初中北师大版1 二次函数精品当堂达标检测题

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第05讲 二次函数
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课程标准
1.会分析具体问题中变量之间的关系，建立函数模型，归纳出二次函数的概念。
2.掌握二次函数的相关概念，能将具有二次函数关系的式子表示成一般形式。
3.能够表示简单变量之间的二次函数关系。
知识精讲

知识点01 二次函数的概念
1．概念
一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成的形式，则称y是x的二次函数，其中x是自变量。
2．二次函数的一般形式
任何一个二次函数的关系式都可以化成的形式，因此，把叫做二次函数的一般形式，其中，分别是二次项，一次项和常数项，a是二次项系数，b是一次项的系数。
注意：
（1）二次函数中，x，y是变量，a，b，c是常量，函数表达式是整式；
（2）自变量x的最高此项的次数必须是2，其取值范围是全体实数，但是对于实际问题中的二次函数，x的取值范围会有一些限制；
（3）a不能为0，b，c可以为0。
（4）判断函数是不是二次函数的方法
①判断等号两边的代数式是不是整式；
②将函数的关系式整理成一般形式，判断自变量的最高次项的次数是不是2；
③判断二次项的系数是不是0。三者缺一不可。
知识点02 根据实际问题列二次函数关系式
由实际问题列二次函数关系式的步骤
（1）审清题意，找出实际问题中的已知量、变量，将文字语言、图形语言转化为数学符号语言。
（2）找出等量关系，找到已知量和变量间的关系，并用等式表示。
（3）列函数关系式，设出表示变量的字母，把等量关系用含字母的代数式表示，并将关系式写成用自变量表示因变量的形式。
能力拓展

考法01 二次函数的识别
【典例1】下列函数是y关于x的二次函数的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：由二次函数的定义：“形如（其中为常数，且）”的函数叫做二次函数
A. ，是一次函数，没有二次项，故选项A不正确；
B. ，是一次函数，没有二次项，故选项B不正确；
C. ，是二次函数，二次项系数不为0，故选项C正确       
D. ，当a=0时，是一次函数，当a≠0时，是二次函数，不能确定是一次还是二次函数，故选项D不正确．
故选C．
【即学即练】下列函数表达式中，一定为二次函数的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：A、是一次函数，故此选项错误；
B、当时，是二次函数，故此选项错误；
C、是二次函数，故此选项正确；
D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误；
故选：C．
【典例2】已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y=2（x+3）2-2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】y＝2x﹣1是一次函数；
y＝﹣2x2﹣1是二次函数；
y＝3x3﹣2x2不是二次函数；
④y=2（x+3）2-2x2，不是二次函数；
y＝ax2+bx+c，没告诉a不为0，故不是二次函数；
故二次函数有1个；
故答案选A．
【即学即练】下列各式:①y=2x2-3xz+5;②y=3-2x+5x2;③y=+2x-3;④y=ax2+bx+c;⑤y=(2x-3)(3x-2)-6x2;
⑥y=(m2+1)x2+3x-4(m为常数);⑦y=m2x2+4x-3(m为常数)是二次函数的有(     )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】y=2x2-3xz+5，含有两个未知数，不是二次函数；
y=3-2x+5x2，符合二次函数的定义，是二次函数；
y=+2x-3，含有分式，不是二次函数；
y=ax2+bx+c，没有条件a≠0，不是二次函数；
y=（2x-3）（3x-2）-6x2=-10x+6，不是二次函数；
y=（m2+1）x2+3x-4（m为常数），符合二次函数定义，是二次函数；
y=m2x2+4x-3（m为常数），没有m≠0这个条件，不是二次函数；
所以是二次函数的有：2个．
故选B．
考法02 根据二次函数的概念求参数
【典例3】若抛物线是关于x的二次函数，那么m的值是（       ）
A．3 B． C．2 D．2或3
【答案】C
【解析】∵是关于x的二次函数，
∴且，
∴，且，
∴；
故选C．
【即学即练】已知是关于的二次函数，则的值为（       ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【解析】∵是关于的二次函数，
∴，
解得：；
故选B．
【典例4】若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是（　　）
A．a≠2 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠0
【答案】A
【解析】解：由题意得： ，则．
故选：A．
【即学即练】如果函数是二次函数，则的取值范围是（       ）
A． B． C．＝﹣2 D．为全体实数
【答案】C
【解析】解：由题意得：m-2≠0，，
解得：m=-2，
故选：C．
考法03 列二次函数的表达式
【典例5】把元的电器连续两次降价后的价格为元，若平均每次降价的百分率是，则与的函数关系式为(             )
A．y=320(x-1) B．y=320(1-x) C．y=160(1-x2) D．y=160(1-x) 2
【答案】D
【解析】解：第一次降价后的价格是160(1-x)，
第二次降价为160(1-x)×(1-x)=160(1-x)2，
则y与x的函数关系式为y=160(1-x)2.
故选D.
【即学即练】国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x的函数关系式为（　　）
A．y=36（1﹣x） B．y=36（1+x） C．y=18(1﹣x)2 D．y=18（1+x2）
【答案】C
【解析】解：原价为18，
第一次降价后的价格是18×（1-x）；
第二次降价是第一次降价后的价格的基础上降价：18×（1-x）×（1-x）=18（1-x）2，
则函数解析式是：y=18（1-x）2，
故选C．
【典例6】正方形的边长为3，如果边长增加x，那么面积增加y，则y与x之间的函数表达式是(　　)
A．y＝3x B．y＝(3＋x)2 C．y＝9＋6x D．y＝x2＋6x
【答案】D
【解析】解：y=(3+x)2-32=32+6x+x2-9=x2+6x.
故选D.
【即学即练】两个正方形的周长和是10，如果其中一个正方形的边长为，则这两个正方形的面积的和S关于的函数关系式为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵两个正方形的周长和是10，如果其中一个正方形的边长为，
∴另一个正方形的边长为.
∴这两个正方形的面积的和S关于的函数关系式为.
故选D.
分层提分

