数学九年级下册第三章 圆1 圆优秀课后作业题

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第18课 圆内接正多边形
目标导航

课程标准
1.知道圆内接正多边形的定义及相关概念；
2.认识正多边形与圆的关系；
3.会用尺规作一个圆的内接正六边形和正方形；
4.掌握正多边形边长、中心角及边心距的求法.
知识精讲

知识点01 圆内接正多边形的相关概念
1、 圆内接正多边形的定义
顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆。
2、 圆内接正多边形的相关概念

（1） 正多边形的中点：一个正多边形外接圆的圆心叫做正多边形的中心，如上图点O。
（2） 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径，如图中的OA,OB,OE。
（3） 正多边形的中心角：正多边形每条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，如图中的。
（4） 正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形的一条边的距离叫做正多边形的边心距，如图中的OM。
知识点02 正多边形的有关计算
与正多边形有关的计算公式（n为正多边形的边数，n3）：
（1） 正n边形的每个内角为
（2） 正n边形的每个中心角为
（3） 正n边形的每个外角为
（4） 正n边形的半径R、边心距r、边长a之间的关系为
（5） 若正n边形的边长为a，边心距为r，则正n边形的周长，面积
知识点03 圆内接正多边形的画法
可利用正多边形和外接圆的关系画正多边形，即作半径为R的正n（n3）边形，只要把半径为R的圆n等分，然后顺次连接各等分点即可。有如下两种方法：
1.用量角器等分圆
　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.
2.用尺规等分圆
　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
　　　①正四、八边形。
　 　
　　在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。　②正六、三、十二边形的作法。
　　
　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。
　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。
　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。
注意：
画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.
能力拓展

考法01 求正多边形的中心角以及边数
【典例1】如图，点为正五边形的中心，连接，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵点为正五边形的中心，
∴，
故选：D
【即学即练】如图，正六边形内接于，点在上，则的大小为（　　）

A．60° B．45° C．30° D．15°
【答案】C
【详解】解：连接，，

∵多边形是正六边形，
∴，
∴，
故选：C．
【典例2】如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ）

A．10 B．12 C．15 D．20
【答案】A
【详解】解：如图，作正多边形的外接圆，

∵，
∴，
∴这个正多边形的边数为．
故选：A．
【即学即练】如图，点，，在上，若，，分别是内接正三角形．正方形，正边形的一边，则（ ）

A．9 B．10 C．12 D．15
【答案】C
【详解】分别连接OB、OA、OC，如图所示

∵是内接正三角形的一边
∴∠BOC=
同理，可得：∠AOB=90°
∴∠AOC=∠BOC−∠AOB=30°
∵是正边形的一边
∴
∴n=12
故选：C．
考法02 正多边形和圆
【典例3】如图，的半径为，是的内接等边三角形，点在上．四边形为平行四边形，则平行四边形的面积是（　　）

A．4 B．4 C．2 D．2
【答案】A
【详解】解：连接、，如图，
四边形为平行四边形，
，
，
，
为的直径，
，
为等边三角形，
，
，
而，
，
在中，，，
矩形的面积．
故选：A．

【即学即练】如图，、、、是上的四点，，，，则的面积为（　　）

A． B． C．2 D．3
【答案】D
【详解】解：如图，过点作于点．

，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
的面积，
故选：D．
【典例4】如图，用六个全等的直角三角形恰好拼成一大一小两个正六边形，则大正六边形与小正六边形的周长之比为（    ）

A． B． C．2 D．3
【答案】B
【详解】解：如图，

∵，
∴，
∵，
∴，，
即，
∴，
∵正六边形正六边形，
∴正六边形的周长∶正六边形的周长．
故选：B．
【即学即练】由四个图1所示的四边形和四个图2所示的菱形拼成一个正八边形（如图3），则图3中阴影部分面积与空白部分面积之比为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】过图2中菱形的顶点B作于E，设图3中正八边形的中心点为点O，一边为，连接，过M点作于P，

设正八边形的边长为a，则，
由正八边形的性质可得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
空白部分面积的面积为：
，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴正八边形的面积为：，
∴阴影部分的面积为：
，
∴阴影部分面积与空白部分面积之比为
故选：B．
考法03 尺规作图——正多边形
【典例5】如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业：
甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）．
乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）．
对于两人的作业，下列说法正确的是（    ）

A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对
【答案】C
【详解】由甲同学的作业可知，，同理可知，
六边形是正六边形，即甲同学的作业正确．
由乙同学的作业可知．依次画弧可得．
六边形为正六边形，即乙同学的作业正确．
故选C
【即学即练】如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下：
甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求；
乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求；
对于甲、乙两人的作法，可判断（  ）

