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北师大版八年级上册2 平面直角坐标系精品同步训练题
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这是一份北师大版八年级上册2 平面直角坐标系精品同步训练题，文件包含同步讲义北师大版数学八年级上册专题32平面直角坐标系中的规律问题与面积问题专项训练学生版docx、同步讲义北师大版数学八年级上册专题32平面直角坐标系中的规律问题与面积问题专项训练教师版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共75页， 欢迎下载使用。
专题3.2 平面直角坐标系中的规律问题与面积问题 专项训练
本专题训练卷共60题，其中：平面直角坐标系的规律问题35题，平面直角坐标系的面积问题25题；题型针对性较强，覆盖面广，选题有深度，包含了平面直角坐标系中的规律问题和面积问题全部类型。
1）平面直角坐标系的规律问题
1．（2022·江西·七年级期中）如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点（1，0），等二分钟，它从点（1，0）运动到点（1，1），而后它接着按图中箭头所示在与x轴，y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2022分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（ ）
A．（45，3） B．（2，44） C．（3，45） D．（44，2）
【答案】D
【分析】找出粒子运动规律和坐标之间的关系即可解题．
【详解】解：由题知（0，0）表示粒子运动了0分钟，
运动到点（1，1），粒子运动了2=1×2（分钟），将向左运动，
运动到点（2，2），粒子运动了6=2×3（分钟），将向下运动，
运动到点（3，3），粒子运动了12=3×4（分钟），将向左运动，……，由此总结出：运动到点（n，n），粒子运动了n(n+1)（分钟），运动方向规律是看n是奇数还是偶数，奇左偶下．
于是会出现：运动到点（44，44），粒子运动了44×45=1980（分钟），此时粒子将会向下运动，
∴在第2022分钟时，粒子又向下移动了2022-1980=42个单位长度，∴粒子的位置为（44，2），故选：D．
【点睛】本题考查的是动点坐标问题，解题的关键是找出粒子的运动规律．
2．（2022·湖北·仙桃荣怀学校七年级期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2）…按这样的运动规律经过第2022次运动后，动点P的坐标是（ ）
A．（2021，1） B．（2021，0） C．（2022，0） D．（2022，2）
【答案】C
【分析】根据题意可得每4次运动，点的纵坐标不发生变化，第n次运动，横坐标就是n，据此求解即可．
【详解】解：∵第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），第4次接着运动到点（4，0），第5次接着运动到点（5，1），第6次接着运动到点（6，0），第7次接着运动到点（7，2），第8次接着运动到点（8，0），第9次接着运动到点（9，1），
∴由此可知每4次运动，点的纵坐标不发生变化，第n次运动，横坐标就是n，
∵，∴第2022次运动后，点P的纵坐标与第二次运动后的纵坐标相同为0，横坐标为，
∴点P的坐标为（2022，0），故选C．
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确理解题意找到点的坐标规律是解题的关键．
3．（2022·河北·保定市清苑区北王力中学八年级期末）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2022次运动后，动点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据运动规律可知，横坐标为运动次数的相反数，纵坐标依次为1，0，2，0，每4次一轮，由此即可得．
【详解】解：由运动规律可知，横坐标为运动次数的相反数，纵坐标依次为1，0，2，0，每4次一轮，
则经过第2022次运动后，动点的横坐标是，∵，
∴经过第2022次运动后，动点的纵坐标与经过第2次运动后，动点的纵坐标相同，即为0，
∴经过第2022次运动后，动点的坐标是，故选：B．
【点睛】本题考查了点坐标的规律探索，正确归纳出变化规律是解题关键．
4．（2022·河南·郑州市创新实验学校九年级期末）如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴方向连续翻转若干次，点P依次落在点的位置，则点的横坐标为（ ）
A．2016 B．2017 C．2018 D．2020
【答案】D
【分析】根据△AOP是边长为1的正三角形，可得点P的横坐标为﹣观察图形的变化发现：的横坐标为1，的横坐标为1，的横坐标为，…进而可得点的横坐标．
【详解】解：∵△AOP是边长为1的正三角形，∴点P的横坐标为﹣
观察图形的变化发现：的横坐标为1，横坐标为1，的横坐标为，
的横坐标为4，的横坐标为4，的横坐标为，的横坐标为7，…
发现规律：∴的横坐标为3n+1，的横坐标为3n+1，的横坐标为3n+，（n为自然数）．
∵2021＝673×3+2，∴点的横坐标为2020，故选：D．
【点睛】此题考查直角坐标系，点坐标的变化规律探究，等边三角形的性质，正确掌握直角坐标系中点的坐标的表示方法，根据点的变化找到坐标的变化规律是解题的关键.
5．（2022·河南·郑州中原一中实验学校八年级期末）如图，矩形的两边、分别在轴、轴上，点与原点重合，点A（-2，3），将矩形ABCD沿轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为，经过第二次翻滚点A对应点记为依此类推，经过3次翻滚后点A对应点的坐标为（ ）
A．（8，2） B．（3，2） C．（3，3） D．（5，0）
【答案】D
【分析】根据A点坐标可知长方形的长和宽，根据长方形的长和宽分析每次翻滚后A点的落点，由此可解决本题．
【详解】解：∵A点坐标为（-2，3），∴AB=DC=3，AD=BC=2，
第一次翻滚后点坐标为：（3，2），第二次翻滚后点的坐标为（5，0），
第三次翻滚是以点为中心进行翻滚，故（5，0），故选：D．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中的点，能够根据题意分析出图形的运动过程是解决本题的关键．
6．（2022·河南驻马店·七年级期末）如图，已知（1，2），（2，2），（3，0），（4，－2），（5，－2），（6，0）…，按这样的规律，则点的坐标为（ ）
A．（2022，0） B．（2023，0） C．（2022，－2） D．（2022，2）
【答案】A
【分析】观察发现，每6个点形成一个循环，再根据点的坐标及2022÷6所得的整数及余数，可计算出点的横坐标，再根据余数对比第一组的相应位置的数可得其纵坐标．
【详解】解：观察发现，每6个点形成一个循环，∵（6，0），∴，
∵2022÷6=337，∴点的位于第337个循环组的第6个，
∴点的横坐标为6×337=2022，其纵坐标为：0，∴点的坐标为（2022，0）．故选：A．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的点的规律问题，发现题中的规律并正确计算出点所处的循环组是解题的关键．
7．（2022·山东聊城·七年级期末）如图；所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为2、4、6、8、…，顶点依次用…表示，则点的坐标为（ ）
A．(505，505) B．（－506，506） C．(506，506) D．（－505，505）
【答案】B
【分析】根据题意可得，，，（n为自然数），根据，即可得．
【详解】解：∵每个正方形都有4个顶点，
∴每4个点为一个循环组一次循环，
由题意得，，，，，，，，，，…，
∴，，，（n为自然数），
∵，∴，故选B．
【点睛】本题考查了点的坐标变化规律，解题的关键是找出规律．
8．（2022·山东德州·七年级期末）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，…，第次移动到，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】从O移动到作为一个循环，共移动了4次，水平向前移动了2m，则第2020次移动到，此时移动了2020÷4=505个循环，水平向前移动了2×505=1010（m），点的坐标（1010，0），则点的坐标（1011，1），点的坐标（2，1），则=1009（m），则△A2023的底边为，高为1m，则根据三角形面积公式就可以求得．
【详解】解：从O移动到作为一个循环，共移动了4次，水平向前移动了2m，
2022÷4=505…2，
∴第2020次移动到，此时移动了2020÷4=505个循环，水平向前移动了2×505=1010（m），
∴点的坐标（1010，0），∴点的坐标（1011，1），
∵点的坐标（2，1），则=1009（m），∴△的面积是×1×1009=，故选：B．
【点睛】本题主要考查点的坐标的变化规律，根据题意找出=2n（m）这个规律是解题的关键．
9．（2022·山东聊城·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循坏爬行，向第2022秒瓢虫在（ ）处．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据点A、B、C、D的坐标可得AB，AD的长，从而求出矩形ABCD的周长，进而求出蚂蚁爬行一周需要7秒，然后再进行计算即可解答．
【详解】解：∵A（-1，1），B（-1，-2），C（3，-2），D（3，1），
∴AB=CD=3，AD=BC=4，∴矩形ABCD的周长=2（AB+AD）=14，
∵14÷2=7（秒），∴瓢虫爬行一周需要7秒，∴2022÷7=288……6，
∴6×2=12，∴12-3-4-3=2，∴第2022秒瓢虫在（1，1）处．故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标规律：数字变化类，两点间距离，根据点的坐标求出矩形的周长并求出蚂蚁爬行一周需要的时间是解题的关键．
10．（2022·辽宁抚顺·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为，，，，，，，，，则依图中所示规律，的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】观察给出点的坐标，找出点之间的规律解答即可．
【详解】解：∵，，，，
，，，，，
观察可知：每四个点为一组，第n组的点分别为：，，，，
∵，∴位于第506组的第二个点，∴，即．选：A
【点睛】本题考查点的坐标规律，解题的关键是找出点的规律：每四个点为一组，第n组的点分别为：，，，．
11．（2022·四川泸州·七年级期末）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点叫做点P伴随点．已知点的伴随点为，的伴随点为，点的伴随点，…，这样依次得到点，，，…，，…若点的坐标为（2，4），点的坐标为（ ）
A．（3，－1） B．（－2，－2） C．（－3，3） D．（2，4）
【答案】D
【分析】根据伴随点的定义依次求出后面几个点，不难发现，每4个点为一个循环组，用2021除以4，得出商与余数后确定的坐标即可．
【详解】解：∵的坐标为(2，4），∴(-3，3)，(-2，-2)，(3，-1)，(2，4），……
依次类推，每4个为一个循环组；
∵2021÷4=505…1，∴点的坐标与的坐标相同，为(2，4），故选：D．
【点睛】本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解伴随点的定义并求出每4个一组循环是解题关键．
12．（2022·山东济宁·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1）．B（-1，1），C（-1，-2），D（1，-2）．把一条长为 2024个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按 A-B-C-D…的规律绕在 ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A．（-1，0） B．（-1，-1） C．(0，-2) D．(1，-2)
【答案】B
【分析】先计算出长方形的周长为10，再根据计算的结果可确定此题结果．
【详解】解：由题意得，长方形的周长为：，
，即该细线绕该长方形202圈后余4个单位长度，
可得细线另一端所在位置的点的坐标是，故选：B．
【点睛】本题考查了根据平面直角坐标系中点的位置确定其坐标的能力，解题的关键是能根据题意确定该细线另一端所在位置．
13．（2022·河南信阳·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，ABEGx轴，BCDEHGAPy轴，点D、C、P、H在x轴上，A(1，2)，B(﹣1，2)，D(﹣3，0)，E(﹣3，﹣2)，G(3，﹣2)，把一条长为2022个单位长度且没有弹性的细线(细线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按A→B→C→D→E→F→G→H→P→A…的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A．(﹣1，2) B．(﹣1，1) C．(0，1) D．(0，2)
【答案】A
【分析】根据坐标的特点，确定长度为2时，对应点为B，确定长度为4时，对应点为C，确定长度为6时，对应点为D，确定长度为8时，对应点为E，确定长度为11时，对应点为F，确定长度为14时，对应点为G，确定长度为16时，对应点为H，确定长度为18时，对应点为P，确定长度为20时，对应点为A，确定循环节为20，计算2022÷20，看余数判断即可．
【详解】因为ABEGx轴，BCDEHGAPy轴，点D、C、P、H在x轴上，A(1，2)，B(﹣1，2)，D(﹣3，0)，E(﹣3，﹣2)，G(3，﹣2)，
根据坐标的特点，确定长度为2时，对应点为B，确定长度为4时，对应点为C，
确定长度为6时，对应点为D，确定长度为8时，对应点为E，确定长度为11时，对应点为F，确定长度为14时，对应点为G，确定长度为16时，对应点为H，确定长度为18时，对应点为P，确定长度为20时，对应点为A，确定循环节为20，
所以2022÷20＝101…2，与B点重合，故选A．
【点睛】本题考查了坐标的特点和坐标的规律，熟练掌握坐标的特点，准确计算出循环节是解题的关键．
14．（2022·山东济宁·七年级阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，，……组成一条平滑的曲线．点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为个单位长度/秒，则第2022秒，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点P的坐标．
【详解】解：半径为1个单位长度的半圆的周长为×2π×1=π，
∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，∴点P每秒走个半圆，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为（1，1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为（2，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为（3，-1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为（4，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为（5，1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为（6，0），…，
∵2022÷4=505余2，∴P的坐标是（2022，0），故选：A．
【点睛】此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题．
15．（2022·福建福州·七年级期末）如图所示，长方形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点，将长方形ABCD沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为；经过第二次翻滚，点A的对应点记为；……依次类推，经过第2022次翻滚，点A的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】观察图形即可得到经过4次翻滚后点A对应点一循环，先求出2022÷4的商和余数，从而解答本题．
【详解】解：如图所示：观察图形可得经过4次翻滚后点A对应点一循环，2022÷4＝505…2，
∵点A（2，3），长方形的周长为：2（2＋3）＝10，
∴经过2022次翻滚后点A对应点A2022的坐标为（10×505＋3＋2，0），即（5055，0）．故选：A．
【点睛】本题考查探究点的坐标的问题，关键是找到点的变化规律．
16．（2022·河北·平山县教育局教研室七年级期末）在平面直角坐标系中，若干个等腰三角形按如图所示的规律摆放．点P从原点O出发，沿着“…”的路线运动（每秒一条直角边），已知坐标为，，，…设第n秒运动到点（n为正整数），则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图形发现每6个点为一个循环，分别求出A1至A6的坐标，发现规律得到答案即可．
【详解】解：由图形可知，每6个点为一个循环，
A1（1，1），A2（2，0），A3（3，1），A4（4，0），A5（5，-1），A6（6，0），
所有偶数点都在x轴上，且横坐标与序数相同，
∴点的坐标是（2022，0），故选：A．
【点睛】此题考查了点坐标的规律，正确理解题意发现并总结运用规律是解题的关键．
17．（2022·河南周口·七年级期中）如图，点向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点；将点向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点；将点向上平移4个单位长度，再向右平移8个单位长度，得到，…，按照这个规律平移得到的点，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出点A1，A2，A3，A4的横坐标，再从特殊到一般探究出规律，然后利用规律即可解决问题．
【详解】解：点A1的横坐标为1=21-1，
点A2的横坐标为1+2=3=22-1，点A3的横坐标为1+2+4=7=23-1，
点A4的横坐标为1+2+4+8=15=24-1，…
按这个规律平移得到点An的横坐标为，
∴点A2022的横坐标为22022-1，故选：B．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移、规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法．
18．（2022·辽宁抚顺·七年级期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按“→”所示方向跳动，第一次从跳到点，第二次跳到点，第三次跳到，第四次跳到，第五次跳到，第六次跳到．第七次跳到，第八次跳到，第九次跳到，…，按这样的跳动规律，点的坐标是（ ）
A．（2020，0） B．（2021，0） C．（2022，0） D．（2023，0）
【答案】B
【分析】根据题意可得点，，，，…，由此发现规律，即可求解．
【详解】解：根据题意得：点，，．，…，
由此发现：，∴点的坐标是（2021，0）．故选：B
【点睛】本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律是解题的关键．
19．（2022·江苏无锡·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，、、．规定“把先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2022次变换后，的顶点D的坐标变为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用平行四边形的性质求出点D的坐标，再将前几次变换后D点的坐标求出来，观察规律即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，A（-1，3）、B（1，1）、C（5，1），
∴D（3，3），把先沿x轴翻折，再向左平移1个单位后，∴D（2，-3），
观察，发现规律：D0（3，3），D1（2，-3），D2（1，3），D3（0，-3），D4（-1，3）……
∴对于横坐标，每次变换减一，对于纵坐标，奇数次变换为-3，偶数次变换为3.
