初中数学北师大版八年级下册2 直角三角形精品随堂练习题

这是一份初中数学北师大版八年级下册2 直角三角形精品随堂练习题，文件包含12直角三角形原卷版docx、12直角三角形解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。

1.2 直角三角形

知识点一 直角三角形的性质与判定
性质：1）直角三角形的两个锐角互余。
2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3）直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半。
判定：1）有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。
知识点二 勾股定理
勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么。
变式：，，,,.
适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
知识点三 勾股数
勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数
常见的勾股数：如；；；等
知识点四 勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边
 
【题型一】利用直角三角形两个锐角互余的性质求解
【典题】（2022春·湖南株洲·八年级统考期末）已知，在直角△ABC中，∠C为直角，∠B是∠A的2倍，则∠A的度数是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余即可得．
【详解】解：设，则，
由题意得：，即，
解得，
即，
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余是解题关键．
巩固练习
1．（ê）（2022秋·广西钦州·八年级校考期中）把直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据邻补角定义求出∠4，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可．
【详解】解：∵∠1＝47°，
∴∠3＝90°−∠1＝90°−47°＝43°，
∴∠4＝180°−43°＝137°，
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2＝∠4＝137°．
故选：D．

【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，邻补角的定义，是基础题，准确识图是解题的关键．
2．（ê）（2022秋·广东湛江·八年级校考期中）如图，已知，于点，若，则的度数是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直角三角形的性质求出，再根据平行线的性质解答即可．
【详解】解：在中，，，

则，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
3．（ê）（2022秋·浙江宁波·八年级慈溪市上林初级中学校考期中）已知，则为（    ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能
【答案】C
【分析】根据∠A和∠B的度数可得与互余，从而得出为直角三角形．
【详解】解：
，
即与互余，
则为直角三角形，
故选C．
【点睛】此题考查的是直角三角形的判定，掌握有两个内角互余的三角形是直角三角形是解决此题的关键．
4．（ê）（2022秋·四川内江·八年级校考期中）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C=______．

【答案】30°##30度
【分析】根据全等三角形的性质推出∠C=∠DBC，∠BED=90°，进而推出∠A=∠BED=90°，∠ABD=∠DBC=∠C，再根据直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】解：∵△BED≌△CED，
∴∠BED=∠CED，∠C=∠DBC，
又∵∠BED+∠CED=180°，
∴∠BED=90°，
∵△ABD≌△EBD，
∴∠A=∠BED=90°，∠ABD=∠DBC=∠C，
∴∠C+∠ABC=90°，
∴3∠C=90°，
∴∠C=30°，
故答案为：30°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，直角三角形两锐角互余，熟知全等三角形的性质是解题的关键．
5．（ê）（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在的方格纸中，等于_____．

【答案】90°##90度
【分析】标注字母，然后利用“边角边”求证和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再根据直角三角形两锐角互余求解．
【详解】解：如图，

在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：90°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定定理及性质，直角三角形两锐角互余．解本题的关键是证明．
6．（ê）（2022秋·河北保定·八年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．

【答案】(1) 65°；(2) 25°
【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由邻补角定义得出∠CBD=130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE=∠CBD=65°；
（2）先根据直角三角形两锐角互余的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB=25°．
【详解】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，
∴∠CBD=130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE=∠CBD=65°；
（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=90°﹣65°=25°．
∵DF∥BE，
∴∠F=∠CEB=25°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．
【题型二】利用HL证明两个三角形全等
【典题】（2022秋·福建泉州·八年级泉州市城东中学校考期中）如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO＝CO，AB＝CD，则可得到△AOB ≌△COD，理由是（　　）

A．HL B．SAS C．ASA D．SSS
【答案】A
【分析】由AC⊥BD，可得∠AOB=∠COD=90°，根据斜边直角边对应相等的两个直角三角形全等，可得答案．
【详解】解：由AC⊥BD，可得∠AOB=∠COD=90°，
∴△AOB和△COD是直角三角形，
AO＝CO，AB＝CD，直角边和斜边对应相等，
所以用的是斜边和直角边对应相等的方法判定的△AOB ≌△COD，
故选A．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，准确掌握方法的适用情况是解题的关键．
巩固练习
1．（ê）（2022秋·江苏盐城·八年级统考期中）如图，∠A=∠D=，AB=DC，则的理由是（　　）

