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初中数学北师大版八年级下册1 等腰三角形优秀课时练习
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这是一份初中数学北师大版八年级下册1 等腰三角形优秀课时练习，文件包含11等腰三角形原卷版docx、11等腰三角形解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共60页， 欢迎下载使用。
1.1 等腰三角形
等腰三角形概念：有两边相等的三角形角等腰三角形。等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等腰三角形性质：
1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）
【补充】利用三角形的全等可证明上述定理：已知等腰△ABC
作顶角的平分线 作底边的垂线 作底边的中线
∵AB=AC ∠1=∠2 AD=AD ∵AB=AC AD⊥BC AD=AD ∵AB=AC BD=DC AD=AD
∴△ABC≌△ACD（SAS） ∴△ABC≌△ACD（HL） ∴△ABC≌△ACD（SSS）
∴∠B=∠C BD=DC AD⊥BC ∴∠B=∠C BD=DC ∠1=∠2 ∴∠1=∠2 ∠B=∠C AD⊥BC
等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
等边三角形的概念：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形。
等边三角形的性质：1）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质；
2）有三条对称轴；
3）每个内角都是60°
等边三角形的判定：1）三边相等或三个角都相等的三角形是等边三角形。
2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半
【题型一】等腰三角形的定义
【典题】（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期末）等腰三角形的两条边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．10 B．13 C．17 D．13或17
巩固练习
1．（êê）（2022春·新疆阿克苏·八年级统考期末）已知实数x，y满足|x−4|+（y−8）2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对
2．（êê）（2022秋·江苏宿迁·八年级校考期中）在等腰△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．7 B．7或11 C．11 D．7或10
3．（ê）（2022秋·山西晋城·八年级统考期末）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ）
A．55°，55° B．70°，40°或70°，55°
C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°
4．（ê）（2022秋·内蒙古鄂尔多斯·八年级校联考期末）如果一个等腰三角形的周长为17cm，一边长为5cm，那么腰长为（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．5cm或6cm
【题型二】根据等边对等角求角度
【典题】（2022秋·河北邢台·八年级校联考期中）如图，在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
巩固练习
1．（ê）（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为（ ）
A．36° B．45° C．36°或45° D．45°或72°
2（ê）（2022秋·河北承德·八年级统考期中）如图，直线l1l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
3．（ê）（2022秋·湖南长沙·八年级校考期末）如图，在ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则下列结论错误的是（ ）
A．∠B＝∠C B．AD⊥BC
C．∠BAD＝∠CAD＝∠C D．BD＝CD
4．（ê）（2022秋·广东广州·八年级校考期中）如图，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80º，则∠B的度数是（ ）
A．40º B．35º C．25º D．20º
5．（êê）（2022秋·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，在中，点D在边BC上，且满足，过点D作，交AC于点E．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型三】根据三线合一求解
【典题】（2022秋·浙江·八年级期末）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（ ）
A．20° B．35° C．40° D．70°
巩固练习
1．（ê）（2022秋·天津武清·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．60°
2．（ê）（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）如图，中，，，点为的中点，则点到的距离为（ ）
A．15 B． C．9 D．
3．（ê）（2022秋·广东中山·八年级统考期末）在中，，于点D，若，，则的周长为（ ）
A．13 B．18 C．21 D．26
4．（ê）（2022秋·山东菏泽·八年级统考期末）如图，中，，，若，，则的度数为（ ）
A．40° B．30° C．20° D．10°
5．（ê）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝10，点D在BA的延长线上，CA＝CD，BD＝6，则AD＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（êê）（2022秋·重庆·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，AD，CE是△ABC的两条中线，CE＝4cm，P是AD上的一个动点，则BP+EP的最小值是（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．10cm
7．（ê）（2022春·湖北咸宁·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN的长为_____．
