初中数学北师大版八年级上册第七章 平行线的证明1 为什么要证明优秀当堂达标检测题

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专题7.1 为什么要证明、定义与命题
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1、了解推理的意义，知道要判断一个数学结论是否正确，必须进行推理；
2、会用实验验证、举出反例、推理等方法简单地验证一-个数学结论是否正确；
3、理解定义、命题的概念，能区分命题的条件和结论，并把命题写成“如果..--那么”的形式；
4、了解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假性，并会对假命题举反例；
5、了解公理、定理与证明的概念并了解本套教材所采用的公理；
6、体会命题证明的必要性,体验数学思维的严谨性。
知识精讲

知识点01 为什么要证明
【知识拓展1】推理与论证
例1．（2022·山东淄博·中考模拟）甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【详解】分析：四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；由此进行分析即可．
详解：四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，
所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；
若甲只胜一场，这时乙、丙各胜一场，说明丁胜三场，这与甲胜丁矛盾，所以甲只能是胜两场，
即：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，也就是胜0场．
答：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，丁胜0场．故选D．
点睛：此题是推理论证题目，解答此题的关键是先根据题意，通过分析，进而得出两种可能性，继而分析即可．
【即学即练】
1．（2022·北京·临川学校八年级阶段练习）甲、乙、丙三位同学踢球时，不小心将班级的玻璃打破，当班主任追问时，甲说：“是丙打破的．”乙说：“不是我打破的．”丙说：“甲说谎．”三个人中只有一人说了真话，请你判断：玻璃是________打破的．
【答案】乙
【分析】本题须分别分析甲、乙、丙三人说的话，再根据三人中只有一人说的是真话，进行推理即可得出结论．
【详解】解：根据题意可得：玻璃是乙打破的
∵此时乙说：“不是我打破的”则乙说的是假话
甲说：“是丙打破的”也是假话，则丙说：“甲说谎”是真话，
∴玻璃是乙打破的符合题意 故答案为乙
【点睛】本题考查推理与论证，在解题时要能根据题意进行推理与论证得出正确答案是本题的关键．

【知识拓展2】命题的证明
例2．（2022·福建泉州·八年级期中）证明“全等三角形的对应角平分线相等”
命题证明应有四个步骤：画出图形，写出已知，求证，及证明过程．把下列证明补完整．
图形：如图所示

已知：
求证：
证明：
【答案】已知：如图，△，，分别是和△的角平分线．求证：．证明见解析．
【分析】根据命题的条件和结论，画出图形，写出已知和求证，根据全等三角形的性质定理得，，，结合角平分线的定义，得，由ASA即可得到结论．
【详解】已知：如图，△，，分别是和△的角平分线．
求证：．
证明：△，
，，，
，分分别是和△的角平分线，
，
，
在和△中
∵
△．
．
【点睛】本题考查真命题的证明，掌握命题证明的步骤和三角形全等的判定和性质定理，是解题的关键．
【即学即练】
2.（2022·全国·八年级课时练习）如图，，，那么你能判断与的大小关系吗?小颖据此得出结论：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等，你认为她的想法正确吗?与同伴进行交流．

【答案】∠B=∠E；小颖的结论不全面．
【分析】首先根据两直线平行同位角相等可得∠B＝∠DGC，∠E＝∠DGC，再利用等量代换可得∠B＝∠E；两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
【详解】解：∠ABC＝∠DEF，
理由：∵ABDE，
∴∠B＝∠DGC，
∵BCEF，
∴∠E＝∠DGC，
∴∠B＝∠E；

她的想法不对，两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；
理由：∵ABDE，
∴∠B＋∠DGB＝180°，
∵BCEF，
∴∠E＝∠DGB，
∴∠B＋∠E＝180°．

【点睛】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行同位角相等．
3．（2022·福建·厦门双十中学八年级期中）证明：如果两个三角形有两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形全等．
【答案】见解析
【分析】由HL证明Rt△ABH≌Rt△DEK得∠B=∠E，再用边角边证明△ABC≌△DEF．
【详解】已知：如图所示，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，AH⊥BC，DK⊥EF，且AH＝DK．

求证：△ABC≌△DEF，
证明：∵AH⊥BC，DK⊥EF，∴∠AHB＝∠DKE＝90°，
在Rt△ABH和Rt△DEK中，
，∴Rt△ABH≌Rt△DEK（HL），∠B＝∠E，
在△ABC和△DEF中，
，∴△ABC≌△DEF（SAS）
【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质和命题的证明方法，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点是将命题用几何语言规范书写成几何证明格式．

