【同步讲义】北师大版数学八年级上册：专题5.2 二元一次方程组的应用题 讲义

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专题5.2 二元一次方程组的应用题

目标导航

1、掌握列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤；
2、通过小组合作，分析“鸡兔同笼”等简单问题中的数量关系，学生能准确找出等量关系；
3、会利用列表分析题中所蕴含的数量关系，列出二元一次方程组解决实际问题；
4、利用二元一次方程解决数字问题和行程问题；
5、进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程。
知识精讲

知识点01 列方程组解应用题（一）
知识点
1. 列方程组解应用题步骤
1）列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等。
2）解应用题的一般步骤为：①读题：找出题目中的数量关系，列写等量关系式；②设元：以好表达等量关系式为原则，设不知道的量为未知数；③列方程：依据等量关系式，结合未知数列写方程；④解答。
2. 分析数量关系的常用方法
1）直译法分析数量关系:将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。
2）列表分析数量关系:当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。
【知识拓展1】年龄问题
例1．（2022·重庆市松树桥中学校七年级阶段练习）7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话：
妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁．
哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？
【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁．
【分析】设现在哥哥x岁，妹妹y岁，根据两孩子的对话，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁，
根据题意得 解得                                      
答：现在哥哥10岁，妹妹6岁．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是利用题目信息，将实际问题转化为数学方程解决．
【即学即练】
1．（2022·浙江宁波·七年级期末）甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（    ）
A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁
C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁
【答案】A
【分析】设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，根据已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁．乙是甲现在的年龄时，甲25岁，可列方程求解．
【详解】解：甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意可得：

即由此可得，，∴，即甲比乙大5岁．故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，重点考查理解题意的能力，甲、乙年龄无论怎么变，年龄差是不变的．

【知识拓展2】数学文化问题
例2．（2022·江西·铅山七年级期末）《张丘建算经》里有一道题：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一.凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何.”译文：每一只公鸡值五文钱，每一只母鸡值三文钱，每三只小鸡值一文钱.现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？请你结合你学过的知识，写出一组能够按要求购买的方案：公鸡买______只，母鸡买_______只，小鸡买_______只.
【答案】     （答案不唯一）     （答案不唯一）     （答案不唯一）
【分析】设买了x只公鸡，y只母鸡，则买了（100−x−y）只小鸡，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y，（100−x−y）均为自然数，即可求出结论．
【详解】解：设买了x只公鸡，y只母鸡，则买了（100−x−y）只小鸡，
依题意得：5x＋3y＋（100−x−y）＝100，即y＝25−x，
又∵x，y，（100−x−y）均为自然数，
∴或或或，
∴买的公鸡、母鸡、小鸡各0、25、75只或4、18、78只或8、11、81只或12、4、84只，
故答案为：0、25、75只或4、18、78只或8、11、81只或12、4、84．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
【即学即练】
2.（2022·重庆北碚区·七年级期末）古代《折绳测井》“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？“译文大致是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等分，井外余绳4尺；如果将绳子折成四等分，井外余绳1尺，问绳长、井深各是多少尺？“如果设绳长x尺，井深y尺，根据题意列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用代数式表示井深即可得方程．此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺．
【详解】解：设绳长x尺，井深y尺，根据题意可得故选：A
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．

【知识拓展3】配套问题
例3．（2022·浙江金华·七年级期末）在学完书中例题后，小聪想用现有的硬纸板裁成如图①的长方形和正方形作为侧面与底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．已知一张硬纸板的裁剪方式有两种（均有余料），方式一：裁成3个长方形与一个正方形；方式二：裁成2个长方形与2个正方形．现小聪将m张硬纸板用方式一裁剪，n张硬纸板用方式二裁剪，则

（1）两种方式共裁出长方形______张，正方形______张．（用m、n的代数式表示）
（2）当时，所裁得的长方形与正方形纸板恰好用完，做成的两种无盖纸盒一共可能是______个．
【答案】               12
【分析】（1）根据方式一：裁成3个长方形与一个正方形：方式二：裁成2个长方形与2个正方形即可得出结论；（2）先根据两种盒子所需长方形和正方形的数量之比为7：3，求出m＝4n，m，n为正整数，且10＜m＜15，得出m＝12，n＝3，再设做成竖式盒子x个，横式盒子y个，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：（1）依题意得：两种方式共裁出长方形（3m+2n）张，正方形（m+2n）张．
故答案为：（3m+2n）；（m+2n）；
（2）由题意得：（3m+2n）：（m+2n）＝7：3，解得：m＝4n，
∵m，n为正整数，且10＜m＜15，∴m＝12，n＝3，
∴两种方式共裁出长方形3×12+2×3＝42（张），正方形12+2×3＝18（张），
设做成竖式盒子x个，横式盒子y个，
根据题意得：，解得：，
∴做成的两种无盖纸盒一共可能是6+6＝12（个），故答案为：12．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，关键是弄清两种盒子所需正方形和长方形的数量关系．
【即学即练1】
3．（2022·浙江·嵊州市初级中学七年级期中）某车间有14名工人生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓6个或螺母9个，要求1个螺栓配2个螺母，应怎样分配工人才能使每天生产的螺栓和螺母恰好配套？
【答案】6人生产螺栓，8人生产螺母
【分析】设人生产螺栓，人生产螺母，根据题意列二元一次方程组解决问题．
【详解】解：设人生产螺栓，人生产螺母，
由题意得，解得
答：6人生产螺栓，8人生产螺母能使每天生产的螺栓和螺母恰好配套．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．

【知识拓展4】和、差、倍、分问题
例4．（2022·山西临汾·七年级期末）金山银山不如绿水青山，某地准备购买一些松树苗和梭梭树苗绿化荒山，已知购买棵松树苗和棵梭梭树苗需要元，购买棵梭梭树苗比棵松树苗少花费元，设每棵松树苗元，每棵梭梭树苗元，则列出的方程组正确的是（   ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据“购买棵松树苗和棵梭梭树苗需要元，购买棵梭梭树苗比棵松树苗少花费元”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：购买棵松树苗和棵梭梭树苗需要元，；
购买棵梭梭树苗比棵松树苗少花费元，．
所列方程组为．故选：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【即学即练4】
4．（2022·浙江金华·七年级期末）浙教版七（下）数学书P44中有这样一个合作学习：游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽是红色游泳帽的2倍．设男孩有x人，女孩有y人，可列方程组________．

