初中数学北师大版九年级下册5 确定圆的条件精品同步达标检测题

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第15讲 确定圆的条件
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课程标准
1.知道不在同一直线上的三个点确定一个圆；
2.会用尺规过不在同一条直线上的三个点作圆；
3.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念及外心的性质.
知识精讲

知识点01 确定圆的条件
由圆的定义可知，圆有两个要素：一个是圆心，另一个是半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。确定圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小。
（1）经过一个已知点能作无数个圆；
（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；
( 3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.
注意：
（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.
（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.
知识点02 三角形的外接圆和外心
1、三角形的外接圆
三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形称之为这个圆的内接三角形。
2、 三角形的外心
三角形外接圆的圆心，即三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是斜边中点；钝角三角形的外心在三角形的外部。即随三角形形状的变化，三角形外心的位置也发生变化，如图：

3、 三角形外心的性质
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径。
4、 三角形外接圆的作法
（1） 作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点；
（2） 以该交点为圆心，以交点到三角形任意一顶点的距离为半径作圆即可。
如图：

能力拓展

考法01 确定圆的条件
【典例1】下列说法中，正确的是（     ）
A．三点确定一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等
C．长度相等的两条弧是等弧 D．周长相等的圆是等圆
【答案】D
【详解】解：A．不在同一条直线上的三点确定一个圆，选项说法错误，不符合题意；
B．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，选项说法错误，不符合题意；
C．在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，选项说法错误，不符合题意；
D．周长相等的圆是等圆，选项说法正确，符合题意；
故选D．
【即学即练】下列命题正确的是（    ）
A．长度相等的弧是等弧
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．不在同一直线上的三点确定一个圆
D．圆内接三角形一定是等边三角形
【答案】C
【详解】解：A、长度相等的弧是等弧是错误的，等弧是完全重合的两条弧，本选项不符合题意；
B、平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径，本选项不符合题意；
C、不在同一直线上的三点确定一个圆，正确，本选项符合题意；
D、圆内接三角形一定是等边三角形，错误，可以是任意三角形，本选项不符合题意．
故选：C
【典例2】下列说法：①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弧相等；③直径是圆中最长的弦；④经过不在同一直线上的三个点A、B、C只能作一个圆．其中正确的有（   ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故①错误；
同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故②错误；
直径是圆中最长的弦，故③正确；
经过不在同一直线上的三个点A、B、C只能作一个圆，故④正确，
综上所述，正确的有2个，
故选：B．
【即学即练】有下列说法：①任意三点确定一个圆；②圆的两条平行弦所夹的弧相等；③任意一个三角形有且仅有一个外接圆；④平分弦的直径垂直于弦；⑤直径是圆中最长的弦，其中错误的个数有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【详解】解：不在同一直线上的三点确定一个圆，故①错误；
圆的两条平行弦所夹的弧相等，故②正确；
任意一个三角形有且仅有一个外接圆，故③正确；
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故④错误；
直径是圆中最长的弦，故⑤正确．
综上可知错误的个数有2个．
故选A．
考法02 三角形外心的应用
【典例3】如图，已知是的外心，，分别是，的中点，连接，，分别交于点，．若，，，则的面积为（     ）

A．72 B．96 C．120 D．144
【答案】B
【详解】如图，连接AF，AD，AE，BE，CE，

∵点E是△ABC的外心，
∴AE=BE=CE，
∴△ABE，△ACE是等腰三角形，
∵点P、Q分别是AB、AC的中点，
∴PE⊥AB，QE⊥AC，
∴PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，
∴AF=BF=10， AD=CD=8，
在△ADF中，∵，
∴△ADF是直角三角形，∠ADF=90°，
∴S△ABC= ，
故选：B．
【即学即练】如图，已知点是的外心，点、分别是、的中点，连接、分别交于点、，若，，，则的面积为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，连接AF，AD，AE，BE，CE，

∵点E是的外心，
∴，
∴，是等腰三角形，
∵点、分别是、的中点，
∴，，
∴PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，
∴，，
在中，∵，
∴是直角三角形，，
∴，
故选：B．
【典例4】如图，锐角三角形ABC的三边是，它的外心到三边的距离分别为，那么等于（　　）

A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：如图经过三点，连接， 则，

在中，

∴
同理：
∴
∴
故选C．
【即学即练】以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是（　　）
A．8，8，8 B．4，10，10 C．5，12，13 D．6，8，10
【答案】A
【详解】A、∵是等边三角形，设O是外心，

