初中数学北师大版八年级上册6 实数精品课后作业题

专题2.4-2.6 估算、实数

1、会估算一个无理数的大致范围，比较两个无理数的大小

2、了解实数的意义，能对实数按要求进行分类;

3、了解实数和数轴上的点一一对应，能根据实数在数轴上的位置比较大小;

4、了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义（同有理数的意义完全一样）.

知识点01 估算

【微点拨】日常生活中有些数据不需要十分精确时，可以通过应用所学知识进行估算，但要尽可能地减小误差，方法要科学．

估算法：（1）若，则； （2）若，则；

根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小．

例如：，则；，则．

常见实数的估算值：，，．

【知识拓展1】估算无理数的范围

例1．（2022·广西梧州·八年级期中）下列对的大小估计正确的是（       ）

A．在1~2之间 B．在2~3之间 C．在3~4之间 D．在5~6之间

【即学即练】

1．（2022·海南省直辖县级单位·八年级期中）估算的值应在（       ）

A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．0和1之间

2．（2022·河北八年级期末）已知，为两个连续的整数，且，则的值等于（   ）

A． B． C． D．

【知识拓展2】估计无理数最接近的值

例2．（2022·河南信阳·八年级期中）与最接近的整数是________．

【即学即练】

2.（2022·成都市八年级期中）与最接近的整数是___．

【知识拓展3】无理数的整数、小数部分问题

例3．（2022·山东泰安·八年级期中）若，分别表示的整数部分和小数部分，则________．

【即学即练】

3.（2022·河北邢台·八年级期末）阅读下面的文字，解答问题．例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为，请解答：（1）的整数部分是____．（2）的小数部分是____．

知识点02 实数

【微点拨】

无理数常见的三种类型：（1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有π的绝大部分数。

【知识拓展1】实数的分类

例1．（2022·山东德州·七年级期中）把下列各数填入相应的集合内．

，，3.1，，0.8080080008…（相邻两个8之间的0的个数逐次加1），，，，，，，．

整数集合{                                                     ，…}；

正数集合{                                                     ，…}；

有理数集合{                                                     ，…}；

无理数集合{                                                     ，…}．

【即学即练1】

1．（2022·河北石家庄·八年级期末）把下列各数写人相应的集合内：．

(1)有理数集合：{                                        …}

(2)正实数集合：{                                        …}

(3)无理数集合：{                                        …}

(4)负实数集合：{                                        …}

【知识拓展2】实数的性质

例2．（1）（2022·辽宁八年级期中）的倒数是 ____，3﹣的绝对值是 ______．

（2）．（2022·湖北武汉·七年级期中）的相反数是___，﹣π的绝对值是___，＝___．

【即学即练2】

2．（2022·四川绵阳·中考真题）的绝对值是（       ）

A． B． C． D．

3．（2022·福建漳州市·八年级期中）下面与互为相反数的是（    ）

A． B． C．5 D．

【知识拓展3】实数与数轴的关系

例3．（2022·山东济宁·八年级期末）如图所示，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是 _____．

【即学即练3】

3．（2022·江苏南通·八年级期中）如图，数轴上的点P，A表示的数分别为−1，2，过A点的直线l垂直于数轴，点B在直线l上，且AB=OA．连接PB，以P为圆心，PB为半径作弧，交数轴于点C，则点C表示的数为_______．

【知识拓展4】实数的应用

例4．（2022·浙江·七年级期末）如阳，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形（图1），我们可以把它剪开拼成一个正方形（图2）．

（1）图2中拼成的正方形的面积是___________；边长是_________；（填实数）.（2）请你在图3中画一个边长为的正方形，要求所面正方形的顶点都在格点上．（3）请仿图2的形式把十个小正方形组成的图形纸（图4），剪开并拼成正方形，请直接写出拼出的正方形边长．

【即学即练4】

4．（2021·浙江·义乌市绣湖中学教育集团七年级期中）如图，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图1），我们可以把它剪开拼成一个正方形（图2）．

（1）图2中拼成的正方形的面积是　_________　；边长是　_________　；（填实数）

（2）请你在图3中画一个面积为5的正方形，要求所画正方形的顶点都在格点上．请用虚线画出．

（3）你能把十个小正方形组成的图形纸（图4），剪开并拼成正方形吗？若能，请仿照图2的形式把它重新拼成一个正方形．并求出它的边长．

考法01   利用数轴化简

【典例1】（2022·河南八年级期中）已知实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ）

A． B． C．－2 D．

变式1．（2022·河南安阳市·八年级期中）实数，，在数轴上的位置如图所示，化简__________．

变式2．（2022·广东八年级期末）实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，则|﹣b|+|a+|+的值_____．

考法02  实数的规律探究

【典例2】（2022·湖北）已知按照一定规律排成的一列实数：

﹣1，，，﹣2，，，﹣，，，﹣，…则按此规律可推得这一列数中的第2021个数应是（    ）

A． B．﹣ C． D．2021

变式1．（2022·河北邯郸·八年级期末）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第5行从左至右第2个数是_____________；第9行从左至右第8个数是_____________．

