初中数学北师大版八年级上册1 函数精品课时练习

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专题5.3 二元一次方程组与一次函数、用二元一次方程组确定一次函数的表达式
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1、会把二元一次方程转化成一次函数；培养学生数形结合的思想；
2、会应用方程与函数的联系解决实际问题；
3、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解；
4、了解待定系数法，会用二元一次方程组确定一次函数的表达式。
知识精讲

知识点01 二元一次方程组与一次函数的关系
知识点
1.二元一次方程组与一次函数的关系
1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0
2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。
y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解
3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立.
5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.
6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立.
【知识拓展1】两直线的交点与二元一次方程组的解
例1．（2022·山东安·七年级期中）已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：的交点坐标为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解解答即可．
【详解】解：∵二元一次方程组的解为，
∴直线l1：y=x+5与直线l2：y=−x-1的交点坐标为（-4，1）．故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
【即学即练】
1．.（2022·河北·八年级期末）若一次函数与的图像相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用y＝-x＋1确定M点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．
【详解】解：把代入，得解得，所以点坐标为，
所以关于，的二元一次方程组的解是．故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．

【知识拓展2】图象法解二元一次方程组
例2．（2022·河南·八年级阶段练习）如图，直线与的图象交于点P，则关于x、y的方程组的解为___________．

【答案】
【分析】根据两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案．
【详解】解：∵直线与的图象交于点P（-2，1），
∴关于x、y的方程组的解为，故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解．
【即学即练】
2.（2022·陕西·八年级阶段练习）如图，已知一次函数和正比例函数的图像交于点，则根据图像可得二元一次方程组的解是______．

【答案】##
【分析】根据题意可知，二元一次方程组的解就是一次函数和正比例的图像的交点的坐标，即可求解．
【详解】解：由一次函数和正比例的图像，得
二元一次方程组的解是．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了方程组的解与两直线交点的坐标的关系，考熟练掌握两直线的交点坐标就是两直线的解析式组成的方程组的解是解题的关键．

【知识拓展3】直线围成的图形面积
例3．（2022·湖南·长沙市一中双语实验中学八年级期末）如图，直线与，轴交于点，，直线与，轴交于点，，这两条直线交于点．
(1)求点坐标；(2)若为轴正半轴上一点，当的面积为时，求的坐标．

【答案】(1)E（1，2） (2)P（0，6）
【分析】（1）先把两个函数的解析式联立方程组，再求解，得出交点坐标；
（2）先求出点A，D的坐标可得AD的长度，设点的坐标，再由的面积为，列方程求解，即可．
（1）解：解方程组得： ；
（2）解：由得：，，由得：，，
设，∵的面积为，∴，解得：，．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，理解函数与方程组的关系是解题的关键．
【即学即练】
3.（2022·吉林吉林·八年级期末）若一次函数y=x+1的图象与x轴相交于A，一次函数y=-2x+4的图象与x轴相交于点B，两个一次函数的图像相交于C，则△ABC的面积为___________．
【答案】3
【分析】首先求得点A，B，C的坐标，然后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：由y=x+1，当y=0时，x+1=0，解得x=-1，所以点A（-1，0），
由y=-2x+4，当y=0时，-2x+4=0，解得x=2，所以点B（2，0），
解方程组，得，所以S△ABC=×(2+1)×2=3．故答案为：3．