∴经过2022次变换后，D（-2019，3）．故选：A．
【点睛】本题考查翻折变换，点的坐标——规律性，平行四边形的性质等知识点，解题的关键是先求出D的坐标，再利用变换的规律求解．
20．（2022·湖北武汉·七年级期中）如图，动点P从出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（∠AOM＝∠BOM），当点P第2022次碰到矩形的边时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，动点回到起始的位置，将2022除以6得到337，说明点P第2022次碰到矩形的边时为第337个循环组最后一次，因此点P的坐标为．
【详解】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，
∵第6次反弹时回到出发点，∴每6次碰到矩形的边为一个循环组依次循环，
∵2022÷6=337，∴点P第2022次碰到矩形的边时是第337个循环组最后一次，坐标为．故选：A．
【点睛】本题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．
21．（2022·广西防城港·七年级期中）如图，点A（0，1），点A1（2，0），点A2（3，2），点A3（5，1），…，按照这样的规律下去，点A2022的坐标为（ ）
A．（1011，1010） B．（3033，1012） C．（3033，1011） D．（1011，1012）
【答案】B
【分析】观察图形可得奇数点的规律为：A1（2，0），A3（5，1），A5（8，2）...A2n-1（3n-1，n-1），偶数点的规律为：A2（3，2），A4（6，3），A6（9，4）...A2n（3n，n+1），根据规律求解即可．
【详解】解：由图像可得，奇数点的规律为：A1（2，0），A3（5，1），A5（8，2）...A2n-1（3n-1，n-1），
偶数点的规律为：A2（3，2），A4（6，3），A6（9，4）...A2n（3n，n+1），
∵2n=2022，∴n=1011，∴A2022的坐标为（3033，1012），故选：B．
【点睛】本题主要考查点的坐标规律，根据图形准确找到平面内点的坐标的变化规律是解答此题的关键．
22．（2022·湖北十堰·七年级期中）横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，一列有规律的整点，其坐标依次为(1，0)，(2，0)，(2，1)，(1，1)，(1，2)，(2，2)，…，根据这个规律，第2022个整点的坐标为（ ）
A．(45，3) B．(45，13) C．(45，22) D．(45，0)
【答案】A
【分析】根据图像，到每一个横坐标结束，经过整数点的个数等于最后横坐标的平方，计算即可得到答案．
【详解】补充作图，如下图，
由图可知，点(1，0)是第1个点，点(3，0)是第9个点，点(5，0)是第25个点，⋯，
观察图可知，直线x=2n−1上共有2n−1个点，
又因为且2025−2022=3<45，
所以第2022个点在直线x=45上且在点(45，0)上方相距3个单位长度，
所以第2022个点为(45，3)故选：A．
【点睛】本题主要考查坐标的确定，能根据已知条件发现点的规律是解题的关键．
23．（2022·河南驻马店·七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点．点P第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向左跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位至点，第4次向右跳动3个单位至点，第5次又向上跳动1个单位至点，第6次向左跳动4个单位至点，…照此规律，点P第2022次跳动至点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设第n次跳动至点Pn，据部分点Pn坐标的变化找出变化规律P4n（n + 1，2m），Pn+1（n + 1，2n + 1），P4n+2（-n-1，2n+ 1），P4n+3（-n-1，2n +2），依此规律结合2022= 505 ×4+2，即可得出点P2022的坐标．
【详解】设第n次跳动至点Pn，观察发现：P（1，0），P1（1，1），P2（-1，1），P3（-1，2），P4（2，2），P5（2，3），P6（-2，3），P7（-2，4），P8（3，4），P9（3，5），...
∴P4n（n + 1，2n），P4n+1（n + 1，2n +1），
P4n+2（-n-1，2n+ 1），P4n+3（-n-1，2n+2），（n为自然数），
∵2022 = 505 × 4+2，∴P2022（-505 - 1，505×2+1），即（-506，1011）．故选：A．
【点睛】本题考查了点坐标的规律探索，解题的关键是准确找到点的坐标变化规律．
24．（2022·湖北孝感·七年级期中）如图，在平面直角坐标系中有点，点第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，…，依照此规律跳动下去，点第2022次跳动至点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可以发现规律，顺序数为偶数的点都在第一象限，且对应点的坐标的纵坐标比横坐标小1，的坐标为，根据规律直接求解即可．
【详解】根据题意可以发现规律：顺序数为偶数的点都在第一象限，且对应点的坐标的纵坐标比横坐标小1，
的坐标为，点的坐标为，故选：A．
【点睛】本题主要考查点的坐标、坐标的平移，解决本题的关键是找出点的坐标的变化规律．
25．（2022·湖北荆门·七年级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把P1（y－1，－x－1）叫做点P的友好点，已知点A1的友好点为A2，点A2的友好点为A3，点A3的友好点为A4，这样依次得到各点．若A2022的坐标为（1，-2），设A1（x，y），则x+y的值是（ ）
A．-5 B．-1 C．3 D．5
【答案】C
【分析】根据题意分别求出A1，A2，A3A4，A5的坐标，总结规律，根据规律解答即可．
【详解】解：∵A2022的坐标为（1，-2），
根据题意可知：A2021的坐标为（1，2），A2020的坐标为（-3，2），A2019的坐标为（-3，-2），
A2018的坐标为（1，-2），A2017的坐标为（1，2），A2016的坐标为（-3，2），…
∴A4n+1（1，2），A4n+2（1，-2），A4n+3（-3，-2），A4n+4（-3，2）（n为自然数）．
∵2022＝505×4+2，A2022的坐标为（1，-2），
∴A2021（1，2），∴A1（1，2），∴x+y＝3．故选：C．
【点睛】本题考查了规律型中的点的坐标的变化，解决该题型题目时，根据友好点的定义列出部分点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键．
26．（2022·湖北·潜江市高石碑镇第一初级中学七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，，，，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：（0，0），（0，1），（1，1），（1，－1），（－1，－1），…，根据这个规律，点的坐标为____________．
【答案】（-505，506）
【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，由图可知，被4除余2的点在第二象限的角平分线往右移一个单位长度的点上，再根据第二象限内点的符号得出答案即可．
【详解】解：∵（0，0），（0，1），（1，1），（1，－1），（－1，－1），(－1，2)，…，
∴下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线往上移一个单位长度的直线上，由规律可得，，即点在第二象限的角平分线往上移一个单位长度的直线上，∴点（-505，506），故答案为：（-505，506）
【点睛】本题考查平面直角坐标系当中点的规律，正确找出平面角坐标系当中点的规律是解题的关键．
27．（2022·河南·延津县清华园学校八年级阶段练习）如图，已知点C（0，1），A（0，0），点B在x轴上，∠ABC=30°，在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△，第2个△，第3个△，…，则第10个等边三角形的边长是___________
【答案】
【分析】根据30°角的性质，勾股定理，求得OB=，根据△，△，△是等边三角形，判定△，△，△等都是含有30°角的直角三角形，依次运用直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半计算，找到规律计算即可．
【详解】因为点C（0，1），A（0，0），∠ABC=30°，所以CB=2，OB=．
因为△，△，△是等边三角形，所以60° ，
所以=90° ，=90° ，=90° ，=30° ，
所以，，,
所以第10个等边三角形的边长为，故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，边长的规律，熟练掌握直角三角形的性质，准确探索规律是解题的关键．
28．（2022·河北·石家庄石门实验学校八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点A，交y轴于点，，，，．．．在直线l上，点，，．．．在x轴的正半轴上，若，，，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，已知点A坐标是（－2，0），则点的横坐标为______．
【答案】##
【分析】先求,,的坐标，探究规律后，根据规律即可解出答案．
【详解】由题意得：∴
∴∵∴的横坐标为故答案为：．
【点睛】本题考查了点的坐标和等腰直角三角形的性质等知识，利用知识点得出每个点的坐标，寻找出规律是解决问题的关键．
29．（2022·甘肃·民勤县第六中学九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点P（1，0）作如下变换：先向上平移1个单位长度（后一次平移均比上一次多一个单位长度），再作关于原点的对称点．即将点P向上平移1个单位长度得到点P1，作P1关于原点的对称点P2，将点P2向上平移2个单位长度得到点P3，作点P3关于原点的对称点P4⋯那么点P2016的坐标是______．
【答案】（1，-504）
【分析】通过观察可以发现序号被4整除余数不同的数均匀分布在4个象限，并且分布在第一和第四象限的点横坐标为1，分布在第二和第三象限的点横坐标为-1
【详解】解：∵ ，∴ 分布在第四象限，∴ 横坐标为1，
又∵ 在构成点系列中，排第504位，
∴ 的纵坐标为-504故答案为：（1，-504）．
【点睛】本题考查了点的平移与对称变换，通过观察找到变换后的规律是解题关键．
30．（2022·甘肃·张掖市第一中学八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线、，点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，依次进行下去．则点的横坐标为 _____．
【答案】
【分析】首先根据题意，分别写出的坐标，从中找出点的坐标的规律，代入计算即可得出点的横坐标．
【详解】解：∵过点作轴的垂线交于点，∴，
把代入，得，即，
把代入，得，即，
同理可得，，∴（为自然数），
∵，∴的坐标为，
即．∴点的横坐标为，故答案为：
【点睛】本题考查了一次函数图像上的点的坐标特征及变化规律，解本题的关键在根据题意正确找出点的规律．
31．（2021·黑龙江绥化·八年级期末）如图，放置的，，，…都是边长为2的等边三角形，点A在y轴上，点O、、、…都在直线l上，则点的坐标是______．
【答案】
【分析】根据题意得出的坐标，进而得出坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案．
【详解】解：过点作轴，则轴，
∵…都是边长为2的等边三角形，
∴，，
∴轴，∴，，
∵轴，轴，∴三点共线，
∴，∴的坐标为，
∴的坐标为，的坐标为，的坐标为，……
∴的坐标是，∴的坐标是．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了点的坐标特征以及数字变化类规律，等边三角形的性质，勾股定理，得出坐标变化规律是解题关键．
32．（2022·山东临沂·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，…都在轴上，点，，…都在直线上，，，，，…都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是______，点的坐标是______．
【答案】 （23，23） （2n﹣1，2n﹣1）．
【分析】由OA1＝1得到点B1的坐标，然后利用等腰直角三角形的性质得到点A2的坐标，进而得到点B2的坐标，然后再一次类推得到点Bn的坐标．
【详解】∵OA1＝1，∴点A1的坐标为（1，0），
∵△OA1B1是等腰直角三角形，∴A1B1＝1，∴B1（1，1），
∵△B1A1A2是等腰直角三角形，∴A1A2＝1，B1A2，
∵△B2B1A2为等腰直角三角形，∴A2A3＝2，∴B2（2，2），
同理可得，B3（22，22），B4（23，23），…，Bn（2n﹣1，2n﹣1）．
故答案为：（23，23），（2n﹣1，2n﹣1）．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，点的坐标规律，找到规律是解题的关键．
33．（2022·浙江台州·七年级期中）已知，，…，，…，(k为正整数)，且满足，，则A2022的坐标为____.