【答案】
【分析】利用每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色游泳帽是红色的2倍，进而分别得出等式即可．
【详解】解：设男孩x人，女孩有y人，根据题意得：
．故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，根据题目信息找出等量关系并列出方程组是解题的关键．

知识点02 列方程组解应用题（二）
【知识拓展1】方案问题
例1．（2022·湖北荆门·八年级期末）为加快经济建设，某乡镇决定从某地运送1225箱鱼苗到甲、乙两村养殖．若用大、小货车共20辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力和其运往甲、乙两村的运费如表：
车型
载货能力（箱/辆）
运费
甲村（元/辆）
乙村（元/辆）
大货车
70
800
900
小货车
35
400
600

(1)求大、小货车各用多少辆？(2)现安排其中16辆货车前往甲村，其余货车前往乙村，设前往甲村的大货车为x辆，前往甲、乙两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式及x的取值范围；(3)在（2）的条件下，若运往甲村的鱼苗不少于980箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．
【答案】(1)大货车用15辆，小货车用5辆；
(2)y与x的函数解析式是：y=100x+13300（11≤x≤15且x为整数）；
(3)总费用最少的货车调配方案是12辆大货车、4辆小货车前往甲村，3辆大货车、1辆小货车前往乙村，最少费用为14500元．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据设大货车用x辆，小货车用y辆，由车辆之和为20，装载总量为1225吨，再列出相应的方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意和表格中的数据可以用含x的代数式表示出y，进而写出自变量x的取值范围；
（3）根据运往甲村的鱼苗不少于980箱先求解x的取值范围，再利用（2）中的函数解析式可以求得y的最小值，本题得以解决．
(1)解：设大货车用x辆，小货车用y辆，
，得 ，
答：大货车用15辆，小货车用5辆；
(2)由题意可得，
y=800x+900（15-x）+400（16-x）+600[5-（16-x）]=100x+13300（11≤x≤15且x为整数），
即y与x的函数解析式是：y=100x+13300（11≤x≤15且x为整数）；
(3)由题意可得， 70x+35（16-x）≥980， 解得，x≥12，
又∵11≤x≤15且x为整数， ∴12≤x≤15且x为整数，
∵y=100x+13300， ∴当x=12时，y取得最小值，此时y=14500，
答：总费用最少的货车调配方案是12辆大货车、4辆小货车前往甲村，3辆大货车、1辆小货车前往乙村，最少费用为14500元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．
【即学即练】
1．（2022·福建省罗源第一中学七年级期中）有A、B两种型号的货车：用2辆A型货车和1辆B型货车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型货车和2辆B型货车装满货物一次可运货11吨．请用学过的方程（组）知识解答下列问题：
(1)求A型、B型两种货车装满货物每辆分别能运货多少吨?
(2)现某物流公司有31吨货物，计划同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．若A型货车每辆需租金100元/次，B型货车每辆需租金120元/次．请你帮该物流公司选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用．
【答案】(1)1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨
(2)当租用A型车1辆，B型车7辆，最少租车费用为940元
【分析】（1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）由（1）的结论结合某物流公司现有31吨货物，即可得出3m+4n=31，由m、n均为正数即可得出各租车方案．根据租车总费用=每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，分别求出三种租车方案所需租车费，比较后即可得出结论．
(1)设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，
依题意，得：，解得：．
答：1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨．
(2)由题意可得：3m+4n=31，即，
∵m，n均为整数，∴有，，三种情况．
设租车费用为W元，则W=100m+120n=100m+120•=10m+930，
∵10＞0，∴W随m的增大而增大，
∴当m=1时，W最小，此时W=10×1+930=940．
∴当租用A型车1辆，B型车7辆，最少租车费用为940元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据等量关系，列出关于x、y的二元一次方程组；（2）由（1）的结论结合共运货31吨，找出3m+4n=31．

【知识拓展2】行程问题
例2．（2022·广东·七年级期末）列方程组解应用题：
(1)有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队有10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？
(2)小方、小程两人相距6km，两人同时出发相向而行，1h相遇；同时出发同向而行，小方3h可追上小程．两人的平均速度各是多少？
【答案】(1)篮球有28支队参赛，排球有20支队参赛；
(2)小方的平均速度是4km/h，小程的平均速度是2km/h．
【分析】（1）设篮球、排球队各有x支、y支参赛，根据有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队有10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛列出方程组求解即可；
（2）设小方、小程的平均速度各是mkm/h，nkm/h，根据小方、小程两人相距6km，两人同时出发相向而行，1h相遇；同时出发同向而行，小方3h可追上小程列出方程组求解即可．
（1）解：设篮球、排球队各有x支、y支参赛，
由题意得： 解得，
答：篮球有28支队参赛，排球有20支队参赛；
（2）解：设小方、小程的平均速度各是mkm/h，nkm/h，
由题意得：，解得，
答：小方的平均速度是4km/h，小程的平均速度是2km/h．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出对应的方程组是解题的关键．
【即学即练】
2．（2022·山西阳泉·七年级期中）我国古典文学名著《西游记》讲述了孙悟空、猪八戒、沙和尚保护唐僧西天取经，沿途降妖除魔，历经九九八十一难，到达西天取得真经修成正果的故事．现请你欣赏下列描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1000里，逆风返回时4分钟走了600里，问风速是多少？（    ）．
A．50里/分 B．150里/分 C．200里/分 D．250里/分
【答案】A
【分析】设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，根据顺风4分钟飞跃1000里及逆风4分钟走了600里，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可．
【详解】解：设孙悟空的速度为x里/分，风速为y里/分，
依题意，得：，
解得：，
答：风速为50里/分．故选：A
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