【点睛】本题考查了两条直线相交的问题，求两条直线的交点坐标时通常联立后组成方程组求解．

知识点02 二元一次方程组确定一次函数的表达式
知识点
二元一次方程组确定一次函数的表达式（待定系数法）
1) 点+点:设函数的解析式为：y=kx+b，当已知两点坐标，将这两点分别代入（待定系数法），可得关于k、b的二元一次方程组，解方程得出k、b的值。
2) 图形:观察图形，根据图形的特点，找出2点的坐标，利用待定系数法求解解析式。
【知识拓展1】求一次函数的解析式（点+点）
例1．（2022·福建厦门·八年级期末）已知一次函数的图象过点和
(1)求该函数的解析式；(2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象．
【答案】(1)y＝﹣3x+3．(2)见解析
【分析】（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，把（0，3）与（2，-3）代入求出k与b的值，即可确定出解析式．（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象即可．
（1）解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
把（0，3）与（2，﹣3）代入得：，解得：k＝﹣3，b＝3，则一次函数解析式为y＝﹣3x+3．
（2）解：函数y＝﹣3x+3图象如图：
．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【即学即练1】
1．（2022·江西赣州·八年级期末）已知一次函数的图象经过点，与y轴交于点，与x轴交于点A．(1)画出函数的图象；(2)求一次函数的解析式；(3)求A的坐标．
【答案】(1)函数图像见解析(2)y= -x + 4；(3)A(8， 0)．
【分析】（1）描出已知两点，然后过两点作直线即可；（2）利用待定系数法求得即可；
（3）令y= 0，求得x的值，即可求得A的坐标．
（1）如图：

（2）设一次函数的解析式为y= kx + b，
∵一次函数的图象经过点(2，3)， 与y轴交于点B(0，4)，
∴ 解得： ∴一次函数的解析式为y= -x + 4；
（3）令y=0，则-x+4= 0，解得x =8，∴ A(8， 0)．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．

【知识拓展2】求一次函数的解析式（图形）
例2．（2022·四川·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1的图像分别交x，y轴于点A，B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是_______．

【答案】
【分析】根据已知条件得到，，，求得，，过作交于，过作轴于，得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，，设直线的函数表达式为：，解方程组于是得到结论．
【详解】解：一次函数的图像分别交、轴于点、，
令，得，令，则，，，，，，
过作交于，过作轴于，如图所示：

，是等腰直角三角形，，
，，，
，，，，设直线的函数表达式为：，
，解得，
直线的函数表达式为：，故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图像与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
【即学即练2】
2．（2022·江苏南京市·中考真题）将一次函数的图象绕原点逆时针旋转，所得到的图像对应的函数表达式是__________．
【答案】
【分析】根据原一次函数与x,y轴的交点坐标，并求出旋转后这两点对应的坐标，再由待定系数法求解一次方程的表达式即可.
【详解】∵一次函数的解析式为，∴设与x轴、y轴的交点坐标为、，
∵一次函数的图象绕原点逆时针旋转，
∴旋转后得到的图象与原图象垂直，旋转后的点为、，
令，代入点得，，∴旋转后一次函数解析式为．故答案为．
【点睛】本题主要考查了一次函数图像与几何变换，正确把握互相垂直的两直线的位置关系是解题的关键．















分层提分


题组A 基础过关练

1．（2022·贵州·八年级期末）在平面直角坐标系内，一次函数与正比例函数的图像如图所示，则关于x、y的方程组的解是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【详解】解：∵一次函数与正比例函数的图象的交点坐标为（1，-1），
∴关于x、y的方程组的解是．故选：C．
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
2．（2022·湖南·长沙市立信中学八年级期中）一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为1，则的值为（    ）
A．2 B．或 C． D．2或
【答案】D
【分析】分别令y=0和x=0可求得直线与坐标轴的交点，再利用三角形的面积可得到b的方程，求解即可求得到答案．
【详解】解：设直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，
在y=2x+b中，令y=0可得x=-，令x=0可得y=b，
∴A（-，0），B（0，b），∴OA=|-|，OB=|b|，
∵S△AOB=1，∴OA•OB=1，即×||×|b|=1，
整理可得|b|2=4，∴b=2或b=-2，故D正确．故选：D．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，用b分别表示出直线与两坐标轴的交点是解题的关键．
3．（2022·河北·石家庄石门实验学校八年级期末）如图，已知直线与相交于点P（﹣1，1），则关于x的方程组的解是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据方程组与函数的关系求解．
【详解】解：方程组的解就是直线与的交点坐标，即P（-1，1），
∴方程组的解是．故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
4．（2022·四川·隆昌八年级阶段练习）一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积是（    ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】B
【分析】根据点的坐标特征求得图象与两坐标轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：一次函数,当x=0时，y=6； 当y=0时，x=3．
∴图象与坐标轴的交点为(0,6)，(3,0)，
∴图象与两坐标轴围成的三角形的面积为：，故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴围成的图形的面积，三角形面积，熟练掌握利用点的坐标表示图形的面积是解题的关键．
5．（2022·福建三明·八年级阶段练习）已知函数和的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是_______________；
【答案】
【分析】根据函数和的图象交于点P（2，-1）即可得．
【详解】解：∵函数和的图象交于点P（2，-1），
∴关于x，y的二元一次方程组的解为，故答案为：．
【点睛】本题考查了图象法解二元一次方程组，解题的关键是掌握一次函数与二元一次方程组之间的关系．
6．（2022·山东烟台·七年级期末）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为________．