8．（ê）（2022秋·湖南娄底·八年级校联考期中）如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．
9．（ê）（2022春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期末）如图，中，，，是边上一点，且，若．求的长．
【题型四】根据三线合一证明
【典题】（2022秋·北京·八年级101中学校考期中）如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C．平分 D．
巩固练习
1．（ê）（2022春·陕西咸阳·八年级校联考期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B、E、C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
2．（ê）（2022秋·广东惠州·八年级惠州一中校考期中）如图，△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以下结论：（1）△ABD≌△ACD ；（2）AD⊥BC；（3）∠B=∠C ；（4）AD是△ABC的角平分线．其中正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（ê）（2022秋·辽宁抚顺·八年级统考期中）如图，已知AC、DB的交点为E，AE＝DE,；过点E作EF⊥BC，垂足为F．
（1）求证：ABE≌DCE；
（2）求证：F为BC边的中点．
4．（ê）（2022秋·河南开封·八年级开封市第十三中学校考期中）如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC边的中点，DE⊥AC．求证：CE=3AE．
5．（ê）（2022秋·湖南怀化·八年级校考期中）如图，在中，于点D，求证：．
6．（ê）（2022秋·安徽安庆·八年级统考期末）如图①，在中，，点D是的中点，点E在上．
（1）求证：；
（2）如图②，若的延长线交于点F，且，垂足为F，，其他条件不变．求证：．
【题型五】根据等角对等边证明等腰三角形
【典题】（2022秋·江苏·八年级期中）下列能断定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A．∠A=40°，∠B=50° B．∠A=2∠B=70°
C．∠A=40°，∠B=70° D．AB=3，BC=6，周长为14
巩固练习
1．（ê）（2022春·河南郑州·八年级校考期中）下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（ ）
A．，， B．：：：：
C．， D．：：：：
2．（ê）（2022春·福建漳州·八年级福建省诏安第一中学校联考期中）若的三边，，满足那么的形状一定是（ ）．
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形
3．（ê）（2022秋·天津河东·八年级校考期中）下列三角形中，不是等腰三角形的是（ ）
A．B．C． D．
【题型六】根据等角对等边求边长
【典题】（2022秋·山东济宁·八年级统考期中）如图，△ABC中，AB＝7，AC＝8，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，则△AEF的周长为（ ）
A．9 B．11 C．15 D．18
巩固练习
1．（ê）（2022秋·天津河西·八年级校考期末）如图，在中，，，点D是上一点，连接，则长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
2．（ê）（2022春·湖南永州·八年级校考期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，AD=10，则点D到AB的距离是（ ）
A．8 B．5 C．6 D．4
3．（ê）（2022秋·湖北襄阳·八年级校联考期中）如图，将一张长方形纸片按图中那样折叠，若，，，则重叠部分（阴影）的面积是 _____．
【题型七】等腰三角形性质与判定综合
【典题】（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）判断△BOC的形状，并说明理由．
巩固练习
1．（êêê）（2022秋·浙江·八年级期中）如图，在 △ABC 中，AB=AC=2，∠B=40°，点 D 在线段BC 上运动（D 不与 B，C 重合），连接 AD，作 ∠ADE=40°，DE 与 AC 交于E．
（1）当 ∠BDA=115°时，∠BAD= °，∠DEC= °；当点D 从B 向C 运动时，∠BDA 逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）当DC 等于多少时，△ABD 与 △DCE 全等？请说明理由；
（3）在点D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出 ∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．
2．（ê）（2022秋·四川成都·八年级成都外国语学校校考期中）如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，AD=6，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．
3．（ê）（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1=42°，求∠BDE的度数．
【题型八】等边三角形的性质
【典题】（2022春·陕西西安·八年级校考期中）如图，为等边三角形，，则等于（ ）
A． B． C． D．
巩固练习
1．（êê）（2022秋·湖南邵阳·八年级统考期中）如图，已知点B、C、E在一直线上，、都是等边三角形，联结和，与相交于点F，与相交于点G，下列说法不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（ê）（2022秋·山东济宁·八年级统考期中）如图所示，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
3．（êê）（2022秋·河北石家庄·八年级石家庄市第八十一中学校考期末）在等边三角形ABC的内部，按如图所示的方式放置了两个全等的等边△BDE和△FGH．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（ ）
A．△ABC的周长 B．△AFH的周长
C．四边形FBGH的周长 D．四边形ADEC的周长
4．（ê）（2022秋·四川南充·八年级四川省南充市第九中学校考期中）如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，DE⊥BC，CE＝3，则△ABC的周长为（ ）
