初中数学北师大版九年级下册1 圆精品一课一练

第16课  直线和圆的位置关系

知识点01  直线与圆的位置关系

1.切线的定义：

  直线与圆有   的公共点时，这条   叫做         ，这个              叫做          .此时直线与圆的位置关系称为相切.

2．直线和圆的三种位置关系：
　　(1)   ：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交．
　　(2)   ：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切．这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点．
　　(3)   ：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离．
3．直线与圆的位置关系的判定和性质．
　　直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？
　　由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．
　　　　　　　　
　   一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：　

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么，

（1）d＜r直线l与⊙O相交；

（2）d=r直线l与⊙O相切；
（3）d＞r直线l与⊙O相离.

注意：
   这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．

知识点02 切线的性质定理和判定定理

1、切线的性质定理：
　　圆的切线                .

注意：
　　切线的性质定理中要注意：圆的切线是与过切点的半径垂直，不是与任意半径都垂直.

2、切线的性质定理推论

（1）经过圆心且垂直于切线的直线     。

（2）经过切点且垂直于切线的直线       。

3、切线的判定定理：
　　过            且                是圆的切线.
注意：
　　切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.

4、切线的其他判定方法

（1）根据定义：和圆                    是圆的切线。

（2）根据数量关系：               是圆的切线。

知识点03 三角形的内切圆和内心

1．三角形的内切圆：
　　与                叫做            .
2．三角形的内心：
　　三角形内切圆的圆心是三角形            的交点，叫做三角形的    . 三角形   的                    都   .

3．三角形内心与外心的对比

注意：
　　(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
　　(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).

考法01   直线与圆的位置关系的应用

【典例1】已知的半径为3，圆心O到直线的距离为5，则直线与的位置关系（    ）

A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切

【即学即练】已知的半径等于5，点P在直线l上，圆心O到点P的距离为5，那么直线l与的位置关系是（    ）

A．相切 B．相交 C．相切或相离 D．相交或相切

【典例2】平面内，的半径为3，若直线与相离，圆心到直线的距离可能为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【即学即练】在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径作圆，为上一点，若点的坐标为，则线段的最小值为（　　）

A．3 B．2 C．4 D．2

考法02  切线的性质的实际应用

【典例3】如图，直线AE与四边形ABCD的外接圆相切于A点．若∠DAE＝12°， ，则∠ABC的度数是（    ）

A．64° B．65° C．67° D．68°

【即学即练】如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD、OA，若∠ADC=30°，则∠ABO的度数为（  ）

A．25° B．20° C．30° D．35°

【典例4】如图，，是的两条切线，A，B是切点，若，则的度数为（　　）

A． B． C． D．

【即学即练】如图所示，是的外接圆，为的直径，过点作的切线，交的延长线于点D．若，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

考法03  三角形内切圆的有关计算

【典例5】如图，圆O是的内切圆，与各边的切点分别为D、E、F，若图中3个阴影三角形的面积之和为4，内切圆半径为1，则的周长为（　　）

A．4 B．8 C．12 D．16

【即学即练】如图，等边内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与的面积之比是（    ）

A． B． C． D．

【典例6】如图，点 O 是△ABC 的内心，也是△DBC 的外心．若∠A＝80°，则∠D 的度数是（    ）

A．60° B．65 C．70° D．75°

【即学即练】如图，在△ABC中，∠BOC＝140°，I是内心，O是外心，则∠BIC＝（    ）度

A．70 B．135 C．55 D．125

题组A  基础过关练

1．已知与直线相交，且圆心O到直线的距离是方程的根，则的半径可为（    ）．

A．1 B．2 C．2.5 D．3

2．如图，为的直径，点C为上的一点，过点C作的切线，交直径的延长线于点D；若，则的度数是（ ）

A．23° B．44° C．46° D．57°

3．已知平面内有和点A，B，若半径为2cm，线段，，则直线与的位置关系为（　　）

A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切

4．若，，则以点O为圆心，为半径的圆与直线的位置关系是（    ）

A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定

5．中，，，，若以点C为圆心，以r为半径的圆与所在直线相交，则r可能为（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．3

