数学9 弧长及扇形的面积精品习题

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第19课 弧长及扇形的面积
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课程标准
1.理解弧长公式及扇形面积公式，并学会运用公式解决问题；
2.会求不规则图形的面积.
知识精讲

知识点01 弧长公式
　半径为R的圆中
　　360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
　　n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)
注意：
　　(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；
　　(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
　　(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
知识点02 扇形面积公式
1.扇形的定义
　　由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式
　　半径为R的圆中
　　360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
　　n°的圆心角所对的扇形面积公式：
注意：
　　(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，
即；
　　(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：.
能力拓展

考法01 利用弧长公式进行有关计算
【典例1】圆心角为，半径为1的弧长为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：圆心角为，半径为1的弧长= ．
故答案为：D．
【即学即练】半径为6的圆弧的度数为，则它的弧长为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵圆弧的半径为6，圆心角的度数为，
∴圆弧的弧长为：；
故选：B．
【典例2】把长度为的一根铁丝弯成圆心角是的一条弧，那么这条弧所在圆的半径是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】解：设半径为R．
由题意，，
∴，
故选：C．
【即学即练】已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（   ）
A．12 B． C．24 D．
【答案】C
【详解】由题得
解得
故选：C
考法02 求规则与不规则图形的面积
【典例3】如图，在中，，，则图中阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解；∵，
∴，
∴，
故选A．
【即学即练】如图是某商品的标志图案，与是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点得到四边形．若，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：与是的两条直径，
，
四边形是矩形，
与的面积的和与的面积的和，
图中阴影部分的面积，
，
，
，
图中阴影部分的面积（）．
故选：B．
【典例4】如图，正六边形内接于，若的半径等于2，则图中阴影部分的面积是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵正六边形内接于，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积，
故选：C．
【即学即练】如图，正方形的边长为4，分别以为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵正方形的边长为4，
∴正方形的面积为16，
又四个四分之一圆的面积等于一个半径为2的圆的面积为，
∴阴影部分的面积．
故选：A．
考法03 动态路线问题
【典例5】如图，在中，，将绕点B逆时针旋转到的位置，使A，B，三点在同一直线上，则点A运动的路径长为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：在，，
∴，
∴，
∴将绕点B逆时针旋转到的位置，旋转角为
∵，
∴，
根据弧长公式可得，点A运动的路径长为，
故选A．
【即学即练】一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么点从开始至结束所走过的路径长度为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意可知点从开始至结束所走过的路径为两个圆心角为，半径为1的扇形弧长，
所以点从开始至结束所走过的路径长度为：．
故选C．
【典例6】如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（    ）

A．3 B． C． D．4
【答案】B
【详解】解：圆锥的底面周长是，则，
，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度．
则在圆锥侧面展开图中，，度．
在圆锥侧面展开图中．
故小猫经过的最短距离是．故选：．

【即学即练】如图，圆锥的底面半径R＝3，母线l＝5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，∠COB＝150°，D为VB上一点，VD＝．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最短路程是（　　）

A．3 B．4 C． D．2
【答案】B
【详解】解：如图:

∵，
∴设弧所对的圆心角的度数为n，
∴，
解得，
∴，
∴．
故选：B．
分层提分

题组A 基础过关练
1．下列图形中，称为扇形的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：根据扇形的定义由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形可知选项是扇形，其它选项不是扇形．
故选：B．
2．圆锥的底面半径为4，母线长为9，则该圆锥的侧面积为（　　）
A．36π B．48π C．72π D．144π
【答案】A
【详解】解：圆锥的侧面积．
故选：A．
3．已知半径为的扇形的圆心角为，则该扇形的面积为（    ）
A．4 B．6 C．4π D．6π
【答案】D
【详解】解：半径为的扇形的圆心角为，

，
故选：D．
4．如图，正方形的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为，的中点．以C为圆心，为半径作圆弧，再分别以E，F为圆心，为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：连接，，如图，

∵正方形的边长为2，O为对角线的交点，
由题意可得：，经过点O，且．
∵点E，F分别为，的中点，
∴，
∴，．
∴弓形弓形．
∴阴影部分的面积等于弓形的面积．
∴．
故选：C．
5．道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线的长为（单位：m）（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：依题意，，
故选：B．
6．【阅读理解】在求阴影部分面积时，常常会把原图形的一部分割下来补在图形中的另一部分，使其成为基本规则图形，从而使问题得到解决，这种方法称为割补法．如图1，C是半圆O的中点，欲求阴影部分面积，只需把弓形BC割下来，补在弓形处，则．

【拓展应用】如图2，以为直径作半圆O，C为的中点，连接，以为直径作半圆P，交于点D．若，则图中阴影部分的面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：连接、