A．12 B．24 C．36 D．48
5．（ê）（2022秋·上海·八年级期末）边长为6的等边三角形的面积是__________．
【题型九】等边三角形的判定
【典题】（2022春·福建漳州·八年级福建省漳州第一中学校考期中）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为，那么这个三角形一定为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
巩固练习
1．（ê）下列条件不能得到等边三角形的是（ ）
A．有一个内角是60°的锐角三角形 B．有一个内角是60°的等腰三角形
C．顶角和底角相等的等腰三角形 D．腰和底边相等的等腰三角形
2．（ê）（2022秋·广东东莞·八年级校考期中）下列条件中，不能得到等边三角形的是( )
A．有两个内角是60°的三角形 B．三边都相等的三角形
C．有一个角是60°的等腰三角形 D．有两个外角相等的等腰三角形
3．（êê）（2022秋·江苏·八年级统考期中）△ABC的三边a,b,c满足则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．腰底不等的等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
4．（êê）若，，是的三边长，且，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定
5．（ê）（2022春·江西抚州·八年级统考期中）如图，在中，AB=AC，D为AC的的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，且DE=DF．问是等边三角形吗？请说明理由．
6．（êê）（2022春·山东菏泽·八年级统考期末）已知在△ABC中，三边长a，b，c满足 a2+2b2+c2−2ab-2bc=0，请判断△ABC的形状，并证明你的结论．
7．（ê）（2022秋·广东阳江·八年级校考期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，两线相交于F点．
（1）若∠BAC=60°，∠C=70°，求∠AFB的大小；
（2）若D是BC的中点，∠ABE=30°，求证：△ABC是等边三角形．
【题型十】含30°角的直角三角形有关计算
【典题】（2022春·福建龙岩·八年级校联考期中）如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
巩固练习
1．（ê）（2022秋·河北邢台·八年级校联考期中）如图，在中，，，，，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
2．（ê）（2022春·甘肃庆阳·八年级校考期中）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B与灯塔P之间的距离为( )
A．60海里 B．45海里 C．20海里 D．30海里
3．（ê）（2022秋·广东惠州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．若∠AFB＝90°，EF＝2，则BF长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．（ê）（2022春·湖南常德·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，∠A=60º，CD是斜边AB上的高，若AD=3cm，则斜边AB的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
1.1 等腰三角形
等腰三角形概念：有两边相等的三角形角等腰三角形。等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等腰三角形性质：
1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）
【补充】利用三角形的全等可证明上述定理：已知等腰△ABC
作顶角的平分线 作底边的垂线 作底边的中线
∵AB=AC ∠1=∠2 AD=AD ∵AB=AC AD⊥BC AD=AD ∵AB=AC BD=DC AD=AD
∴△ABC≌△ACD（SAS） ∴△ABC≌△ACD（HL） ∴△ABC≌△ACD（SSS）
∴∠B=∠C BD=DC AD⊥BC ∴∠B=∠C BD=DC ∠1=∠2 ∴∠1=∠2 ∠B=∠C AD⊥BC
等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
等边三角形的概念：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形。
等边三角形的性质：1）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质；
2）有三条对称轴；
3）每个内角都是60°
等边三角形的判定：1）三边相等或三个角都相等的三角形是等边三角形。
2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半
【题型一】等腰三角形的定义
【典题】（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期末）等腰三角形的两条边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．10 B．13 C．17 D．13或17
巩固练习
1．（êê）（2022春·新疆阿克苏·八年级统考期末）已知实数x，y满足|x−4|+（y−8）2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对
2．（êê）（2022秋·江苏宿迁·八年级校考期中）在等腰△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．7 B．7或11 C．11 D．7或10
3．（ê）（2022秋·山西晋城·八年级统考期末）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ）
A．55°，55° B．70°，40°或70°，55°
C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°
4．（ê）（2022秋·内蒙古鄂尔多斯·八年级校联考期末）如果一个等腰三角形的周长为17cm，一边长为5cm，那么腰长为（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．5cm或6cm
【题型二】根据等边对等角求角度
【典题】（2022秋·河北邢台·八年级校联考期中）如图，在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
巩固练习