知识点02 定义与命题
知识点
1）命题的概念：判断一件事件的句子叫作命题
2）真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题，我们称为真命题
3）假命题：如果题设成立，结论不一定成立的命题，我们称为假命题。
注：“不一定”成立，即只要有一个反例即不成立
4）定理：经过我们一定的推理，得到的真命题叫作定理。
5）证明：推理的过程我们叫作证明。
注：①命题必须是一个完整的句子（即必须包含题设（假如，有时题设是隐藏的），还有论断（那么）），且必须对这个句子作出判断。②命题即可以是真命题，也可以是假命题。
6）常用定理：①同角（等角）的补角相等；②同角（等角）的余角相等；③对顶角相等；④三角形的任意两边之和大于第三边。
【知识拓展1】命题的定义
例1．（2022·湖北·武汉二中广雅中学七年级阶段练习）下列语句不是命题的是（    ）
A．对顶角相等 B．同旁内角相等
C．内错角相等，两直线平行 D．延长线段到点使
【答案】D
【分析】根据命题的概念判断即可．
【详解】解：、对顶角相等，对问题作出了判断，是命题，不符合题意；
B、同旁内角相等，对问题作出了判断，是命题，不符合题意；
C、内错角相等，两直线平行，对问题作出了判断，是命题，不符合题意；
D、延长线段到点使，没有对问题作出判断，不是命题，符合题意，故选D．
【点睛】本题考查的是命题的概念，解题的关键是掌握命题是判断一件事情的语句．
【即学即练】
1．（2022·浙江·八年级单元测试）下列是命题的是（    ）
A．作两条相交直线 B．∠和∠相等吗？
C．全等三角形对应边相等 D．若a2＝4，求a的值
【答案】C
【分析】根据命题的定义对各选项进行判断．
【详解】解：A．“作两条相交直线”为描叙性语言，它不是命题，所以A选项错误；
B．“∠和∠相等吗？”为疑问句，它不是命题，所以B选项错误；
C．全等三角形对应边相等，它是命题，所以C选项正确；
D．“若a2＝4，求a的值”为描叙性语言，它不是命题，所以D选项错误．故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．

【知识拓展2】真假命题的辨别
例2．（2022·江西育华学校七年级阶段练习）下列选项中，真命题个数为b个，假命题为c个，则c-b为（）
①无限小数都是无理数；②同位角相等；③不是分数；④延长线段AB到C．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据无理数的定义、平行线的性质、添加辅助线的方法、命题的定义等知识判定命题的真假，求出b，c即可．
【详解】解：①无限不循环小数都是无理数，故原说法是假命题；
②两直线平行，同位角相等，故原说法是假命题；
③是无理数，不是分数，故原说法是真命题；
④延长线段AB到C，不是命题；
∴b=1，c=2，∴c-b=2-1=1．故选：B
【点睛】本题主要考查了命题与定理知识，熟练掌握无限不循环小数都是无理数、平行线的性质、添加辅助线的方法、具有判断语气的句子是命题等知识是解答此题的关键．
【即学即练2】
2．（2022·福建泉州·八年级期中）下列命题中，真命题是（    ）
A．两个锐角的和一定是钝角 B．相等的角是对顶角
C．一个三角形中至少有两个锐角 D．带根号的数一定是无理数
【答案】C
【分析】根据锐角、对顶角、三角形的分类及无理数的定义依次判断即可．
【详解】A、两个锐角的和可能是锐角、直角或钝角，原命题错误，不符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，原命题错误，不符合题意；
C、一个三角形中至少有两个锐角，正确，是真命题，符合题意；
D、带根号的数不一定是无理数，如，原命题错误，不符合题意，故选C．
【点睛】本题主要考查命题的真假，解题的关键是熟知锐角、对顶角、三角形的分类、无理数的定义．

【知识拓展3】命题的改写
例3．（2022·上海·八年级专题练习）把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”：_____________．
【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
【分析】找到命题的条件和结论进行改写即可．
【详解】根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”
故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
【点睛】本题考查了命题的特点，解题的关键是“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
【即学即练】
3．（2022·四川·仁寿县黑龙滩镇光相九年制学校八年级期末）命题“两点之间线段最短"的题设是______________，结论是______________．
【答案】     连接两点，得到线段；     线段最短
【分析】命题常常可以写为“如果……那么……”的形式，如果后面接题设，而那么后面接结论；根据上步的知识，从命题的定义出发，寻找题设和结论就可以了．
【详解】命题“两点之间线段最短"的题设是：连接两点，得到线段，结论是：线段最短，
故答案为：连接两点；线段最短
【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．

【知识拓展4】假命题的反例
例4．（2022·浙江·金华市八年级阶段练习）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（　　）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】根据能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、，满足条件，不满足结论，故A选项符合；
B、，不满足条件，故B选项不符合；
C、，满足条件，也满足结论，故C选项不符合；
D、，不满足条件，故D选项不符合．故选：A．
【点睛】本题考查了命题的真假，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键．
【即学即练】
4．（2022·吉林·长春八年级期中）能说明命题“对于任何实数，都有．”是假命题的反例是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用当时，不成立，从而对各选项进行判断．
【详解】∵当时，．
∴命题“对于任何实数，都有”是假命题的反例是．故选：A．
【点睛】本题考查了命题的真假判断和实数的性质，熟知实数的性质，能正确举出反例是解本题的关键．