是小圆直径










故选：B
7．一段弧所在的圆的半径为60，这段弧的长是157，那么这弧所对的圆心角是_________度．
【答案】
【详解】解：设圆心角为n度，根据公式，得∶
．
故答案为∶150
8．如图，是的直径，弦交于点，且是的中点，，，则阴影部分面积为______．

【答案】
【详解】是的直径，且是的中点，，
，，
，
由圆周角定理得，
，，
在中，，由勾股定理得，
解得：，
阴影部分面积为．
故答案为：．
9．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中水面高，求截面上有水部分的面积．

【答案】
【详解】解：根据题意得：，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴截面上有水部分的面积为


．
10．如图，在Rt中，，是边上一点，以为圆心，为半径的圆与相交于点，连接，且．

(1)求证：是⊙的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接．

∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
又∵是⊙的半径，
∴是⊙的切线．
（2）∵，，
∴是等边三角形．
∴．
∴．
在Rt中，．
∵，，
∴．
∴．
∴的长．
题组B 能力提升练
1．如图，现有一把折扇和一把圆扇．已知折扇的骨柄长等于圆扇的直径，折扇扇面的宽度是骨柄长的，折扇张开的角度为120°，则两把扇子扇面面积较大的是（　　）

A．折扇 B．圆扇 C．一样大 D．无法判断
【答案】A
【详解】解：折扇的扇面面积为为：
圆扇扇面的面积为
∵
∴折扇的扇面面积大．
故选A．
2．如图，四个三角形拼成一个风车图形，若，当风车转动，点B运动的路径长度为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，风车转动，
，
故选：D．
3．如图，半径为10的扇形中，，C为弧AB上一点，，垂足分别为D，E．若图中阴影部分的面积为，则＝（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：连接，
∵，
∴四边形CDOE是矩形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴图中阴影部分的面积＝扇形的面积＝，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．

4．在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的弧多次复制并首尾连接而成，现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2023秒时点P的纵坐标为（　　）

A．1 B．0 C． D．-2
【答案】C
【详解】解：

的长为：，
（秒），
如图，作于E，与交于点D．
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴第1秒时点P纵坐标为1；
第2秒时点P纵坐标为0；
第3秒时点P纵坐标为；
第4秒时点P纵坐标为0；
第5秒时点P纵坐标为1；
…，
∴点P的纵坐标以1，0，，0四个数为一个周期依次循环，，
故在第2023秒时点P的纵坐标为，
故选：C．
5．如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为的正三角形，母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠， 则小猫经过的最短路程是（　　）．

A． B．4 C． D．6
【答案】C
【详解】解：圆锥主视图是边长为的正三角形，
圆锥的底面周长是，则，
，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度．
如图，在圆锥侧面展开图中，，度．
在圆锥侧面展开图中．
故小猫经过的最短距离是．

故选：C．
6．如图，与外切于点，它们的半径分别为和，直线与它们都相切，切点分别为，，则图中阴影部分的面积是（   ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：连接，过点作，

∵与外切于点，它们的半径分别为和，直线与，都相切，
∴，四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴梯形的面积是：；
扇形的面积为：；
扇形的面积为 ；
则阴影部分的面积梯形的面积扇形的面积扇形的面积 ；
故选D．
7．如图，已知圆锥的底面半径为3，圆锥的母线与高的夹角θ为30°，则圆锥的侧面展开图的面积是_____．

【答案】
【详解】解：∵圆锥的母线与高的夹角θ为30°，底面半径为3，
∴圆锥的母线长为6，
∴圆锥的侧面展开图的面积．
故答案为:．
8．如图，扇形的半径，，分别以、的中点C、D为圆心，、为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_________平方厘米．

【答案】
【详解】解：设与交于点，连接、，如图所示，

由题意可得：四边形为正方形，且，


=平方厘米，
故答案为：
9．已知C、D两点在以AB为直径的半圆周上且把半圆三等分，若已知AB长为10，求阴影部分的面积．（结果保留）

【答案】
【详解】解：阴影部分的面积
、把半圆弧三等份，
，
、等底等高，
阴影面积．
答：阴影部分面积是．
10．如图，在中，，，以点O为圆心，为半径的圆交于点C，交于点D．

(1)若，则弧的度数为______，弧的长度为______；
(2)，求的长．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）解：连接．

，，
，
，
，
，
弧的度数为，
∵，
∴弧的长度为
故答案为，．
（2）解：如图，作于．
在中，，，，
，
，
，
，
，
，
．
题组C 培优拔尖练
1．图1是一把扇形书法纸扇，图2是其完全打开后的示意图，外侧两竹条和的夹角为，的长为，贴纸部分的宽为，则弧的长为（   ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：的长为，贴纸部分的宽为，
∴，
又∵和的夹角为，
的长为：．
故选：B．
2．如图，在扇形中，，，若以点C为圆心，为半径画弧，与交于点D，则图中阴影部分的面积和是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：连接，