【答案】8：50
【分析】分别求出甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可．
【详解】设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y1=k1x+40，根据题意得60k1+40=400，解得k1=6，∴y1=6x+40；
设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y2=k2x+240，根据题意得60k2+240=0，解得k2=-4，∴y2=-4x+240，
联立，解得，
8：30开始经过20分钟后，两仓的快递件数相同，
∴此刻的时间为8：50．故选B．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，理解图形中点的坐标代表的意义．
7．（2022·海南省直辖县级单位·八年级期末）有两条直线与，直线如图，直线上的部分点的坐标如表．则直线与直线的交点坐标为______．

…

0
1
2
…

…


0
1
…


【答案】
【分析】找到既在直线l1上，又在直线l2上的点的坐标即可．
【详解】解：由图中可以看出，既在直线l1上，又在直线l2上的点的坐标为：（－1，－2）．
故填（－1，－2）．
【点睛】本题考查两条直线相交或平行问题，解答本题关键是明确题意，利用表格中的数据解答．
8．（2022·福建三明市·八年级期末）如图，直线：与过点的直线交于点．

（1）求的值；（2）求直线的解析式．
【答案】（1）4；（2）．
【分析】（1）把点C（1，m）代入y=x+3即可求得；（2）根据待定系数法即可求得．
【详解】解：（1）∵点C（1，m）在一次函数y=x+3的图象上，∴m=1+3=4；
（2）设一次函数图象2相应的函数表达式为y=kx+b，
把点A（3，0），C（1，4）代入得，解得∴直线的解析式为．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，函数图象交点坐标等知识，难度适中．
9．（2022·北京九年级专题练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，两点．（1）求这个一次函数的解析式；（2）将函数的图象平移可得到函数的图象，写出平移的过程．
【答案】（1）；（2）将函数的图象向下平移3个单位可得到函数的图象．
【分析】（1）根据待定系数法，将两点代入函数解析式计算即可求得；
（2）根据上加下减，左加右减的平移规律即可求得．
【详解】解：（1）一次函数的图象经过，两点．
，解得，一次函数为；
（2）将函数的图向下平移3个单位可得到函数的图象．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和一次函数的平移变换，解决本题的关键是熟练掌握待定系数法和函数平移规律．
10．（2022·广东·八年级专题练习）A、B两城相距600千米，甲、乙两车同时从A城出发驶向B城，甲车到达B城后立即返回，如图是它们离A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．


(1)求甲车行驶过程中y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)点F为线段CD与OE交点，若乙车8小时到达B城，求F的坐标，并解释的实际意义．
【答案】(1)
(2)F的坐标（7，525），的实际意义为：甲、乙两车行驶了7小时时，两车相遇

【分析】（1）设甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式为，分当0≤x≤6时，当6≤x≤14，结合图象待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意求得乙车行驶过程中与x之间的函数解析式为：＝75x（0≤x≤8），根据75x＝﹣75x+1050，即可求解．
（1）
解：设甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式为，
当0≤x≤6时，将点（0，0），（6，600）代入函数解析式得：
，解得：，
∴；
当6≤x≤14，将点（6，600），（14，0）代入函数解析式得：
，解得：，
∴．
综上得；
（2）
乙车8小时到达B城，
∴乙车的速度为：600÷8＝75（千米/小时）．
∴乙车行驶过程中与x之间的函数解析式为：＝75x（0≤x≤8）．
75x＝﹣75x+1050，解得：x＝7，
75×7＝525，
∴F的坐标（7，525），
答：F的坐标（7，525），的实际意义为：甲、乙两车行驶了7小时时，两车相遇．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象求得解析式是解题的关键．
11.（2022·内蒙古·七年级期末）阅读下列材料，解答提出的问题
我们知道，二元一次方程有无数组解，如果我们把每一组的解用有序数对表示，就可以标出一些以方程的解为坐标的点，过这些点中的任意两点作直线，发现其它点也都在这条直线上，在这条直线上任意取一点，发现这个点的坐标是方程的解，如点．若再写出方程的一组解：______，并在所示坐标系中描出该点______，则发现这个点在这条直线上．
所以，以方程的解为坐标的点的全体叫做方程的图象，根据上面探究，方程的图象是一条______．

