法正确的是（ ）
A．B地在C地的北偏西40°方向上 B．A地在B地的南偏西30°方向上
C． D．
【答案】D
【解析】解：如图所示：
由题意可知，∠BAD=60°，∠CBP=50°，
∴∠BCE=∠CBP=50°，即B在C处的北偏西50°，故A错误；
∵∠ABP=60°，
∴A地在B地的南偏西60°方向上，故B错误；
∵∠ACB=90°-∠BCE=40°，故C错误．
∵∠BAD=60°，
∴∠BAC=30°，
∴sin∠BAC=，故D正确．
故选：D．
7．两块全等的等腰直角三角形如图放置，交于点P，E在斜边上移动，斜边交于点Q，，当是等腰三角形时，则的长为___________．
【答案】或或
【解析】解：当BE=PE时，
∵∠B=∠C=∠DEF=∠DFE=45°，
∴∠BPE=45°，∠BEP=90°，∠QEC=45°，∠EQC=90°，
∴PE=BE=BPsin45°=，EQ=CQ=ECsin45°=，
∵ BC=10，
∴AC=BCsin45°=，
∴AQ=AC-QC=．
当PB=PE时，
根据前面计算，得到BH=PH=3，
∴BH=HE=3，
∵∠B=∠C=∠DEF=∠DFE=45°，
∴∠EQC=45°，∠CEQ=90°，EC=EQ=BC-BE=10-6=4，
∴CQ=，
∵ BC=10，
∴AC=BCsin45°=，
∴AQ=AC-QC=．
当BP=BE时，
∵∠B=∠C=∠DEF=∠DFE=45°，
∴∠BPE=∠BEP=∠QEC=∠EQC，
∴PE=BE=，EQ=CQ=BC-BE=，
∵ BC=10，
∴AC=BCsin45°=，
∴AQ=AC-QC=，
综上所述AQ的长为或或，
故答案为：或或．
8．如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F．若∠ACB＝60°，CD＝4，则四边形CEDF的周长是_______．
【答案】16
【解析】解：连接EF交CD于O，如图：
∵DEAC，DFBC，
∴四边形CEDF是平行四边形，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠FCD＝∠ECD，
∵DEAC，
∴∠FCD＝∠CDE，
∴∠ECD＝∠CDE，
∴CE＝DE，
∴四边形CEDF是菱形，
∴CD⊥EF，∠ECD＝∠ACB＝30°，OC＝CD＝，
在Rt△COE中，
CE＝＝＝4，
∴四边形CEDF的周长是4CE＝4×4＝16，
故答案为：16．
9．已知中，，、是的两条高，直线与直线交于点．
(1)如图，当为锐角时，
①求证：；
②如果，求的正切值；
(2)如果，，求的面积．
【答案】(1)①见解析；②2
(2)或
【解析】（1）①证明：，，
，
，，且，
，
，
，
，
；
②由题意知：设，则，，
，
，
，，
，
在中，
；
(2)解： 设，
，
，，
，，
，
且，
在Rt△BDQ中根据勾股定理可得，，
，
1°当为锐角时，
，
，解得；
∴，
，
；
2°当为钝角时，
，
，解得，
∴，
，
．
10．在平行四边形ABCD中，对角线AC与边CD垂直，tan∠ACB=，点E是AD延长线上的一点，点F是射线AB上的一点，且∠CED=∠CDF．
(1)如图1，如果点F与点B重合，则∠AFD的余弦值=______；
(2)如图2，若四边形ABCD的周长是16，设AE=x，BF=y，
①求y关于x的函数关系式并写出自变量x取值范围；
②若BF:FA=1:2，求△CDE的面积．
【答案】(1)
(2)①y=-x+(5＜x≤)；②△CDE的面积是或．
【解析】(1)解：如果点F与点B重合，设DF与AC交于点M，
∵AC⊥CD，
∴∠DCA=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠CAB=∠DCA=90°，
∵tan∠ACB=，即，
设AB=3k，则AC=4k，AM=2k，
∴FM==k，
∴cos∠AFD==；
故答案为：；
(2)①解：∵CD∥AB，
∴∠EDC=∠FAD，∠CDF=∠AFD，
∵∠CED=∠CDF，
∴∠CED=∠AFD，
∴△CDE∽△DAF，
∴，
由题意，得AD=BC=5，DE=x-5，DC=AB=3，AF=3-y，
∴，
∴y=-x+，
自变量x取值范围：5＜x≤；
②解：点F在射线AB上都能得到：△CDE∽△DAF，
∴，
①当点F在边AB上，
∵BF：FA=1：2，AB=3，
∴AF=2，
由题意，得S△DAF=AF•AC，
∵AC=4，
∴S△DAF=AF•AC=×2×4=4，
∴，
∴S△CDE=；
②当点F在AB的延长线上，
∵BF：FA=1：2，AB=3，
∴AF=6，
由题意，得S△DAF=AF•AC，
∴S△DAF=AF•AC=12，
∴，
∴S△CDE=．
综上所述，△CDE的面积是或．
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