题组A 基础过关练
1．对于y=ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（       ）
A．当b=0时，二次函数是y=ax2+c B．当c=0时，二次函数是y=ax2+bx
C．当a=0时，一次函数是y=bx+c D．以上说法都不对
【答案】D
【解析】A.当b=0，a≠0时．二次函数是y=ax2+c，故此选项错误；
B.当c=0，a≠0时，二次函数是y=ax2+bx，故此选项错误；
C.当a=0，b≠0时．一次函数是y=bx+c，故此选项错误；
D.以上说法都不对，故此选项正确．
故选D．
2．正方形的面积s和边长a之间的关系可以表示s=a2，则s与a之间的函数关系是（       ）
A．一次函数 B．正比例函数 C．二次函数 D．以上都不对
【答案】C
【解析】解：∵正方形的面积s和边长a之间的关系可以表示s=a2，
∴s与a之间的函数关系是二次函数．
故选：C
3．下列函数中为二次函数的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：A、，是一次函数，故此选项不符合题意；
B、，是二次函数，故此选项符合题意；
C、，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D、，未知数的最高次为3，不是二次函数，故此选项错误．
故选：B．
4．下列函数中不属于二次函数的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：A、y＝（x+1）（x﹣2）是二次函数，故此选项不合题意；
B、是二次函数，故此选项不合题意；
C、y＝2（x+2）2﹣2x2＝8x+8不是二次函数，故此选项符合题意；
D、y＝1﹣x2是二次函数，故此选项不合题意；
故选：C．
5．下列函数关系中，是二次函数的为（     ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系．
B．距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．圆的面积S与半径之间的关系
【答案】D
【解析】解：A、关系式为：y=kx+b，是一次函数，不符合题意；
B、关系式为：，是反比例函数，不符合题意；
C、关系式为：，是正比例函数，不符合题意；
D、关系式为：，是二次函数，符合题意．
故选：D．
6．在二次函数y＝﹣x2+5x﹣2中，a、b、c对应的值为（　　）
A．a＝1，b＝5，c＝﹣2 B．a＝﹣1，b＝5，c＝2
C．a＝﹣1，b＝5，c＝﹣2 D．a＝﹣1，b＝﹣5，c＝﹣2
【答案】C
【解析】解：∵y＝﹣x2+5x﹣2，
∴a＝﹣1，b＝5，c＝﹣2，
故选：C．
7．若是以x为自变量的二次函数，则______．
【答案】2
【解析】解：由题意得：，且，
解得：，
故答案为：2．
8．已知二次函数，当时，函数的值是_________．
【答案】-1
【解析】解：当时
==-1
故答案为：-1
9．如图，矩形绿地的长、宽各增加，写出扩充后的绿地的面积y与x的关系式．