根据上述材料，解答下列问题：(1)请将材料中横线部分缺少的内容或过程补充完．
(2)请在如图所示坐标系中画出方程的图象；
(3)根据所画图象，二元一次方程组的解是______．
(4)这种用图形的方法得出二元一次方程组的解的过程，体现的数学思想是______．（填出下列选项的字母代号即可）A．转化思想    B．数形结合思想    C．方程思想
【答案】(1)（2，-1），在，一条直线 (2)图象见解析
(3) (4)B
【分析】（1）取点（2，-1），标出可得结论；
（2）取点（0，4）和（-2，0），过这两点作直线即可；
（3）根据图象交点可得方程组的解；（4）由解法是图象法，可得出答案．
(1)解：若再写出方程x+y=1的一组解：（2，-1），并在所示坐标系中描出该点，则发现这个点在这条直线上．所以，以方程x+y=1的解为坐标的点的全体叫做方程x+y=1的图象，根据上面探究，方程x+y=1的图象是：一条直线．故答案为：（2，-1），在，一条直线；
(2)解：取点（0，4）和（-2，0），图象如图所示，

（3）解：根据图象的交点坐标(-1，2)，
所以得方程组的解为：， 故答案为：；
(4)解：这种用图形的方法得出二元一次方程组的解的过程，体现的数学思想是：数形结合的思想；故选：B．
【点睛】本题主要考查的是探究二元一次方程组与一次函数的联系，用图象法解二元一次方程组，题目比较长，但难度不大，要注意耐心解答，正确作出函数的图象，找出两一次函数交点是解题的关键．
12．（2022·黑龙江·哈尔滨八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与直线y= x + 3交于点A，两条直线分别与x轴交于点B、点C．

(1)求点A的坐标；
(2)点D是AC上一点，BD=CD，求△BCD的面积．
【答案】(1)点A的坐标为
(2)

【分析】（1）联立两直线解析式，解方程组即可求解；
（2）根据直线与坐标轴的交点求得的坐标，过点D作于点E，根据题意求得的坐标，继而求得的坐标，根据三角形面积公式即可求解．
（1）解：，解得∴点A的坐标为
（2）直线中，时，，∴
直线时，，∴∴．
过点D作于点E，如图∵，∴，

∴，点D的横坐标为，
∵点D在直线上，点D的纵坐标为，即，
∴．
【点睛】本题考查一次函数综合，求两直线交点，以及直线围成的三角形的面积，数形结合是解题的关键．

题组B 能力提升练
1．（2022·山东淄博·八年级期中），两地相距100 km，甲、乙两人骑车同时分别从，两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到地的距离都是骑车时间的一次函数，其图像如图所示．已知1 h后乙距离地80 km，2 h后甲距离地30 km，则经过多长时间两人将相遇？（    ）

A．3 h B． C． D．4 h
【答案】B
【分析】利用待定系数法分别求出一次函数解析式，联立函数解析式即可求出相遇的时间．
【详解】设表示甲的直线的关系式为：，则，
解得：，故；
设表示乙的直线关系式为：，将，代入，得
，解得：，∴；
当，则，解得：．故选B
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，根据题意求出函数解析式是解题关键．
2．（2022·河南南阳·八年级期中）如图，点A，B，C在一次函数y＝－2x＋b的图象上，它们的横坐标依次为－1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积和是（    ）