【知识拓展5】逆命题与逆定理
例5．（2022·上海·八年级专题练习）命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是________________．
【答案】有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形
【分析】根据逆命题的定义写出即可．
【详解】解：命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是“有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形”．故答案是：有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形．
【点睛】本题考查了互逆命题的知识，掌握逆命题的定义是解题的关键．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
【即学即练】
5．（2022·浙江·八年级专题练习）下列说法错误的是（    ）
A．任何命题都有逆命题 B．真命题的逆命题不一定是正确的
C．任何定理都有逆定理 D．一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的
【答案】C
【分析】根据命题，定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解即可．
【详解】A．任何命题都有逆命题，故A正确，不符合题意；
B．真命题的逆命题不一定为真，故B正确，不符合题意；
C．任何定理不一定都有逆定理，故C错误，符合题意；D．定理一定是正确的，一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的，故D正确，不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查了命题，定理的定义．如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论与条件，那么这两个命题称为互逆命题．定理是指用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题，如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理．


能力拓展

考法01 反证法
【典例1】（2022·湖南·长沙市华益中学一模）在七年级下册《相交线与平行线》一章中，我们用测量的方法得出了“两直线平行，同位角相等”这一性质．在九年级上册P94页学习反证法时对这一性质进行了证明．请大家阅读下列证明过程并把它补充完整：
已知：如图1，直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD交于点O，．求证：．

(1)完成下面证明过程（将答案填在相应的空上）：
证明：假设____________．
如图2，过点O作直线，使
∴A′B′∥CD（        ）
又∵AB∥CD，且直线AB经过点O
∴过点O存在两条直线AB、与直线CD平行
这与基本事实矛盾，假设不成立
∴．
(2)上述证明过程中提到的基本事实是_________．（填序号）
①两点确定一条直线；②过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行．
【答案】(1)；同位角相等，两直线平行；(2)②
【分析】根据反证法的证明步骤分析即可．
(1)
证明：假设．
如图2，过点O作直线，使，
∴A′B′∥CD（同位角相等，两直线平行）
又∵AB∥CD，且直线AB经过点O
∴过点O存在两条直线AB、与直线CD平行
这与基本事实矛盾，假设不成立
故答案为∶ ；同位角相等，两直线平行；
(2)解：上述证明过程中提到的基本事实是过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；答案：②
【点睛】本题考查了反证法，熟练掌握假设原命题的结论不成立（即提出与原命题相反的结论）；从这个假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果；判定假设不正确，肯定原命题的结论正确是解题的关键．
变式1．（2022·福建·八年级期中）已知△ABC中，∠B≠∠C，求证：AB≠AC．若用反证法证这个结论，应首先假设(   )
A．∠B＝∠C B．∠B≠∠C C．AB＝AC D．AB≠AC
【答案】C
【分析】根据反证法的步骤，直接选择正确答案得出即可．
【详解】解：若用反证法证这个结论，应首先假设AB＝AC．故选：C
【点睛】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
变式2．（2022·江苏·江阴市敔山湾实验学校八年级阶段练习）用反证法证明命题：“同位角不相等，两直线不平行”时，第一步应假设____________________．
【答案】两直线平行
【分析】本题需先根据已知条件和反证法的特点进行证明，即可求出答案．
【详解】已知平面中有两条直线，被第三条直线所截；假设同位角不相等，则两条直线平行，同位角不相等，则两条直线与第三直线互相相交，即为三角形．因假设与结论不相同，故假设不成立，即如果同位角不相等，那么这两条直线不平行．
故答案为：两直线平行．
【点睛】本题主要考查了反证法，在解题时要根据反证法的特点进行证明是本题的关键．