【答案】
【解析】解：∵矩形原来的长和宽分别为30m、20m，矩形绿地的长、宽各增加xm，
∴增加后的矩形的长和宽分别为（20+x）m，（30+x）m，
∴.
10．已知函数y=（m2-2）x2+（m+）x+8．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围.
【答案】（1）；（2）且．
【解析】（1）由题意得，，解得m=；
（2）由题意得，m2-2≠0，解得m≠且m≠-.
题组B 能力提升练
1．若函数y＝m+4是二次函数，则m的值为（       ）
A．0或﹣1 B．0或1 C．﹣1 D．1
【答案】C
【解析】解：由题意得：m2+m+2＝2，且m≠0，
解得：m＝﹣1，故C正确．
故选：C．
2．某城市居民2018年人均收入30000元，2020年人均收入达到y元．设2018年到2020年该城市居民年人均收入平均增长率为x，那么y与x的函数关系式是（　　）
A．y＝30000（1+2x） B．y＝30000+2x
C．y＝30000（1+x2） D．y＝30000（1+x）2
【答案】D
【解析】解：设2018年到2020年该城市居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为:
y＝30000（1+x）2
故选： D．
3．下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（     ）
A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xm
B．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xm
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤
D．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm
【答案】B
【解析】解：A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xm，则y=x3，故不是二次函数；
B．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xm，则y=14πx2，故是二次函数；
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤，则，故不是二次函数；
D．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm，则y＝南京与上海之间的距离-108x，故不是二次函数．
故选：B．
4．以下关于自变量的函数是二次函数的是（     ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：A、该函数是一次函数，不是二次函数，故该选项不符合题意；
B、该函数是正比例函数，不是二次函数，故该选项不符合题意；
C、该函数是反比例函数，不是二次函数，故该选项不符合题意；
D、该函数是二次函数，故该选项符合题意，
故选：D．
5．对于y＝ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（　　）
A．当b＝0时，y＝ax2+c是二次函数
B．当c＝0时，y＝ax2+bx是二次函数
C．当a＝0时，y＝bx+c是一次函数
D．以上说法都不对
【答案】D
【解析】解：A、当b＝0，a≠0时，y＝ax2+c是二次函数，故A选项错误；
B、当c＝0，a≠0时，y＝ax2+bx是二次函数，故B选项错误；
C、当a＝0，b≠0时，y＝bx+c是一次函数，故C选项错误；
D、以上说法都不对，故此选项正确；
故选：D．
6．已知两个变量与之间的三组对应值如表，则与之间的函数解析式可能是（     ）