【知识拓展3】工程问题
例3．（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．
(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元；
(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用少？
(3)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）问的条件及结论）
【答案】(1)甲组工作一天，商店应付300元，乙组工作一天，商店应付140元
(2)单独请乙组，商店所需费用少
(3)安排甲乙合作施工更有利于商店
【分析】（1）根据题意建立方程组并求解；
（2）将单独请甲乙组的费用计算出来，再进行比较，得出答案；
（3）将三种方案损失费用计算出来进行比较，得出答案．
（1）设甲组工作一天，商店应付x元，乙组工作一天，商店应付y元，
依题意得：，解得：．
答：甲组工作一天，商店应付300元，乙组工作一天，商店应付140元．
（2）300×12＝3600（元），
140×24＝3360（元）．
∵3600＞3360，∴单独请乙组，商店所需费用少．
（3）选择①：（300+200）×12＝6000（元）；
选择②：（140+200）×24＝8160（元）；
选择③：（300+140+200）×8＝5120（元）．
∵5120＜6000＜8160，
∴安排甲乙合作施工更有利于商店．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际运用，熟练掌握方程组的实际运用是本题解题关键．
【即学即练3】
3．（2022·巴中八年级期中）某污水处理厂库池里现有待处理的污水m吨．另有从城区流入库池的待处理污水（新流入污水按每小时n吨的定流量增加）．若该厂同时开动2台机组，需30小时处理完污水；若同时开动3台机组，需15小时处理完污水．若5小时处理完污水，则需同时开动的机组数为（    ）
A．6台 B．7台 C．8台 D．9台
【答案】B
【分析】设同时开动x台机组，每台机组每小时处理a吨污水，根据“如果同时开动2台机组要30小时刚好处理完污水，同时开动3台机组要15小时刚好处理完污水”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值（用含a的代数式表示），再由5小时内将污水处理完毕，即可得出关于关于x的一元一次方程，解之可得出结论．
【详解】解：设同时开动x台机组，每台机组每小时处理a吨污水，
依题意，得，解得：，
∵5ax=30a+5a，∴x=7．答：要同时开动7台机组．故选：B．
【点睛】本题考查的是用二元一次方程组来解决实际问题，正确的理解题意是解题的关键．

【知识拓展4】销售、利润问题
例4．（2022·北京市七年级期中）在新年联欢会上，同学们组织了精彩的猜谜活动，为了奖励猜对的同学，老师决定购买笔袋或彩色铅笔作为奖品，已知个笔袋和筒彩色铅笔原价共需元；个笔袋和筒彩色铅笔原价共需元．(1)求每个笔袋、每筒彩色铅笔的原价各多少元？(2)时逢新年期间，商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：笔袋“九折”优惠；彩色铅笔不超过筒不优惠，超出筒的部分“八折”优惠．如果买个笔袋需要元，买筒彩色铅笔需要元．请用含，的代数式分别表示和；
(3)如果在（2）的条件下一共购买同一种奖品件，请分析买哪种奖品省钱．
【答案】(1)每个笔袋的原价为元，每筒彩色铅笔的原价为元
(2)，(3)购买彩色铅笔省钱
【分析】（1）设每个笔袋的原价为元，每筒彩色铅笔的原价为元，根据“个笔袋和筒彩色铅笔原价共需元；个笔袋和筒彩色铅笔原价共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）利用总价单价数量，即可用含，的分别求出和的解析式；
（3）代入，求出，的值，比较后即可得出结论．
（1）解：设每个笔袋的原价为元，每筒彩色铅笔的原价为元，
依题意，得：，解得：，
答：每个笔袋的原价为元，每筒彩色铅笔的原价为元；
（2）
解：依题意，得：，
当时，；
当时，；
；
（3）
解：当时，；
当时，；
，
购买彩色铅笔省钱．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、求函数解析式以及函数求值，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，列出函数解析式；（3）代入，求出，的值．
【即学即练4】
4．（2022·重庆大足·七年级期末）今年“五一”劳动节期间，某手机专卖店上架了甲、乙两款手机．前三天售出的甲款手机的数量比乙款手机的数量多50%，后两天售出的甲款手机的数量比前三天售出的甲款手机的数量少40%，结果后两天售出的甲乙两款手机的总数量比前三天售出的甲乙两款手机的总数量多12%，若后两天甲、乙两款手机的销售总额比前三天甲、乙两款手机的销售总额多24%，在整个销售期间甲乙两款手机的单价不变，则甲款手机的单价与乙款手机的单价的比值为______．
【答案】17：32
【分析】设前三天售出的乙款手机的数量是x，则前三天售出的甲款手机的数量为1.5x，则后两天售出的甲款手机的数量是0.6x，后两天售出的乙款手机的数量是2.2x，设甲款手机的单价为a，乙款手机的单价为b，根据题意列出方程解答即可．
【详解】设前三天售出的乙款手机的数量是x，则前三天售出的甲款手机的数量为1.5x，则后两天售出的甲款手机的数量是0.6x，后两天售出的乙款手机的数量是2.2x，设甲款手机的单价为a，乙款手机的单价为b，
依题意有0.6xa + 2.2xb= (1 + 24%) (xa + 1.5xb)，
化简得0.64a = 0.34b，则a：b=17：32，
故甲款手机的单价与乙款手机的单价的比值为17：32，故答案为17 ：32．
【点睛】此题考查了二元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．

知识点03 列方程组解应用题（三）
【知识拓展1】数字问题
例1．（2022·山东淄博·七年级期中）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下：
时刻
9：00
9：48
11：00
里程碑
上的数
是一个两位数，它的两个数字之和为6
也是一个两位数，十位与个位数字与9：00时所看到的正好互换了
是一个三位数，比9：00时看到的两位数的数字中间多了个0
如果设小明9：00时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，那么：
(1)小明9：00时看到的两位数为______；
(2)小明9：48时看到的两位数为______，11：00时看到的三位数为______；
(3)请你列二元一次方程求小明在9：00时看到里程碑上的两位数．
【答案】(1) (2)； (3)小明在9：00时看到里程碑上的两位数是15
【分析】（1）根据数位的概念用十位数字的10倍加上个位数字即是此两位数；
（2）同样用数位的概念进行表达即可，9：48时十位与个位数字与9：00时所看到的正好互换了，则十位数字为y，个位数字为x，11：00时看到的三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y；
（3）分别根据两位数的两个数字之和为6和行驶过程中速度不变两个等量关系列出方程，解出方程即可．
（1）∵两位数的十位数字为x，个位数字为y，
∴两位数可表示为；故答案为；．
（2）∵9：48时看到的两位数十位与个位数字与9：00时所看到的正好互换了
∴十位数字为y，个位数字为x，∴两位数可表示为；
∵11：00看到的数字是一个三位数，比9：00时看到的两位数的数字中间多了个0，
∴此三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y，
∴11：00时的三位数可表示为：；故答案为；；．
（3）根据题意可知行驶速度不变，从9:00到9:48用时48分钟，到11:00用时120分钟，列方程如下：
，解得：．
∴小明在9：00时看到里程碑上的两位数是15．
答：小明在9：00时看到里程碑上的两位数是15．
【点睛】本题考查了数位的概念和二元一次方程组的应用，理解数位的概念和表达方法，找到题中的等量关系列出方程是解题的关键．
【即学即练】
1．（2022·重庆江津·七年级阶段练习）甲乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的151倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1089．求这两个两位数？如果设甲数为x，乙数为y．则得方程组(    )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设甲数为x，乙数为y．根据题意，列出二元一次方程组即可求解．
【详解】解：设甲数为x，乙数为y．根据题意，得方程组
，故选A
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键．
【知识拓展2】几何问题
例2．（2022·江苏·南京师范大学附属中学树人学校九年级阶段练习）如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围成一个面积为的矩形劳动基地ABCD，边AD的长不超过墙的长度，在BC边上开设宽为1m的门EF（门不需要消耗篱笆）．设AB的长为x（m），BC的长为y（m）．