【答案】##（0.5，0）
【分析】根据 ，yk＝1﹣yk﹣1，求出前几个点的坐标会发现规律，这些点每6个为一个循环，根据规律求解即可．
【详解】解：∵A1（2，1），A2（﹣1，0），…，Ak（xk，yk），…，（k为正整数），且满足，yk＝1﹣yk﹣1，∴A3（，1），A4（2，0），A5（﹣1，1），A6（，0），A7（2，1），A8（﹣1，0），
通过以上几个点的坐标可以发现规律，这些点每6个为一个循环，
∵2022＝6×337，∴A2022的坐标为（，0）．故答案为：（，0）．
【点睛】本题主要考查规律型：点的坐标，读懂题意，准确找出点的坐标规律是解答此题的关键．
34．（2022·山东德州·七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点．其顺序按照图中“→”方向排列，即，，，，，……．根据这个规律，探究可得到第110个点的坐标为______．
【答案】（15，10）
【分析】观察点的坐标特点寻找规律，找到横坐标和纵坐标的变化特点即可解答．
【详解】解：横坐标为1的点有1个，纵坐标为0；
横坐标为2的点有2个，纵坐标为0，1；
横坐标为3的点有3个，纵坐标为0，1，2；
横坐标为4的点有4个，纵坐标为0，1，2，3；…，
发现规律：因为1＋2＋3＋4＋…＋14＝105，
因为在第14行点的走向为向上，所以第105个点的坐标为（14，13），
因为第15行点的走向为向下，故第110个点在此行上，
横坐标为15，纵坐标为从106个点（15，14）向下数5个点，即为10；
故第110个点的坐标为（15，10）故答案为：（15，10）．
【点睛】本题考查了阅读理解及总结规律的能力，找到横坐标和纵坐标的变化特点是解题关键．
35．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，的中点为；，，的中点为；，，的中点为；，，的中点为；…；按此做法进行下去，则点的坐标为_____．
【答案】
【分析】根据图形找出规律即可解答．由图可知，线段位于第一象限，位于第二象限，位于第三象限，位于第四象限…，每四个循环一次，则可知道在第几象限，写出的坐标，即可解答．
【详解】∴线段在第二象限；
∴（0，2023），（-2022，0）∵点为线段中点，
∴点的坐标为，即故答案为：
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，仔细读题找出变化规律是解题的关键．
2）平面直角坐标系的面积问题
1．（2022•江夏区八年级月考）如图所示，直角坐标系中四边形的面积是（ ）
A．15.5 B．20.5 C．26 D．31
【分析】图中四边形可以视为由两个直角三角形和一个梯形构成，分别计算其面积并求和即可．
【解答】解：图中四边形可以视为由两个直角三角形和一个梯形构成，则其面积为：
2×3+（3+4）×3+1×4＝3++2＝15.5．故选：A．
2．（2022•沙河市八年级期中）在网格图中有一个面积为10的△ABC，△ABC的三个顶点均在网格的格点上，墨墨在网格图中建立了适当的直角坐标系，并知道点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（﹣3，﹣2），后来墨墨不小心在该图洒上了墨水，如图所示，点C的坐标看不清了，但他记得线段AC与y轴平行，则点C的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（﹣1，2）
【分析】根据三角形的面积公式求出AC，再根据网格结构确定出点C的坐标即可．
【解答】解：∵A（2，3），B（﹣3，﹣2），线段AC与y轴平行，
∴点B到AC的距离为2+3＝5，∴S△ABC=AC•5＝10，解得AC＝4，
∴点C的纵坐标为3﹣4＝﹣1，∴点C的坐标为（2，﹣1）．故选：C．
3．（2022•历下区八年级期中）如图，由8个边长为1的小正方形组成的图形，被线段AB平分为面积相等的两部分，已知点A的坐标是（1，0），则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图，设BC＝x，根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：如图，设BC＝x，
由题意得，3×（2+x）=8，解得：x，
3，∴点B的坐标为（，3），故选：A．
4．（2022春•商南县期末）已知点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴上，△ABC的面积是10，则点C的坐标可能是（ ）
A．（0，10） B．（5，0） C．（0，﹣5） D．（0，4）
【分析】首先求得AB的长，根据三角形的面积公式，即可求得C的纵坐标，进而得到C的坐标．
【解答】解：设点C坐标是（0，y）根据题意得，AB×AC＝10即4×|y|＝10，解得y＝±5．
所以点C坐标是：（0，5）或（0，﹣5）．故选：C．
5．（2022•平泉市八年级期末）如图，两个形状、大小完全相同的直角三角形叠放在一起，将直角三角形ABC沿着x轴正方向平移到直角三角形DEF的位置．已知点A（1，5），点B（1，1），DG＝1，平移距离为2．（1）点G的坐标为 ；（2）阴影部分的面积S＝ ．
【分析】（1）求出BE，GE的长度即可得出答案；
（2）根据平移的性质得S△ABC＝S△DEF，从而S△ABC﹣S△CEG＝S△DEF﹣S△CEG，梯形ABEG的面积＝阴影部分的面积，求梯形的面积即可得到阴影部分的面积．
【解答】解：（1）∵A（1，5），点B（1，1），∴AB＝4，
∵平移距离为2，∴BE＝2，DE＝AB＝4，
∵DG＝1，∴GE＝DE﹣DG＝4﹣1＝3，
∴G（3，4）；故答案为：G（3，4）；
（2）∵将直角三角形ABC沿着x轴正方向平移到直角三角形DEF的位置，
∴S△ABC＝S△DEF，∴S△ABC﹣S△CEG＝S△DEF﹣S△CEG，
∴梯形ABEG的面积＝阴影部分的面积，
∴S=（AB+EG）×BE=（4+3）×2＝7．故答案为：7．
6．（2022•海淀区八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，曲线f向上平移1个单位形成曲线g的过程中所扫过的面积是 ．
【分析】曲线f向上平移1个单位形成曲线g的过程中所扫过的面积可以看成是底为1，高为3的平行四边形的面积．
【解答】解：曲线f向上平移1个单位形成曲线g的过程中所扫过的面积＝1×3＝3，故答案为：3．
7．（2022•漳州校级一模）已知：如图△ABC的顶点坐标分别为A（﹣4，﹣3），B（0，﹣3），C（﹣2，1），如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点，若设△ABC的面积为S1，△AB1C的面积为S2，则S1，S2的大小关系为s1 s2（填“＜”、“＞”、“＝”）．
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．
平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【解答】解：原来点的横坐标是0，纵坐标是﹣3，向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点的横坐标是0+2＝2，纵坐标为﹣3+4＝1．那么原三角形的面积是：4×4＝8，
新三角形的面积为：4×4＝8，∴两三角形的面积相等，即s1＝s2．
8.（2022·陕西·大荔县教学研究室七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，将折线向右平移得到折线，则折线在平移过程中扫过的面积是______．
【答案】6
【分析】利用平移的性质可判断四边形AEFC和四边形BEFD都为平行四边形，然后由平移过程中扫过的面积=S▱AEFC+S▱BEFD，根据平行四边形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵平移折线AEB，得到折线CFD，
∴四边形AEFC和四边形BEFD都为平行四边形，
∴折线AEB在平移过程中扫过的面积=S▱AEFC+S▱BEFD
=AO•EF+BO•EF=EF（AO+BO）=EF•AB=[2-（-1）]×[1-（-1）]=6．故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形-平移，熟练掌握平移的性质：把一个图形整体沿某一直线移动，得到新图形与原图形的形状和大小完全相同；连接各组对应点的线段平行且相等是解决问题的关键．
9．（2022·吉林通化·七年级期末）如图，平面直角坐标系中有一个的正方形网格，每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，请完成下列问题．
(1)点坐标为_________．(2)将先向_________平移_________个单位、再向_________平移_________个单位到达的位置．(3)图中阴影部分的面积为_________．
【答案】(1)（2，3(2)右，三，下，二（或下，二，右，三）(3)9
【分析】（1）根据网格结构，确定点C在平面直角坐标系中的象限，及其到x轴、 y轴的距离分别为，即可得点C的坐标；
（2）根据网格结构，确定A、B、C三点分别同步平移到A1、B1、C1的方向和距离（单位数）即可得到结论；（3）根据平面直角坐标系中网格结构和平移的性质，可知平行且等于，，根据平行四边形的判定，从而得=，计算即可得到结果．
（1）解：根据平面直角坐标系及网格结构，可得：点C在第一象限到x轴距离为3， y轴的距离为2∴点C的坐标为（2，3）；
（2）解：根据网格结构，点A平移到A1，需先向，再向下平移2个单位， B、C同步移动；或先向下平移2个格点，再向右平移3个单位， B、C同步移动．∴将△ABC先向右平移3个单位、再向下平移2个单位或者先向下平移2个单位、再向右平移3个单位，到达△A1B1C1的位置；
（3）解：根据题意及平移的性质，，，∴四边形ABB1A1为平行四边形∴==3×3=9
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系点的坐标特征，作图－平移变换，平面直角坐标系中的图形面积，解题的关键是掌握平移变换的性质及要素（平移方向和平移距离）．
10．（2022•雨花区八年级月考）如图，在直角坐标平面内，已知点，点，点是点关于点的对称点．（1）求点的坐标；（2）如果点在轴上，过点作直线轴，点关于直线的对称点是点，那么当的面积等于10时，求点的坐标．
【分析】（1）由、坐标得出，根据点是点关于点的对称点知，据此可得；
（2）根据且，可得，即可知，据此可得答案．
【解答】解：（1）点，点，，
点是点关于点的对称点，，则点的坐标为；
（2）如图，
由题意知，，，则，
点的坐标为或．
11．（2022春•新市区八年级期末）如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）
（1）求点C到x轴的距离；（2）求△ABC的面积；（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）点C的纵坐标的绝对值就是点C到x轴的距离解答；
（2）根据三角形的面积公式列式进行计算即可求解；（3）设点P的坐标为（0，y），根据△ABP的面积为6，A（﹣2，3）、B（4，3），整理得|x﹣3|＝2，所以x＝5或x＝1，即可解答．
【解答】解：（1）∵C（﹣1，﹣3），∴|﹣3|＝3，
∴点C到x轴的距离为3；
（2）∵A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）
∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，点C到边AB的距离为：3﹣（﹣3）＝6，
∴△ABC的面积为：6×6÷2＝18．
（3）设点P的坐标为（0，y），
∵△ABP的面积为6，A（﹣2，3）、B（4，3），
∴6×|y﹣3|＝6，∴|y﹣3|＝2，∴y＝1或y＝5，
∴P点的坐标为（0，1）或（0，5）．
12．（2022•大同八年级期末）已知坐标平面内的三个点A（1，3），B（3，1），O（0，0），求△ABO的面积．
【分析】过A，B分别作y轴，x轴的垂线，则三角形ABC的面积可以转化为梯形和三角形的面积的和差的问题解决．
【解答】解：如图所示，
过A，B分别作y轴，x轴的垂线，垂足为C，E，两线交于点D，
则C（0，3），D（3，3），E（3，0）．
又因为O（0，0），A（1，3），B（3，1），
所以OC＝3，AC＝1，OE＝3，BE＝1，
AD＝DC﹣AC＝3﹣1＝2，
BD＝DE﹣BE＝3﹣1＝2，
则四边形OCDE的面积为3×3＝9，
△ACO和△BEO的面积都为3×1，
△ABD的面积为2×2＝2，
所以△ABO的面积为9﹣22＝4．
13．（2022•宁都县八年级期末）已知：如图，△ABC的三个顶点位置分别是A（1，0）、B（﹣2，3）、C（﹣3，0）．
（1）求△ABC的面积是多少？
（2）若点A、C的位置不变，当点P在y轴上时，且S△ACP＝2S△ABC，求点P的坐标？
（3）若点B、C的位置不变，当点Q在x轴上时，且S△BCQ＝2S△ABC，求点Q的坐标？
【分析】（1）根据点A、C的坐标求出AC的长，然后利用三角形的面积列式计算即可得解；
（2）分点P在y轴正半轴和负半轴两种情况讨论求解；
（3）分点Q在C的左边和右边两种情况讨论求解．
【解答】解：（1）∵A（1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，0），
∴AC＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4，
点B到AC的距离为3，
∴△ABC的面积4×3＝6；
（2）∵S△ACP＝2S△ABC＝12，
∴以AC为底时，△ACP的高＝12×2÷4＝6，
∴点P在y轴正半轴时，P（0，6）；
点P在y轴负半轴时，P（0，﹣6）；
（3）∵S△BCQ＝2S△ABC＝12，
∴以CQ为底时，△BCQ的高为3，底边CQ＝12×2÷3＝8，
∴点Q在C的左边时，Q（﹣3﹣8，0），即Q（﹣11，0）；
点Q在C的右边时，Q（﹣3+8，0），即Q（5，0）．
14．（2022·山东·日照市七年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(-3，0)，B(-6，-2)，C(-2，-5)．将△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到△A1B1C1．
(1)直接写出点B1的坐标；
(2)在平面直角坐标系xOy中画出△A1B1C1；
(3)若x轴上有一点P，且△ABP的面积与△ABC的面积相等，求P点的坐标．
【答案】(1)；(2)作图见解析；(3)P(5．5，0)或P(-11．5，0)；
【分析】（1）根据题意，结合点的平移即可得到；
（2）根据点的平移，分别得到的坐标，在平面直角坐标系中标出，连接即可得到△A1B1C1；（3）利用平移不改变图形形状与大小可知，再结合的面积是矩形面积减去三个直角三角形面积，间接表示即可得出结果．
(1)解：△ABC的顶点的坐标分别是B（－6，－2），
当将△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到△A1B1C1时，，即；
(2)解：△ABC的三个顶点的坐标分别是A（－3，0），B（－6，－2），C（－2，－5），
根据点的平移得到，将△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到△A1B1C1，从而，
在平面直角坐标系中标出并连接可得△A1B1C1，如图所示：
(3)解：设点P(x0，0)，则PA=，
∵，且△ABP的面积与△ABC的面积相等，
∴，∴x0=5.5或x0=-11.5，∴P(5.5，0)或P(-11.5，0)，
【点睛】本题考查平移变换，涉及到点的平移求坐标、利用平移作图、网格中三角形面积求解等知识点，熟练掌握平移的性质是解决问题的关键．
15．（2022·江苏·南师附中新城初中七年级期中）如图，在方格纸内将△ABC 水平向右平移 4 个单位得到．(1)补全，利用网格点和直尺画图；(2)画出 BC 边上的高线 AD；
(3)若图中△ABE 是△ABC 面积的2倍，在格中描出所有满足条件的格点E， 并记为E1、E2、E3…
【答案】(1)图见解析(2)图见解析(3)图见解析
【分析】（1）利用平移变换的性质分别做出的对应点即为所求；
（2）根据三角形高的定义画出图形即可；
（3）利用等高模型解决问题即可．
（1）如图，即为所求；
（2）如图，线段AD即为所求；
（3）如图，由于△ABE 是△ABC 面积的2倍，且△ABE 是△ABC 的底同为AB，可得E1、E2、E3、E4、E5即为所求．
【点睛】本题考查作图—平移变换，三角形的高，三角形的面积等知识，解题关键是掌握平移变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．
16．（2022·江苏无锡·八年级期中）在平面直角坐标系中，已知线段AB．其中A（1，－3），B（3，0）．平移线段AB到线段CD，使点A的对应点为点D，点B的对应点为点C．
（备用图）
(1)若点C的坐标为（－2，4），则点D的坐标是 ；
(2)若点C在y轴的正半轴上，点D在第三象限且四边形ABCD的面积为14，求点C的坐标．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）点B（3，0）向左平移5个单位，向上平移4个单位得到C（－2，4），A（1，－3）也向左平移5个单位，向上平移4个单位得到D；
（2）如图，设，则，表示出四边形ABCD的面积列出方程即可．
（1）解：B（3，0）向左平移5个单位，向上平移4个单位得到C（－2，4），
因此A（1，－3）向左平移5个单位，向上平移4个单位得到D；
（2）设，则
∴，解得，∴．
【点睛】本题考查坐标与图形变化——平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，间接法求面积也是本题的关键．
17．（2022·湖北武汉·七年级期中）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如点A，B，D，E都在格点上，连AD，∠BAD＝90°．请选择适当的格点，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．
(1)将线段AB平移到DC，使点A对应的点为D，连BC．则正方形ABCD的面积为______，AD的长度为______；(2)把三角形CDE先向上平移4格，再向右平移2格，得到三角形BAF，画出三角形BAF，直接写出三角形CDE在两次平移中扫过的面积＝______；(3)在CD上找一点M，使EM最短，连接EM．
【答案】(1)图见解析，20，(2)图见解析，23(3)见解析
【分析】（1）根据题意做出图形，利用勾股定理求出AD，根据正方形面积公式求解；
（2）在两次平移中扫过的面积等于大正方形的面积减去一个矩形面积和两个小三角形的面积即可；（3）根据垂线段最短，做出图形即可．
（1）图形如下图，
,正方形ABCD的面积=．故答案为：20，；
（2）图形如下图所示，
阴影部分为扫过的面积在两次平移中扫过的面积=．
故答案为：23．
（3）如图EM即为所求，
【点睛】本题考查了作图平移变换、三角形面积、平行四边形面积和垂线段最短知识，解题的关键是理解平移变换的性质．
18．（2022·河南商丘·七年级期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，现同时将点，分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，的对应点，，连接，，．
(1)点的坐标为_________，点的坐标为_________，四边形的面积为_________；
(2)在轴上是否存在一点，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，点是线段上一动点（，两点除外），试说明与的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)点C的坐标为，点D的坐标为，四边形的面积12
(2)存在，的坐标为或(3)，理由见解析
【分析】（1）根据点平移的规律易得点C的坐标为（0，2），点D的坐标为（6，2）；
（2）设点E的坐标为（x，0），根据△DEC的面积是△DEB面积的2倍和三角形面积公式得到，解得x＝1或x＝7，然后写出点E的坐标；
（3）当点P在线段BD上，作交轴于，根据平行线的性质由得，再根据平行线的性质，，从而得到结论．
（1）解：∵点A、的坐标分别是，，同时将点、分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到A、的对应点、，
∴点的坐标为，点的坐标为，
；
（2）解：存在．理由如下：设点的坐标为，
∵的面积是的面积的2倍，
∴，解得或，
∴点的坐标为或；
（3）解：，理由如下：
过点作交轴于，如图所示：
∴ ∴，，
∴．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标得到线段的长和线段与坐标轴的关系，也考查了平行线的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．
19．（2022·江苏泰州·七年级期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的三个顶点A、B、C都在格点上．现将平移，使点A平移到点D，点E、F分别是B、C的对应点．
(1)请在图中画出平移后的；(2)四边形ABED的面积为多少？；
(3)在网格中画出一个格点P，使得（画出一个即可）.