分层提分

题组A 基础过关练
1．（2022·江苏扬州·二模）数学巨著《几何原本》以基本事实和原始概念为基础，推演出更多的结论，体现了公理化思想．《几何原本》的作者是（    ）
A．阿基米德 B．欧几里得 C．毕达哥拉斯 D．泰勒斯
【答案】B
【分析】根据数学史，即可得到答案；
【详解】解：《几何原本》的作者是：欧几里得，
故选：B．
【点睛】本题考查了《几何原本》，早在公元前3世纪，希腊数学家欧几里得用由反复实践所证实而被认为不需要证明的少数命题为前提，用逻辑推理的方法，将前人在几何方面的研究成果整理成《几何原本》．
2．（2022·浙江·八年级专题练习）命题“若，则”的逆命题是（　　）
A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】根据已知中的原命题，结合逆命题的定义，可得答案．
【详解】解：命题“若，则”的逆命题是：若，则，故选：D．
【点睛】本题主要考查了由原命题写出逆命题，掌握逆命题的题设与结论是原命题的结论与题设是解答本题的关键．
3．（2022·河北·八年级阶段练习）在下列各原命题中，逆命题是真命题的是（　　）
A．直角三角形两个锐角互余 B．对顶角相等
C．全等三角形对应角相等 D．全等的两个三角形面积相等
【答案】A
【分析】写出个命题的逆命题，再逐项判断即可求解．
【详解】解：A、逆命题是：两个锐角互余的三角形是直角三角三角形，是真命题，故此选项正确，符合题意；B、逆命题是：相等的角是对顶角，是假命题，故此选项错误，不符合题意；
C、逆命题是：三个角对应相等的两个三角形全等，是假命题，故此选项错误，不符合题意；
D、逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形，是假命题，故此选项错误，不符合题意．故选：A．
【点睛】本题考查了逆命题的真假性，是易错题．易错易混点：本题要求的是逆命题的真假性，学生易出现只判断原命题的真假，也就是审题不认真．
4．（2022·浙江绍兴·八年级阶段练习）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断．
【详解】解：A．，则，，故不符合题意；
B．，则，故不符合题意；
C． 当时，有，但，
所以可作为说明原命题是假命题的反例．
D．，则，故不符合题意；故选C．
【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”与“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
5．（2022·江苏·赣榆汇文双语学校七年级阶段练习）下列语句中，属于命题的是（   ）
A．等角的余角相等 B．两点之间，线段最短吗
C．连接P、Q两点 D．花儿会不会在春天开放
【答案】A
【分析】根据命题的定义，对选项一一进行分析即可．
【详解】解：选项A：是用语言可以判断真假的陈述句，是命题，故符合题意；
选项B、C、D：都不是可以判断真假的陈述句，都不是命题，故不符合题意．
故选：A
【点睛】本题考查了命题的定义，解本题的关键在判断给出的语句是否用语言、符号或式子表达，是否为可以判断真假的陈述句．一般地，对某件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题，命题可看做由题设和结论两部分组成．
6．（2022·黑龙江·依安县中心镇中心校八年级阶段练习）下列命题不正确的是（    ）
A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B．有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
C．有两个锐角相等的两个直角三角形全等
D．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
【答案】C
【分析】根据直角三角形的判定SAS,AAS,SSS,ASA,HL直接进行解答即可．
【详解】解：A、斜边和一锐角对应相等，再结合直角相等，可得到两个直角三角形全等，故本选项正确，不符合题意；
B、有两条直角边对应相等，可利用边角边得到两个直角三角形全等，故本选项正确，不符合题意；
C、有两个锐角相等的两个直角三角形不一定全等，故本选项错误，符合题意；
D、有一直角边和一锐角对应相等再结合直角相等，可得到两个直角三角形全等，故本选项正确，不符合题意；
故选：C
【点睛】此题主要考查了命题与定理以及全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．
7．（2022·浙江·永嘉县八年级期中）用反证法证明“x<3”时应假设（　　）
A．x≥3 B．x<3 C．x=3 D．x≤ -3
【答案】A
【分析】根据反证法的定义，先找出与x<3对应的命题，x≥3，由此即可解题．
【详解】解：∵x<3与x≥3相反，
∴用反证法证明“x<3”时应假设x≥3，故选：A．
【点睛】本题主要考查的是反证法的应用，注意题中“＜”与“≥”相反，而非相反数．
8．（2022·福建泉州·八年级期中）把命题：对顶角相等．改写“如果那么”的形式为：___________________．
【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．
【详解】解：题设为：对顶角，结论为：相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等；
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
9．（2022·浙江杭州·八年级阶段练习）把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：______________．
【答案】两个角是对顶角，那么这两个角相等
【分析】先找到命题的题设和结论，再写成“如果…，那么…”的形式．
【详解】解：把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为：
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
故答案为：两个角是对顶角，那么这两个角相等
【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
10．（2022·上海·八年级专题练习）根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出：
已知：_______________________________
求证：_______________ ．

【答案】     已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线     求证：AD平分∠BAC.
【分析】结合几何图形写出已知条件和结论．
【详解】已知：△ABC中，AB=AC，D为BC中点（或BD=DC）；
求证：AD平分∠BAC．
故答案为△ABC中，AB=AC，D为BC中点（或BD=DC）；AD平分∠BAC．
【点睛】本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
11．（2022·江苏·南京七年级阶段练习）如图，已知直线，直线MN分别交AB、CD于M、N两点，若ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，试说明：．

解：∵，（已知）
∴∠AMN＝∠DNM（ ）
∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知）
∴∠EMN＝ ∠AMN，
∠FNM＝ ∠DNM （角平分线的定义）
∴∠EMN＝∠FNM（等量代换）
∴（ ）
（1）由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对 角的平分线互相 ．
（2）解题过程中是否应用了互逆命题，如果有，请写出来．
【答案】两直线平行内错角相等；；；内错角相等两直线平行；（1）内错；平行；（2）有；内错角相等两直线平行与两直线平行内错角相等
【分析】先根据两直线平行内错角相等，可得∠AMN=∠DNM，然后根据角平分线的定义可得∠EMN=∠AMN，∠FNM=∠DNM，然后根据等量代换可得∠EMN=∠FNM，然后根据内错角相等两直线平行即可说明；
（1）根据上面的推理过程得出结论即可；
（2）两直线平行内错角相等与内错角相等两直线平行为互逆命题．
【详解】解：∵，（已知）
∴∠AMN=∠DNM，（两直线平行内错角相等），
∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知），
∴∠EMN=∠AMN，
∠FNM=∠DNM，（角平分线的定义），
∴∠EMN=∠FNM（等量代换）
∴，（内错角相等两直线平行）．
故答案为：两直线平行内错角相等；；；内错角相等两直线平行．
（1）由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的平分线互相平行；
故答案为：内错；平行．
（2）解题过程中应用了互逆命题，内错角相等两直线平行与两直线平行内错角相等．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质及角平分线的定义，解题的关键是：熟记同位角相等⇔两直线平行；内错角相等⇔两直线平行；同旁内角互补⇔两直线平行．

