初中2 圆的对称性精品课后测评

第12讲  圆的对称性

知识点01  圆的对称性

1. 圆的对称性

圆的对称轴是任意一条过    的直线。

注意：

①圆的对称轴是直线，不能说直径是它的对称轴，而应该说“直径所在的直线”或“经过圆心的直线”是它的对称轴；

②圆的对称轴有无数条。

2. 圆是中心对称图形

圆是以    为对称中心的中心对称图形。实际上一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这种性质是圆的旋转不变性，圆的中心对称性是其旋转不变性的特例。

知识点02  圆心角、弧、弦的关系

1. 圆心角

角的顶点在    ，角的两边与圆有两个交点，这样的角叫做圆心角。

2. 弦心距

圆心到弦的距离（圆心到弦的垂线段的长）叫做弦心距。

3. 圆心角、弧、弦的关系：
（1）定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧    ，所对的弦也    ．

（2）推论

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
注意：

①一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；
②注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.
实际上，在同圆或等圆中，相等的圆心角不但所对的弧相等，所对的弦相等，而且所对弦的弦心距也相等。同理，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

考法01   利用圆心角、弧、弦的关系求解

【典例1】如图，是的直径，点E在上，点D，C是的三等分点，，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

【即学即练】如图，等腰三角形ABC的顶角，以腰AB为直径作圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的度数是（    ）

A．18° B．36° C．72° D．80°

考法02   利用圆心角、弧、弦的关系求证

【典例2】如图所示，A、B、C、D是⊙O上的点，，下列结论错误的是（　　）

A．   B．    C． D．

【即学即练】如图，AB是⊙O的直径，弦MN∥AB，分别过M，N作AB的垂线，垂足为C，D．以下结论：①AC＝BD；②；③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；④若M为的中点，则D为OB中点；所有正确结论的序号是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①② D．①②③④

题组A  基础过关练

1．如图，是的直径，已知，，那么的度数为（    ）

A． B． C． D．

2．如图，在中，．若以点C为圆心，长为半径的圆与交于点D，则的度数为（　　）

A． B． C． D．

3．在⊙O中，弦AB等于圆的半径，则它所对应的圆心角的度数为（　　）

A．120° B．75° C．60° D．30°

4．下列说法中，正确的个数为（　　）

（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；

（2）优弧一定比劣弧长；

（3）弧相等则所对的圆心角相等；

（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝（　　）

A．42° B．48° C．21° D．16°

6．如图，将命题“在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等”改写成“已知……求证……”的形式，下列正确的是（   ）

A．已知：在⊙O中，＝．求证：∠AOB＝∠COD，AD＝BC．

B．已知：在⊙O中，＝．求证：∠AOB＝∠COD，AB＝CD．

C．已知：在⊙O中，＝，∠AOB＝∠COD．求证：AD＝BC．

D．已知：在⊙O中，＝，∠AOB＝∠COD．求证：AB＝CD．

7．已知上有两点、，且圆心角，则劣弧的度数为_________．

8．弦AB把⊙O分成两条弧，它们的度数的比是4：5，则这两条弧的度数分别为__________．

9．已知：如图所示，A，B，C，D是⊙上的点，且，，求的度数．

10．如图，已知AB、CD是⊙O的直径，DF∥AB交⊙O于点F，BE∥DC交⊙O于点E.

（1）求证：BE=DF；

（2）写出图中4组不同的且相等的劣弧(不要求证明).

题组B  能力提升练

1．下列说法中，不正确的是（    ）

A．过圆心的弦是圆的直径 B．等弧的长度一定相等

C．周长相等的两个圆是等圆 D．直径是弦，半圆不是弧

2．如图，的弦、的延长线相交于点，，，的度数是（    ）．

A． B． C． D．

3．在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为(   )

A．30° B．45° C．60° D．90°

4．在同圆中，若弧和弧都是劣弧，且弧弧，那么和的大小关系是（   ）

A． B． C． D．无法比较它们的大小

5．如图，A，B是上的点，，C是的中点， 若的半径为2，则四边形ACBO的面积为（　　）

A． B．2 C．4 D．

6．如图，是弧所在圆的圆心．已知点B、C将弧AD三等分，那么下列四个选项中不正确的是（    ）

A． B． C． D．．

7．如图，在⊙O中，直径，则弦AC所对圆周角为______．

8．如图，在同圆中，若，则______．（“”“”或“”）

9．如图，已知是的直径，弦．

(1)求证：弧弧；

(2)若弧AC的度数为，求的度数．

10．已知AB是⊙O的直径．

（1）如图①，，∠MON＝35°，求∠AON的大小；

（2）如图②，E，F是⊙O上的两个点，AD⊥EF于点D，若∠DAE＝20°，求∠BAF的大小．

题组C  培优拔尖练

1．如图，是的直径，若弧度数是，则的度数是（　　）

A． B． C． D．

2．如图，AB为的直径，，，劣弧BC的长是劣弧BD长的2倍，则AC的长为（    ）

A． B． C．3 D．

3．下列说法正确的个数有（　　）

①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等；⑤等弧所对的圆心角相等

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

4．如图，⊙是的外接圆，边的垂直平分线与相交于D点，若，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

5．如图，点C，D是劣弧上两点，CD∥AB，∠CAB＝45°，若AB＝6，CD＝2，则所在圆的半径长为（　　）

A． B． C．2 D．

6．如图，AB是半圆O的直径，小宇按以下步骤作图：

（1）分别以A、B为圆心，大于AO长为半径作弧，两弧交于P点，连接OP与半圆交于C点；

（2）分别以A、C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于Q点，连接OQ与半圆交于D点；

（3）连接AD、BD、BC，BD与OC交于E点．

根据以上作图过程及所作图形，下轮结论：①BD平分∠ABC；②BC∥OD；③CE＝OE．所有正确结论的序号是（   ）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

7．如图，四边形ABCD内接于，AB为的直径，C为弧BD的中点，若∠DAB=50°，则∠ADC= ______°．

8．如图，AB是⊙O的直径，弦，分别过M、N作AB的垂线，垂足为C、D，以下结论

①AC＝BD；

②AM＝BN；

③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；

④若M为弧AN的中点，则D为OB中点．

所有正确结论的序号是 ___．

9．如图，，，，在⊙O上，连接，相交于点．

（1）如图1，若，求证：；

（2）如图2，若，连接，，，求证：．

10．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD.

（1）求证：∠DAC=∠DBA；

（2）求证：PD=PF；

（3）连接CD，若CD=3，BD=4，求⊙O的半径