北师大版九年级下册第一章 直角三角形的边角关系4 解直角三角形优秀当堂检测题

第02讲  解直角三角形

知识点01  解直角三角形

1．解直角三角形的概念

由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

2．直角三角形中边角之间的关系

如图所示，在中，，为锐角，，他们所对的边分别为a，b，c，其中除直角

外，其余的5个元素之间有以下关系：

除直角外再知道其中的两个元素（至少有一个元素是边），利用这些关系就可以求出其余的三个未知元素。

知识点02  解直角三角形的常见类型及方法

注意：

1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算。
2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边。

知识点03  求非直角三角形中的边和角

将非直角三角形问题转化为直角三角形问题，具体可以归纳为以下三种情况：

（1）作高，把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形；

（2）作高，把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的图形；

（3）连接对角线，把矩形、菱形和正方形转化为含直角三角形的图形。

考法01   解直角三角形

【典例1】如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，，，F是AD边的中点，cm，则BE的长为（          ）

A．6cm B．cm C．cm D．8cm

【即学即练】如图，在中，，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于点D，若AB=6，则AE的值是（       ）

A． B． C．3 D．2

【典例2】如图，在中，，，，作等腰三角形ABD，使．，且点C不在射线AD上．过点D作，垂足为E．则的值为（       ）．

A． B． C． D．

【即学即练】如图，在△ABC中，，，，点D是CB延长线上的一点，且，则tan∠DAC的值为（       ）

A． B．2 C． D．3

考法02   解非直角三角形

【典例3】在东西方向的海岸线上有，两个港口，甲货船从港沿东北方向以海里时的速度出发，同时乙货船从港口沿北偏西方向出发，后相遇在点处，如图所示．问港与港相距（ ）海里．

A． B． C． D．

【即学即练】已知△AOC，如图，建立平面直角坐标系，则点A的坐标是（　　）

A．（acosα，asinα） B．（ccosα，csinα）

C．（asinα，acosα） D．（csinα，ccosα）

【典例4】金佛山是巴蜀四大名山之一游客上金佛山有两种方式：一种是从西坡上山，如图，先从A沿登山步道走到点B，再沿索道乘坐缆车到点C；另一种是从北坡景区沿着盘山公路开车上山到点C．已知在点A处观测点C，得仰角∠CAD＝37°，且A、B的水平距离AE＝1000米，索道BC的坡度i＝1：，长度为2600米，CD⊥AD于点D，BF⊥CD于点F则BE的高度为（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°＝0.75，＝1.73）（　　）

A．2436.8米 B．2249.6米 C．1036.8米 D．1136.8米

【即学即练】某游客乘坐“金碧皇宫号游船”在长江和嘉陵江的交汇处A点，测得来福土最高楼顶点F的仰角为45°，此时他头项正上方146米的点B处有架航拍无人机测得来福士最高楼顶点F的仰角为31°，游船朝码头方向行驶120米到达码头C，沿坡度i＝1：2的斜坡CD走到点D，再向前走160米到达来福士楼底E，则来福士最高楼EF的高度约为（　　）（结果精确到0.1，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.87，tan31°≈0.60）

A．301.3米 B．322.5米 C．350.2米 D．418.5米

考法03   构造直角三角形求不规则图形的边长或面积

【典例5】某同学利用数学知识测量建筑物DEFG的高度．他从点出发沿着坡度为的斜坡AB步行26米到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为37°，建筑物底端的俯角为30°，若AF为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度BC=1.6米，则此建筑物的高度DE约为(精确到米，参考数据：，)（       ）