【答案】(1)见解析(2)28(3)见解析
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出B、C的对应点E、F即可．
（2）平行四边形ABED的面积=平行四边形ABMN的面积．（3）取AB的中点P即可．
（1）如图，即为所求．
（2）平行四边形ABED的面积=平行四边形ABMN的面积=，故答案为：28．
（3）如图，点P即为所求（答案不唯一）．
【点睛】本题考查作图—平移变换，平行四边形的面积，三角形的面积等知识，解题的关键是正确作出图形，学会利用转化的思想解决问题．
20．（2022·广东·广州市第四中学七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，现同时将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．
(1)求点C，D的坐标；(2)点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的使得四边形OMDB的面积为12？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
(3)在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从D点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，当点N到达点O时运动停止．设射线BN交轴于点E．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
【答案】(1)C（-2,0），D（4,0）(2)t=2(3)值不变，为6
【分析】（1）根据点的坐标及平移方法即可确定；（2）过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H．由（1）中点的坐标得出D=6,DH=2,OD=4，AB=6，设M点坐标为（0，t），连接MB、OB，则四边形的面积等于△OBD的面积加上△OMD的面积等于12，然后解出t即可；（3）设运动时间为秒，OM=t，ON=4-2t(0≤t≤2)，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H，连接MB，OB，结合图形可得=S△ONB+S△OMB，然后代入求解即可．
（1）解：∵点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位∴C（-2,0），D（4,0）；
（2）解：存在；如图，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H．由题意得点C和点D的坐标分别为（-2,0）和（4,0）．A(0，3)，B(6，3)，∴CD=6,DH=2,OD=4，AB=6，设M点坐标为（0，t），连接MB、OB，∴OM=t．∵S四边形OMBD=S△OBD+S△OMB=12，∴,即，解得t=2；
（3）解：不变．理由如下：如图所示，设运动时间为秒，OM=t，ON=4-2t(0≤t≤2)，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H，连接MB，OB，∵=S四边形OMBN，S四边形OMBN=S△ONB+S△OMB，∴=S△ONB+S△OMB===6-3t+3t=6；∴为定值6，故其值不会变化．
【点睛】本题属于四边形的综合问题，考查了点坐标平移、坐标与图形、动点问题以及图形的面积等知识点，灵活应用所学知识是解答本题的关键．
21．（2022·广西玉林·七年级期中）如图，已知点满足．将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接．
(1)请求出点和点的坐标；(2)点从点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于9？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由；(3)在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由．
【答案】(1)（-1 ，0），（3 ，0） (2)存在这样的，使得四边形的面积等于9，理由见解析
(3)为定值，故其值不会变化，理由见解析
【分析】（1）利用绝对值与平方的非负性求出a，b的值，即可求解；
（2）由平移性质可得点C（0，2），点D（4，2），OA＝1，OB＝2，OC＝2，CD＝4，由面积关系可求解；
（3）分点N在线段OB上，点N在BO的延长线上两种情况讨论，由面积和差关系可求解．
（1）解：∵，，
，解得，∴点A和点的坐标分别为（-1 ，0）和（3 ，0）；
（2）解：存在． 过D作DH⊥OB的延长线，垂足为H，如图所示：
由题意得点C和点D的坐标分别为（0 ，2）和（4 ，2），
∴CD=4 ，DH=2 ，OB=3 ，设M点坐标为（0，t），连接MD、OD，∴OM=t，
∵S四边形OMDB=S△OBD+S△OMD=9，∴，即，解得t=3，
存在这样的，使得四边形的面积等于9；
（3）解：不变．理由如下：
当点N在线段OB上时，如图所示，设运动时间为秒，OM=t，ON=3-2t，
过D作DH⊥OB的延长线，垂足为H ，连接MD，OD，
∵=S四边形OMDN，S四边形OMDN= S△OND+S△OMD ，
∴= S△OND+S△OMD===3-2t+2t=3，
当点N运动到线段BO的延长线上时，如图所示，设运动时间为秒，OM=t，ON=2t-3，连接OD，
∴为定值，故其值不会变化．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平移的性质，非负式性质求解，三角形的面积公式等知识，利用分类讨论思想解决是本题的关键．
22．（2022·广西·南宁十四中七年级期末）如图，三个顶点的坐标分别为，将向左平移3个单位长度，然后再向下平移4个单位长度，可以得到．
(1)画出平移后的；(2)若边上一点经过上述平移后的对应点为，用含x，y的式子表示点的坐标（______，________）；(3)已知点P在y轴上，以A、B、P为顶点的三角形面积为6，直接写出P点的坐标．
【答案】(1)见解析(2)(3)或
【分析】(1)分别求出向左平移3单位后的A1、B1、C1坐标，然后再连接A1、B1、C1即可；
(2)根据左右平移，纵坐标不变，横坐标左减右加；上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减即可判断；
(3)设点P(0，y)，进而求出AP=|y-4|，△ABP的面积选择AP为底，点B到y轴距离为高，代入面积为6即可求解．
(1)解：如图，为所求：
(2)解：∵点经过向左平移3个单位长度，然后再向下平移4个单位长度后得到点，
∴的坐标；
(3)解：设点P(0，y)，∴AP=|y-4|，设点B到y轴距离为h，且h=2，△ABP的面积选择AP为底，h为高，
∴，∴，解出或，∴或．
【点睛】本题考察了直角坐标系中点的平移规律及三角形面积公式，解题的关键是明确点的平移特点，求出平移后对应点的坐标．
23．（2022·全国·九年级）如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，E为DC的中点．
(1)以A为原点（即O与A重合），以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则C的坐标为 ；(2)若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动2秒后，得到长方形，则的坐标为 ，长方形的面积为 ；(3)若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动，运动时间为t，用含t的式子直接表示出长方形的面积 （线段可以看成是面积为0的长方形）；点E移动后对应点为F，直接写出t为何值时长方形的面积是三角形的3倍？
【答案】(1)（10，6）(2)（14，6），36(3)（﹣12t+60）或（12t﹣60），t＝2
【分析】（1）根据长方形的性质，坐标的确定方法求解即可．
（2）运动2秒相当于图形向右平移4cm，确定坐标即可，计算出的长度，计算面积即可．
（3）分0≤t≤5和t＞5两种情况计算即可．
(1)∵AB＝10cm，BC＝6cm，∴C的坐标为（10，6），故答案为：（10，6）．
(2)∵长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动2秒，
∴点C向右平移4cm，∵C（10，6），∴（14，6），故答案为：（14，6）．
∵AB＝10，＝4，∴＝6，∴长方形的面积为36（）．故答案为：36．
(3)当t≤5时，如图：
∵＝AB﹣＝10﹣2t，∴长方形的面积为6×（10﹣2t）＝﹣12t+60（），
当t＞5时，如图：
∵＝﹣AB＝2t﹣10，∴长方形的面积为6×（2t﹣10）＝12t﹣60（），
故答案为：（﹣12t+60）或（12t﹣60）；
当t≤5时，如图：
长方形的面积为﹣12t+60，
△面积的3倍为，由题意得：﹣12t+60＝18t，解得t＝2；
当t＞5时，如图：
同理可得：12t﹣60＝18t，解得t＝﹣10（舍去），∴t＝2．
【点睛】本题考查直角坐标系，涉及长方形形性质，三角形面积等，解题的关键是画出图形，用含t的代数式表示相关线段的长度．
24．（2022·新疆师范大学附属中学七年级期末）在平面直角坐标系中，A（－2，4），B（－3，－1），C（0，2）．将△ABC平移至△A1B1C1，点A对应点A1（3，3），点B对应点B1，点C对应点C1．
(1)画出平移后的△A1B1C1，并写出B1的坐标；(2)求△ABC的面积；(3)若存在点D（m，n）使得△BB1D和△BB1C面积相等，其中m，n均为绝对值不超过5的整数，则点D的坐标为_________．
【答案】(1)图见详解，B1的坐标（2，﹣2） (2)6 (3)（﹣5，3）或（0，2）或（5，1）或（﹣1，﹣5）
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；（3）利用等高模型，画出点D即可．
(1)如图，△A1B1C1即为所求，B1的坐标（2，﹣2）；
(2)△ABC的面积＝3×52×23×31×5＝6；
(3)如图，点D的坐标为（﹣5，3）或（0，2）或（5，1）或（﹣1，﹣5）．
故答案为：（﹣5，3）或（0，2）或（5，1）或（﹣1，﹣5）．
【点睛】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分割法求三角形的面积．
25．（2022·湖北武汉·七年级期末）在平面直角坐标系中，，，a，b满足，连接AB交y轴于C．
(1)直接写出______，______；(2)如图1，点P是y轴上一点，且三角形ABP的面积为12，求点P的坐标；(3)如图2，直线BD交x轴于，将直线BD平移经过点A，交y轴于E，点在直线AE上，且三角形ABQ的面积不超过三角形ABD面积的，求点Q横坐标x的取值范围．
【答案】(1)-3，4 (2)-3，4(3)-4≤x≤-2且x≠-3
【分析】（1）根据非负数的性质构建方程组，解方程组求出，；
（2）过点作轴于，设，由三角形面积关系得出，求出，过点作轴于，由三角形面积关系得出，求出即可；
（3）连接，过点作轴，分点在第二象限，点在第三象限时，两种情况，分别列出方程，解之即可．
（1）解：，又∵，，
，解得：，故答案为：-3，4．
（2）过点作轴于，
设，三角形的面积四边形的面积三角形的面积，
，即，
解得：，点的坐标为，
过点作轴于，三角形的面积三角形的面积三角形的面积，
，即，
，点的坐标为或．
（3）点向左平移4个单位长度，向下平移4个单位长度到点A，
∵点D向左平移4个单位长度后的对应点正好在y轴上，
∴点平移后的对应点恰好是点，
连接，过点作轴，如图所示：
，三角形的面积三角形的面积，
当三角形的面积三角形的面积时，，
当点在第三象限时，，解得：，
当点在第二象限时，，解得：，
当三角形的面积不超过三角形面积的时，
点的横坐标的取值范围是，且．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，非负数的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
专题3.2 平面直角坐标系中的规律问题与面积问题 专项训练
本专题训练卷共60题，其中：平面直角坐标系的规律问题35题，平面直角坐标系的面积问题25题；题型针对性较强，覆盖面广，选题有深度，包含了平面直角坐标系中的规律问题和面积问题全部类型。
1）平面直角坐标系的规律问题
1．（2022·江西·七年级期中）如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点（1，0），等二分钟，它从点（1，0）运动到点（1，1），而后它接着按图中箭头所示在与x轴，y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2022分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（ ）
A．（45，3） B．（2，44） C．（3，45） D．（44，2）
【答案】D
【分析】找出粒子运动规律和坐标之间的关系即可解题．
【详解】解：由题知（0，0）表示粒子运动了0分钟，
运动到点（1，1），粒子运动了2=1×2（分钟），将向左运动，
运动到点（2，2），粒子运动了6=2×3（分钟），将向下运动，
运动到点（3，3），粒子运动了12=3×4（分钟），将向左运动，……，由此总结出：运动到点（n，n），粒子运动了n(n+1)（分钟），运动方向规律是看n是奇数还是偶数，奇左偶下．
于是会出现：运动到点（44，44），粒子运动了44×45=1980（分钟），此时粒子将会向下运动，
∴在第2022分钟时，粒子又向下移动了2022-1980=42个单位长度，∴粒子的位置为（44，2），故选：D．
【点睛】本题考查的是动点坐标问题，解题的关键是找出粒子的运动规律．
2．（2022·湖北·仙桃荣怀学校七年级期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2）…按这样的运动规律经过第2022次运动后，动点P的坐标是（ ）
A．（2021，1） B．（2021，0） C．（2022，0） D．（2022，2）
【答案】C
【分析】根据题意可得每4次运动，点的纵坐标不发生变化，第n次运动，横坐标就是n，据此求解即可．
【详解】解：∵第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），第4次接着运动到点（4，0），第5次接着运动到点（5，1），第6次接着运动到点（6，0），第7次接着运动到点（7，2），第8次接着运动到点（8，0），第9次接着运动到点（9，1），
∴由此可知每4次运动，点的纵坐标不发生变化，第n次运动，横坐标就是n，
∵，∴第2022次运动后，点P的纵坐标与第二次运动后的纵坐标相同为0，横坐标为，
∴点P的坐标为（2022，0），故选C．
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确理解题意找到点的坐标规律是解题的关键．
3．（2022·河北·保定市清苑区北王力中学八年级期末）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2022次运动后，动点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据运动规律可知，横坐标为运动次数的相反数，纵坐标依次为1，0，2，0，每4次一轮，由此即可得．
【详解】解：由运动规律可知，横坐标为运动次数的相反数，纵坐标依次为1，0，2，0，每4次一轮，
则经过第2022次运动后，动点的横坐标是，∵，
∴经过第2022次运动后，动点的纵坐标与经过第2次运动后，动点的纵坐标相同，即为0，
∴经过第2022次运动后，动点的坐标是，故选：B．
【点睛】本题考查了点坐标的规律探索，正确归纳出变化规律是解题关键．
4．（2022·河南·郑州市创新实验学校九年级期末）如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴方向连续翻转若干次，点P依次落在点的位置，则点的横坐标为（ ）
A．2016 B．2017 C．2018 D．2020
【答案】D
