初中北师大版1 二次函数精品随堂练习题

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第06讲 二次函数的图象与性质
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课程标准
1.会用描点法画出二次函数的图象。
2.知道二次函数的图象是一条抛物线，掌握二次函数的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性、最值。
3.知道系数a、b、c的作用，能够运用对称轴和顶点坐标公式解决实际问题。
知识精讲

知识点01 二次函数y=x2和y=-x2的图象的画法
画二次函数的图象，一般用描点法，分列表、描点、连线三步，具体步骤如下：
（1）列表：先取原点（0，0），然后在原点两侧对称地取点，因为关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，所以只计算y轴右侧点的纵坐标，对应写出左侧点的坐标即可，为了计算方便，横坐标一般取整数。
（2）描点：先将y轴右侧的点描出来，再按对称关系描出y轴左侧的对称点。
（3）连线：按照从左到右的顺序将这些点用光滑的曲线连接起来，画图象不应画到“两端”为止，而应到画成向两个方向延伸的形状。
提示：
（1）因为函数y=x2和y=-x2的自变量的取值范围是全体实数。所以画图象时应以原点（0，0）为对称中心取值。
（2）描点法所画的图象只是整个函数图象的一部分，因为x可取一切实数，所以函数应是向两个方向无限延伸的。
知识点02 二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质
二次函数
y=x2
y=-x2


大致图象


图象形状
抛物线
抛物线
开口方向
向上
向下
对称轴
y轴（或直线x=0）
顶点坐标
原点（0，0）

增减性
当x<0时，y的值随x值的增大而减小；当x>0时，y的值随x值的增大而增大
当x<0时，y的值随x值的增大而增大；当x>0时，y的值随x值的增大而减小
最值
当x=0时，y有最小值0
当x=0时，y有最大值0
知识点03 二次函数y=ax2的图象与性质
1．二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，可类比用描点法画其图象。
2．二次函数y=ax2的性质：
二次函数
y=ax2（a>0）
y=ax2（a<0）


大致图象


开口方向
向上
向下
对称轴
y轴（或直线x=0）
顶点坐标
原点（0，0）

增减性
当x<0时，y的值随x值的增大而减小；当x>0时，y的值随x值的增大而增大
当x<0时，y的值随x值的增大而增大；当x>0时，y的值随x值的增大而减小
最值
当x=0时，y有最小值0
当x=0时，y有最大值0
知识点04 二次函数y=ax2+c的图象与性质
1．二次函数y=ax2的图象与性质
a的符号
a>0
a<0




大致图象


c>0




c<0


开口方向
向上
向下
对称轴
y轴（或直线x=0）
顶点坐标
（0，c）
增减性
当x<0时，y的值随x值的增大而减小；当x>0时，y的值随x值的增大而增大
当x<0时，y的值随x值的增大而增大；当x>0时，y的值随x值的增大而减小
最值
当x=0时，y有最小值c
当x=0时，y有最大值c
2．二次函数y=ax2+c与y=ax2的关系
(1）相同点：
①图象都是抛物线，形状相同，开口方向相同，开口大小相同。
②都是轴对称图形，对称轴都是 y 轴。
③都在 x =0处取得最值。
④当 a >0时，图象开口向上，在 y 轴左侧， y 都随 x 的增大而减小；在 y 轴右侧， y 都随 x 的增大而增大。当 a < 0时，图象开口向下，在 y 轴左侧， y 都随 x 的增大而增大；在 y 轴右侧， y 都随 x 的增大而减小。
(2）不同点：
①顶点坐标不同，分别是（0，c )，(0，0)。
②最值不同，分别是 y = c 和 y =0。
(3）联系：二次函数 y = ax2 的图象与 y = ax2+ c 的图象可以通过平移互相得到。具体如下：
①当 c >0时，抛物线 y = ax2 抛物线y = ax2+ c ；
②当 c < 0时，抛物线 y = ax2 抛物线y = ax2+ c 。
知识点05 二次函数y=a（x-h）2的图象与性质
1．二次函数y=a（x-h）2的图象与性质
a的符号
a>0
a<0