∴，平分，
∴，
∴，
∴的外接圆的半径为，
B、∵是等腰三角形，

过点A作于D，延长交于E，
∵，
∴，，
∴是的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴外接半径为，
C、∵，
∴此三角形是直角三角形，
∴此三角形外接圆的半径为，
D、∵，
∴此三角形是直角三角形，
∴此三角形外接圆的半径为5，
∴其外接圆半径最小的是A选项，
故选：A．
考法03 三角形外接圆的应用
【典例5】如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，3）、（5，3）、（1，－1），则△ABC外接圆的圆心坐标是（    ）

A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2）
【答案】B
【详解】解：连接AB、AC，分别作AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点P，

则点P为△ABC外接圆的圆心，
由题意得：点P的坐标为（3，1），即△ABC外接圆的圆心坐标是（3，1），
故选：B．
【即学即练】如图，已知平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（    ）

A．（6，8） B．（4，5） C．（4，） D．（4，）
【答案】C
【详解】解：∵⊙P经过点A、B、C，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∴点P的横坐标为4，
设点P的坐标为（4，y），
作PE⊥OB于E，PF⊥OC于F，
由题意得：，
解得，y，
故选：C．

【典例6】如图，已知点是的外心，连结，，若，则的度数是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵点O为的外心，，
∴，
故选：C．
【即学即练】．如图，已知点O是的外心，，连结，则的度数是（     ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，

∵点O是的外心，，
∴，
∴，
故选：B．
分层提分

题组A 基础过关练
1．三角形的外心具有的性质是（    ）
A．外心在三角形外 B．外心在三角形内
C．外心到三角形三边距离相等 D．外心到三角形三个顶点距离相等
【答案】D
【详解】解：A．外心不一定在三角形外，错误；
B．外心不一定在三角形内，错误；
C．外心到三角形三角距离相等，错误；
D．外心到三角形三个顶点距离相等，正确；
故选D．
2．是的外接圆，则点O是的（    ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
【答案】A
【详解】解：∵是的外接圆，
∴点O是的三条边的垂直平分线的交点．
故选：A．
3．下列说法中， 正确的是（　　）
A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径必垂直弦
C．任何三角形有且仅有一个外接圆 D．等腰三角形的外心一定在这个三角形内
【答案】C
【详解】解：A．若三点在同一直线上，不能确定一个圆，选项说法错误，不符合题意；
B．两条直径互相平分但不一定垂直，选项说法错误，不符合题意；
C．根据外接圆的性质，任何三角形有且仅有一个外接圆，选项说法正确，符合题意；
D．等腰直角三角形的外心在三角形斜边的中点，不在三角形内，选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
4．直角三角形的两边长分别为和，则此三角形的外接圆半径是（     ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】B
【详解】解：由勾股定理可知： ①当直角三角形的斜边长为时，这个三角形的外接圆半径为； ②当两条直角边长分别为和，则直角三角形的斜边长 因此这个三角形的外接圆半径为．
综上所述：这个三角形的外接圆半径等于或．
故选：B
5．课下小亮和小莹讨论一道题目：“已知点O是的外心，，求”．小亮的解答为：如图，画以及它的外接圆O，连接，由，得．而小莹说：“小亮考虑的不周全，应该还有另一个不同的值”．下列判断正确的是（    ）

A．小亮求的结果不对，应该是 B．小莹说的不对，就是
C．小莹说的对，的另一个值是 D．两人说的都不对，的值有无数个
【答案】C
【详解】解：如图所示：还应有另一个不同的值与互补，
故．
故选：C．

6．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：连接，作的垂直平分线，如图所示：

在的垂直平分线上找到一点，则满足：
，
点是过、、三点的圆的圆心，
即的坐标为，
故选：C．
7．已知一个直角三角形的两直角边长分别为6和8．设它的外接圆半径长为R，内切圆半径长为r，则______．
【答案】3
【详解】如图所示：
∵，，
∴，
∴外接圆半径为5，
∴，
设内切圆半径长为r，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．