A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对
C．两人都不对 D．两人都对
【答案】D
【详解】甲：
∵BF是中垂线  
∴四边形OCDE是菱形   
∴△OCD, △OED都是等边三角形，
同理可得△OAB, △OAF也是等边三角形   
∴∠BOC=∠EOF=60°
∴△OBC, △OEF也是等边三角形
∴内接六边形各边相等，各角相等都是120°
∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形
乙：
∵AB=AO=BO=AF=OF
∴△OAB, △OAF都是等边三角形，
同理可得△OCD, △OED也是等边三角形   
∴∠BOC=∠EOF=60°
∴△OBC, △OEF也是等边三角形
∴内接六边形各边相等，各角相等都是120°
∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形
故选D
分层提分

题组A 基础过关练
1．内角为的正多边形是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵内角为的正多边形的每一个外角为：
∴正多边形的边数为：
故选B
2．已知的直径为4，则它的内接正六边形的面积为（    ）
A． B．12 C．24 D．
【答案】A
【详解】解：设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，

则∠AOB＝60°，OA＝OB＝×4＝2，
∴△OAB是正三角形，
∴AB＝OA＝2，
∵OC＝OA•sin∠A，
∴S△OABAB•OC
∴正六边形的面积为6．
故选：A．
3．如图，以点为圆心的两个同心圆把以为半径的大圆的面积三等分，这两个圆的半径分别为，．则的值是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：以OA半径的圆的面积是πr2，则以OB半径的圆的面积是πr2，则以OC半径的圆的面积是πr2
∴πr2，πr2，
∴OB＝r，OC＝r．
∴OA：OB：OC＝r：r：r＝ ：：1，
故选：C．
4．我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（    ）

A．12 B． C． D．
【答案】C
【详解】解：连接，交于点M，连接，

∵六边形是的内接正六边形，
∴，，
∴，
∵经过圆心O，
∴，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∴，
故选C．
5．如图，将正六边形放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若点的坐标为，则点的坐标为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：连接，设交轴于，如图所示，
∵点的坐标为，
∴，
由正六边形是轴对称图形知：
在中，，．
，，
，
故选：A．

6．如图，点是正六边形的中心，的两边，分别与，相交于点，，当时，下列说法错误的是（    ）

A． B．
C． D．与相等
【答案】C
【详解】解：如下图所示，连接．

点O是正六边形的中心，
，，，，．
，．
．
，
，．
故A选项不符合题意．
，
．
（AAS）．
，．
故D选项不符合题意．
．  
故B选项不符合题意．
．
．
故C选项符合题意．
故选：C
7．半径为3cm的圆内接正方形的对角线长为______cm，面积为______．
【答案】     6     18
【详解】解：如图所示，

四边形是的内接正方形，
，，
、是直径，
，
正方形的面积，
故答案为6，18．
8．如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠OCD的度数为_____°．

【答案】54
【详解】解：∵多边形ABCDE是正五边形，
∴∠COD==72°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=×（180°-72°）=54°，
故答案为：54．
9．如图，正六边形内接于，求的度数．

【答案】
【详解】解： 正六边形内接于，

是直径，


10．如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”．

(1)角的“接近度”定义：设正n边形的每个内角的度数为，将正n边形的“接近度”定义为．于是越小，该正n边形就越接近于圆，
①若，则该正n边形的“接近度”等于 ．
②若，则该正n边形的“接近度”等于______．
③当“接近度”等于______．时，正n边形就成了圆．
(2)边的“接近度”定义：设一个正n边形的外接圆的半径为R，正n边形的中心到各边的距离为d，将正n边形的“接近度”定义为．分别计算时边的“接近度”，并猜测当边的“接近度”等于多少时，正n边形就成了圆？
【答案】(1)①120；②18；③0
(2)时，；时，，当边的“接近度”等于0时，正n边形就成了圆
【详解】（1）解：①当时， ，
∴“接近度”等于；
故答案为：120
②当时， ，
∴“接近度”等于；
故答案为：18
③∵越小，该正n边形就越接近于圆，
∴当时，该正n边形就成了圆，
此时，
∴；
故答案为：0
（2）解：如图，当时，为正的外接圆，，

∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当时，为正六边形的外接圆，，

∴，
∴，
∴，
∴；
当边的“接近度”等于0时，正n边形就成了圆．
题组B 能力提升练
1．若正方形的外接圆半径为2，则其内接圆半径为（    ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【详解】解：如图：