大致图象


h>0




h<0


开口方向
向上
向下
对称轴
直线x=h
顶点坐标
（h，0）
增减性
当xh时，y的值随x值的增大而增大
当xh时，y的值随x值的增大而减小
最值
当x=h时，y有最小值0
当x=h时，y有最大值0
2．二次函数y=a（x-h）2与y=ax2的关系
（1）抛物线y=a（x-h）2与y=ax2的形状、开口方向相同，都是轴对称图形，只是位置不同。
（2）抛物线y=a（x-h）2可由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|个单位长度得到：
①当h>0时，抛物线 y = ax2 抛物线y=a（x-h）2；
②当h < 0时，抛物线 y = ax2 抛物线y=a（x-h）2。
知识点06 二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质
1．二次函数y=a（x-h）2+k与y=ax2的关系
二次函数y=a(x-h)²+k的图象可由二次函数y=ax2的图象平移得到，它们的形状相同，只是位置不同，把y=ax2的图象先向左或向右平移|h|个单位长度,得到y=a(x-h)²的图象,再向上或向下平移 |k|个单位长度，即得到y=a(x-h)²+k的图象。
具体方法如下所示：

2．二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质
a的符号
a>0
a<0


大致图象


开口方向
向上
向下
对称轴
直线x=h
顶点坐标
（h，k）

增减性
当xh时，y的值随x值的增大而增大
当xh时，y的值随x值的增大而减小
最值
当x=h时，y有最小值k
当x=h时，y有最大值k
知识点07 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
1．二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标和对称轴
二次函数y=ax2+bx+c可以通过配方转化为y=a(x-h)²+k的形式：

所以二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线，它的顶点坐标为，对称轴是直线
2．二次函数y=ax2+bx+c的图象的画法
画二次函数的图象常见方法有2种：五点法和平移法。
方法1：五点法
(1)通过配方将二次函数y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式；
(2)确定抛物线的顶点坐标、开口方向、对称轴；
(3)以顶点为中心，左右对称各取两对值；
(4)用光滑的曲线将描出的点顺次连接起来。
方法2：平移法
利用平移法画二次函数y=ax2+bx+c的图象的一般步骤如下：
(1)通过配方将二次函数y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式，确定图象顶点坐标为(h，k)；
(2)画出二次函数y=ax2的图象；
(3)将二次函数y=ax2的图象平移，使其顶点(0,0)平移到(h,k)，平移后的图象即是二次函数y=ax2+bx+c的图象。
3．二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
a的符号
a>0
a<0


大致图象


开口方向
向上
向下
对称轴
直线
顶点坐标


增减性
在对称轴的左侧，即当x<时，y的值随x值的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时，y的值随x值的增大而增大
在对称轴的左侧，即当x<时，y的值随x值的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y的值随x值的增大而减小
最值
抛物线有最低点，当时，y有最小值
抛物线有最高点，当时，y有最大值
4．抛物线的平移规律
左右平移，左加右减；上下平移，上加下减。
知识点08 二次函数图象特征与系数之间的关系
字母
字母符号
图象特征