6．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（    ）

A． B．1 C．或 D．1或3

7．如图，内接于，直线与相切于点B，若，则＝_____．

8．已知⊙O的半径为R，点O到直线m的距离为d，R、d是方程的两根，当直线m与⊙O相切时，_______．

9．如图，线段经过圆心，交于点、，点在上，连接、，，是的切线吗？请说明理由．

10．如图，是的直径，点D在的延长线上，C为上的一点，，．

(1)求的度数；

(2)求证：是的切线．

题组B  能力提升练

1．如图，正方形的顶点A、D在上，边与相切，若正方形的周长记为，的周长记为，则、的大小关系为（　　）

A． B． C． D．无法判断

2．在等腰直角三角形中，，点O为的中点，以O为圆心作交于点M、N，与、相切．切点分别为D、E，则的半径和的度数分别为（    ）

A．2，30° B．3，30° C．3，22.5° D．2，22.5°

3．如图所示，已知是的内切圆，点是内心，若，则等于（　　）

A．  B．  C．  D．

4．点I是的内心，若，则的度数为（　　）

A． B． C． D．或

5．矩形ABCD的对角线BD=4，DE⊥AC于点E，则当∠DBE最大时，BE的长度为（　　）

A． B． C． D．2

6．在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别A、B．以为斜边在右上方作．设点C坐标为，则的最大值为（　　）

A． B． C．4 D．

7．如图，在矩形中，，，点E是的中点，连接，点O是线段上一点，的半径为1，如果与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是 __．

8．如图，在中，，，，半径为1的在内平移（可以与该三角形的边相切），则点A到上的点的距离的最大值为______．

9．如图，是的直径，是的切线，C为切点，，与相交于点E．

(1)如图1，求证；

(2)如图2，与相交于点F，若的半径为3，，求的长．

10．如图，在中，，点E是的中点，以为直径的与边交于点D，连接．

(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；

(2)若，求的直径．

题组C  培优拔尖练

1．如图，圆内接四边形的边过圆心，过点的切线与的延长线交于点．若点是弧的中点，且，则（    ）

A． B． C． D．

2．小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）域的概率为（    ）

A． B． C． D．

3．如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为（    ）

A．6.5 B．7 C．5.5 D．6

4．在平面直角坐标系中，以原点为圆心的半径是10，点的坐标是，则点与的位置关系是（    ）

A．点在内上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定

5．等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，，，其中固定，绕点A顺时针旋转一周，在旋转过程中，若直线与直线交点为P，则面积的最小值为（    ）  

A． B．4 C． D．

6．如图，如图，是的直径，点是上一点，与过点的切线垂直，垂足为，直线与的延长线交于点，弦平分，交于点，连接，．下列四个结论：①平分；②；③若，则阴影部分的面积为；④若，则．其中正确的是（    ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

7．如图，在直角梯形中，，E是上一定点，．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是 __．

8．如图，在矩形中，点为的中点，点为边上的动点，连结．将沿着翻折，使点的对应点恰好落在线段上．若三点共线，则的值为________；若，且这样的点有且只有一个时，则的长为________．

9．如图1，A，P，B，C是上的四个点，．

(1)若，判断的形状，并证明你的结论；

(2)如图2，若CP是的直径，，交于点E，过点A的切线交的延长线于点Q，若，，求的值．

10．如图，将含30°角的直角三角板绕其直角顶点C顺时针旋转α，得到与交于点D，过点D作交于点E，连接．设的面积为S．

(1)当时，求x的值．

(2)①求证为直角三角形；

②求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围．

(3)以点E为圆心，为半径作，当时，判断与的位置关系，并求相应的值．