(1)若围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长为10m，求AB和BC的长度．(2)若AB和BC的长都是整数（单位：m），且围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长小于10m，请直接写出所有满足条件的围建方案．
【答案】(1)AB＝4，BC＝3
(2)AB＝2，BC＝6或AB＝3，BC＝4
【分析】（1）根据；篱笆总长和门的长表示出AB、BC，列出方程即可．
（2）根据围成矩形三边的篱笆总长小于10列出不等式，再由x和y为整数且xy=12确定出满足题意的方案．
（1）
根据题意得：，即．
代入得：，整理得：．
解得：或．
当时，，不符合题意；当时，，符合题意．
则AB=4,BC=3．
（2）
根据题意得：，即．
∵AB，BC为整数，即x，y为整数，且．
∴当y=6时，x=2；当y=4时，x=3．
则满足条件的围建方案为：AB=2,BC=6或AB=3,BC=4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解题的关键．
【即学即练】
2．（2022·河北唐山·七年级期中）如图所示的是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，两块竖放的墙砖比两块横放的墙砖高，则每块墙砖的截面面积是（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设每块墙砖的长为x cm，宽为y cm，观察图形，根据长方形墙砖长宽之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出x，y的值，再利用长方形的面积计算公式，即可求出每块墙砖的截面面积．
【详解】解：设每块墙砖的长为x cm，宽为y cm，
由题意得：，
解得：，
∴xy=45×20=900，
∴每块墙砖的截面面积是900cm2．
故选：B
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．






分层提分

题组A 基础过关练
1．（2022·河北沧州·七年级期末）六年前，A的年龄是B的年龄的3倍，现在A的年龄是B的年龄的2倍，A现在的年龄是(　　)．
A．12岁 B．18岁 C．24岁 D．30岁
【答案】C
【详解】解：设A现在的年龄是x岁，B是y岁．根据题意得：
，解得：．故选C．
2．（2022·湖北·广水市杨寨镇中心中学七年级阶段练习）某玩具车间每天能生产甲种玩具零件200个或乙种玩具零件100个，甲种零件1个与乙种零件2个能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在30天内组装出最多的玩具？设生产甲种零件x天，生产乙种零件y天，则有（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设生产甲种玩具零件x天，生产乙种玩具零件y天，根据工作总量=工作效率×工作时间，结合生产的乙种玩具的零件总数是甲种玩具零件总数的2倍，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设生产甲种玩具零件x天，生产乙种玩具零件y天，
依题意，得：，故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3．（2022·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）小明要用80元钱买A、B两种型号的口罩，两种型号的口罩必须都买，80元钱全部用尽，A型每个6元，B型口罩每个4元，则小明的购买方案有（    ）
A．4种 B．6种 C．8种 D．10种
【答案】B
【分析】设买A型号的口罩x个，B型号的口罩y个，得，根据题意列出符合题目的购买方案即可解答；
【详解】解：设买A型号的口罩x个，B型号的口罩y个，且x、y均为正整数，
即有，变形，得，
根据题意，且x、y均为正整数，
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
符合题意，所以小明的购买方案有6种；故选：B．
【点睛】本题主要考查了求解二元一次方程的正整数解的知识，正确理解题意，找到两种口罩的数量关系是解题的关键．
4．（2022·广东潮州·七年级期末）台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻，台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻，设台大收割机和台小收割机每小时收割水稻分别是公顷、公顷，则下列列式正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先设台大收割机和台小收割机每小时收割水稻分别是公顷、公顷，再根据“台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻”，得到；再根据“台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻”，得到．联立方程组，即可得到正确的选项．
【详解】台大收割机和台小收割机每小时收割水稻分别是公顷、公顷，
根据题意得：．故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用问题，解本题的关键在理解题意，并列出二元一次方程组．
5．（2022·湖北武汉·七年级期末）一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大63，这样的两位数共有（  ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】设原两位数的个位为x， 十位为y，则这个两位数为10y+x， 所以交换其个位数与十位数的位置，所得新两位数为10x+y，再列方程10x+y−10y−x=63， 找出符合条件的正整数解即可．
【详解】解：设原两位数的个位为x， 十位为y， 则这个两位数为10y+x，
交换其个位数与十位数的位置，所得新两位数为10x+y，
则10x+y−10y−x=63，整理得：x−y=7，
又∵x，y为正整数，且0 ∴或∴这个两位数为：92或81．故选A．
【点睛】本题考查的是二元一次方程的应用，二元一次方程的正整数解，理解题意，用代数式正确的表示出一个两位数是解题的关键．
6．（2022·河北唐山·七年级期末）如图，ABCD为一长条形纸带，，将ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与，对应，若，设，，根据题意可得（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质，由ABCD，得到∠CFE＝∠AEF，再根据翻折的性质可得 ，由平角的性质列出方程组．
【详解】解：根据题意，得 ．故选：A．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
7．（2022·新疆·七年级期末）我国古代数学著作孙子算经中有“鸡兔同笼”问题，“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”若设鸡有只，兔有只，则列出的方程组为______（列出方程组即可，不求解）．
【答案】
【分析】一只鸡有一个头和二条腿，一只兔有一个头和四条腿，根据上有三十五头，下有九十四足，即可列出方程组．
【详解】解：由题意，可列出的方程组为，故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是仔细审题，正确找出等量关系，难度一般．
8．（2022·天津市八年级期末）一次越野赛跑中，当小明跑了时，小刚跑了．此后两人分别以和匀速跑．又过小刚追上小明，时小刚到达终点，时小明到达终点．这次越野赛跑的全程为_______．
【答案】2050
【分析】根据两人的全程的距离相同可得出，再由当小明跑了时，小刚跑了．此后两人分别以和匀速跑．又过时小刚追上小明，可以得到，解方程求出a、b的值，由此求解即可．
【详解】解：根据题意，得，解得：
所以m故答案为：2050
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够准确根据题意列出方程求解．
9．（2022·黑龙江鹤岗·七年级期末）驴和骡子驮着货物走在路上，驴不停的埋怨自己驮的货物太重了，压得受不了．骡子对驴说：“你发什么牢骚啊！我驮的货比你重，如果你驮的货给我一袋子，那我驮的比你多一倍，而如果我驮的货给你一袋子，咱俩驮的才一样多”请问你知道驴和骡子各驮了多少袋子货物吗？
【答案】驴子原来所驮货物为5袋，骡子原来所驮货物为7袋．
【分析】根据题意可知，本题中的相等关系是“如果你驮的货给我一袋子，那我驮的比你多一倍”和“如果我驮的货给你一袋子，咱俩驮的才一样多”，列方程组求解即可．
【详解】解：设驴子原来所驮货物为x袋，骡子原来所驮货物为y袋．
由题意得 ，解得，
即：驴子原来所驮货物为5袋，骡子原来所驮货物为7袋．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
10．（2022·广东广州·七年级期末）甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板决定将甲服装按的利润率定价，乙服装按的利润率定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店老板共获利157元．甲、乙两件服装的成本各为多少元？
【答案】甲服装的成本为300元，乙服装的成本为200元
【分析】设甲服装的成本为元，乙服装的成本为元，则甲服装的定价为元，乙服装的定价为元，根据“甲、乙两件服装的成本共500元”和“两件服装均按9折出售，这样商店老板共获利157元”建立方程组，解方程组即可得．
【详解】解：设甲服装的成本为元，乙服装的成本为元，则甲服装的定价为元，乙服装的定价为元，
由题意得：，解得，
答：甲服装的成本为300元，乙服装的成本为200元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系并正确建立方程组是解题关键．
11．（2022·内蒙古鄂尔多斯·七年级阶段练习）如图，在的方格内，填写了一些代数式和数．