题组B 能力提升练
1．（2022·山东淄博·七年级期中）下列命题是定理的是（    ）
A．内错角相等 B．同位角相等，两直线平行
C．一个角的余角不等于它本身 D．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】B
【分析】根据定理的定义和平行线的性质与判定、余角的定义和垂线的性质逐项判断即得答案．
【详解】解：A、内错角相等，需要有前提条件“两直线平行”，是假命题，本选项不符合题意；
B、同位角相等，两直线平行，是真命题，也是定理，本选项符合题意；
C、一个角的余角可以等于它本身，如45°，是假命题，本选项不符合题意；
D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是假命题，本选项不符合题意．故选B．
【点睛】本题考查了命题与定理、平行线的性质和判定、余角的概念和垂直的性质等知识，一个命题是定理首先它必须是一个真命题，掌握以上基本知识是解答的关键．
2.（2022·广东·佛山市八年级期中）下列命题的逆命题是真命题的是（　　　）
A．若a＝b，则 B．对顶角相等 C．若a＞b，则 D．两直线平行，同位角相等
【答案】D
【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．
【详解】解：A、若a＝b，则的逆命题是：若，则a＝b．逆命题是假命题，不符合题意；
B、对顶角相等的逆命题是：相等的角是对顶角．逆命题是假命题，不符合题意；
C、若a＞b，则的逆命题是：若，则a＞b．逆命题是假命题，不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等的逆命题是：同位角相等，两直线平行．逆命题是真命题，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
3．（2022·江苏宿迁·七年级阶段练习）下列语句不是命题的是（    ）
A．延长线段到点，使 B．两点之间线段最短
C．如果、，那么 D．平方等于4的数是2
【答案】A
【分析】根据命题的概念判断即可．
【详解】解：A．延长到，使，没有对事情作出判断，不是命题，符合题意；
B．两点之间线段最短，是命题，不符合题意；
C．如果、，那么，是命题，不符合题意；
D．平方等于4的数是2，是命题，不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查的是命题的概念，解题的关键是掌握判断一件事情的语句，叫做命题．
4．（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期末）下列命题是真命题的个数是（    ）
①内错角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等；④若，则；⑤若，则．⑥从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】分别利用平行线的性质和点到直线的距离定义以及平行线公理分别分析得出答案．
【详解】解：两条直线平行，内错角相等，故①说法错误，是假命题，不合题意；
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题，故②符合题意；
如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故③是假命题，不合题意；
，，则，正确，故④是真命题，符合题意；
若则，故原命题错误，故⑤是假命题，不符合题意；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故⑥说法错误，是假命题，不符合题意．
∴真命题是②④共2个，故选B
【点睛】本题考查了真假命题以及平行线的性质，垂直的判定方法，点到直线的距离定义，熟练掌握已经学过的定理，性质和概念是解题的关键．
5．（2022·浙江越城·八年级期末）最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水（ ）

A．3号杯子 B．5号杯子 C．6号杯子 D．7号杯子
【答案】A
【分析】根据水先从位置低的出口可判断先灌满1号杯子左侧几个杯子，再观察3号杯子的两个出口即可得出答案．
【详解】解：号杯子左侧出口比右侧高，水先从左侧流出，进入3号杯子，
杯子左侧封闭，只有右侧流出，而右侧流入5号杯子，但5号杯子的出口端封闭
水最终会先灌满3号杯子，故选：A．
【点睛】本题考查推理与论证，解题的关键是掌握水先从位置低的出口流出，并仔细观察各出口闭合状态即可．
6．（2022·浙江·八年级专题练习）反证法是数学中经常运用的一类“间接证明法”．用反证法证明：“已知在△ABC中，AB=AC, 求证：∠B＜90°”时，第一步应假设_______．
【答案】∠B≥90°
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
【详解】解：用反证法证明：“已知在△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°．”时，
第一步应假设：∠B≥90°，
故答案为：∠B≥90°．
【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
7．（2022·浙江嵊州·七年级期中）甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有1、2、3、4、5五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大．甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是____．
【答案】3
【分析】先分析甲手中的数，根据甲不知道谁手中的数更大，推出甲手中的数不可能为1和5，再根据乙也不知道谁手中的数更大，即可推出乙手中的数不可能为2和4，即可得出答案．
【详解】解析：五张纸牌上分别写有1、2、3、4、5五个数字，
∵甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大，∴甲手中的数可能为2，3，4，
∵乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．
∴乙手中的数不可能是2，4，只能是3．故答案为：3．
【点睛】本题考查逻辑推理，考查简单的合情推理，根据题目意思分析判断是解题的关键．
8．（2022·浙江·八年级专题练习）命题“如果，那么”是______命题（填“真”或“假”），此命题的逆命题是：____________________．
【答案】     假     如果，那么
【分析】根据逆命题的题设是原命题的结论，逆命题的结论是原命题的题设解答．
【详解】解：“如果，那么”是假命题，
它的逆命题是：如果，那么，
故答案为：假；如果，那么．
【点睛】本题主要考查命题与逆命题的关系，命题的真假判断，正确的命题叫真命题．
9．（2022·全国·八年级专题练习）一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b（），若把它的十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数，这两个两位数的和能被11整除吗？差能被11整除吗？我们可以验证一下，比如23，对调后所得到的新的两位数是32，而2，.因此我们断定，这两个两位数的和能被11整除，差不能被11整除；请问上述说法正确吗？
【答案】正确
【分析】两位数的十位数字与个位数字分别为a，b，表示出原两位数与新两位数，即可作出判断．
【详解】解：正确，上述验证过程只是一个特例，为了验证结论的正确性，可作如下证明：
∵原两位数的十位数字为a，个位数字为b（），
∴原两位数为，新两位数为.
∵，是11的整数倍，
∴这两个两位数的和能被11整除.
∵，一定不是11的整数倍，
∴这两个两位数的差不能被11整除，
∴上述说法正确.
【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10.（2022·湖南长沙·九年级期中）人教版初中数学教科书七年级下册第18－19页告诉我们平行线所具有的3个性质：
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
简单说成：两直线平行，同位角相等．
其中性质2、3都是利用性质1推导出来的，但是书上却没给出性质1的推理过程，而是通过测量观察数据而得出的．九年级上册学习了反证法后，我们可以尝试给出证明了．
已知：直线AB//CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，求证：∠BGF＝∠DHF．