A．米 B．米 C．米 D．米

【即学即练】如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（       ）

A． B． C． D．3

【典例6】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（     ）

A． B． C． D．

【即学即练】在△ABC中，BC＝＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（       ）

A． B．＋1 C． D．＋1

题组A  基础过关练

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°， ， 则（     ）

A． B． C． D．

2．在 Rt△ABC 中， C  90 ， AB  5 ， AC  4 ．下列四个选项，正确的是（       ）

A．tan B  B．cot B  C．sin B  D．cos B 

3．在中，，，，则的（       ）

A．3 B．4 C．6 D．8

4．在△ABC中，AB=4，BC=5，sinB =，则△ABC的面积等于（　　）

A．15 B． C．6 D．

5．如图，一把梯子AB长4米，靠在垂直水平地面的墙上，若梯子与地面的夹角为，则梯子底端A到墙面的距离为（       ）

A． B． C． D．

6．如图，某校数学兴趣小组探究活动中要测量河的宽度，该小组同学在河岸一边上选定一点A，再在河岸另一边选定点P和点B，使（河的两岸平行）.若利用测量工具测得为m米，，根据测量数据可计算得到小河宽度为（       ）

A．米 B．米 C．米 D．米

7．在ABC中，，，，那么的长为________．

8．在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，则△ABC的面积是 ___．

9．在中，，求．

10．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝

（1）求BD的长；

（2）求tanC的值．

题组B  能力提升练

1．已知中，，，D是AC上一点，，则的值为（       ）

A． B． C． D．

2．如图，是的高，若，，则边的长为（       ）

A． B． C． D．

3．如图，四边形ABCD为菱形，O为对角线AC的中点，，，则菱形的周长为（       ）

A．8 B．4 C． D．

4．如图，矩形的两对角线相交于点，若，，则的度数为(     )

A． B． C． D．

5．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，，，则（       ）

A．4 B． C．2 D．

6．在平面直角坐标系中，一象限内射线OA与x轴正半轴的夹角为α，点P在射线OA上，若，则点P的坐标可能是（　　）

A．（3，5） B．（5，3）

C．（3，4） D．（4，3）

7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanA，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD，则AB的长为_______．

8．如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为 _____．

9．一天小明与父亲爬山，在停车场附近看到了一棵树，小明想测量这棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上（如图所示），此时测得地面上的影长为12米，坡面上的影长为5米、斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米垂直于地面放置的拐杖在地面上的影长为2.5米，求这棵树的高度（结果精确到0.1米）．

10．如图，在中，，D是的中点，连接，过点B作的垂线，交延长线于点E．已知．

(1)求线段的长；

(2)求的值．

题组C  培优拔尖练

1．如图，等腰三角形ABC中，，，D为AC上一点，，，则的值为（       ）

A． B． C． D．

2．如图，等腰△ABC的面积为2，AB=AC，BC=2．作AE∥BC且AE=BC．点P是线段AB上一动点，连接PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（       ）

A． B．3 C． D．4

3．在Rt△ABC中，，，若，则AB的长为（   ）．

A． B． C． D．

4．如图，某商场准备将自动扶梯改造成斜坡式.已知商场的层高为6m，为，改造后扶梯的坡比是，则改造后扶梯相比改造前增加的长度是（ 　 ）

A．6m B．m C．m D．m

5．如图，四边形为正方形，将绕点逆时针旋转至，点，，在同一直线上，与交于点，延长与的延长线交于点，，．以下结论：

①；②；③；④．其中正确结论的个数为（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．如图，在中，，．矩形的顶点、、分别在边、、上，若，则矩形面积的最大值为（       ）

A．5 B． C． D．

7．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝3，AC＝2，则＝_____．

8．如图，在中，，点D在的延长线上，点E在的延长线上，，连接，，则___________．

9．如图，小丽在“五一”假期和父母一起去了神仙湖景区游玩，当小丽走到A处时发现在她东南方向的湖心岛上（C处）有一对漂亮的白鹭，为更好的观察和拍照，小丽沿着正东方向前进了200米到达B处，此时湖心岛位于小丽南偏西30°的方向上，问B处与湖心岛的距离是多少米？（结果保留一位小数，参考数据：≈1.414，≈1.732）

10．如图，已知四边形中，，的延长线与的延长线交于点E．

(1)若，求的长；

(2)若，求的长．（计算过程和结果均保留根号）