(1)在图1中各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请你求出，的值；
(2)把满足（1）的其它6个数填入图2中的方格内．
【答案】(1)(2)见解析
【分析】（1）根据等量关系“各行、各列及对角线上三个数之和都相等”，列出方程组求解即可；
（2）根据计算出的x、y值，求出其它6个数即可．
（1）解：由已知条件可得，解得：．
（2）解：如图所示：

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据“各行、各列及对角线上三个数之和相等”从而列出关于x、y的二元一次方程组，是解题的关键．

题组B 能力提升练
1．（2021·河南安阳·七年级期末）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两”，分别列出方程即可得出答案．
【详解】解：设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为：．故选：D．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找到等量关系是解题关键．
2．（2022·江苏盐城·八年级期末）如图，设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车原地返回．设x小时后两车间的距离为y千米，y关于x的函数关系如图所示，则乙车的速度为（　　）

A．60千米/小时 B．70千米/小时 C．75千米/小时 D．80千米/小时
【答案】B
【分析】设甲车的速度是a千米/小时，乙车的速度为b千米/小时，根据函数图象反应的数量关系建立方程组求出其解即可．
【详解】解：设甲车的速度是a千米/小时，乙车的速度为b千米/小时，
由题意，得，解得：
故乙车的速度是70千米/小时，故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，找准等量关系，列出方程是解决本题的关键．
3．（2022·山西吕梁·七年级期末）如图，在3×3的网格内填写了一些数和代数式，已知各行各列及对角线上的三个数之和都相等，则的值为________．

【答案】0
【分析】根据“各行各列及对角线上的三个数之和都相等”可列出相应的一元一次方程式组，解出x和y的值，进而求出m的值．
【详解】解：根据题意得：
，解得： ，
各行各列及对角线上的三个数之和为：4×1﹣3+2＝3，
2+y+m＝3，即2+1+m＝3，解得m＝0．故答案为：0．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，读懂题意，找出等量关系，并据此列出方程组是解题的关键．
4．（2022·江苏·七年级）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．
(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）
(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？
【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁 (2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子
【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可．
（2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案．
(1)设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁．
．解得：
答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁；
(2)（年）（年）
小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键．
5．（2022·山东宁阳·七年级期末）已知：用3辆型车和1辆型车载满货物一次可运货13吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨．根据以上信息，解答下列问题．
（1）1辆型车和1辆型车载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）某物流公司现有货物若干吨要运输，计划同时租用型车6辆，型车8辆，一次运完，且恰好每辆车都满载货物，请求出该物流公司有多少吨货物要运输？
【答案】（1）1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨（2）该物流公司有50吨货物要运输
【分析】（1）设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，则1辆B型车载满货物一次可运货y吨，根据题意可得出二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据货物质量＝6辆A型车的满载量＋8辆B型车的满载量，代入数据即可得出结论．
【详解】解：（1）设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，则1辆B型车载满货物一次可运货y吨，
根据题意得：，解得：，
答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨．
（2）该批货物的质量为3×6＋4×8＝50（吨）．答：该物流公司有50吨货物要运输．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据数量关系列出二元一次方程组是解题的关键．
6．（2022·福建·晋江市阳溪中学七年级阶段练习）在当地农业技术部门的指导下，小明家种植的菠萝喜获丰收．去年菠萝的收入结余12000元，今年菠萝的收入比去年增加了20%，支出减少了10%，预计今年结余比去年多11400元．(1)今年结余_____元；(2)若设去年的收入为x元，支出为y元，则今年的收入为____元，支出为____元；（以上两空用含x、y的式子表示）(3)列出关于x、y的方程组．
【答案】(1)23400 (2)1.2x；0.9y (3)
【分析】（1）根据去年菠萝的收入结余12000元，结余今年预计比去年多11400元，可以计算出今年的结余；（2）根据今年菠萝的收入比去年增加了20%，支出减少10%，可以表示出今年的收入和支出；
（3）根据题意“去年菠萝的收入结余12000元，今年结余比去年多11400元．”列出相应的方程组，即可．
（1）解：根据题意得：今年的结余为12000+11400=23400元；故答案为：23400
（2）解：设去年的收入为x元，支出为y元，则今年的收入为x+20%x=1.2x元，支出为y-10%y=0.9y元；
故答案为：1.2x；0.9y
（3）解：根据题意得：．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用方程的知识解答．
7．（2022·重庆市万盛经济技术开发区溱州中学七年级期中）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．
(1)请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
(2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元，请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少，最少费用为多少元．
【答案】(1)1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨
(2)共有3种运输方案，方案1：安排A货车8辆，B货车2辆；方案2：安排A货车5辆，B货车6辆；方案3：安排A货车2辆，B货车10辆；安排A货车8辆，B货车2辆费用最少，最少费用为4800元
【分析】（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨，列出方程求解即可；
（2）设安排A货车辆，B货车辆，根据目前有190吨货物需要运输，列出方程求解即可．
（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨．
根据题意得解得．
答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨．
（2）设安排A货车辆，B货车辆，依题意，得
，即，
又因为均为正整数，所以或或，
所以共有3种运输方案，方案1：安排A货车8辆，B货车2辆；
方案2：安排A货车5辆，B货车6辆；方案3：安排A货车2辆，B货车10辆．
方案1所需费用：500×8+400×2=4800（元）；
方案2所需费用：500×5+400×6=4900（元）；
方案3所需费用：500×2+400×10=5000（元）；
因为4800<4900<5000，所以安排A货车8辆，B货车2辆费用最少，最少费用为4800元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程求解．
8．（2022·河南南阳·七年级期末）甲、乙两人同时加工一批零件，前3小时两人共加工126件，后5小时中甲先花了1小时修理工具，之后甲每小时比以前多加工10件，乙由于体力消耗较大，每小时比原来少加工1件，结果在后5小时内，甲比乙多加工了15件，甲、乙两人原来每小时各加工多少件？
【答案】甲原来每小时加工20件，乙原来每小时加工22件
【分析】设甲原来每小时加工x件，乙每小时加工y件，利用工作总量＝工作效率×工作时间，结合“前3小时两人共加工126件，后5小时内，甲比乙多加工了15件”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设甲原来每小时加工x件，乙每小时加工y件，依题得：
，解方程组得：，
答：甲原来每小时加工20件，乙原来每小时加工22件．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．（2022·山东·昌乐县七年级期末）为落实课后延时服务，某校根据实际，决定开设更多运动项目，让更多学生参加体育锻炼，各班自主选择购买两种体育器材．