A．1 B．3 C．3（b－1） D．
【答案】B
【分析】先表示出点A，C两点的坐标，再根据阴影部分的特征表示出阴影部分的面积，求解即可．
【详解】解：由题意可得A、C的坐标分别为（－1，b＋2）、（2，b－4），
又阴影部分为三个有一直角边都是1，另一直角边的长度和为A点纵坐标与C点纵坐标之差的三角形，所以阴影部分的面积为：，故选B．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，平面直角坐标系中图形的面积，解题的关键是正确地表示出阴影部分的面积．
3．（2022·山东威海·七年级期中）两个一次函数的图像如图所示，依据图中的信息，下列方程组的解满足交点P的坐标的是(   )

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据坐标系中点的坐标，运用待定系数法确定一次函数的解析式，解析式构成的方程组就是所求．
【详解】如图，设直线AB的解析式为y=kx+b，
根据题意，得，解得，
故直线AB的解析式为即；

设直线CD的解析式为y=px+q，
根据题意，得，解得，
故直线CD的解析式为即；
故符合题意的方程组为，故选D．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
4．（2022·安徽芜湖·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点，点B是直线与y轴的交点，点P是x轴上的一个动点，连接PA，PB，则的最小值是（    ）

A．6 B． C．9 D．
【答案】D
【分析】作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，则PA+PB的最小值即为A'B的长，先求出点A坐标，再待定系数法求出b的值，根据轴对称的性质可得点A'的坐标，进一步求出A'B的长，即可确定PA+PB的最小值．
【详解】解：作点A关于x轴的对称点，连接，如图所示：

则PA+PB的最小值即为的长，
将点A（3，a）代入y=2x，得a=2×3=6，∴点A坐标为（3，6），
将点A（3，6）代入y=x+b，得3+b=6，解得b=3，∴点B坐标为（0，3），
根据轴对称的性质，可得点A'坐标为（3，-6）∴，
∴PA+PB的最小值为．故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及两直线的交点问题，一次函数的性质，利用轴对称解决最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质以及一次函数的性质是解题的关键．
5．（2022·广东中山·八年级期末）若直线与的交点在第一象限，则b的值可以是（    ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】A
【分析】如图，画函数与的图象如下：对于，令 则 求解 当过E时，则 此时交点在y轴上，再往上平移，两条直线的交点落在第一象限，从而可得答案．
【详解】解：如图，画函数与的图象如下：
对于，令 则 ∴

当过E时，则
此时交点在y轴上，再往上平移，两条直线的交点落在第一象限，
即此时 ∴符合题意，故选A
【点睛】本题考查的是一次函数的交点位置的问题，利用函数图象判断交点位置是解本题的关键．
6．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P（1，2），若关于x、y的二元一次方程组的解为x、y，则x+y＝_____．

【答案】
【分析】直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案．
【详解】∵直线y＝ax+b和直线y＝kx交点P的坐标为（1，2），
∴二元一次方程组的解为，∴x+y＝1+2＝3．故答案为：3．
【点睛】此题考查一次函数与二元一次方程（组），解题关键在于理解两直线交点与两解析式组成的方程组之间的联系．
7．（2022·河南·上蔡县第一初级中学八年级阶段练习）如图，直线：y＝﹣2x+b与直线：y＝kx﹣2相交于点P（1，-1），直线交y轴于点A，直线交y轴于点B，则△PAB的面积为________

【答案】
【分析】利用一次函数，为常数，可得直线，与轴交点，然后可求出的面积．
【详解】解：直线与直线相交于点，
，解得：，点坐标为，
直线交轴于，，，
的面积为：，故答案为：．
【点睛】此题主要考查了两条直线相交问题，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
8．（2022·成都市·八年级单元测试）已知直线和直线，
(1)当 时，与相交于一点，这个点的坐标是 ；
(2)当 时，，此时方程组的解的情况是 ；
(3)当 时，与重合，此时方程组的解的情况是 ．
【答案】(1)；，
(2)，；无解
(3)，；方程有无数个解
【分析】（1）若两条直线有交点，那么它们的倾斜程度是不相等的，故可得，令值相等即可求出的值，从而也可以求出的值；
（2）若两条直线平行，那么它们的倾斜程度必然是相等的，且，此时这两条直线是没有交点的，相信你能得出方程组解的个数；
（3）若两条直线是重合的，则它们的倾斜程度相等，且，此时这两条直线有无数个交点，方程组解的个数也就明确了．
（1）
解：当时，两直线相交得：
．
移项、合并同类项得：
，
两边同时除以得：
，
将代入直线中，
解得：，
故与的交点坐标是，；
故答案为：、，；
（2）
解：当且时，，此时这两条直线没有交点，即方程组无解；
故答案为：，；无解；
（3）
解：当且时，这两条直线是重合的，故方程组有无数个解．
故答案为：，；方程有无数个解．
【点睛】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
9．（2022·吉林吉林·八年级期末）如图，直线=kx+b与坐标轴交于A（0，2），B（m，0）两点，与直线=-4x+12交于点P（2，n），直线=-4x+12交x轴于点C，交y轴于点D．