故答案为：3
8．如图，点是的外心，连接、，若，则的度数为___________．

【答案】##140度
【详解】点是的外心

是等腰三角形


故答案为：
9．如图，在直角坐标系中，的顶点坐标分别为．

(1)请在图中标出外接圆的圆心C，并写出点C的坐标．
(2)在直角坐标系的第三象限，画出以点O为位似中心，与位似的图形，使它与的相似比为，并写出点A，B对应点的坐标．
【答案】(1)图见解析，
(2)图见解析，，
【详解】（1）解：如图所示，找到线段和的垂直平分线的交点

∴
∴点C即为外接圆的圆心；
∴；
（2）如图所示，即为所要求作的三角形，
∴，．

10．如图，已知．

（1）用直尺和圆规作出，使经过A，C两点，且圆心O在边上（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）中，若，且的半径为1，试求出的长．
【答案】（1）见解析；（2）2
【详解】解：（1）∵A、C在圆上且圆心O在边上
∴圆心O是AC的中垂线与AB的交点
故作出AC的中垂线，与AB的交点即为圆心O，再以OA为半径作圆即可.
如图所示：即为所求.

（2）连接CO
∵，
∴∠ACB=180°－∠CAB－∠B=90°
∵的半径为1
∴OA=OC=1
∴∠OCA=∠OAC=30°
∴∠OCB=∠ACB－∠OCA =60°
∴OB=OC=1
∴AB=OA＋OB=2
题组B 能力提升练
1．以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是（  ）
A．8，8，8 B．4，10，10 C．4，8，10 D．6，8，10
【答案】A
【详解】A、∵是等边三角形，设O是外心，

∴，平分，
∴，
∴，
∴的外接圆的半径为，
B、∵是等腰三角形，

过点A作于D，延长交于E，
∵，
∴，，
∴是的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴外接半径为，
C、作于点D，作直径，连接，

在中，，
在中，，
∴，
即,
解得，
由勾股定理得，
，
∵为圆的直径，
∴，
∴，又，
∴，
∴，即，
解得，
则外接圆半径，
D、∵，
∴此三角形是直角三角形，
∴此三角形外接圆的半径为5，
∴其外接圆半径最小的是A选项，
故选：A．
2．如图，，，，，则外心的坐标为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，取格点，，，，则直线是线段的垂直平分线，四边形是正方形，

∴直线是线段的垂直平分线，
记，的交点为，则为的外心，
∵，，，
∴直线为，，，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为，
当时，，
∴，即的外心坐标为：．
故选C．
3．如图，已知点，直线l经过A、B两点，点为直线l在第一象限的动点，作的外接圆，延长交于点Q，则的面积最小值为（　　）

A．4 B．4.5 C． D．
【答案】D
【详解】解：∵点，
∴，
在中，，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积=，
∴当最小时，的面积最小，
∴当时，最小，
∵的面积，
∴，
∴，
∴的面积的最小值，
故选：D．
4．已知内接于，连接，，，设，，．则下列叙述中正确的有（    ）
①若，，且，则；
②若，则；
③若，，则；
④若，，则．
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】A
【详解】解：①如图1：

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，即：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴
∴，故①正确；
②如图2，

，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③如图3，

∵，
∴，
∴，
∴，故③不正确；
④如图3，，故④不正确；
综上：①②正确，
故选A．
5．如图，在平面直角坐标系中，等边的边在轴正半轴上，点，，点、分别从、以相同的速度向、运动，连接、，交点为，是轴上一点，则的最小值是（    ）

A．3 B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，是等边三角形，
，，
点、分别从、以相同的速度向、A运动，
，
在和中，，
(SAS)，
，

，
点是经过点A，，的圆上的点，记圆心为，在上取一点，使点和点在弦的两侧，连接，，
，
连接，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，，
，，
过点作，
，
在△中，，，
，
，，
设，

，
只有时，最小为0，即最小为6．
当时，即：时，最小，
．
故选：D．

6．如图，在等边中，，点为的中点，动点分别在上，且，作的外接圆，交于点．当动点从点向点运动时，线段长度的变化情况为（    ）

A．一直不变 B．一直变大 C．先变小再变大 D．先变大再变小
【答案】D
【详解】如图，连接BO， EO， FO， GO， HO，过点O作ON⊥EF于N， OP⊥GH于P，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°
∴∠EOF= 120，
∵OE= OF， ON⊥EF，
∠OEF=∠OFE= 30°
EN= FN=，
OF= 2ON， FN =ON，
ON= 1，FO= 2，
OB=GO=OH=2，
∴点O在以点B为圆心，2为半径的圆上运动，
∴ OG = OH， OP⊥GH，
∴GH = 2PH，
∵PH=