(1)七（1）班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．经班长统计需要购买足球的有15名同学，需要购买跳绳的有12名同学．请你根据如图中班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价；
(2)由于足球和跳绳需求量增大，该体育用品商店老板计划再次购进a个足球和b根跳绳（其中），恰好用了2400元，其中每个足球进价为80元，每根跳绳进价为15元，则最多可以买多少根跳绳？
【答案】(1)100元；20元 (2)32根
【分析】(1 ) 设足球的单价为x元，跳绳的单价为y元，根据对话信息列方程组求解即可；
(2)由题意得，然后整理再联系实际即可解答．
（1）解：设足球的单价为x元，跳绳的单价为y元，
由题意得：解得：，
答：足球的单价为100元，跳绳的单价为20元；
（2）
解：由题意得：，，整理得：
∵a、b为正整数，且a越小，b越大
∴当时，b取最大值，且
∴最多可以买32根跳绳．答：最多可以买32根跳绳．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，审请题意、列出方程组和方程是解答本题的关键．
10．（2022·浙江杭州·七年级期末）现要在长方形草坪中规划出3块大小，形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．

(1)如图，大长方形的相邻两边长分别为60m和45m，求小长方形的相邻两边长．
(2)如图，设大长方形的相邻两边长分别为a和b，小长方形的相邻两边长分别为和．
①1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
②若种植鲜花的面积是整块草坪面积的，求x和y满足的关系式（不含a，b）．
【答案】(1)小长方形的相邻两边长是，
(2)①个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值；②
【分析】（1）根据大长方形的相邻两边长分别为和，列出方程组并计算可求小长方形的相邻两边长；（2）①分别求出1个小长方形的周长与大长方形的周长，再求出它们的比值即可求解；②根据长方形的面积公式即可求解．
（1）解：设小长方形的相邻两边长分别为和，
依题意，可有，解得，
故小长方形的相邻两边长分别是10，25；
（2）①∵1个小长方形的周长为，
个大长方形的周长为，
∴．
故个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值；
依题意有：，整理，得．
故和满足的关系式为．
【点睛】本题主要考查了列代数式与二元一次方程组的应用，解题的关键是熟练掌握相关基本知识，属于中考常考题型．
题组C 培优拔尖练
1．（2022·山东新泰·七年级期末）《九章算术》中有这样一道题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各买得多少？设醇酒买得x斗，行酒买得y斗，则可列二元一次方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设醇酒买得x斗，行酒买得y斗，根据“今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒”列出方程组．
【详解】解：由题意得：，故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
2．（2022·山东·枣庄八年级阶段练习）弟弟对哥哥说：“我像你这么大的时候你已经20岁．”哥哥对弟弟说：“我像你这么大的时候你才5岁．”则哥哥的年龄是___________岁．
【答案】15
【分析】设此时弟弟岁，哥哥岁，根据题意，因为弟弟与哥哥的年龄差等于哥哥与20岁的年龄差，哥哥与弟弟的年龄差等于弟弟与5岁的年龄差，列出二元一次方程组求解即可．
【详解】设此时弟弟岁，哥哥岁，
由题意：，解得：，
∴此时哥哥的年龄是15岁，故答案为：15．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意，准确建立二元一次方程组并求解是解题关键．
3．（2022·重庆一中二模）春末夏初， 正是枇杷成熟之际， 某枇杷基地的枇杷大量成熟， 于是安排了 20 个工人分三个小组分别对 三种枇杷进行采摘， 每人每天固定只采摘同一品种的枇杷， 每天采摘 三种枇杷的时间之比为 ， 采摘 三种枇杷的速度之比为 ． 第一次采摘用了 5 天时间； 第二次采摘时， 从原来采摘 种枇杷的工人中抽调了部分工人加入采摘 种枇杷的小组中， 由于不熟悉 种枇杷采摘， 新加入的工人的采摘速度为原有采摘 种枇杷工人采摘速度的 ， 第二次采摘也用了 5 天时间， 两次采摘的三种枇杷的总量比为 ；第三次采摘时，需要采摘的枇杷总量是前两次总量的和的 ． 为了加快采摘速度，决定在第二次的采摘人员安排的基础上（此时第二次采摘时新加入 种枇杷采摘组的工人采摘速度和 种枇杷采摘组其他工人一样）， 在总人数 20 人以外另再添加 人去采摘 种枇杷， 新加入的 人的采摘速度是原来采摘 种枇杷工人速度的 2 倍， 最终， 第 3 次用了整数天完成采摘任务． 则 的值至少为_____________．
【答案】1
【分析】根据时间、速度得出一二三次采摘总量，且第三次采摘时间为整数，可得出关于y的方程，讨论即可得出答案．
【详解】解：设初始每组人数分别为a、b、c，①,
则第一次采摘总量为10a＋50b＋10c，
设第二次采摘时从第三组抽调x人到第二组，
则第二次采摘总量为10a＋50b＋25x＋10
＝10a＋50b＋10c＋15x
且
整理得a＋5b＋c＝4.5 x②
两次采摘总量为10a＋50b＋10c＋10a＋50b＋10c＋15x
＝20a＋100b＋20c＋15x
则第三次采摘总量为
设第三次采摘时间为n天，
则有③
将①②代入③整理得④
∵x、y、n为整数，
∴当n＝1时，④可化为23x＝2y，x＝2，y＝23；
当n＝2时，④可化为29x＝8y，x＝8，y＝29；
当n＝3时，④可化为x＝y，x＝1，y＝1；
当n＝4时，④可化为－5x＝16y，不符合题意；
故答案为：1．
【点睛】本题考查赋值讨论问题，正确理解题意、仔细计算化为最简、赋值讨论是解题的关键．
4．（2022·福建福州·七年级期末）某包装厂承接一批礼品盒制作业务，他们以规格200cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材按照截法一或截法二裁下A型与B型两种板材．如图甲（单位：cm）