证明：假设 （1） ，
过点G作直线PQ，使得∠PGF＝∠DHF，
∴PQ//CD（   （2）  ），
∵AB//CD，且AB也过点G，
∴与（  （3） ）矛盾，
所以假设错误，即∠BGF＝∠DHF．
请完成上面（1）、（2）、（3）空：
(1)___________；
(2)___________；
(3)请选择合理的依据（    ）
A．两点确定一条直线
B．两直线平行，同位角相等
C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
【答案】(1)∠BGF≠∠DHF
(2)同位角相等，两直线平行
(3)C

【分析】（1）根据反证法先假设结论不成立，即∠BGF≠∠DHF；
（2）根据平行线的判定条件即可填写；
（3）根据平行公理即可选择．
(1)
解：用反证法证明问题，先假设结论不成立，即∠BGF≠∠DHF
(2)
同位角相等，两直线平行
(3)
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
故选C
【点睛】本题考查了反证法，反证法的证明步骤一般先假设与要求证的结果相反的命题，再根据已知条件进行证明，最后得出的结论与已知或数学定理矛盾，从而说明要求证命题正确．

题组C 培优拔尖练
1．（2022·安徽·合肥市八年级期中）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补 B．若直线和直线平行，则
C．三角形的外角大于任一内角 D．等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长一定是
【答案】C
【分析】利用平行线的性质，两直线平行的代数判定方法，三角形外角的性质及三角形的三边关系逐一判断即可得解；
【详解】解：A. 两直线平行，同旁内角互补，故本选项是真命题，不符合题意；
B.若直线和直线平行，则，故本选项是真命题，不符合题意；
C. 三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角，故本选项是假命题，符号题意；
D. 等腰三角形的两边长分别为和，它的三边只能是5，5，2，则它的周长一定是；选择：C
【点睛】本题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题真假的关键是要熟悉相关的性质和判定．
2．（2022·重庆·八年级课时练习）现有五名同学，他们分别来自一中、二中、三中．已知：（1）每所学校至少有他们中的一名学生；（2）在二中的联欢会上，作为被邀请的客人演奏了小提琴；（3）过去曾在三中学习，后来转学了，现在同在同一个班学习；（4）是同一所学校的三好学生．根据以上叙述，可以判断所在的学校为_________．
【答案】一中
【分析】通过分析题意可知：B与D在同一个班学习，D和E是同一所学校的三好学生，证明B、D、E为同一所学校的人；在二中的晚会上，A、B、E作为被邀请演奏了小提琴，证明他们都不是二中的；B过去
曾经在三中学习，后来转学了，证明B不是三中的，所以B只能是一中，D、E也只能是一中．
【详解】解：由B与D在同一个班学习，D和E是同一所学校的三好学生可知：B、D、E为同一所学校的人；由中的晚会上，A、B、E作为被邀请演奏了小提琴可知：A、B、E都不是二中的；
由B过去曾经在三中学习，后来转学了可知B不是三中的，
所以B只能是一中，D、E也只能是一中，故答案为一中．
【点睛】本题考查推理与论证，完成此类题目思路要清晰，在认真分析题意的基础上找出所给条件中的逻
辑关系进行推理，从而得出正确结论．
3．（2022·成都市·八年级专题练习）某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：