1．（ê）（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为（ ）
A．36° B．45° C．36°或45° D．45°或72°
2（ê）（2022秋·河北承德·八年级统考期中）如图，直线l1l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
3．（ê）（2022秋·湖南长沙·八年级校考期末）如图，在ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则下列结论错误的是（ ）
A．∠B＝∠C B．AD⊥BC
C．∠BAD＝∠CAD＝∠C D．BD＝CD
4．（ê）（2022秋·广东广州·八年级校考期中）如图，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80º，则∠B的度数是（ ）
A．40º B．35º C．25º D．20º
5．（êê）（2022秋·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，在中，点D在边BC上，且满足，过点D作，交AC于点E．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型三】根据三线合一求解
【典题】（2022秋·浙江·八年级期末）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（ ）
A．20° B．35° C．40° D．70°
巩固练习
1．（ê）（2022秋·天津武清·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．60°
2．（ê）（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）如图，中，，，点为的中点，则点到的距离为（ ）
A．15 B． C．9 D．
3．（ê）（2022秋·广东中山·八年级统考期末）在中，，于点D，若，，则的周长为（ ）
A．13 B．18 C．21 D．26
4．（ê）（2022秋·山东菏泽·八年级统考期末）如图，中，，，若，，则的度数为（ ）
A．40° B．30° C．20° D．10°
5．（ê）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝10，点D在BA的延长线上，CA＝CD，BD＝6，则AD＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（êê）（2022秋·重庆·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，AD，CE是△ABC的两条中线，CE＝4cm，P是AD上的一个动点，则BP+EP的最小值是（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．10cm
7．（ê）（2022春·湖北咸宁·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN的长为_____．
8．（ê）（2022秋·湖南娄底·八年级校联考期中）如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．
9．（ê）（2022春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期末）如图，中，，，是边上一点，且，若．求的长．
【题型四】根据三线合一证明
【典题】（2022秋·北京·八年级101中学校考期中）如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C．平分 D．
巩固练习
1．（ê）（2022春·陕西咸阳·八年级校联考期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B、E、C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
2．（ê）（2022秋·广东惠州·八年级惠州一中校考期中）如图，△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以下结论：（1）△ABD≌△ACD ；（2）AD⊥BC；（3）∠B=∠C ；（4）AD是△ABC的角平分线．其中正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（ê）（2022秋·辽宁抚顺·八年级统考期中）如图，已知AC、DB的交点为E，AE＝DE,；过点E作EF⊥BC，垂足为F．
（1）求证：ABE≌DCE；
（2）求证：F为BC边的中点．
4．（ê）（2022秋·河南开封·八年级开封市第十三中学校考期中）如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC边的中点，DE⊥AC．求证：CE=3AE．
5．（ê）（2022秋·湖南怀化·八年级校考期中）如图，在中，于点D，求证：．
6．（ê）（2022秋·安徽安庆·八年级统考期末）如图①，在中，，点D是的中点，点E在上．
（1）求证：；
（2）如图②，若的延长线交于点F，且，垂足为F，，其他条件不变．求证：．
【题型五】根据等角对等边证明等腰三角形
【典题】（2022秋·江苏·八年级期中）下列能断定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A．∠A=40°，∠B=50° B．∠A=2∠B=70°
C．∠A=40°，∠B=70° D．AB=3，BC=6，周长为14
巩固练习
1．（ê）（2022春·河南郑州·八年级校考期中）下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（ ）
A．，， B．：：：：
C．， D．：：：：
2．（ê）（2022春·福建漳州·八年级福建省诏安第一中学校联考期中）若的三边，，满足那么的形状一定是（ ）．
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形
3．（ê）（2022秋·天津河东·八年级校考期中）下列三角形中，不是等腰三角形的是（ ）
A．B．C． D．
【题型六】根据等角对等边求边长
【典题】（2022秋·山东济宁·八年级统考期中）如图，△ABC中，AB＝7，AC＝8，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，则△AEF的周长为（ ）
A．9 B．11 C．15 D．18
巩固练习
1．（ê）（2022秋·天津河西·八年级校考期末）如图，在中，，，点D是上一点，连接，则长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
2．（ê）（2022春·湖南永州·八年级校考期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，AD=10，则点D到AB的距离是（ ）