(1)求m，n值；
(2)直接写出方程组的解为 ；
(3)求△PBC的面积．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)10

【分析】（1）将点P坐标代入可求出n的值，得到P（2，4），然后利用待定系数法求出，再把B（m，0）代入即可求出m的值；
（2）根据两条直线的交点坐标就是两条直线的解析式所组成的方程组的解可直接得出答案；
（3）求出点C坐标，可得BC=5，然后根据三角形面积公式计算即可．
（1）
解：把点P（2，n）代入得：，
∴P（2，4），
把A（0，2），P（2，4）代入得，，
解得：，
∴，
把B（m，0）代入得：，
解得：，
∴，；
（2）
∵直线与交于点P（2，4），
∴方程组的解为：，
故答案为：；
（3）
当时，
解得：，
∴C（3，0），
∵P（2，4），B（－2，0），C（3，0），
∴BC=5，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，待定系数法的应用，直线交点与二元一次方程组的关系，坐标与图形性质等知识，熟知函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键．

10．（2022·四川广元·八年级期末）如图，一次函数与的图象相交于点．


(1)求点A的坐标及m的值；
(2)若一次函数与的图象与x轴分别交于点B，C，求的面积．
【答案】(1)；
(2)

【分析】（1）把点的坐标分别代入一次函数解析式中，即可得出二元一次方程组，解出即可得出结果；
（2）首先根据一次函数解析式，分别得出点B、C的坐标，进而得出的长，再根据（1）中点A的坐标，得出三角形的高，再根据三角形的面积公式，计算即可．
（1）
解：∵一次函数与的图象相交于点
∴把点分别代入一次函数与，
可得：，
解得：，
∴点的坐标为，
（2）
解：∵根据（1）可得：一次函数解析式为与，
又∵一次函数与的图象与x轴分别交于点B，C，
∴当时，，解得：，
即点的坐标为，
∴当时，，解得：，
即点的坐标为，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数图象交点的求法、一次函数与几何问题，求出点的坐标是解本题的关键．















题组C 培优拔尖练
1．（2022·浙江台州·八年级期末）迭代是重复反馈过程的活动，其目的通常是为了逼近所需目标或结果．每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值．对于一次函数，当时，．将代入，得出，此过程称为一次迭代：再将代入，得出，此过程称为二次迭代……为了更直观的理解，我们不妨借助于函数图象，请你根据图象，得出经过十次迭代后，y的值接近于下列哪个整数（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，得出一次函数y=x+2经过横纵坐标相等的点（4，4），观察图象即可得出结论．
【详解】解：由得，∴直线y=x与直线y=x+2的交点为（4，4），
由图象可知，经过十次迭代后，y的值接近于整数4，故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，明确一次“迭代”的含义是解题的关键．
2．（2022·湖北武汉·八年级期末）直线y＝x+n与直线y＝mx+3n（m是常数，m≠0且m≠1）交于点A，当n的值发生变化时，点A到直线y＝x﹣3的距离总是一个定值，则m的值是（　　）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】先求得交点A的坐标，即可求出点A的轨迹，进而判断出直线与直线y＝x﹣3平行，即可求出m的值．
【详解】解：∵直线y＝x+n与直线y＝mx+3n（m是常数，m≠0且m≠1）交于点A，
解析式联立解得，x＝ ，y＝ ，
∴A（，），∴yA＝xA，
当m为一个的确定的值时，yA是xA的正比例函数，
即：点A在直线y＝x上，
∵点A到直线y＝x﹣3的距离总是一个定值，
∴直线y＝x与直线y＝x﹣3平行，
∴＝，∴m＝．故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，平行线的判定，得出点A的轨迹，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．
3．（2022·浙江丽水·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=－2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，过点B的直线BC：y=kx+b交x轴于点C（－8，0）．