第一题
第二题
第三题
第四题
第五题
得分
甲
C
C
A
B
B
4
乙
C
C
B
B
C
3
丙
B
C
C
B
B
2
丁
B
C
C
B
A
　 　

（1）则丁同学的得分是　 　；
（2）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是　 　（写出一种即可）
【答案】（1）3；（2）CACCC
【分析】（1）分甲从第1题到第5题依次错一道，进而得出其余四道的正确选项，再根据乙，丙的选项和得分判断，进而得出甲具体选错的题号，即可得出结论；
（2）由（1）先得出五道题的正确选项，然后留一个正确，其他都错误即可得出结论．
【详解】解：（1）当甲选错了第1题，那么，其余四道全对，
针对于乙来看，第1，3，5道错了，做对两道，此时，得分为2，而乙得分3，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错了第2题，那么其余四道全对，
针对于乙来看，第2，3，5道错了，做对2道，此时，得分为2分，而乙得分3分，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错第3题时，那么其余四道都对，
针对于乙来看，第5道错了，而乙的得分是3分，所以，乙只能做对3道，即：第3题乙也选错，即：第3题的选项C正确，
针对于丙来看，第1，5题错了，做对3道，此时，丙的得分为3分，而丙的地方为2分，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错第4题，那么其余四道都对，
针对于乙来看，第3，4，5道错了，做对了2道，此时，得分2分，而乙的得分为3分，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错第5题，那么其余四道都对，
针对于乙来看，第3道错了，而乙的得分为3分，所以，乙只能做对3道，所以，乙第5题也错了，所以，第5题的选项A是正确的，
针对于丙来看，第1，3，5题错了，做对了2道，得分2分，
针对于丁来看，第3，5题错了，做对了3道，得分3分，
故答案为3；
（2）由（1）知，五道题的正确选项分别是：CCABA，
如果有一个同学得了1分，那么，只选对1道，
即：他的答案可能是CACCC或CBCCC或CABAB或BBBBB等，
故答案为：CACCC（答案不唯一）.
【点睛】本题考查合情推理的应用，考查分析图表的能力，熟练运用推理能力是解决本题的关键.
4．（2022·全国·八年级课时练习）八（1）班有39位同学，他们每人将自己的学号作为n的取值（）代入式子，结果发现式子的值都是质数，于是他们猜想：“对于所有的自然数，式子的值都是质数．”你认为这个猜想正确吗?验证一下的情形．
【答案】这个猜想不正确，验证见解析．
【分析】将代入，发现猜想不正确，即可得出结论．
【详解】解：这个猜想不正确，当时，式子的值为，是一个合数．
【点睛】本题考查猜想与证明．要说明一个猜想是正确的需要证明它，要说明是错误的只需要举一个反例即可．
5．（2022·山东·青岛（市南）海信学校七年级期中）问题提出：
如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．

a．每次只能移动1个金属片；b．较大的金属片不能放在较小的金属片上面．
把个金属片从1号针移到3号针，最少移动多少次？
问题探究：为了探究规律，我们采用一般问题特殊化的方法，先从简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性结论．
探究一：当时，只需把金属片从1号针移到3号针，用符号表示，共移动了1次．
探究二：当时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，我们利用2号针作为“中间针”，移动的顺序是：a．把第1个金属片从1号针移到2号针；b．把第2个金属片从1号针移到3号针；
c．把第1个金属片从2号针移到3号针．
用符号表示为：，，．共移动了3次．
探究三：当时，把上面两个金属片作为一个整体，则归结为的情形，移动的顺序是：
a．把上面两个金属片从1号针移到2号针；b．把第3个金属片从1号针移到3号针；
c．把上面两个金属片从2号针移到3号针．
其中（1）和（3）都需要借助中间针，用符号表示为：
，，，，，，．共移动了7次．
（1）探究四：请仿照前面步骤进行解答：当时，把上面3个金属片作为一个整体，移动的顺序是：____________________________________．
（2）探究五：根据上面的规律你可以发现当时，需要移动________次．
（3）探究六：把个金属片从1号针移到3号针，最少移动________次．
（4）探究七：如果我们把个金属片从1号针移到3号针，最少移动的次数记为，当时如果我们把个金属片从1号针移到3号针，最少移动的次数记为，那么与的关系是__________．
【答案】（1）当时，移动顺序为：（1,2），（1,3），（2,3），（1,2），（3,1），（3,2），（1,2），（1,3），（2,3），（2,1），（3,1），（2,3），（1,2），（1,3），（2,3）．（2），（3），（4）
【分析】根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱，然后把最大的盘子移动到3柱，再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可．
【详解】解：（1）当时，把上面3个金属片作为一个整体，移动的顺序是：
（1,2），（1,3），（2,3），（1,2），（3,1），（3,2），（1,2），（1,3），（2,3），（2,1），（3,1），（2,3），（1,2），（1,3），（2,3）．
故答案为：（1,2），（1,3），（2,3），（1,2），（3,1），（3,2），（1,2），（1,3），（2,3），（2,1），（3,1），（2,3），（1,2），（1,3），（2,3）．
（2）解：设 是把n个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数
n=1时，f（1）=1；
n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即
n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小盘从3柱→2柱，大盘从1柱→3柱，小盘从2柱→1柱，中盘从2柱→3柱，小盘从1柱→3柱，完成．
[用种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用 种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]，
  

故答案为：
（3）由（2）知：故答案为：
（4）


故答案为：
【点睛】本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题，根据题目信息，得出移动次数分成两段计数，利用盘子少一个时的移动次数移动到2柱，把最大的盘子移动到3柱，然后再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成移动过程是解题的关键，本题对阅读并理解题目信息的能力要求比较高．
6．（2022·江苏南京·七年级期中）七年级教材在图形与几何部分给出了五条基本事实，在《证明》一章中我们从两条基本事实出发，把前面得到的平行线相关性质进行了严格的证明，体会了数学的公里化思想.请完成下列证明活动：
活动．利用基本事实证明：“两直线平行，同位角相等”.（在括号内填上相应的基本事实）