【分析】根据△AOP是边长为1的正三角形，可得点P的横坐标为﹣观察图形的变化发现：的横坐标为1，的横坐标为1，的横坐标为，…进而可得点的横坐标．
【详解】解：∵△AOP是边长为1的正三角形，∴点P的横坐标为﹣
观察图形的变化发现：的横坐标为1，横坐标为1，的横坐标为，
的横坐标为4，的横坐标为4，的横坐标为，的横坐标为7，…
发现规律：∴的横坐标为3n+1，的横坐标为3n+1，的横坐标为3n+，（n为自然数）．
∵2021＝673×3+2，∴点的横坐标为2020，故选：D．
【点睛】此题考查直角坐标系，点坐标的变化规律探究，等边三角形的性质，正确掌握直角坐标系中点的坐标的表示方法，根据点的变化找到坐标的变化规律是解题的关键.
5．（2022·河南·郑州中原一中实验学校八年级期末）如图，矩形的两边、分别在轴、轴上，点与原点重合，点A（-2，3），将矩形ABCD沿轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为，经过第二次翻滚点A对应点记为依此类推，经过3次翻滚后点A对应点的坐标为（ ）
A．（8，2） B．（3，2） C．（3，3） D．（5，0）
【答案】D
【分析】根据A点坐标可知长方形的长和宽，根据长方形的长和宽分析每次翻滚后A点的落点，由此可解决本题．
【详解】解：∵A点坐标为（-2，3），∴AB=DC=3，AD=BC=2，
第一次翻滚后点坐标为：（3，2），第二次翻滚后点的坐标为（5，0），
第三次翻滚是以点为中心进行翻滚，故（5，0），故选：D．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中的点，能够根据题意分析出图形的运动过程是解决本题的关键．
6．（2022·河南驻马店·七年级期末）如图，已知（1，2），（2，2），（3，0），（4，－2），（5，－2），（6，0）…，按这样的规律，则点的坐标为（ ）
A．（2022，0） B．（2023，0） C．（2022，－2） D．（2022，2）
【答案】A
【分析】观察发现，每6个点形成一个循环，再根据点的坐标及2022÷6所得的整数及余数，可计算出点的横坐标，再根据余数对比第一组的相应位置的数可得其纵坐标．
【详解】解：观察发现，每6个点形成一个循环，∵（6，0），∴，
∵2022÷6=337，∴点的位于第337个循环组的第6个，
∴点的横坐标为6×337=2022，其纵坐标为：0，∴点的坐标为（2022，0）．故选：A．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的点的规律问题，发现题中的规律并正确计算出点所处的循环组是解题的关键．
7．（2022·山东聊城·七年级期末）如图；所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为2、4、6、8、…，顶点依次用…表示，则点的坐标为（ ）
A．(505，505) B．（－506，506） C．(506，506) D．（－505，505）
【答案】B
【分析】根据题意可得，，，（n为自然数），根据，即可得．
【详解】解：∵每个正方形都有4个顶点，
∴每4个点为一个循环组一次循环，
由题意得，，，，，，，，，，…，
∴，，，（n为自然数），
∵，∴，故选B．
【点睛】本题考查了点的坐标变化规律，解题的关键是找出规律．
8．（2022·山东德州·七年级期末）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，…，第次移动到，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】从O移动到作为一个循环，共移动了4次，水平向前移动了2m，则第2020次移动到，此时移动了2020÷4=505个循环，水平向前移动了2×505=1010（m），点的坐标（1010，0），则点的坐标（1011，1），点的坐标（2，1），则=1009（m），则△A2023的底边为，高为1m，则根据三角形面积公式就可以求得．
【详解】解：从O移动到作为一个循环，共移动了4次，水平向前移动了2m，
2022÷4=505…2，
∴第2020次移动到，此时移动了2020÷4=505个循环，水平向前移动了2×505=1010（m），
∴点的坐标（1010，0），∴点的坐标（1011，1），
∵点的坐标（2，1），则=1009（m），∴△的面积是×1×1009=，故选：B．
【点睛】本题主要考查点的坐标的变化规律，根据题意找出=2n（m）这个规律是解题的关键．
9．（2022·山东聊城·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循坏爬行，向第2022秒瓢虫在（ ）处．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据点A、B、C、D的坐标可得AB，AD的长，从而求出矩形ABCD的周长，进而求出蚂蚁爬行一周需要7秒，然后再进行计算即可解答．
【详解】解：∵A（-1，1），B（-1，-2），C（3，-2），D（3，1），
∴AB=CD=3，AD=BC=4，∴矩形ABCD的周长=2（AB+AD）=14，
∵14÷2=7（秒），∴瓢虫爬行一周需要7秒，∴2022÷7=288……6，
∴6×2=12，∴12-3-4-3=2，∴第2022秒瓢虫在（1，1）处．故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标规律：数字变化类，两点间距离，根据点的坐标求出矩形的周长并求出蚂蚁爬行一周需要的时间是解题的关键．
10．（2022·辽宁抚顺·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为，，，，，，，，，则依图中所示规律，的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】观察给出点的坐标，找出点之间的规律解答即可．
【详解】解：∵，，，，
，，，，，
观察可知：每四个点为一组，第n组的点分别为：，，，，
∵，∴位于第506组的第二个点，∴，即．选：A
【点睛】本题考查点的坐标规律，解题的关键是找出点的规律：每四个点为一组，第n组的点分别为：，，，．
11．（2022·四川泸州·七年级期末）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点叫做点P伴随点．已知点的伴随点为，的伴随点为，点的伴随点，…，这样依次得到点，，，…，，…若点的坐标为（2，4），点的坐标为（ ）
A．（3，－1） B．（－2，－2） C．（－3，3） D．（2，4）
【答案】D
【分析】根据伴随点的定义依次求出后面几个点，不难发现，每4个点为一个循环组，用2021除以4，得出商与余数后确定的坐标即可．
【详解】解：∵的坐标为(2，4），∴(-3，3)，(-2，-2)，(3，-1)，(2，4），……
依次类推，每4个为一个循环组；
∵2021÷4=505…1，∴点的坐标与的坐标相同，为(2，4），故选：D．
【点睛】本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解伴随点的定义并求出每4个一组循环是解题关键．
12．（2022·山东济宁·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1）．B（-1，1），C（-1，-2），D（1，-2）．把一条长为 2024个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按 A-B-C-D…的规律绕在 ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A．（-1，0） B．（-1，-1） C．(0，-2) D．(1，-2)
【答案】B
【分析】先计算出长方形的周长为10，再根据计算的结果可确定此题结果．
【详解】解：由题意得，长方形的周长为：，
，即该细线绕该长方形202圈后余4个单位长度，
可得细线另一端所在位置的点的坐标是，故选：B．
【点睛】本题考查了根据平面直角坐标系中点的位置确定其坐标的能力，解题的关键是能根据题意确定该细线另一端所在位置．
13．（2022·河南信阳·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，ABEGx轴，BCDEHGAPy轴，点D、C、P、H在x轴上，A(1，2)，B(﹣1，2)，D(﹣3，0)，E(﹣3，﹣2)，G(3，﹣2)，把一条长为2022个单位长度且没有弹性的细线(细线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按A→B→C→D→E→F→G→H→P→A…的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A．(﹣1，2) B．(﹣1，1) C．(0，1) D．(0，2)
【答案】A
【分析】根据坐标的特点，确定长度为2时，对应点为B，确定长度为4时，对应点为C，确定长度为6时，对应点为D，确定长度为8时，对应点为E，确定长度为11时，对应点为F，确定长度为14时，对应点为G，确定长度为16时，对应点为H，确定长度为18时，对应点为P，确定长度为20时，对应点为A，确定循环节为20，计算2022÷20，看余数判断即可．
【详解】因为ABEGx轴，BCDEHGAPy轴，点D、C、P、H在x轴上，A(1，2)，B(﹣1，2)，D(﹣3，0)，E(﹣3，﹣2)，G(3，﹣2)，
根据坐标的特点，确定长度为2时，对应点为B，确定长度为4时，对应点为C，
确定长度为6时，对应点为D，确定长度为8时，对应点为E，确定长度为11时，对应点为F，确定长度为14时，对应点为G，确定长度为16时，对应点为H，确定长度为18时，对应点为P，确定长度为20时，对应点为A，确定循环节为20，
所以2022÷20＝101…2，与B点重合，故选A．
【点睛】本题考查了坐标的特点和坐标的规律，熟练掌握坐标的特点，准确计算出循环节是解题的关键．
14．（2022·山东济宁·七年级阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，，……组成一条平滑的曲线．点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为个单位长度/秒，则第2022秒，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点P的坐标．
【详解】解：半径为1个单位长度的半圆的周长为×2π×1=π，
∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，∴点P每秒走个半圆，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为（1，1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为（2，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为（3，-1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为（4，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为（5，1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为（6，0），…，
∵2022÷4=505余2，∴P的坐标是（2022，0），故选：A．
【点睛】此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题．
15．（2022·福建福州·七年级期末）如图所示，长方形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点，将长方形ABCD沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为；经过第二次翻滚，点A的对应点记为；……依次类推，经过第2022次翻滚，点A的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】观察图形即可得到经过4次翻滚后点A对应点一循环，先求出2022÷4的商和余数，从而解答本题．
【详解】解：如图所示：观察图形可得经过4次翻滚后点A对应点一循环，2022÷4＝505…2，
∵点A（2，3），长方形的周长为：2（2＋3）＝10，
∴经过2022次翻滚后点A对应点A2022的坐标为（10×505＋3＋2，0），即（5055，0）．故选：A．
【点睛】本题考查探究点的坐标的问题，关键是找到点的变化规律．
16．（2022·河北·平山县教育局教研室七年级期末）在平面直角坐标系中，若干个等腰三角形按如图所示的规律摆放．点P从原点O出发，沿着“…”的路线运动（每秒一条直角边），已知坐标为，，，…设第n秒运动到点（n为正整数），则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图形发现每6个点为一个循环，分别求出A1至A6的坐标，发现规律得到答案即可．
【详解】解：由图形可知，每6个点为一个循环，
A1（1，1），A2（2，0），A3（3，1），A4（4，0），A5（5，-1），A6（6，0），
所有偶数点都在x轴上，且横坐标与序数相同，
∴点的坐标是（2022，0），故选：A．
【点睛】此题考查了点坐标的规律，正确理解题意发现并总结运用规律是解题的关键．
17．（2022·河南周口·七年级期中）如图，点向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点；将点向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点；将点向上平移4个单位长度，再向右平移8个单位长度，得到，…，按照这个规律平移得到的点，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出点A1，A2，A3，A4的横坐标，再从特殊到一般探究出规律，然后利用规律即可解决问题．
【详解】解：点A1的横坐标为1=21-1，
点A2的横坐标为1+2=3=22-1，点A3的横坐标为1+2+4=7=23-1，
点A4的横坐标为1+2+4+8=15=24-1，…
按这个规律平移得到点An的横坐标为，
∴点A2022的横坐标为22022-1，故选：B．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移、规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法．
18．（2022·辽宁抚顺·七年级期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按“→”所示方向跳动，第一次从跳到点，第二次跳到点，第三次跳到，第四次跳到，第五次跳到，第六次跳到．第七次跳到，第八次跳到，第九次跳到，…，按这样的跳动规律，点的坐标是（ ）
A．（2020，0） B．（2021，0） C．（2022，0） D．（2023，0）
【答案】B
【分析】根据题意可得点，，，，…，由此发现规律，即可求解．
【详解】解：根据题意得：点，，．，…，
由此发现：，∴点的坐标是（2021，0）．故选：B
【点睛】本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律是解题的关键．
19．（2022·江苏无锡·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，、、．规定“把先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2022次变换后，的顶点D的坐标变为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用平行四边形的性质求出点D的坐标，再将前几次变换后D点的坐标求出来，观察规律即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，A（-1，3）、B（1，1）、C（5，1），
∴D（3，3），把先沿x轴翻折，再向左平移1个单位后，∴D（2，-3），
观察，发现规律：D0（3，3），D1（2，-3），D2（1，3），D3（0，-3），D4（-1，3）……
∴对于横坐标，每次变换减一，对于纵坐标，奇数次变换为-3，偶数次变换为3.