(1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值．
(2)若将625张标准板材用截法一裁剪，125张标准板材用截法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，刚好可以做成图乙的竖式与横式两种无盖礼品盒．求可以做竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？
【答案】(1)图甲中的值为，的值为
(2)可以做竖式无盖礼品盒200个，横式无盖礼品盒400个
【分析】（1）观察圈形，根据标准板材的长度为200cm，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设可以做竖式无盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒y个，根据裁剪的两种型号的板材正好做成图乙的竖式与横式两种无盖礼品盒，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
（1）
解：依题意，得：，解得：．
答：图甲中的值为，的值为．
（2）
设可以做竖式无盖礼品盒m个，横式无盖礼品盒n个，
依题意（图乙），得：，解得：．
答：可以做竖式无盖礼品盒200个，横式无盖礼品盒400个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5．（2022·河南·濮阳市八年级期中）学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元．
(1)求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元？
(2)学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并计算出此时的花费．
【答案】(1)一只A型节能灯的售价是5元，一只B型节能灯的售价是7元，理由详见解析．
(2)当购买A型灯37只，B型灯13只时，最省钱，理由详见解析．

【分析】（1）设一只A型节能灯的售价是元，一只B型节能灯的售价是元，根据：“1只型节能灯和3只型节能灯共需11元；3只型节能灯和2只型节能灯共需12元”列方程组求解即可；
（2）首先根据“A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍”确定自变量的取值范围，然后得到有关总费用和A型灯的只数之间的关系得到函数解析式，确定函数的最值即可．
（1）
设一只A型节能灯的售价是元，一只B型节能灯的售价是元，
根据题意，得：
，
解得：，
答：一只A型节能灯的售价是5元，一只B型节能灯的售价是7元．
（2）
设购进A型节能灯只，总费用为元，
根据题意，得：，
∵，
∴随的增大而减小，
又∵，解得：，
而为正整数，
∴当时，，
此时
答：当购买A型灯37只，B型灯13只时，最省钱．
【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用，挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组是解题的关系．
6．（2022·山东·邹城七年级阶段练习）已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地，两车均先以每小时a千米的速度行驶，再以每小时b千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等．
(1)若，且甲车行驶的总时间为小时，求a和b的值；
(2)若，且乙车行驶的总时间为小时，求两车相遇时，离A地多少千米？
【答案】(1)a和b的值分别为60，40；
(2)
【分析】（1）由甲车以两种速度行驶的路程相等且时间为小时及建立方程组求出其解即可；
（2）由乙车行驶的时间相等就可以得出两次的时间分别为小时，由两段路程之和等于120及建立方程组求出其解即可求出a、b的值，从而得到甲车前一半的时间为，从而得出相遇时甲车还没行驶到60km，则离A地的路程为相遇时间乘甲车开始的速度即可．
（1）解：∵甲车以两种速度行驶的路程相等，
∴甲车以两种速度行驶的路程均为60 km．
∴由题意得：，解得：；
即a和b的值分别为60，40；
（2）∵乙车以两种速度行驶的时间相等，
∴乙车以两种速度行驶的时间均为小时
∴由题意得：解得：；
∴甲车前一半的时间为：，
由于，则乙h时行的路程为：，
∵，∴甲车行驶到一半路程时，甲乙两车的路程和超过120km，
∴相遇时甲车还没行驶到60km，
∴相遇时间为：，
则离A地的路程为：．即：两车相遇时，离A地．
【点睛】本题考查了行程问题的数量关系的运用，列二元一次方程解实际问题的运用，解答时分别运用路程相等和时间相等建立方程组是解答本题的关键．
7．（2022·河南南阳·七年级期中）我市在创建省级卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治．现有一段长360米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治16米，乙工程队每天整治24米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？
(1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下：
①小明同学：设整治任务完成后单工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．
根据题意，得
②小华同学：设整治任务完成后，表示______，表示______；
则可列方程组为
请你补全小明、小华两位同学的解题思路．
(2)请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程．
【答案】(1)①；②甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数；见解析
(2)见解析

【分析】（1）小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．根据甲、乙两队共完成120米的整治河道任务且共同时20天，即可得出关于x，y的二元一次方程组；小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出m，n表示的意义；
（2）任选一位同学的思路，解方程组即可得出结论．
（1）
①        
故答案为：；            
② m表示甲工程队工作的天数；n表示乙工程队工作的天数
故答案为：甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数；
（2）
选择①
解：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．则

解得                 
经检验，符合题意
答：甲工程队整治河道240米，乙工程队整治河道120米．  
选择②
解：设甲工程队工作的天数是m天，乙工程队工作的天数是n天． 则
                          