∵以点C为圆心，为半径画弧，与交于点D，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积．
故选：C．
3．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（如图1），它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图．有如下四个结论：
①勒洛三角形是中心对称图形；
②在图1中，等边三角形的边长为2，则勒洛三角形的周长为；
③在图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等；
④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动；
上述结论中，所有正确结论的序号是（    ）

A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】D
【详解】解：①勒洛三角形不是中心对称图形，故①错误，不符合题意；
②在图1中，等边三角形的边长为2，则勒洛三角形的周长为，故②正确，符合题意；
③在图2中，设勒洛三角形中等边三角形的边长为，则圆的直径为，
所以勒洛三角形的周长为，圆的周长为，
故在图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等，故③正确，符合题意；
④夹在平行线之间的勒洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变，
如在图1中，点到上任意一点的距离都相等，故使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动，故④正确，符合题意；
故上述结论中，所有正确结论的序号是：②③④；
故选：D．
4．如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，
由翻折的性质可知，， ，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴

，
故选：C．

5．如图，在中，，，斜边的两个端点分别在相互垂直的射线和上滑动，给定下列命题，其中正确命题的序号是（　　）．

①若、两点关于对称，则；
②、两点距离的最大值为；
③若平分，则；
④斜边的中点运动路径的长为．
A．①③④ B．②③④ C．①④ D．①②
【答案】D
【详解】在中，，，
∴，．
①若C、O两点关于对称，如图1，
∴是的垂直平分线，则；
所以①正确；
②如图1，取的中点为E，连接、，
∵，
∴．
∵，
∴当经过点E时，最大，且C、O两点距离的最大值为4；
所以②正确；
③如图2，当时，，
∴四边形是矩形，
∴与互相平分，但AB与的夹锐角为60°，不垂直；
所以③不正确；
④如图3，斜边的中点D运动路径是：以O为圆心，以2为半径的圆周的，
则其弧长为：．
所以④不正确；
综上所述，本题正确的有：①②；
故选：D．

6．如图，在锐角三角形中，分别以三边为直径作圆，记三角形外的阴影面积为，三角形内的阴影面积为，在以下四个选项的条件中，不一定能求出的是（    ）

A．已知的三条中位线的长度
B．已知的面积
C．已知的长度及
D．已知的长度，以及的长度和
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，
∴．
A、若已知的三条中位线的长度，即可得到三边的长度，利用海伦公式是三角形的三边，，可求得三角形的面积，即可得到的值，故本选项不符合题意；
B、已知的面积，即可求得的值，故本选项不符合题意；
C、如解图，过点A作于点D．
∵，
在和中，
∴，
∴，据此即可求得的值，故本选项不符合题意；
D、∵已知两边长度和，
∴的长度不确定，
∴的面积也不确定，
∴不一定能求出的值，故本选项符合题意；
故选：D．

7．如图，把一个含30°的直角三角板的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到位置．设，则顶点A运动到点的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是___________．

【答案】
【详解】解：∵在中，，
∴，
∴，
∵，，且直角三角板顺时针方向在l上转动两次，使它转到位置．
∴，

故答案为：
8．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；…；按此规律，则的值为 _____．

【答案】
【详解】由题意、、、、都是等腰直角三角形，
∴，， ，，
∴， ， ， ，；
∴，
∴，
故答案为：
9．如图，，分别是的直径和弦，半径于点．过点作的切线与的延长线交于点，，的延长线交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接，

是的切线，是的直径，
，
于点，
，
，
在和中，
，
（SAS），
，
，
是的半径，
是的切线．
（2）解：于点，
，
，是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
．
故答案为：．
10．如图1，已知扇形纸片，，半径．

(1)求扇形的面积及图中阴影部分的面积；
(2)如图2，在扇形的内部，与，都相切，且与只有一个交点，此时我们称为扇形的内切圆，试求的面积；
(3)如图3，在扇形纸片中，剪出一个扇形，若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的余料中，再剪出一个圆作为这个圆锥的底面，并使得这个圆锥的表面积最大，若能，请求出这个圆锥的表面积；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)能，当时，有最大值
【详解】（1），半径，
，
，，
是等边三角形，
，
阴影部分的面积．

（2）设与相切于点，连接，，
相切两圆的连心线必过切点，
、、三点共线，

，，
在中，
，
，
，
的半径．
．
（3）设圆锥的底圆的半径为，表面积为，






又，
，
当时，有最大值．