（1）k的值为___；（2）点M为直线BC上一点，若∠MAB=∠ABO，则点M的坐标是___．
【答案】          （－2，3），（2，5）
【分析】（1）由y=－2x+4求得点的坐标，根据的坐标待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意画出图形，分在点左边与右边两种情况分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数y=－2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，
令，得，则，令，得，则，
将，代入y=kx+b，
得，解得，∴直线得到解析式为，故答案为：；
（2）∵，，，
∴，
∴，∴，
如图，∠MAB=∠ABO，点M为直线BC上

①当在点右侧时，∵∠MAB=∠ABO，点M为直线BC上,
所以的横坐标为2，代入，得，所以，
②当在点左侧时，如果，设交轴于点，
∵∠MAB=∠ABO，∴，设，所以，
在中，，∴，解得，∴，
设解析式为，
，解得，∴的解析式为，
联立解析式得，解得：，∴，
综上，，，故答案为：或
【点睛】本题考查了一次函数综合问题，求一次函数解析式，等角对等边，勾股定理及其逆定理，待定系数法求解析式是解题的关键．
4．（2022·河南新乡·八年级期中）如图，直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于A、B两点，点C的坐标是（1，0），DE分别是AB、OA上的动点，当△CDE的周长最小时，点E的坐标是 _____．

【答案】10
【分析】作点C关于OA的对称点（-1，0），点C关于直线AB的对称点（7，6），连接与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，可以证明这个最小值就是线段．
【详解】解：如图，点C关于OA的对称点（-1，0），点C关于直线AB的对称点，
∵直线AB的解析式为y=-x+7，∴直线C的解析式为y=x-1，
由，得

∴F（4，3），∵F是C中点，∴可得（7，6）．
连接与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，
△DEC的周长=DE+EC+CD=E+ED+D===10．故答案为10．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题、两点之间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性在找到点D、点E位置，属于中考常考题型．
5．（2022·陕西西安·八年级期末）在平面直角坐标系内，若两条直线和的交点在第三象限的角平分线上，则b的值为______．
【答案】-1
【分析】先解关于x，y的方程组，再根据交点在第三象限的角平分线上得到方程，解之即可．
【详解】解：由题意可得：，
解得：，
∵交点在第三象限的角平分线上，
∴，
解得：b=-1，
故答案为：-1．
【点睛】本题主要考查了两直线平行和相交的问题，求出交点坐标，并理解第三象限的角平分线上点的坐标特征是解答此题的关键．
6．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，已知点，，点P在直线y＝x上运动，则当的值最大时，则点P的坐标为______．