已知：如图，直线、被直线所截，．
求证：．
证明：假设，则可以过点作，
∵，
∴（ ），
∴过点存在两条直线、两条直线与平行，这与基本事实（ ）矛盾，
∴假设不成立，
∴．
活动．利用刚刚证明的“两直线平行，同位角相等”证明“两直线平行，同旁内角互补”.（要求画图，写出已知、求证并写出证明过程）
已知: ．
求证： ．
证明：

【答案】活动1：同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；活动2：；两直线平行，同旁内角互补；证明见解析
【分析】活动1，根据同位角相等，两直线平行可得出结论；
活动2，利用∠1＝∠2，再由补角的定义即可得出结论．
【详解】活动1，证明：假设∠1≠∠2，则可以过点O作∠EOG＝∠2，
∵∠EOG＝∠2，
∴（同位角相等，两直线平行），
∴过O点存在两条直线AB、OG两条直线与CD平行，这与基本事实（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）矛盾，
∴假设不成立，
∴∠1＝∠2．
故答案为：同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
活动2，已知：．
求证：两直线平行，同旁内角互补．
证明：如图，
∵，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＋∠3＝180°，
∴∠2＋∠3＝180°，即两直线平行，同旁内角互补．
故答案为：；两直线平行，同旁内角互补．

【点睛】本题主要考查的是平行线性质的证明，熟知平行线的性质定理和平行线的公理，是解答此题的关键．
7．（2022·辽宁朝阳·七年级期末）数学课上，同学提出如下问题：
如何证明“两直线平行，同位角相等”？

老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下：
如图1，我们想要证明“如果直线被直线所截，那么．”

如图2，假设，过点O作直线，使，依据基本事实___________，
可得．
这样过点O就有两条直线AB，都平行于直线，这与基本事实___________矛盾，说明的假设是不对的，于是有．

小贴士
反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．在某些情形下，反证法是很有效的证明方法．
请补充上述证明过程中的两条基本事实．
【答案】     同位角相等，两直线平行     过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】根据平行线的判定定理和平行公理解答即可．
【详解】解：假设，过点O作直线，使，依据基本事实同位角相等，两直线平行，
可得CD．
这样过点O就有两条直线AB，都平行于直线CD，
这与基本事实过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，
说明的假设是不对的，于是有．
故答案为：同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
【点睛】本题考查的是平行线的判定和性质，熟记平行线的判定定理和平行公理是解题的关键．
8．（2022·全国·七年级课时练习）数学是一门充满思维乐趣的学科，现有的数阵A，数阵每个位置所对应的数都是1，2或3．定义ab为数阵中第a行第b列的数．
例如，数阵A第3行第2列所对应的数是3，所以32=3．
（1） 对于数阵A，23的值为 ；若23=2x，则x的值为
（2）若一个的数阵对任意的a，b，c均满足以下条件：
条件一：aa=a；条件二：；则称此数阵是“有趣的”．
①请判断数阵A是否是“有趣的”．你的结论：_______（填“是”或“否”）；
②已知一个“有趣的”数阵满足12=2，试计算21的值；
③是否存在“有趣的”数阵，对任意的a，b满足交换律ab=ba？若存在，请写出一个满足条件的数阵；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）2； 1，2，3；（2）①是；②1；③不存在，理由见解析
【分析】（1）根据ab为数阵中第a行第b列的数列式计算即可求出23的值；分三种情况讨论可求出满足23=2x时x的值；
（2）①根据条件一：aa=a和条件二：验证即可；②由，可得，结合可得，再有aa=a可得，从而可求出21的值；③方法一：若存在满足交换律的“有趣的”数阵，依题意，对任意的有：，这说明数阵每一列的数均相同.由，，可得出矛盾. 方法二：由条件二可知，只能取1，2或3，由此可以考虑取值的不同情形，举例验证即可．
【详解】解：（1）第2行第3列的数为2，
∴23的值为2；
第2行第1列，第2行第2列，第2行第3列的数都是2，
∴23=2x，则x的值,1,2,3；
故答案为：2； 1，2，3；
（2）①条件一：11=1，22=2，33=3，满足；
条件二：经验证，满足；
∴数阵A是“有趣的”．
故答案为：是；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∵aa=a，
∴，
∴．
③不存在，
理由如下：方法一：    
若存在满足交换律的“有趣的”数阵，依题意，对任意的有：
，
这说明数阵每一列的数均相同．
∵，，，
∴此数阵第一列数均为1，第二列数均为2，第三列数均为3，
∴，，与交换律相矛盾．
因此，不存在满足交换律的“有趣的”数阵．
方法二：
由条件二可知，只能取1，2或3，由此可以考虑取值的不同情形．
例如考虑：
情形一：．
若满足交换律，则，
再次计算可知：
，矛盾；
情形二：．
由(2)可知， ，
，不满足交换律，矛盾；
情形三：．
若满足交换律，即，
再次计算可知：
，
与矛盾．
综上，不存在满足交换律的“有趣的”数阵．
【点睛】本题考查了新定义运算，理解“有趣的”的数阵的含义是解答本题的关键.也考查了分类讨论的思想和反证法．