a
a>0
开口向上
a<0
开口向下

b
b=0
对称轴为y轴（或直线x=0）
ab>0(a,b同号)
对称轴在y轴左侧
ab<0(a,b异号)
对称轴在y轴右侧

c
c=0
图象经过原点
c>0
与y轴正半轴相关
c<0
与y轴负半轴相关
能力拓展

考法01 二次函数y=ax2的图象与性质
【典例1】已知二次函数，当时，y随x增大而减小，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【即学即练】若二次函数的图象过点，则必在该图象上的点还有（   ）
A． B． C． D．
【典例2】已知二次函数y=(m+2)，当x<0时，y随x的增大而增大，则m的值为（        ）
A． B． C． D．2
【即学即练】已知是关于x的二次函数，且有最大值，则k＝(　　)
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
考法02 二次函数y=ax2+c的图象与性质
【典例3】二次函数y＝-2 ＋1的图象可能是（       ）
A．B．C． D．
【即学即练】二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（       ）
A．开口向上 B．当时，函数的最大值是
C．对称轴是直线 D．抛物线与x轴有两个交点
【典例4】已知点（﹣4，y1），（2，y2）均在抛物线y＝x2﹣1上，则y1，y2的大小关系为（　　）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1≥y2
【即学即练】已知点，，在函数的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
考法03 二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质
【典例5】抛物线的顶点是（       ）
A． B． C． D．
【即学即练】抛物线y＝（x−2）2＋3的顶点坐标是（       ）
A．（2，3） B．（－2，3） C．（2，－3） D．（－2，－3）
【典例6】已知抛物线，其对称轴是（       ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【即学即练】对于二次函数的图象，下列说法正确的是（       ）
A．图象与y轴交点的坐标是 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大
考法04 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
【典例7】画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列表如下：
x
……
1
2
3
4
5
……
y
……
0
1
0
﹣3
﹣8
……
关于此函数有下列说法：①函数图象开口向上；②当x＞2时，y随x的增大而减小；③当x＝0时，y＝﹣3；其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【即学即练】如图，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，得出了下面四条信息：
①c＞0；
②b2﹣4ac＞0；
③a＋b＋c＜0；
④对于图象上的两点（﹣5，m）、（1，n），有m＜n．
其中正确信息的个数有（       ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【典例8】若二次函数的图像如图所示，则下列说法不正确的是（       ）

A．当时， B．当时，y有最大值
C．图像经过点 D．当时，
【即学即练】如图，抛物线过点，，顶点在第四象限，记，则P的取值范围是（       ）

A． B． C． D．不能确定
考法05 二次函数图象特征与系数之间的关系
【典例9】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，则下列结论中不正确的是(　　)

A．abc<0 B．b=－4a C．4a+2b≥m(am+b) D．a－b＋c>0
【即学即练】已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（       ）
A． B．
C． D．
【典例10】己知二次函数的图象如图，则下列结论：
（1）
（2）方程一定有两个不相等的实数根
（3）y随x的增大而增大
（4）一次函数的图象一定不过第二象限，
其中正确的个数是(     )   

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【即学即练】一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则下列说法错误的是（　　）

A．ax2+2ax﹣b＞kx﹣c时，n＜x＜m
B．当x≥0时，ax2+2ax+c≤c
C．若（﹣，y1）在二次函数y＝ax2+2ax+c图象上，则y1＜c
D．﹣ac+bk＞0
考法06 二次函数图象的平移
【典例11】将抛物线y＝﹣3x2＋1向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得的抛物线解析式为（       ）
A．y＝﹣3（x＋2）2 B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣1
C．y＝﹣3（x＋1）2﹣1 D．y＝﹣3（x﹣1）2＋3
【即学即练】将抛物线图像先向上平移个单位，再向左平移个单位后的解析式是(       )
A． B．
C． D．
【典例12】在平面直角坐标系中，若抛物线经一次变换后得到抛物线，则这个变换可以是（       ）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向上平移8个单位 D．向下平移8个单位
【即学即练】将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（        ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
考法07 二次函数y=ax2+bx+c的最值
【典例13】二次函数=+4+的最大值为3，则的值为（   ）
A．－4 B．－1 C．1 D．4
【即学即练】已知二次函数y=mx2+2mx-1（m＞0）的最小值为-5，则m的值为（          ）
A．-4 B．-2 C．2 D．4
【典例14】已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（       ）．
A．有最大值－1，有最小值－2 B．有最大值0，有最小值－1
C．有最大值7，有最小值－1 D．有最大值7，有最小值－2
【即学即练】已知二次函数，当自变量x取值在范围内时，下列说法正确的是（          ）
A．有最大值14，最小值－2 B．有最大值14，最小值7
C．有最大值7，最小值－2 D．有最大值14，最小值2
分层提分