【答案】（−3，−3）
【分析】根据轴对称的性质及待定系数法可求得答案．
【详解】解：作A关于直线y＝x对称点C，

∴OC＝OA，
∵A（1，0），
∴C的坐标为（0，1）；
连接CB并延长，交直线y＝x于P点，此时|PA−PB|＝|PC−PB|＝BC，取得最大值，
设直线BC的解析式为y＝kx＋，
把C（0，1）、代入得，
解得，
∴直线BC的方程为y＝x＋1，
联立，
解得：；
∴P点的坐标为（−3，−3）；
故答案为（−3，−3）．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，轴对称−最短路线问题，待定系数法求一次函数的解析式，求得P的位置是解题的关键．
7．（2022·江苏·八年级专题练习）若直线与直线的交点坐标为，则直线与直线的交点坐标为______．
【答案】(3，5)
【分析】观察直线的解析式，得到直线l1与直线l2分别向右平移4个单位，再向上平移3个单位得到直线l3与直线l4，故直线l3与直线l4的交点坐标为点(-1， 2)向右平移4个单位，再向上平移3个单位对应的点的坐标．
【详解】解：直线l1： y= kx +b(k≠0)与直线l2：y= 8x+t(s≠0)分别向右平移4个单位，再向上平移3个单位得到
直线l3：y=k(x-4)+b+ 3(k≠0)与直线l4：y=s(x-4)+t+3(s≠0)，
∵直线l1： y= kx+ b(k≠0)与直线l2：y= sx+ t(s≠0)的交点坐标为(-1，2)，
∴直线l3： y=k(x-4)+b+3(k≠0)与直线l4： y= s(x-4)+t+ 3(s≠0)的交点坐标为(-1 +4，2+3)，
即(3， 5)，故答案为(3， 5)．
【点睛】本题考查两条直线相交或平行问题，明确直线l1： y= kx +b(k≠0)与直线l2：y= 8x+t(s≠0)分别向右平移4个单位，再向上平移3个单位得到直线l3：y= k(x-4)+b+3(k≠0)与直线l4：y= s(x-4)+t+ 3(s≠0)是解题的关键．
8．（2022·山西吕梁·七年级期末）综合与探究
问题情境：
在学习了平面直角坐标系和二元一次方程组之后，敏学小组的同学突发奇想进行了如下探究：


问题解决：
(1)在下列表格中取，的值，使方程成立

－1
0
1





2
4
6

(2)在（1）中当时，，敏学小组的同学把这组解转化为点的坐标A（1，2）描在如图所示的平面直角坐标系中，请你把（1）中以其他解为坐标的点描在平面直角坐标系中，并把这些点连起来，你有什么发现？
(3)我们把（2）中得到的图形叫做方程的图象．请在同一坐标系中画出二元一次方程组的图象，并直接写出方程组的解．
【答案】(1)见解析
(2)图见解析，这些点在一条直线上
(3)图见解析，

【分析】（1）把x或y的值代入2x－y=0，即可得到结论，将表格补充完整即可；
（2）根据题意，将表中的每组坐标在平面直角坐标系中描出，并用直线连接即可；
（3）根据函数图形的交点坐标即可得到结论．
（1）
如下表所示

－1
0
1
2
3

－2
0
2
4
6

故答案为：2，3，﹣2，0；
（2）
解：如图，这些点在一条直线上；


（3）
解：由可得，根据关系式列出下表，

－1
0
1
2
3

4
3
2
1
0

由表格中的数据可画出图象：


由图象可知，两直线交点的横纵坐标即为方程的解，
故方程的解为．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数，正比例函数的图形，能够正确的作出函数图象是解决本题的关键．
9．（2022·山东烟台·七年级期末）【活动回顾】：
七年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．发现：以方程的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数的图象相同，是同一条直线；结论：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线．

示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线．
【解决问题】：
(1)请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）；
(2)观察图象，两条直线的交点坐标为 ，由此你得出这个二元一次方程组的解是 ；
【拓展延伸】：
(3)已知二元一次方程的图象经过两点和，试求a＋b的值．
(4)在同一平面直角坐标系中，一次函数图象和一次函数的图象，如图3所示．请根据图象，直接判断方程组的解的情况 （不需要说明理由）．
【答案】(1)见解析
(2)，
(3)
(4)无解

【分析】（1）首先写出每个二元一次方程的两组解，x为横坐标，y为纵坐标，两点确定一条直线，画出图像即可；
（2）由图可知交点坐标，而交点横坐标即为方程组解中x的值，交点纵坐标即为方程组解中y的值；
（3）将两点的坐标代入方程，列出关于a，b的二元一次方程组，即可求出a，b的值；
（4）①将方程组的两个二元一次方程转化为两个一次函数，而这两个一次函数的k相等，所以两直线平行；②两直线没有交点，故方程组无解．
（1）
对于的图像，任取两组解：，
即可根据画出的图像；
对于的图像，任取两组解：，
即可根据画出的图像，如图；

（2）
由图可知，交点坐标为，所以方程组的解为；
故答案为：，；
（3）
将和代入方程，得：
，解得,
∴；
（4）
方程无解，
∵与的k值相等，
∴两直线平行，没有交点，
∴方程组的无解．
方程组无解
故答案为：无解
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程（组），方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标，解题关键是掌握两个一次函数求交点与二元一次方程组的关系．