变式2．（2022·河南·潢川县中小学教研室七年级期中）将正整数的算术平方根按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对表示第m排，从左到右第n个数，如表示实数，则这些实数中从小到大第十个有理数对应的有序数对是_________．

考法03  实数的大小比较和运算

【典例3】（1）（2022·安徽芜湖·八年级期末）比较大小：________．（填“＞”或“＜”）

（2）（2022·甘肃定西·七年级期中）计算：(1)  (2)

变式1．（2022·四川乐山·八年级期末）请将、2、这三个数用“<”连接起来________．

变式2．（2022·山东济宁·七年级期末）计算：

(1)．(2)．

题组A  基础过关练

1．（2022·福建七年级期中）与数轴上的点是一一对应的是（    ）

A．有理数 B．整数 C．自然数 D．实数

2．（2022·平泉市七年级期末）如图，数轴上表示的点可能是（    ）

A．点A B．点B C．点C D．点D

3．（2022·河南周口·八年级期末）下列关于的说法中，错误的是（       ）

A．是无理数     B．     C．|-2|=-2     D．5的平方根是

4．（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）下列说法中错误的是（          ）

A．任何实数的绝对值都是非负数 B．不带根号的数是有理数

C．实数包括有理数和无理数 D．实数与数轴上的点之间是一一对应的

5．（2022·全国·八年级课时练习）实数的倒数是（       ）

A．23 B． C． D．

6．（2022·吉林八年级期中）的绝对值是______．

7．（2021·甘肃庆阳·七年级期末）的相反数是______．

8．（2022·常州市八年级月考）已知实数、互为相反数，、互为倒数，是的整数部分，是的小数部分．求代数式的值．

9．（2022·云南昭通·七年级期中）把下列各数填入相应的大括号中：

0.3，，，，0，，3.14，，，，，0.125，，

负数集合{                                   …}；  整数集合{                                   …}；

有理数集合{                                   …}；无理数集合{                                   …}．

题组B  能力提升练

1．（2022·河南洛阳·七年级期中）一个正方形的面积是34平方厘米，其边长（       ）．

A．小于 B．等于 C．在和之间 D．大于

2．（2022·全国·七年级课时练习）比较4，，的大小，正确的是（　　）

A．4＜＜  B．4＜＜   C．＜4＜   D．＜＜4

3．（2022·全国·八年级专题练习）有下列说法：①无理数是无限小数，无限小数是无理数；②无理数包括正无理数、和负无理数；③带根号的数都是无理数；④无理数是含有根号且被开方数不能被开尽的数；⑤是一个分数．其中正确的有（     ）

A．个 B．个 C．个 D．个

4．（2022·安徽安庆·七年级期中）下列说法：

①一个无理数的相反数一定是无理数；②一个有理数与一个无理数的和或差或积一定是无理数；

③一切实数都可以进行开立方运算，只有非负数才能进行开平方运算；④实数的倒数是．

其中，正确的说法有（       ）

A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④

5．（2022·福建福州·七年级期中）若实数a＞2，则a﹣的绝对值是（　　）

A．+a B．a﹣ C．﹣﹣a D．﹣a

6．（2022·吉林农安县第三中学、农安三中八年级月考）设a，b是两个连续的整数，已知是一个无理数，若，是，则＝____．

7．（2022·北京西城·七年级期末）与最接近的整数是______，简述判断过程：______．

8．（2021·四川八年级期末）定义：用符号表示一个实数的整数部分，例如：，，．按此定义，计算________．

9．（2022·全国·八年级课时练习）观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，2，，3…，那么第50个数据应该是___________．

10．（2022·湖北孝感·七年级期中）计算：(1)．   (2)．

题组C  培优拔尖练

1．（2022·河南许昌·七年级期中）将两个边长为2的小正方形剪拼成一个大正方形（如图），这个大正方形的边长x是一个无理数，你估计的x的整数部分是（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2022·浙江台州·七年级期中）设表示小于的最大整数，如，，则下列结论中正确的是（     ）

A．  B．的最小值是0  C．的最大值是1  D．不存在实数，使

3．（2022·广东珠海·七年级期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（       ）

A．4 B．5 C．6 D．7

4．（2022·北京市通州区北关中学一模）估计与1.5的大小关系是：______1.5(填“＞”“＝”或“＜”)

5．（2022·广西·南宁市天桃实验学校七年级期末）阅读下列材料，并回答问题：

天桃学区七年级某班数学兴趣小组的同学在学习了实数的近似运算之后，探索利用数形结合的思想求实数近似值的方法．下面是小组同学一起探索的求解过程，请你仔细阅读求解过程并和数学小组的成员一起把过程补充完整：

(1)已知面积是2的正方形的边长是，且，则设，

画出如图所示的示意图．根据各部分面积之和等于总面积．

可列方程为：，

∵，∴认为是个较为接近于0的数，

令，因此省略后，得到方程：，

解得，________，即________．

(2)仿照上述方法，设，探究的近似值（精确到0.01）；（请在备用图中标明数据，并写出求解过程．）

6．（2022·山东济宁·八年级期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：

(1)的小数部分是________，的小数部分是________．

(2)若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根．

(3)若，其中x是整数，且，求的值．