2



3

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：．将表格对应数据代入，不全符合方程，故不符合题意；
．将表格对应数据代入，不全符合方程，故不符合题意；
．将表格对应数据代入，不符合方程，故不符合题意；
．将表格对应数据代入，符合方程，故符合题意．
故选：．
7．下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是____________．
【答案】②④
【解析】解：①y=5x-5为一次函数；
②y=3x2-1为二次函数；
③y=4x3-3x2自变量次数为3，不是二次函数；
④y=2x2-2x+1为二次函数；
⑤y=函数式为分式，不是二次函数．
故答案为②④．
8．为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为，第一季度的总产值为（亿元），则关于的函数解析式为________________．
【答案】
【解析】解：∵某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为，
∴二月份的为
三月份的为
第一季度的总产值为（亿元），则
故答案为：
9．已知函数．
（1）若这个函数是一次函数，求的值
（2）若这个函数是二次函数，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1）由题意得，解得；
（2）由题意得，，解得且．
10．某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多．
（1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？
（2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？
【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1）
；
（2）．
题组C 培优拔尖练
1．下列函数中，不属于二次函数的是（       ）
A．y=（x﹣2）2 B．y=﹣2（x+1）（x﹣1）
C．y=1﹣x﹣x2 D．y=
【答案】D
【解析】A、整理为y=x2﹣4x+4，是二次函数，不合题意；
B、整理为y=﹣2x2+2，是二次函数，不合题意；
C、整理为y=﹣x2﹣x+1，是二次函数，不合题意；
D、表达式不是整式，是分式，符合题意．
故选D．
2．若抛物线经过点，则的值是（       ）
A．7 B．-1 C．-2 D．3
【答案】A
【解析】把（-2，3）代入可得-2b+c=7,即=7
故选A.
3．有一根长的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积与它的一边长之间的函数关系式为（             ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：根据一边长为xcm，周长为60cm可得矩形的另一边长为（30－x）cm，则S=x（30－x）．
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数y与自变量x之间的部分对应值如表所示：
x
…
﹣1
2
3
…
y
…
0
0
4
…
则可求得（4a﹣2b+c）的值是（　　）
A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4
【答案】C
【解析】解：将x＝﹣1，y＝0；x＝2，y＝0；x＝3，y＝4代入y＝ax2+bx+c，
得到，
∴，
∴（4a﹣2b+c）＝4；
故选C．
5．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售为x元，则可卖出（350-10x）件商品，那么商品所赚钱y元与售价x元的函数关系为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：每件的利润为（x-21），
∴y=（x-21）（350-10x）
=-10x2+560x-7350．
故选B．
6．下列函数关系中，可以看作二次函数（）模型的是（　　）
A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D．圆的周长与圆的半径之间的关系
【答案】C
【解析】A、v=，是反比例函数，错误；B、y=m（1+1%）x，不是二次函数，错误；C、S=-x2+cx，是二次函数，正确；D、C=2πr，是正比例函数，错误，
故选C．
7．当m____________________________时，函数是二次函数．
【答案】不等于和3
【解析】根据二次函数的定义可得：，
即：，
∴，且，
即当不等于和3时，原函数为二次函数，
故答案为：不等于和3.
8．如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，BD＝1，设BC＝x，AD＝y，当x＞时，y关于x的函数解析式为 _____．

【答案】
【解析】解：∵BD=1，AD=y，
∴AB=y+1，
∵AB=AC，
∴AC=y+1，
在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=（y+1）2-y2=2y+1，
在Rt△BCD中，CD2=BC2-BD2=x2-12=x2-1，
∴2y+1=x2-1，
∴．
故答案为：．
9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝30cm，∠A＝60°，动点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts，过点D作DF⊥BC于点F，连接EF．

(1)若四边形AEFD为菱形，则t值为多少？
(2)在点D、E的运动过程中，设四边形ADFE的面积为y，请求出y与t的函数关系式？
【答案】(1)5s
(2)
【解析】(1)解：∵∠B＝90°，∠A＝60°，
∴∠C=30°，
∴CD=2DF，AC=2AB，
∵AC＝30cm，
∴AB=15cm，
根据题意得：CD=4tcm，AE=2tcm，则AD=（30-4t）cm，
∴DF=2tcm，
∴DF=AE，
∵DF⊥BC，
∴DF∥AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当DF=AD时，四边形AEFD为菱形，
即30-4t=2t，解得：t=5；
(2)解：∵∠B＝90°，AC＝30cm，AB=15cm，CD=4tcm，DF=2tcm，
∴，，
由（1）得：四边形AEFD是平行四边形，
∴．
10．已知：二次函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)设、、均在该函数图象上，
①当时，、、能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；
②当取不小于5的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①当时，、、不能作为同一个三角形三边的长，理由见解析；②见解析
【解析】(1)解：把代入二次函数得：，
．
(2)解：①答：当时，、、不能作为同一个三角形三边的长．
理由是当时，、、，
代入抛物线的解析式得：，，，
，
当时，、、不能作为同一个三角形三边的长．
②理由是：把、、代入得：
，，，
，
，，，都是大于的，
，
，
根据三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边（也可求出两小边的和大于第三边），
当取不小于5的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长．