解得                  
经检验，符合题意
甲整治的河道长度：15×16=240米 ；乙整治的河道长度：5×24=120米
答：甲工程队整治河道240米，乙工程队整治河道120米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．（2022·重庆·黔江区七年级期中）重庆某超市有A，B两种产品进行销售，购买50件A产品，30件B产品，一共花费1450元，如果购买60件A产品，10件B产品，则一共花费1350元．
(1)请问A、B两种产品的单价为多少元？(2)五一即将来临，超市分别针对A、B商品进行打折销售．购买A种商品数量超过20的每件商品打八折销售；购买B种品数超过30的每件商品打六折销售．小红去超市购买A，B两种产品54件，一共花费了640元，请问小红分别购买A、B两种产品多少件？
【答案】(1)种产品的单价为20元、种产品的单价为15元
(2)小红购买种产品为22件、种产品的32件或小红购买种产品为14件、种产品的40件
【分析】（1）设种产品的单价为元、种产品的单价为元，由题意列出方程组，解方程组即可；
（2）设购买种产品为件、种产品的件，由题意列出方程组，解方程组解可．
（1）
解：设种产品的单价为元、种产品的单价为元，
由题意得：，
解得．
答：种产品的单价为20元、种产品的单价为15元．
（2）
解：设购买种产品为件、种产品的件，
①购买种商品数量超过20件，购买种品数超过30件，
由题意得：，
解得：；
②购买种商品数量超过20件，购买种品数不超过30件，
由题意得：，
解得：，
不合题意舍去，
③购买种商品数量不超过20件，购买种品数超过30件，
由题意得：，
解得：，
答：小红购买种产品为22件、种产品的32件或小红购买种产品为14件、种产品的40件．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，解答此类应用类题目的关键是仔细审题，得出等量关系，从而转化为方程解题，难度一般，第二问需要分类讨论，注意不要遗漏．
9．（2022·重庆巴蜀中学八年级期末）材料阅读：一个各个数位上数字均不相同且都不为0的四位自然数N，将其千位上数字与十位上数字之和记为x，百位上数字与个位上数字之和记为y，若x﹣y＝1．且其千位上数字与个位上数字之和等于百位上数字，则称N为“扬一数”．例如：N＝2573，x＝2+7＝9，y＝5+3＝8，x﹣y＝1，2+3＝5则2573是“扬一数”；再如N＝2354，x＝2+5＝7，y＝3+4＝7，x﹣y＝0≠1，所以2354不是“扬一数”．
(1)请判断4652和4157，是不是“扬一数”，并说明理由；
(2)已知一个四位数S是“扬一数”，且能被7整除，请求出所有满足条件的S．
【答案】(1)4652是“扬一数”，4157是“扬一数”，见解析
(2)S＝7952或5873或3794

【分析】（1）根据新定义进行解答便可；
（2）设S＝，根据数S是“扬一数”，得（a+c）﹣（b+d）＝1且a+d＝b，进而得c＝2d+1，从而求得c＝3，d＝1或c＝5，d＝2或c＝7，d＝3或c＝9，d＝4，再根据S能被7整除，得157a+15d+1+为整数，进而得为整数，对应前面c、d的值便可求得a、b的值，于是问题得解．
（1）解：4652是“扬一数”，4157不是“扬一数”．理由如下：∵N＝4652，x＝4+5＝9，y＝6+2＝8，x﹣y＝1，4+2＝6，∴4652是“扬一数”，∵N＝4157，x＝4+5＝9，y＝1+7＝8，x﹣y＝1，但4+7≠1，∴4157“扬一数”；
（2）设S＝，∵数S是“扬一数”，∴（a+c）﹣（b+d）＝1且a+d＝b，∴c﹣2d＝1，∴c＝2d+1，∴c＝3，d＝1或c＝5，d＝2或c＝7，d＝3或c＝9，d＝4，∵S能被7整除，∴＝157a+15d+1+为整数，∴为整数，∴a＝7，b＝9，c＝5，d＝2或a＝5，b＝8，c＝7，d＝3或a＝3，b＝7，c＝9，d＝4，∴S＝7952划5873或3794．
【点睛】本题主要考查了新定义，整除的应用，不定方程的应用，关键是正确应用新定义和解不定方程．
10．（2022·江苏·苏州七年级阶段练习）如图，在等腰中，厘米，=8厘米．

(1)如图1，设等腰底边上的高是，腰上的高是，则与的关系是 ；
(2)如图2，已知点从点出发，沿折线，以厘米/秒的速度运动；同时，点从点出发，沿折线，以厘米/秒的速度运动，若运动1秒时，点与点所运动的路程之和是5厘米；若运动8秒时，点正好追及点，求点的运动速度的值；
(3)如图3，己知点为的中点，如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．要使与在某一时刻全等，求点的运动速度．
【答案】(1)；
(2)；
(3)点的运动速度为2cm/s或3cm/s．

【分析】（1）如图1中，作AE⊥BC于E，BD⊥AC于D，根据×BC×AE＝×AC×BD列式计算可得答案；
（2）根据题意构建方程组即可解决问题；
（3）根据∠B＝∠C可知，分两种情形：①当BD＝EC，BE＝CF时，△BED与△CFE全等，②当BD＝CF，BE＝EC时，△BED与△CFE全等，分别求出运动时间和CF的长即可解决问题；
（1）
解：如图1中，作AE⊥BC于E，BD⊥AC于D．

∵×BC×AE＝×AC×BD，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）
解：由题意得：，
解得：，
∴点E，F的运动速度分别为1cm/s和4cm/s；
（3）
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
①∴当BD＝EC，BE＝CF时，△BED与△CFE全等，
∵点D为AB的中点，
∴BD＝AB＝6cm，
∵BD＝EC，
∴BE＝8−6＝2cm，
∵点E在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，
∴运动时间时1s，
又∵BE＝CF＝2cm，
∴点的运动速度为：2÷1＝2cm/s；
②∴当BD＝CF，BE＝EC时，△BED与△CFE全等，
∵BD＝6cm，BC＝8cm，BE＝EC，
∴FC＝6cm，BE＝EC＝4cm，
∴运动时间为4÷2＝2s，
∴点的运动速度为：6÷2＝3cm/s，
综上，点的运动速度为2cm/s或3cm/s．
【点睛】本题考查三角形的高线，二元一次方程组的应用，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用面积法解决线段之间的关系，学会用分类讨论的思想思考问题．