∵正方形的外接圆半径为2，
∴ ，
又∵，
∴，即，
解得．
故选：A．
2．如图，已知正五边形内接于，连结BD，则的度数是（    ）

A．72° B．54° C．36° D．64°
【答案】C
【详解】解：连接，如图，

∵正五边形内接于，
∴，
∵，
∴．
故选：C
3．已知是半径为2的圆形纸板，现要在其内部设计一个内接正三角形的图案，则内接三角形的边长为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图所示：

∵是等边三角形，的半径为2，
∴在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，即它的内接正三角形的边长为，
故选：A．
4．用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：如图，①在上任取一点A，连接并延长交于点B；②以点B为圆心，为半径作圆弧分别交于C，D两点；③连接，并延长分别交于点E，F；④顺次连接，，，，，，得到六边形．连接，，交于点G，则下列结论错误的是（    ）

A．的内心与外心都是点G B．
C．点G是线段的三等分点 D．
【答案】D
【详解】解：在正六边形中，，
∵，
∴，，都是等边三角形，
∴，，
∴四边形，四边形都是菱形，
∴，，
∴的内心与外心都是点G，故A正确，
∵，，
∴，
∵，
∴，故B正确，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点G是线段F的三等分点，故C正确，
∵，，
∴，故D错误，
故选：D．
5．如图，点O为正六边形的中心，P、Q分别从点同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2021次相遇地点的坐标为（    ）

A． B．（1，0） C． D．（﹣1，0）
【答案】C
【详解】解：连接OB，如图所示，
∵，O为正六边形的中心，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
过B作于点G，则，，
∴，
∴，，
∵正六边形的边长＝1，
∴正六边形的周长＝6，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，
∴第1次相遇需要的时间为：（秒），
此时点P的路程为，点的Q路程为，
此时P，Q相遇地点的坐标在点，
以此类推：第二次相遇地点在点，
第三次相遇地点在点，…如此下去，
∵，
∴第2021次相遇地点在点E，E的坐标为，
故选：C．

6．如图，正五边形内接于，过点作的切线交对角线的延长线于点，则下列结论不成立的是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】五边形是正五边形，
，，
，
，
，
，故A不符合题意；
，
，故B不符合题意；
连接，过点A作于点H，则，

，，
，
，故C符合题意；
连接，

五边形是正五边形，
，
，
，
相切于，
，
，
，
，
，故D不符合题意；
故选：C．
7．如图，在正六边形ABCDEF中，设，，那么向量用向量、表示为______.

【答案】
【详解】连接，取的中点为O，连接，

∴，，
∴，
∴，
∴



故答案为：
8．如图，等边内接于，为边的中点，为上一动点，连接交于点，则的最大值为_________.

【答案】
【详解】解：如图，取的中点，连接，连接交于点,

∵是的中点，是的中点，
∴，
∴
当取得最大值，取得最小值时，取得最大值，
此时为直径，如图，

设，则，
在中，，
在中，，
∴，
∵是等边三角形
∴，,
∴,
∵,
∴．
故答案为：．
9．以圆内接正五边形为例证明：

如图，把分成相等的5段弧，依次连接各分点得到正五边形．
∵，
∴_______＝_______＝_________＝________，
∴，
∴_______，
同理，
又∵五边形的顶点都在上，
∴五边形是的___________，
是五边形的_____________．
【答案】，，，，，内接正五边形，外接圆
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
同理，
又∵五边形的顶点都在上，
∴五边形是的内接正五边形，
是五边形的外接圆．
故答案为：，，，，，内接正五边形，外接圆
10．如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度中⊙O上逆时针运动．

（1）求图①中∠APB的度数；
（2）图②中，∠APB的度数是 90°，图③中∠APB的度数是 72°；
（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．
【答案】（1）120°；（2）=，=；（3）能，∠APB=
【详解】（1）∠APB=120°（如图①）
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM=∠CBN，
又∵∠APN=∠BPM，
∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°，
∴∠APB=120°；
（2）同理可得：图②中∠APB=90°；图③中∠APB=72°．
（3）由（1），（2）可知，∠APB=所在多边形的外角度数，故在图n中，∠APB=．
题组C 培优拔尖练
1．圆内接正六边形的边长为2，则该圆内接正三角形的边长为（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【详解】如图（一），

∵圆内接正六边形边长为2，
∴，，
∵，
∴可得是等边三角形，圆的半径为2，
如图（二），

连接，过O作于D，
则根据内接正三角形的性质，可得，
即，
故．
故选：D．
2．如图，正五边形和正三角形都是的内接多边形，则的度数是（    ）

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：如图，连接．

是等边三角形，
，
，
是正五边形，
，
．
故选：C．
3．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则正五边形中心角∠COD的度数是（　　）