题组A 基础过关练
1．将二次函数y=(x−1)2+2的图像向上平移3个单位，得到的图像对应的函数表达式是（）
A． B． C． D．
2．若点A（-3，y1）,B（，y2）,C（2，y3）在二次函数的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是（        ）
A． B． C． D．
3．二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标分别是（       ）
A．向下，直线x=－3，(－3，1) B．向上，直线x=3，(3， 1)
C．向下，直线x=－3，(－3，－1) D．向上，直线x=3，(－3，1)
4．对于抛物线，下列判断正确的是（    ）
A．顶点
B．抛物线向左平移个单位长度后得到
C．抛物线与轴的交点是
D．当时，随的增大而增大
5．二次函数的最小值是（       ）
A． B．3 C．4 D．5
6．抛物线的对称轴是直线（       ）
A．x=2 B．x=0 C．y=0 D．y=2
7．二次函数：
①；②；③；④；⑤；⑥．
（1）以上二次函数的图象的对称轴为直线x=－1的是__________(只填序号)；
（2）以上二次函数有最大值的是_______________(只填序号)﹔
（3）以上二次函数的图象中关于x轴对称的是________________(只填序号)．
8．抛物线y=(a−1)x2−2x+3在对称轴左侧，y随x的增大而增大，则a的取值范围是________．
9．在同一平面直角坐标系中作出和的图象．
10．说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)
(2)
(3)
题组B 能力提升练
1．已知（1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）都是抛物线y＝﹣2x2﹣8x+3图象上的点，则下列各式中正确的是（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y2＜y3
2．二次函数的图象如图所示，，则下列判断正确的是（       ）

A． B． C． D．
3．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x＝1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b＝0；②4a﹣2b+c＞0；③abc＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．其中正确的是（　　）

A．①② B．①③ C．①④ D．②③
4．将抛物线y＝﹣x2向右平移2个单位，再向下平移3个单位后所得新抛物线的顶点是(     )
A．（2，﹣3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣2，3）
5．已知抛物线y=mx2+nx和直线y=mx+n在同一坐标系内的图像如图，其中正确的是（          ）
A． B．
C． D．
6．怎么样才能由的图像经过平移得到函数的图像呢？
小亮说：先向左平移6个单位长度，再向上平移7个单位长度；
小丽说：先向上平移7个单位长度，再向右平移6个单位长度．
对于上述两种说法，正确的是（       ）
A．小亮对 B．小丽对
C．小亮、小丽都对 D．小亮、小丽都不对
7．在平面直角坐标．若点A，B是抛物线上两点，若点A，B的坐标分别为则m______n（填“＞”“＜”“＝”）
8．将抛物线y＝ax2＋bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则4a﹣2b﹣1的值是___．
9．已知函数是二次函数．
(1)求m的值；
(2)用配方法确定该函数的顶点坐标和对称轴．
10．已知二次函数.
(1)将化成的形式；
(2)画出该二次函数的图象，并写出其对称轴和顶点坐标；

(3)当x取何值时，y随x的增大而减小．
题组C 培优拔尖练
1．关于二次函数的图象，下列结论正确的是（       ）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．顶点纵坐标是－3 D．当时，函数值随值的增大而增大
2．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（     ）．

A． B． C． D．
3．已知二次函数，则关于该函数的下列说法正确的是（     ）
A．该函数图象与轴的交点坐标是
B．当时，的值随值的增大而减小
C．当取和时，所得到的的值相同
D．当时，有最大值是
4．如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④．

正确结论的个数为（       ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知点，均在抛物线上，若，，则（       ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
6．如图，在正方形中，，点P从点A出发沿路径向终点C运动，连接，作的垂直平分线与正方形的边交于M，N两点，设点P的运动路程为x，的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（       ）

A．B．C．D．
7．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是________．
8．已知抛物线的顶点为P，与x轴相交于M，N两点（点M在点N左侧），平移此抛物线，使点P平移后的对应点落在x轴上，点M平移后的对应点落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为________．
9．已知二次函数y＝x2﹣3x+．
(1)请把二次函数的解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式（直接写出结果），并写出图象的顶点坐标和对称轴；
(2)请在如图所示的坐标系内画出函数的图象（不必列表）．

10．某商家出售一种商品的成本价为20元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种商品每天的销售利润为w元．
(1)求w与x之间的函数关系式；
(2)该商品销售价定为每干克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种商品的销售价不高于每千克28元，该商家想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？