A．8 B．5 C．6 D．4
3．（ê）（2022秋·湖北襄阳·八年级校联考期中）如图，将一张长方形纸片按图中那样折叠，若，，，则重叠部分（阴影）的面积是 _____．
【题型七】等腰三角形性质与判定综合
【典题】（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）判断△BOC的形状，并说明理由．
巩固练习
1．（êêê）（2022秋·浙江·八年级期中）如图，在 △ABC 中，AB=AC=2，∠B=40°，点 D 在线段BC 上运动（D 不与 B，C 重合），连接 AD，作 ∠ADE=40°，DE 与 AC 交于E．
（1）当 ∠BDA=115°时，∠BAD= °，∠DEC= °；当点D 从B 向C 运动时，∠BDA 逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）当DC 等于多少时，△ABD 与 △DCE 全等？请说明理由；
（3）在点D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出 ∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．
2．（ê）（2022秋·四川成都·八年级成都外国语学校校考期中）如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，AD=6，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．
3．（ê）（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1=42°，求∠BDE的度数．
【题型八】等边三角形的性质
【典题】（2022春·陕西西安·八年级校考期中）如图，为等边三角形，，则等于（ ）
A． B． C． D．
巩固练习
1．（êê）（2022秋·湖南邵阳·八年级统考期中）如图，已知点B、C、E在一直线上，、都是等边三角形，联结和，与相交于点F，与相交于点G，下列说法不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（ê）（2022秋·山东济宁·八年级统考期中）如图所示，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
3．（êê）（2022秋·河北石家庄·八年级石家庄市第八十一中学校考期末）在等边三角形ABC的内部，按如图所示的方式放置了两个全等的等边△BDE和△FGH．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（ ）
A．△ABC的周长 B．△AFH的周长
C．四边形FBGH的周长 D．四边形ADEC的周长
4．（ê）（2022秋·四川南充·八年级四川省南充市第九中学校考期中）如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，DE⊥BC，CE＝3，则△ABC的周长为（ ）
A．12 B．24 C．36 D．48
5．（ê）（2022秋·上海·八年级期末）边长为6的等边三角形的面积是__________．
【题型九】等边三角形的判定
【典题】（2022春·福建漳州·八年级福建省漳州第一中学校考期中）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为，那么这个三角形一定为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
巩固练习
1．（ê）下列条件不能得到等边三角形的是（ ）
A．有一个内角是60°的锐角三角形 B．有一个内角是60°的等腰三角形
C．顶角和底角相等的等腰三角形 D．腰和底边相等的等腰三角形
2．（ê）（2022秋·广东东莞·八年级校考期中）下列条件中，不能得到等边三角形的是( )
A．有两个内角是60°的三角形 B．三边都相等的三角形
C．有一个角是60°的等腰三角形 D．有两个外角相等的等腰三角形
3．（êê）（2022秋·江苏·八年级统考期中）△ABC的三边a,b,c满足则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．腰底不等的等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
4．（êê）若，，是的三边长，且，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定
5．（ê）（2022春·江西抚州·八年级统考期中）如图，在中，AB=AC，D为AC的的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，且DE=DF．问是等边三角形吗？请说明理由．
6．（êê）（2022春·山东菏泽·八年级统考期末）已知在△ABC中，三边长a，b，c满足 a2+2b2+c2−2ab-2bc=0，请判断△ABC的形状，并证明你的结论．
7．（ê）（2022秋·广东阳江·八年级校考期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，两线相交于F点．
（1）若∠BAC=60°，∠C=70°，求∠AFB的大小；
（2）若D是BC的中点，∠ABE=30°，求证：△ABC是等边三角形．
【题型十】含30°角的直角三角形有关计算
【典题】（2022春·福建龙岩·八年级校联考期中）如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
巩固练习
1．（ê）（2022秋·河北邢台·八年级校联考期中）如图，在中，，，，，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
2．（ê）（2022春·甘肃庆阳·八年级校考期中）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B与灯塔P之间的距离为( )
A．60海里 B．45海里 C．20海里 D．30海里
3．（ê）（2022秋·广东惠州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．若∠AFB＝90°，EF＝2，则BF长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．（ê）（2022春·湖南常德·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，∠A=60º，CD是斜边AB上的高，若AD=3cm，则斜边AB的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
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