∴经过2022次变换后，D（-2019，3）．故选：A．
【点睛】本题考查翻折变换，点的坐标——规律性，平行四边形的性质等知识点，解题的关键是先求出D的坐标，再利用变换的规律求解．
20．（2022·湖北武汉·七年级期中）如图，动点P从出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（∠AOM＝∠BOM），当点P第2022次碰到矩形的边时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，动点回到起始的位置，将2022除以6得到337，说明点P第2022次碰到矩形的边时为第337个循环组最后一次，因此点P的坐标为．
【详解】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，
∵第6次反弹时回到出发点，∴每6次碰到矩形的边为一个循环组依次循环，
∵2022÷6=337，∴点P第2022次碰到矩形的边时是第337个循环组最后一次，坐标为．故选：A．
【点睛】本题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．
21．（2022·广西防城港·七年级期中）如图，点A（0，1），点A1（2，0），点A2（3，2），点A3（5，1），…，按照这样的规律下去，点A2022的坐标为（ ）
A．（1011，1010） B．（3033，1012） C．（3033，1011） D．（1011，1012）
【答案】B
【分析】观察图形可得奇数点的规律为：A1（2，0），A3（5，1），A5（8，2）...A2n-1（3n-1，n-1），偶数点的规律为：A2（3，2），A4（6，3），A6（9，4）...A2n（3n，n+1），根据规律求解即可．
【详解】解：由图像可得，奇数点的规律为：A1（2，0），A3（5，1），A5（8，2）...A2n-1（3n-1，n-1），
偶数点的规律为：A2（3，2），A4（6，3），A6（9，4）...A2n（3n，n+1），
∵2n=2022，∴n=1011，∴A2022的坐标为（3033，1012），故选：B．
【点睛】本题主要考查点的坐标规律，根据图形准确找到平面内点的坐标的变化规律是解答此题的关键．
22．（2022·湖北十堰·七年级期中）横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，一列有规律的整点，其坐标依次为(1，0)，(2，0)，(2，1)，(1，1)，(1，2)，(2，2)，…，根据这个规律，第2022个整点的坐标为（ ）
A．(45，3) B．(45，13) C．(45，22) D．(45，0)
【答案】A
【分析】根据图像，到每一个横坐标结束，经过整数点的个数等于最后横坐标的平方，计算即可得到答案．
【详解】补充作图，如下图，
由图可知，点(1，0)是第1个点，点(3，0)是第9个点，点(5，0)是第25个点，⋯，
观察图可知，直线x=2n−1上共有2n−1个点，
又因为且2025−2022=3<45，
所以第2022个点在直线x=45上且在点(45，0)上方相距3个单位长度，
所以第2022个点为(45，3)故选：A．
【点睛】本题主要考查坐标的确定，能根据已知条件发现点的规律是解题的关键．
23．（2022·河南驻马店·七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点．点P第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向左跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位至点，第4次向右跳动3个单位至点，第5次又向上跳动1个单位至点，第6次向左跳动4个单位至点，…照此规律，点P第2022次跳动至点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设第n次跳动至点Pn，据部分点Pn坐标的变化找出变化规律P4n（n + 1，2m），Pn+1（n + 1，2n + 1），P4n+2（-n-1，2n+ 1），P4n+3（-n-1，2n +2），依此规律结合2022= 505 ×4+2，即可得出点P2022的坐标．
【详解】设第n次跳动至点Pn，观察发现：P（1，0），P1（1，1），P2（-1，1），P3（-1，2），P4（2，2），P5（2，3），P6（-2，3），P7（-2，4），P8（3，4），P9（3，5），...
∴P4n（n + 1，2n），P4n+1（n + 1，2n +1），
P4n+2（-n-1，2n+ 1），P4n+3（-n-1，2n+2），（n为自然数），
∵2022 = 505 × 4+2，∴P2022（-505 - 1，505×2+1），即（-506，1011）．故选：A．
【点睛】本题考查了点坐标的规律探索，解题的关键是准确找到点的坐标变化规律．
24．（2022·湖北孝感·七年级期中）如图，在平面直角坐标系中有点，点第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，…，依照此规律跳动下去，点第2022次跳动至点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可以发现规律，顺序数为偶数的点都在第一象限，且对应点的坐标的纵坐标比横坐标小1，的坐标为，根据规律直接求解即可．
【详解】根据题意可以发现规律：顺序数为偶数的点都在第一象限，且对应点的坐标的纵坐标比横坐标小1，
的坐标为，点的坐标为，故选：A．
【点睛】本题主要考查点的坐标、坐标的平移，解决本题的关键是找出点的坐标的变化规律．
25．（2022·湖北荆门·七年级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把P1（y－1，－x－1）叫做点P的友好点，已知点A1的友好点为A2，点A2的友好点为A3，点A3的友好点为A4，这样依次得到各点．若A2022的坐标为（1，-2），设A1（x，y），则x+y的值是（ ）
A．-5 B．-1 C．3 D．5
【答案】C
【分析】根据题意分别求出A1，A2，A3A4，A5的坐标，总结规律，根据规律解答即可．
【详解】解：∵A2022的坐标为（1，-2），
根据题意可知：A2021的坐标为（1，2），A2020的坐标为（-3，2），A2019的坐标为（-3，-2），
A2018的坐标为（1，-2），A2017的坐标为（1，2），A2016的坐标为（-3，2），…
∴A4n+1（1，2），A4n+2（1，-2），A4n+3（-3，-2），A4n+4（-3，2）（n为自然数）．
∵2022＝505×4+2，A2022的坐标为（1，-2），
∴A2021（1，2），∴A1（1，2），∴x+y＝3．故选：C．
【点睛】本题考查了规律型中的点的坐标的变化，解决该题型题目时，根据友好点的定义列出部分点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键．
26．（2022·湖北·潜江市高石碑镇第一初级中学七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，，，，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：（0，0），（0，1），（1，1），（1，－1），（－1，－1），…，根据这个规律，点的坐标为____________．
【答案】（-505，506）
【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，由图可知，被4除余2的点在第二象限的角平分线往右移一个单位长度的点上，再根据第二象限内点的符号得出答案即可．
【详解】解：∵（0，0），（0，1），（1，1），（1，－1），（－1，－1），(－1，2)，…，
∴下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线往上移一个单位长度的直线上，由规律可得，，即点在第二象限的角平分线往上移一个单位长度的直线上，∴点（-505，506），故答案为：（-505，506）
【点睛】本题考查平面直角坐标系当中点的规律，正确找出平面角坐标系当中点的规律是解题的关键．
27．（2022·河南·延津县清华园学校八年级阶段练习）如图，已知点C（0，1），A（0，0），点B在x轴上，∠ABC=30°，在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△，第2个△，第3个△，…，则第10个等边三角形的边长是___________
【答案】
【分析】根据30°角的性质，勾股定理，求得OB=，根据△，△，△是等边三角形，判定△，△，△等都是含有30°角的直角三角形，依次运用直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半计算，找到规律计算即可．
【详解】因为点C（0，1），A（0，0），∠ABC=30°，所以CB=2，OB=．
因为△，△，△是等边三角形，所以60° ，
所以=90° ，=90° ，=90° ，=30° ，
所以，，,
所以第10个等边三角形的边长为，故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，边长的规律，熟练掌握直角三角形的性质，准确探索规律是解题的关键．
28．（2022·河北·石家庄石门实验学校八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点A，交y轴于点，，，，．．．在直线l上，点，，．．．在x轴的正半轴上，若，，，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，已知点A坐标是（－2，0），则点的横坐标为______．
【答案】##
【分析】先求,,的坐标，探究规律后，根据规律即可解出答案．
【详解】由题意得：∴
∴∵∴的横坐标为故答案为：．
【点睛】本题考查了点的坐标和等腰直角三角形的性质等知识，利用知识点得出每个点的坐标，寻找出规律是解决问题的关键．
29．（2022·甘肃·民勤县第六中学九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点P（1，0）作如下变换：先向上平移1个单位长度（后一次平移均比上一次多一个单位长度），再作关于原点的对称点．即将点P向上平移1个单位长度得到点P1，作P1关于原点的对称点P2，将点P2向上平移2个单位长度得到点P3，作点P3关于原点的对称点P4⋯那么点P2016的坐标是______．
【答案】（1，-504）
【分析】通过观察可以发现序号被4整除余数不同的数均匀分布在4个象限，并且分布在第一和第四象限的点横坐标为1，分布在第二和第三象限的点横坐标为-1
【详解】解：∵ ，∴ 分布在第四象限，∴ 横坐标为1，
又∵ 在构成点系列中，排第504位，
∴ 的纵坐标为-504故答案为：（1，-504）．
【点睛】本题考查了点的平移与对称变换，通过观察找到变换后的规律是解题关键．
30．（2022·甘肃·张掖市第一中学八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线、，点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，依次进行下去．则点的横坐标为 _____．
【答案】
【分析】首先根据题意，分别写出的坐标，从中找出点的坐标的规律，代入计算即可得出点的横坐标．
【详解】解：∵过点作轴的垂线交于点，∴，
把代入，得，即，
把代入，得，即，
同理可得，，∴（为自然数），
∵，∴的坐标为，
即．∴点的横坐标为，故答案为：
【点睛】本题考查了一次函数图像上的点的坐标特征及变化规律，解本题的关键在根据题意正确找出点的规律．
31．（2021·黑龙江绥化·八年级期末）如图，放置的，，，…都是边长为2的等边三角形，点A在y轴上，点O、、、…都在直线l上，则点的坐标是______．
【答案】
【分析】根据题意得出的坐标，进而得出坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案．
【详解】解：过点作轴，则轴，
∵…都是边长为2的等边三角形，
∴，，
∴轴，∴，，
∵轴，轴，∴三点共线，
∴，∴的坐标为，
∴的坐标为，的坐标为，的坐标为，……
∴的坐标是，∴的坐标是．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了点的坐标特征以及数字变化类规律，等边三角形的性质，勾股定理，得出坐标变化规律是解题关键．
32．（2022·山东临沂·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，…都在轴上，点，，…都在直线上，，，，，…都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是______，点的坐标是______．
【答案】 （23，23） （2n﹣1，2n﹣1）．
【分析】由OA1＝1得到点B1的坐标，然后利用等腰直角三角形的性质得到点A2的坐标，进而得到点B2的坐标，然后再一次类推得到点Bn的坐标．
【详解】∵OA1＝1，∴点A1的坐标为（1，0），
∵△OA1B1是等腰直角三角形，∴A1B1＝1，∴B1（1，1），
∵△B1A1A2是等腰直角三角形，∴A1A2＝1，B1A2，
∵△B2B1A2为等腰直角三角形，∴A2A3＝2，∴B2（2，2），
同理可得，B3（22，22），B4（23，23），…，Bn（2n﹣1，2n﹣1）．
故答案为：（23，23），（2n﹣1，2n﹣1）．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，点的坐标规律，找到规律是解题的关键．
33．（2022·浙江台州·七年级期中）已知，，…，，…，(k为正整数)，且满足，，则A2022的坐标为____.