∵动点E从点D向点A运动时，OP的长是先变小再变大，
∴ GH的长度是先变大再变小，
故选： D．
7．如图，在中，，，，则此的重心与外心之间的距离为______．

【答案】
【详解】解∶根据题意可知，C、P、Q三点共线．
在中，，

的外心为，
为斜边的中点，
，
的重心为，
．
故答案为∶．
8．如图，在中，，，点、分别在边、上，点为边的中点，，连接、相交于点，则面积最大值为 __．

【答案】
【详解】解：如图1，作交的延长线于点，则，

，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
当最大时，则最大；
作的外接圆，作于点，于点，于点，连接，
，
四边形是矩形，
，
，
，
即，
当点与点重合，即、、三点在同一条直线上时，最大，此时最大；
如图2，的外接圆，于点，点在的延长线上，连接、，

，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
面积最大值为，
故答案为：．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，．、

(1)以点为位似中心，将缩小为原来的得到，请在轴下方画出；点为内的一点，则点在内部的对应点的坐标为_______．
(2)外接圆的圆心坐标为_______，外接圆的半径是_______．
【答案】(1)
(2)，
【详解】（1）解：如图

根据位似变换的性质，
故答案为
（2）解：如图，点即为所求，
点坐标为
半径
故答案为，

10．如图，在为直径的中，已知弦于点，且，，点是优弧上的一个动点，连接，过点作于点，交于点，连接．

(1)求的长；
(2)当点在运动过程中，求的最小值；
(3)在（2）的条件下，求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，．
（2）如图，∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
作的垂直平分线交于，如图，连接，
∵，,，
∴为等边三角形，
∴,，
∴是的垂直平分线，
∴为的外心，
∴在以为圆心，为半径的上运动，
当，，三点共线时，最小，此时，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
而，
∴，
∴．
（3）在（2）的条件下，，，三点共线，
如（2）中的图，过作于，而，
则，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴．
题组C 培优拔尖练
1．下列说法正确的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．对角线相等的四边形是矩形
C．三角形的外心是它的三条角平分线的交点
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
【答案】D
【详解】解：A、根据对顶角的概念可知，相等的角不一定是对顶角，故该选项不符合题意；
B、根据矩形的判定“对角线相等的平行四边形是矩形”可知该选项不符合题意；
C、根据三角形外心的定义，外心是三角形外接圆圆心，是三角形三条边中垂线的交点，故该选项不符合题意；
D、根据线段垂直平分线的性质可知该选项符合题意；
故选：D．
2．如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与，重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④，其中一定正确的结论有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∴，
∴∠ADB=∠BDC，故①正确；
∵点是上一动点，
∴不一定等于，
∴DA=DC不一定成立，故②错误；
当最长时，DB为圆O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵是等边的外接圆，∠ABC=60°，
∴BD⊥AC，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴，故③正确；
如图，延长DA至点E，使AE=DC，

∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∵∠BAE+∠BAD=180°，
∴∠BAE=∠BCD，
∵AB=BC，AE=CD，
∴△ABE≌△CBD，
∴BD=AE，∠ABE=∠DBC，
∴∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=∠ABC=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE=BD，
∵DE=AD+AE=AD+CD，
∴，故④正确；
∴正确的有3个．
故选：C．
3．如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（    ）

A． B．AD一定经过的重心
C． D．AD一定经过的外心
【答案】C
【详解】解：∵AD平分∠BAC，
∴，故C正确；
在△ABD中，由三角形三边关系可得，故A错误；
由三角形的重心可知是由三角形三条中线的交点，所以AD不一定经过的重心，故B选项错误；
由三角形的外心可知是由三角形三条边的中垂线的交点，所以AD不一定经过的外心，故D选项错误；
故选C．
4．如图，在中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图所示，正方形的顶点都在同一个圆上，
圆心在线段的中垂线的交点上，即在斜边的中点，且AC=MC，BC=CG，
∴AG=AC+CG=AC+BC，BM=BC+CM=BC+AC，
∴AG=BM，
又∵OG=OM，OA=OB，
∴△AOG≌△BOM，
∴∠CAB=∠CBA，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
，