A．76° B．72° C．60° D．36°
【答案】B
【详解】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为=72°，
故选：B．
4．如图，是由边长为1的正六边形和六角星镶嵌而成的图案，则图中阴影部分的面积是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图所示，

∵正六边形的中心角为60°，
∴每个边长为1的正六边形由六个全等的等边三角形组成，
∴，，，
因此每个正六边形的面积为：，
图中未涂色部分面积等于16个正六边形的面积：．
整个图形是一个矩形，长为12，宽为，
矩形的面积为：，
因此图中阴影部分的面积是：，
故选C．
5．我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣"，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，……．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长，则．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率则圆周率约为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵十二边形是正十二边形，
∴，
∵于H，又，
∴，
∴圆内接正十二边形的周长，
∴
故选：A．

6．如图1所示的正六边形（记为“图形”）边长为6，将每条边三等分，沿每个顶点相邻的两个等分点连线剪下6个小三角形（如图1中6个阴影部分的三角形），把剪下的这6个小三角形拼接成图2外轮廓所示的正六边形（记为“图形”），作出图形的内切圆⊙O，如图3，得到如下结论：

①图1中剩余的多边形（即空白部分）为正十二边形；
②把图2中空白部分记作“图形”，则图形的周长之比为3：2：；
③图3中正六边形的边上任意一点到⊙O上任意一点的最大距离为4+．
以上结论正确的是（　　）
A．②③ B．①③ C．② D．①
【答案】A
【详解】解：标注字母如图，过点作于

，为的三等分点，为是三等分点
，
∵正六边形的每一个内角为
∴中，，

在中


，
，


①不正确，
图形，边长为6，所以图形的周长为
如图，依题意可得
则，依题意，是正六边形，

所以图形的周长为
把图2中空白部分记作“图形”，由①可得，
是正六边形，
所以图形的周长为
∴图形的周长之比为=3：2：；
故②正确；
如图，过点作于点， 交内切圆于点，则即为所求，

根据正六边形的性质可得是等边三角形，
，
，
，
，
故③正确，
故选A．
7．如图，边长为2的正六边形的中心与坐标原点O重合，轴，将正六边形绕原点O逆时针旋转n次，每次旋转，当时，顶点A的坐标为_____________．

【答案】
【详解】解：，
∴当时，顶点A旋转到了原来的位置，
连接，，设交y轴于点H，

在正六边形中，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
即当时，顶点A的坐标为，
故答案为：．
8．如图，已知正方形ABCD，以AB为腰向正方形内部作等腰△BAE，其中BE＝BA，过点E作EF⊥AB于点F，点P是△BEF的内心，连接CP，若正方形ABCD的边长为2，则CP的最小值为____．

【答案】
【详解】解：，


点P是的内心，
分别是和的平分线，

易证（SAS）

点P在以AB为弦，所对的圆周角为的圆上运动，作的外接圆，如图所示：

圆心记作点O，连接OA，OB，在优弧AB上取一点Q，连接AQ，BQ，则


，
连接OC，交⊙O于点，当点P与点重合时，CP的值最小，分别过点O作于点M，交CB的延长线于点N，如图所示：

则四边形OMBN是正方形，


在中，

即CP的最小值为
故答案为：
9．菱形中，，点P是上一动点（不与A，B重合），连接，点M是射线上一点，且，连接，作，交于点N．

(1)如图1，若，直接写出的形状；
(2)如图2，若，点P是的中点，求的长；
(3)若，直接写出面积的最小值．
【答案】(1)等腰直角三角形
(2)
(3)
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）连接，

由（1），
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵点P为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴；
（3）以为底边作等腰三角形，使，
由（2）同理知，
∴点N在以O为圆心，为半径的圆上，
连接，交于G．交于N，此时的面积最小，
则，
∴，

∵，
∴，，
∴，
∴面积的最小值为．
10．如图，四边形内接于．连接，交于点．

(1)如图1．若．，求的度数；
(2)如图2．若于，连接，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，．求的半径．
【答案】(1)
(2)证明过程见详解
(3)
【详解】（1）解：如图所示，

连接，，，，
∵，且圆周角与圆心角所对弧是同弧，圆周角与圆心角所对弧是同弧，
∴，，，
∵，
∴，即，
∴．
（2）证明：如图所示，

连接，
∵，
∴，
∵圆周角与圆心角所对弧是同弧，
∴，
又∵，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
故．
（3）解：由（2）可知，，且，
∵与所对弧是同弧，
∴，且，
∴，则（等弧所对圆周角相等），
∵，即，
∴，是等腰直角三角形，且，，
∴，，
在中，，
如图所示，连接，，过点作于，

由（2）可知，，
∴，
∴在中，，
∴，
故的半径为．