【答案】##（0.5，0）
【分析】根据 ，yk＝1﹣yk﹣1，求出前几个点的坐标会发现规律，这些点每6个为一个循环，根据规律求解即可．
【详解】解：∵A1（2，1），A2（﹣1，0），…，Ak（xk，yk），…，（k为正整数），且满足，yk＝1﹣yk﹣1，∴A3（，1），A4（2，0），A5（﹣1，1），A6（，0），A7（2，1），A8（﹣1，0），
通过以上几个点的坐标可以发现规律，这些点每6个为一个循环，
∵2022＝6×337，∴A2022的坐标为（，0）．故答案为：（，0）．
【点睛】本题主要考查规律型：点的坐标，读懂题意，准确找出点的坐标规律是解答此题的关键．
34．（2022·山东德州·七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点．其顺序按照图中“→”方向排列，即，，，，，……．根据这个规律，探究可得到第110个点的坐标为______．
【答案】（15，10）
【分析】观察点的坐标特点寻找规律，找到横坐标和纵坐标的变化特点即可解答．
【详解】解：横坐标为1的点有1个，纵坐标为0；
横坐标为2的点有2个，纵坐标为0，1；
横坐标为3的点有3个，纵坐标为0，1，2；
横坐标为4的点有4个，纵坐标为0，1，2，3；…，
发现规律：因为1＋2＋3＋4＋…＋14＝105，
因为在第14行点的走向为向上，所以第105个点的坐标为（14，13），
因为第15行点的走向为向下，故第110个点在此行上，
横坐标为15，纵坐标为从106个点（15，14）向下数5个点，即为10；
故第110个点的坐标为（15，10）故答案为：（15，10）．
【点睛】本题考查了阅读理解及总结规律的能力，找到横坐标和纵坐标的变化特点是解题关键．
35．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，的中点为；，，的中点为；，，的中点为；，，的中点为；…；按此做法进行下去，则点的坐标为_____．
【答案】
【分析】根据图形找出规律即可解答．由图可知，线段位于第一象限，位于第二象限，位于第三象限，位于第四象限…，每四个循环一次，则可知道在第几象限，写出的坐标，即可解答．
【详解】∴线段在第二象限；
∴（0，2023），（-2022，0）∵点为线段中点，
∴点的坐标为，即故答案为：
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，仔细读题找出变化规律是解题的关键．
2）平面直角坐标系的面积问题
1．（2022•江夏区八年级月考）如图所示，直角坐标系中四边形的面积是（ ）
A．15.5 B．20.5 C．26 D．31
【分析】图中四边形可以视为由两个直角三角形和一个梯形构成，分别计算其面积并求和即可．
【解答】解：图中四边形可以视为由两个直角三角形和一个梯形构成，则其面积为：
2×3+（3+4）×3+1×4＝3++2＝15.5．故选：A．
2．（2022•沙河市八年级期中）在网格图中有一个面积为10的△ABC，△ABC的三个顶点均在网格的格点上，墨墨在网格图中建立了适当的直角坐标系，并知道点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（﹣3，﹣2），后来墨墨不小心在该图洒上了墨水，如图所示，点C的坐标看不清了，但他记得线段AC与y轴平行，则点C的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（﹣1，2）
【分析】根据三角形的面积公式求出AC，再根据网格结构确定出点C的坐标即可．
【解答】解：∵A（2，3），B（﹣3，﹣2），线段AC与y轴平行，
∴点B到AC的距离为2+3＝5，∴S△ABC=AC•5＝10，解得AC＝4，
∴点C的纵坐标为3﹣4＝﹣1，∴点C的坐标为（2，﹣1）．故选：C．
3．（2022•历下区八年级期中）如图，由8个边长为1的小正方形组成的图形，被线段AB平分为面积相等的两部分，已知点A的坐标是（1，0），则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图，设BC＝x，根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：如图，设BC＝x，
由题意得，3×（2+x）=8，解得：x，
3，∴点B的坐标为（，3），故选：A．
4．（2022春•商南县期末）已知点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴上，△ABC的面积是10，则点C的坐标可能是（ ）
A．（0，10） B．（5，0） C．（0，﹣5） D．（0，4）
【分析】首先求得AB的长，根据三角形的面积公式，即可求得C的纵坐标，进而得到C的坐标．
【解答】解：设点C坐标是（0，y）根据题意得，AB×AC＝10即4×|y|＝10，解得y＝±5．
所以点C坐标是：（0，5）或（0，﹣5）．故选：C．
5．（2022•平泉市八年级期末）如图，两个形状、大小完全相同的直角三角形叠放在一起，将直角三角形ABC沿着x轴正方向平移到直角三角形DEF的位置．已知点A（1，5），点B（1，1），DG＝1，平移距离为2．（1）点G的坐标为 ；（2）阴影部分的面积S＝ ．
【分析】（1）求出BE，GE的长度即可得出答案；
（2）根据平移的性质得S△ABC＝S△DEF，从而S△ABC﹣S△CEG＝S△DEF﹣S△CEG，梯形ABEG的面积＝阴影部分的面积，求梯形的面积即可得到阴影部分的面积．
【解答】解：（1）∵A（1，5），点B（1，1），∴AB＝4，
∵平移距离为2，∴BE＝2，DE＝AB＝4，
∵DG＝1，∴GE＝DE﹣DG＝4﹣1＝3，
∴G（3，4）；故答案为：G（3，4）；
（2）∵将直角三角形ABC沿着x轴正方向平移到直角三角形DEF的位置，
∴S△ABC＝S△DEF，∴S△ABC﹣S△CEG＝S△DEF﹣S△CEG，
∴梯形ABEG的面积＝阴影部分的面积，
∴S=（AB+EG）×BE=（4+3）×2＝7．故答案为：7．
6．（2022•海淀区八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，曲线f向上平移1个单位形成曲线g的过程中所扫过的面积是 ．
【分析】曲线f向上平移1个单位形成曲线g的过程中所扫过的面积可以看成是底为1，高为3的平行四边形的面积．
【解答】解：曲线f向上平移1个单位形成曲线g的过程中所扫过的面积＝1×3＝3，故答案为：3．
7．（2022•漳州校级一模）已知：如图△ABC的顶点坐标分别为A（﹣4，﹣3），B（0，﹣3），C（﹣2，1），如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点，若设△ABC的面积为S1，△AB1C的面积为S2，则S1，S2的大小关系为s1 s2（填“＜”、“＞”、“＝”）．
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．
平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【解答】解：原来点的横坐标是0，纵坐标是﹣3，向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点的横坐标是0+2＝2，纵坐标为﹣3+4＝1．那么原三角形的面积是：4×4＝8，
新三角形的面积为：4×4＝8，∴两三角形的面积相等，即s1＝s2．
8.（2022·陕西·大荔县教学研究室七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，将折线向右平移得到折线，则折线在平移过程中扫过的面积是______．
【答案】6
【分析】利用平移的性质可判断四边形AEFC和四边形BEFD都为平行四边形，然后由平移过程中扫过的面积=S▱AEFC+S▱BEFD，根据平行四边形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵平移折线AEB，得到折线CFD，
∴四边形AEFC和四边形BEFD都为平行四边形，
∴折线AEB在平移过程中扫过的面积=S▱AEFC+S▱BEFD
=AO•EF+BO•EF=EF（AO+BO）=EF•AB=[2-（-1）]×[1-（-1）]=6．故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形-平移，熟练掌握平移的性质：把一个图形整体沿某一直线移动，得到新图形与原图形的形状和大小完全相同；连接各组对应点的线段平行且相等是解决问题的关键．
9．（2022·吉林通化·七年级期末）如图，平面直角坐标系中有一个的正方形网格，每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，请完成下列问题．
(1)点坐标为_________．(2)将先向_________平移_________个单位、再向_________平移_________个单位到达的位置．(3)图中阴影部分的面积为_________．
【答案】(1)（2，3(2)右，三，下，二（或下，二，右，三）(3)9
【分析】（1）根据网格结构，确定点C在平面直角坐标系中的象限，及其到x轴、 y轴的距离分别为，即可得点C的坐标；
（2）根据网格结构，确定A、B、C三点分别同步平移到A1、B1、C1的方向和距离（单位数）即可得到结论；（3）根据平面直角坐标系中网格结构和平移的性质，可知平行且等于，，根据平行四边形的判定，从而得=，计算即可得到结果．
（1）解：根据平面直角坐标系及网格结构，可得：点C在第一象限到x轴距离为3， y轴的距离为2∴点C的坐标为（2，3）；
（2）解：根据网格结构，点A平移到A1，需先向，再向下平移2个单位， B、C同步移动；或先向下平移2个格点，再向右平移3个单位， B、C同步移动．∴将△ABC先向右平移3个单位、再向下平移2个单位或者先向下平移2个单位、再向右平移3个单位，到达△A1B1C1的位置；
（3）解：根据题意及平移的性质，，，∴四边形ABB1A1为平行四边形∴==3×3=9
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系点的坐标特征，作图－平移变换，平面直角坐标系中的图形面积，解题的关键是掌握平移变换的性质及要素（平移方向和平移距离）．
10．（2022•雨花区八年级月考）如图，在直角坐标平面内，已知点，点，点是点关于点的对称点．（1）求点的坐标；（2）如果点在轴上，过点作直线轴，点关于直线的对称点是点，那么当的面积等于10时，求点的坐标．
【分析】（1）由、坐标得出，根据点是点关于点的对称点知，据此可得；
（2）根据且，可得，即可知，据此可得答案．
【解答】解：（1）点，点，，
点是点关于点的对称点，，则点的坐标为；
（2）如图，
由题意知，，，则，
点的坐标为或．
11．（2022春•新市区八年级期末）如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）
（1）求点C到x轴的距离；（2）求△ABC的面积；（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）点C的纵坐标的绝对值就是点C到x轴的距离解答；
（2）根据三角形的面积公式列式进行计算即可求解；（3）设点P的坐标为（0，y），根据△ABP的面积为6，A（﹣2，3）、B（4，3），整理得|x﹣3|＝2，所以x＝5或x＝1，即可解答．
【解答】解：（1）∵C（﹣1，﹣3），∴|﹣3|＝3，
∴点C到x轴的距离为3；
（2）∵A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）
∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，点C到边AB的距离为：3﹣（﹣3）＝6，
∴△ABC的面积为：6×6÷2＝18．
（3）设点P的坐标为（0，y），
∵△ABP的面积为6，A（﹣2，3）、B（4，3），
∴6×|y﹣3|＝6，∴|y﹣3|＝2，∴y＝1或y＝5，
∴P点的坐标为（0，1）或（0，5）．
12．（2022•大同八年级期末）已知坐标平面内的三个点A（1，3），B（3，1），O（0，0），求△ABO的面积．
【分析】过A，B分别作y轴，x轴的垂线，则三角形ABC的面积可以转化为梯形和三角形的面积的和差的问题解决．
【解答】解：如图所示，
过A，B分别作y轴，x轴的垂线，垂足为C，E，两线交于点D，
则C（0，3），D（3，3），E（3，0）．
又因为O（0，0），A（1，3），B（3，1），
所以OC＝3，AC＝1，OE＝3，BE＝1，
AD＝DC﹣AC＝3﹣1＝2，
BD＝DE﹣BE＝3﹣1＝2，
则四边形OCDE的面积为3×3＝9，
△ACO和△BEO的面积都为3×1，
△ABD的面积为2×2＝2，
所以△ABO的面积为9﹣22＝4．
13．（2022•宁都县八年级期末）已知：如图，△ABC的三个顶点位置分别是A（1，0）、B（﹣2，3）、C（﹣3，0）．
（1）求△ABC的面积是多少？
（2）若点A、C的位置不变，当点P在y轴上时，且S△ACP＝2S△ABC，求点P的坐标？
（3）若点B、C的位置不变，当点Q在x轴上时，且S△BCQ＝2S△ABC，求点Q的坐标？
【分析】（1）根据点A、C的坐标求出AC的长，然后利用三角形的面积列式计算即可得解；
（2）分点P在y轴正半轴和负半轴两种情况讨论求解；
（3）分点Q在C的左边和右边两种情况讨论求解．
【解答】解：（1）∵A（1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，0），
∴AC＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4，
点B到AC的距离为3，
∴△ABC的面积4×3＝6；
（2）∵S△ACP＝2S△ABC＝12，
∴以AC为底时，△ACP的高＝12×2÷4＝6，
∴点P在y轴正半轴时，P（0，6）；
点P在y轴负半轴时，P（0，﹣6）；
（3）∵S△BCQ＝2S△ABC＝12，
∴以CQ为底时，△BCQ的高为3，底边CQ＝12×2÷3＝8，
∴点Q在C的左边时，Q（﹣3﹣8，0），即Q（﹣11，0）；
点Q在C的右边时，Q（﹣3+8，0），即Q（5，0）．
14．（2022·山东·日照市七年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(-3，0)，B(-6，-2)，C(-2，-5)．将△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到△A1B1C1．
(1)直接写出点B1的坐标；
(2)在平面直角坐标系xOy中画出△A1B1C1；
(3)若x轴上有一点P，且△ABP的面积与△ABC的面积相等，求P点的坐标．
【答案】(1)；(2)作图见解析；(3)P(5．5，0)或P(-11．5，0)；
【分析】（1）根据题意，结合点的平移即可得到；
（2）根据点的平移，分别得到的坐标，在平面直角坐标系中标出，连接即可得到△A1B1C1；（3）利用平移不改变图形形状与大小可知，再结合的面积是矩形面积减去三个直角三角形面积，间接表示即可得出结果．
(1)解：△ABC的顶点的坐标分别是B（－6，－2），
当将△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到△A1B1C1时，，即；
(2)解：△ABC的三个顶点的坐标分别是A（－3，0），B（－6，－2），C（－2，－5），
根据点的平移得到，将△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到△A1B1C1，从而，
在平面直角坐标系中标出并连接可得△A1B1C1，如图所示：
(3)解：设点P(x0，0)，则PA=，
∵，且△ABP的面积与△ABC的面积相等，
∴，∴x0=5.5或x0=-11.5，∴P(5.5，0)或P(-11.5，0)，
【点睛】本题考查平移变换，涉及到点的平移求坐标、利用平移作图、网格中三角形面积求解等知识点，熟练掌握平移的性质是解决问题的关键．
15．（2022·江苏·南师附中新城初中七年级期中）如图，在方格纸内将△ABC 水平向右平移 4 个单位得到．(1)补全，利用网格点和直尺画图；(2)画出 BC 边上的高线 AD；
(3)若图中△ABE 是△ABC 面积的2倍，在格中描出所有满足条件的格点E， 并记为E1、E2、E3…
【答案】(1)图见解析(2)图见解析(3)图见解析
【分析】（1）利用平移变换的性质分别做出的对应点即为所求；
（2）根据三角形高的定义画出图形即可；
（3）利用等高模型解决问题即可．
（1）如图，即为所求；
（2）如图，线段AD即为所求；
（3）如图，由于△ABE 是△ABC 面积的2倍，且△ABE 是△ABC 的底同为AB，可得E1、E2、E3、E4、E5即为所求．
【点睛】本题考查作图—平移变换，三角形的高，三角形的面积等知识，解题关键是掌握平移变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．
16．（2022·江苏无锡·八年级期中）在平面直角坐标系中，已知线段AB．其中A（1，－3），B（3，0）．平移线段AB到线段CD，使点A的对应点为点D，点B的对应点为点C．
（备用图）
(1)若点C的坐标为（－2，4），则点D的坐标是 ；
(2)若点C在y轴的正半轴上，点D在第三象限且四边形ABCD的面积为14，求点C的坐标．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）点B（3，0）向左平移5个单位，向上平移4个单位得到C（－2，4），A（1，－3）也向左平移5个单位，向上平移4个单位得到D；
（2）如图，设，则，表示出四边形ABCD的面积列出方程即可．
（1）解：B（3，0）向左平移5个单位，向上平移4个单位得到C（－2，4），
因此A（1，－3）向左平移5个单位，向上平移4个单位得到D；
（2）设，则
∴，解得，∴．
【点睛】本题考查坐标与图形变化——平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，间接法求面积也是本题的关键．
17．（2022·湖北武汉·七年级期中）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如点A，B，D，E都在格点上，连AD，∠BAD＝90°．请选择适当的格点，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．
(1)将线段AB平移到DC，使点A对应的点为D，连BC．则正方形ABCD的面积为______，AD的长度为______；(2)把三角形CDE先向上平移4格，再向右平移2格，得到三角形BAF，画出三角形BAF，直接写出三角形CDE在两次平移中扫过的面积＝______；(3)在CD上找一点M，使EM最短，连接EM．
【答案】(1)图见解析，20，(2)图见解析，23(3)见解析
【分析】（1）根据题意做出图形，利用勾股定理求出AD，根据正方形面积公式求解；
（2）在两次平移中扫过的面积等于大正方形的面积减去一个矩形面积和两个小三角形的面积即可；（3）根据垂线段最短，做出图形即可．
（1）图形如下图，
,正方形ABCD的面积=．故答案为：20，；
（2）图形如下图所示，
阴影部分为扫过的面积在两次平移中扫过的面积=．
故答案为：23．
（3）如图EM即为所求，
【点睛】本题考查了作图平移变换、三角形面积、平行四边形面积和垂线段最短知识，解题的关键是理解平移变换的性质．
18．（2022·河南商丘·七年级期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，现同时将点，分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，的对应点，，连接，，．
(1)点的坐标为_________，点的坐标为_________，四边形的面积为_________；
(2)在轴上是否存在一点，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，点是线段上一动点（，两点除外），试说明与的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)点C的坐标为，点D的坐标为，四边形的面积12
(2)存在，的坐标为或(3)，理由见解析
【分析】（1）根据点平移的规律易得点C的坐标为（0，2），点D的坐标为（6，2）；
（2）设点E的坐标为（x，0），根据△DEC的面积是△DEB面积的2倍和三角形面积公式得到，解得x＝1或x＝7，然后写出点E的坐标；
（3）当点P在线段BD上，作交轴于，根据平行线的性质由得，再根据平行线的性质，，从而得到结论．
（1）解：∵点A、的坐标分别是，，同时将点、分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到A、的对应点、，
∴点的坐标为，点的坐标为，
；
（2）解：存在．理由如下：设点的坐标为，
∵的面积是的面积的2倍，
∴，解得或，
∴点的坐标为或；
（3）解：，理由如下：
过点作交轴于，如图所示：
∴ ∴，，
∴．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标得到线段的长和线段与坐标轴的关系，也考查了平行线的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．
19．（2022·江苏泰州·七年级期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的三个顶点A、B、C都在格点上．现将平移，使点A平移到点D，点E、F分别是B、C的对应点．
(1)请在图中画出平移后的；(2)四边形ABED的面积为多少？；
(3)在网格中画出一个格点P，使得（画出一个即可）.