，
．

故选：C．
5．如图，中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA =3，则外接圆的面积为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，AD是的平分线
，且AD是BC边上的中线（等腰三角形的三线合一）
是BC的垂直平分线
是AC的垂直平分线
点O为外接圆的圆心，OA为外接圆的半径

外接圆的面积为
故选：D．
6．如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是

A．当弦PB最长时，ΔAPC是等腰三角形 B．当ΔAPC是等腰三角形时，PO⊥AC
C．当PO⊥AC时，∠ACP=30° D．当∠ACP=30°时，ΔPBC是直角三角形
【答案】C
【详解】当弦PB最长时，PB是⊙O的直径，所以根据等边三角形的性质，BP垂直平分AC，从而根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质得PA=PC，即ΔAPC是等腰三角形，判断A 正确；
当ΔAPC是等腰三角形时，根据垂径定理，得PO⊥AC，判断B正确；
当PO⊥AC时，若点P在劣弧AC上，则∠ACP=30°，若点P在优弧AC上，则点P与点B重合，∠ACP=60°，则∠ACP=60°，判断C错误；
当∠ACP=30°时，∠ABP=∠ACP=30°，又∠ABC=60°，从而∠PBC=30°；又∠BPC=∠BAC=60°，所以，∠BCP=90°，即ΔPBC是直角三角形，判断D正确．
故选C．
二、填空题
7．如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来__________________________．

【答案】△ADC、△BDC、△ABD
【详解】由网格图可知O点到A、B、C三点的距离均为：，
则外接圆半径，
图中D点到O点距离为：，
图中E点到O点距离为：，
则可知除△ABC外把你认为外心也是O的三角形有：△ADC、△ADB、△BDC，
故答案为：△ADC、△ADB、△BDC．
8．如图，在正方形中，点O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接、，交于G，现有以下结论：①；②；③；④为定值；⑤．以上结论正确的有________（填入正确的序号即可）．

【答案】①②③⑤
【详解】解：∵四边形是正方形，，
∴∠APF=∠ABC=∠ADE=∠C=90°，AD=AB，∠ABD=45°，
①∵，
∴由四边形内角和可得，
∴点A、B、F、P四点共圆，
∴∠AFP=∠ABD=45°，
∴△APF是等腰直角三角形，
∴，故①正确；
②把△AED绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，如图所示：

∴DE=BH，∠DAE=∠BAH，∠HAE=90°，AH=AE，
∴，
∵AF=AF，
∴△AEF≌△AHF（SAS），
∴HF=EF，
∵，
∴，故②正确；
③连接AC，在BP上截取BM=DP，连接AM，如图所示：

∵点O是对角线的中点，
∴OB=OD，，
∴OP=OM，△AOB是等腰直角三角形，
∴，
由①可得点A、B、F、P四点共圆，
∴，
∵，
∴△AOP∽△ABF，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确；
④过点A作AN⊥EF于点N，如图所示：

由②可得∠AFB=∠AFN，
∵∠ABF=∠ANF=90°，AF=AF，
∴△ABF≌△ANF（AAS），
∴AN=AB，
若△AEF的面积为定值，则EF为定值，
∵点P在线段上，
∴的长不可能为定值，故④错误；
⑤由③可得，
∵∠AFB=∠AFN=∠APG，∠FAE=∠PAG，
∴△APG∽△AFE，
∴，
∴，
∴，
∴，故⑤正确；
综上所述：以上结论正确的有①②③⑤；
故答案为①②③⑤．
三、解答题
9．中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：
原文
释义
甲乙丙为定直角．
以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；
以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；
再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；
乙与己及庚相连作线．
如图2，为直角．
以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线，分别于点，；
以点为圆心，以长为半径画弧与交于点；
再以点为圆心，仍以长为半径画弧与交于点；
作射线，．


(1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）完成的图，直接写出，，的大小关系．
【答案】(1)见解析
(2)
解：（1）如图：

（2）
．
理由：连接DF，EG如图所示

则BD=BF=DF，BE=BG=EG
即和均为等边三角形
∴
∵
∴
10．如图，在中，．
（1）尺规作图：作的外接圆；作的角平分线交于点D，连接AD．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AC =6，BC =8，求AD的长．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）作图如下：

（2）连接AD，OD，如图所示

由（1）知：平分，且°
∴°
∴°
在中，，
∴，即
在中，