【答案】(1)见解析(2)28(3)见解析
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出B、C的对应点E、F即可．
（2）平行四边形ABED的面积=平行四边形ABMN的面积．（3）取AB的中点P即可．
（1）如图，即为所求．
（2）平行四边形ABED的面积=平行四边形ABMN的面积=，故答案为：28．
（3）如图，点P即为所求（答案不唯一）．
【点睛】本题考查作图—平移变换，平行四边形的面积，三角形的面积等知识，解题的关键是正确作出图形，学会利用转化的思想解决问题．
20．（2022·广东·广州市第四中学七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，现同时将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．
(1)求点C，D的坐标；(2)点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的使得四边形OMDB的面积为12？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
(3)在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从D点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，当点N到达点O时运动停止．设射线BN交轴于点E．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
【答案】(1)C（-2,0），D（4,0）(2)t=2(3)值不变，为6
【分析】（1）根据点的坐标及平移方法即可确定；（2）过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H．由（1）中点的坐标得出D=6,DH=2,OD=4，AB=6，设M点坐标为（0，t），连接MB、OB，则四边形的面积等于△OBD的面积加上△OMD的面积等于12，然后解出t即可；（3）设运动时间为秒，OM=t，ON=4-2t(0≤t≤2)，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H，连接MB，OB，结合图形可得=S△ONB+S△OMB，然后代入求解即可．
（1）解：∵点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位∴C（-2,0），D（4,0）；
（2）解：存在；如图，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H．由题意得点C和点D的坐标分别为（-2,0）和（4,0）．A(0，3)，B(6，3)，∴CD=6,DH=2,OD=4，AB=6，设M点坐标为（0，t），连接MB、OB，∴OM=t．∵S四边形OMBD=S△OBD+S△OMB=12，∴,即，解得t=2；
（3）解：不变．理由如下：如图所示，设运动时间为秒，OM=t，ON=4-2t(0≤t≤2)，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H，连接MB，OB，∵=S四边形OMBN，S四边形OMBN=S△ONB+S△OMB，∴=S△ONB+S△OMB===6-3t+3t=6；∴为定值6，故其值不会变化．
【点睛】本题属于四边形的综合问题，考查了点坐标平移、坐标与图形、动点问题以及图形的面积等知识点，灵活应用所学知识是解答本题的关键．
21．（2022·广西玉林·七年级期中）如图，已知点满足．将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接．
(1)请求出点和点的坐标；(2)点从点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于9？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由；(3)在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由．
【答案】(1)（-1 ，0），（3 ，0） (2)存在这样的，使得四边形的面积等于9，理由见解析
(3)为定值，故其值不会变化，理由见解析
【分析】（1）利用绝对值与平方的非负性求出a，b的值，即可求解；
（2）由平移性质可得点C（0，2），点D（4，2），OA＝1，OB＝2，OC＝2，CD＝4，由面积关系可求解；
（3）分点N在线段OB上，点N在BO的延长线上两种情况讨论，由面积和差关系可求解．
（1）解：∵，，
，解得，∴点A和点的坐标分别为（-1 ，0）和（3 ，0）；
（2）解：存在． 过D作DH⊥OB的延长线，垂足为H，如图所示：
由题意得点C和点D的坐标分别为（0 ，2）和（4 ，2），
∴CD=4 ，DH=2 ，OB=3 ，设M点坐标为（0，t），连接MD、OD，∴OM=t，
∵S四边形OMDB=S△OBD+S△OMD=9，∴，即，解得t=3，
存在这样的，使得四边形的面积等于9；
（3）解：不变．理由如下：
当点N在线段OB上时，如图所示，设运动时间为秒，OM=t，ON=3-2t，
过D作DH⊥OB的延长线，垂足为H ，连接MD，OD，
∵=S四边形OMDN，S四边形OMDN= S△OND+S△OMD ，
∴= S△OND+S△OMD===3-2t+2t=3，
当点N运动到线段BO的延长线上时，如图所示，设运动时间为秒，OM=t，ON=2t-3，连接OD，
∴为定值，故其值不会变化．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平移的性质，非负式性质求解，三角形的面积公式等知识，利用分类讨论思想解决是本题的关键．
22．（2022·广西·南宁十四中七年级期末）如图，三个顶点的坐标分别为，将向左平移3个单位长度，然后再向下平移4个单位长度，可以得到．
(1)画出平移后的；(2)若边上一点经过上述平移后的对应点为，用含x，y的式子表示点的坐标（______，________）；(3)已知点P在y轴上，以A、B、P为顶点的三角形面积为6，直接写出P点的坐标．
【答案】(1)见解析(2)(3)或
【分析】(1)分别求出向左平移3单位后的A1、B1、C1坐标，然后再连接A1、B1、C1即可；
(2)根据左右平移，纵坐标不变，横坐标左减右加；上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减即可判断；
(3)设点P(0，y)，进而求出AP=|y-4|，△ABP的面积选择AP为底，点B到y轴距离为高，代入面积为6即可求解．
(1)解：如图，为所求：
(2)解：∵点经过向左平移3个单位长度，然后再向下平移4个单位长度后得到点，
∴的坐标；
(3)解：设点P(0，y)，∴AP=|y-4|，设点B到y轴距离为h，且h=2，△ABP的面积选择AP为底，h为高，
∴，∴，解出或，∴或．
【点睛】本题考察了直角坐标系中点的平移规律及三角形面积公式，解题的关键是明确点的平移特点，求出平移后对应点的坐标．
23．（2022·全国·九年级）如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，E为DC的中点．
(1)以A为原点（即O与A重合），以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则C的坐标为 ；(2)若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动2秒后，得到长方形，则的坐标为 ，长方形的面积为 ；(3)若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动，运动时间为t，用含t的式子直接表示出长方形的面积 （线段可以看成是面积为0的长方形）；点E移动后对应点为F，直接写出t为何值时长方形的面积是三角形的3倍？
【答案】(1)（10，6）(2)（14，6），36(3)（﹣12t+60）或（12t﹣60），t＝2
【分析】（1）根据长方形的性质，坐标的确定方法求解即可．
（2）运动2秒相当于图形向右平移4cm，确定坐标即可，计算出的长度，计算面积即可．
（3）分0≤t≤5和t＞5两种情况计算即可．
(1)∵AB＝10cm，BC＝6cm，∴C的坐标为（10，6），故答案为：（10，6）．
(2)∵长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动2秒，
∴点C向右平移4cm，∵C（10，6），∴（14，6），故答案为：（14，6）．
∵AB＝10，＝4，∴＝6，∴长方形的面积为36（）．故答案为：36．
(3)当t≤5时，如图：
∵＝AB﹣＝10﹣2t，∴长方形的面积为6×（10﹣2t）＝﹣12t+60（），
当t＞5时，如图：
∵＝﹣AB＝2t﹣10，∴长方形的面积为6×（2t﹣10）＝12t﹣60（），
故答案为：（﹣12t+60）或（12t﹣60）；
当t≤5时，如图：
长方形的面积为﹣12t+60，
△面积的3倍为，由题意得：﹣12t+60＝18t，解得t＝2；
当t＞5时，如图：
同理可得：12t﹣60＝18t，解得t＝﹣10（舍去），∴t＝2．
【点睛】本题考查直角坐标系，涉及长方形形性质，三角形面积等，解题的关键是画出图形，用含t的代数式表示相关线段的长度．
24．（2022·新疆师范大学附属中学七年级期末）在平面直角坐标系中，A（－2，4），B（－3，－1），C（0，2）．将△ABC平移至△A1B1C1，点A对应点A1（3，3），点B对应点B1，点C对应点C1．
(1)画出平移后的△A1B1C1，并写出B1的坐标；(2)求△ABC的面积；(3)若存在点D（m，n）使得△BB1D和△BB1C面积相等，其中m，n均为绝对值不超过5的整数，则点D的坐标为_________．
【答案】(1)图见详解，B1的坐标（2，﹣2） (2)6 (3)（﹣5，3）或（0，2）或（5，1）或（﹣1，﹣5）
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；（3）利用等高模型，画出点D即可．
(1)如图，△A1B1C1即为所求，B1的坐标（2，﹣2）；
(2)△ABC的面积＝3×52×23×31×5＝6；
(3)如图，点D的坐标为（﹣5，3）或（0，2）或（5，1）或（﹣1，﹣5）．
故答案为：（﹣5，3）或（0，2）或（5，1）或（﹣1，﹣5）．
【点睛】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分割法求三角形的面积．
25．（2022·湖北武汉·七年级期末）在平面直角坐标系中，，，a，b满足，连接AB交y轴于C．
(1)直接写出______，______；(2)如图1，点P是y轴上一点，且三角形ABP的面积为12，求点P的坐标；(3)如图2，直线BD交x轴于，将直线BD平移经过点A，交y轴于E，点在直线AE上，且三角形ABQ的面积不超过三角形ABD面积的，求点Q横坐标x的取值范围．
【答案】(1)-3，4 (2)-3，4(3)-4≤x≤-2且x≠-3
【分析】（1）根据非负数的性质构建方程组，解方程组求出，；
（2）过点作轴于，设，由三角形面积关系得出，求出，过点作轴于，由三角形面积关系得出，求出即可；
（3）连接，过点作轴，分点在第二象限，点在第三象限时，两种情况，分别列出方程，解之即可．
（1）解：，又∵，，
，解得：，故答案为：-3，4．
（2）过点作轴于，
设，三角形的面积四边形的面积三角形的面积，
，即，
解得：，点的坐标为，
过点作轴于，三角形的面积三角形的面积三角形的面积，
，即，
，点的坐标为或．
（3）点向左平移4个单位长度，向下平移4个单位长度到点A，
∵点D向左平移4个单位长度后的对应点正好在y轴上，
∴点平移后的对应点恰好是点，
连接，过点作轴，如图所示：
，三角形的面积三角形的面积，
当三角形的面积三角形的面积时，，
当点在第三象限时，，解得：，
当点在第二象限时，，解得：，
当三角形的面积不超过三角形面积的时，
点的横坐标的取值范围是，且．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，非负数的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
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