A．AAS B．ASA C．HL D．SAS
【答案】C
【分析】直角三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，根据HL推出两三角形全等即可．
【详解】解：∵∠A=∠D=，
∴在和中，
，
∴（HL），
故选：C．
【点睛】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
2．（êê）（2022秋·广东东莞·八年级校考期中）如图，在中，，，，线段，，两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，当__________时，和全等．

【答案】5或10
【分析】当AP＝5或10时，△ABC和△PQA全等，根据HL定理推出即可．
【详解】解：∵∠C＝90°，AO⊥AC，
∴∠C＝∠QAP＝90°，
①当AP＝5＝BC时，
在Rt△ACB和Rt△QAP中
∵，
∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL），
②当AP＝10＝AC时，
在Rt△ACB和Rt△PAQ中
，
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL），
故答案为：5或10．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有ASA，AAS，SAS，SSS，HL．
3．（ê）（2022秋·辽宁大连·八年级统考期中）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是________________．

【答案】
【分析】根据判断出．
【详解】解：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在和中，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题．
4．（ê）（2022春·湖南郴州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB，于点E

（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．
【答案】（1）见解析（2）BD=2
【分析】（1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出两个三角形全等即可．
（2）求出∠DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．
【详解】解：（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°．
∵在Rt△ACD和Rt△AED中，，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）．
（2）∵Rt△ACD≌Rt△AED ，CD=1，
∴DC=DE=1．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°．
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=2．
5．（ê）（2022秋·海南海口·八年级海南华侨中学校考期中）如图，相交于点．

(1)求证：；
(2)若，求的大小．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）根据证明；
（2）先求出的度数，即可利用全等三角形的性质求出的度数，由此即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴和都是直角三角形，
在和中，
，
∴（）；
（2）解：在中，，
∴，
∵，
∴ ，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
6．（ê）（2022秋·安徽合肥·八年级合肥寿春中学校考期末）如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，点E为AD上一点，且BE=AC，DE=DC．

(1)证明：∠DBE=∠DAC；
(2)若AE=4，CD=2，求△ABC的面积．
【答案】(1)见解析
(2)24

【分析】（1）利用HL判断出△BDE≌△ADC，根据全等三角形的性质即可得出结论．
（2）由全等三角形的性质得出CD=DE=2，BD=AD，求出AD和BC的长，则可求出答案．
（1）
证明：∵AD为△ABC边BC上的高．
∴AD⊥BC，
∴∠BDE=∠ADC=90°，
在Rt△BDE和Rt△ADC 中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△ADC（HL），
∴∠DBE=∠DAC；
（2）
解：∵△BDE≌△ADC，
∴CD=DE=2，BD=AD，
∵AE=4，
∴AD=AE+DE=4+2=6，
∴BC=BD+CD=6+2=8，
∴△ABC的面积=BC•AD=×8×6=24．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，掌握全等三角形的判定定理是解本题的关键．
【题型三】判断三边能否构成直角三角形
【典题】（2022春·江西上饶·八年级统考期末）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（    ）．
A．1.5，2，2 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15
【答案】A
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．
【详解】解：A、1.52+22≠22，不能构成直角三角形，故符合题意；
B、72+242=252，能构成直角三角形，故不符合题意；
C、62+82=102，能构成直角三角形，故不符合题意；
D、92+122=152，能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
巩固练习
1．（ê）（2022春·湖北·八年级校考期中）如图，正方形网格中的，若小方格边长为，则的形状为（    ）

A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都不对
【答案】A
【分析】根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．
【详解】解：∵正方形小方格边长为1，
∴BC＝，
AC＝，
AB＝，
在△ABC中，
∵BC2＋AC2＝32＋18＝50，AB2＝50，
∴BC2＋AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
故选：A．
【点睛】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2＋b2＝c2，则三角形ABC是直角三角形．
2．（ê）（2022春·河北沧州·八年级统考期中）如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高是（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】先用勾股定理耱出三角形的三边，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，最后设BC边上的高为h，利用三角形面积公式建立方程即可得出答案.
解：由勾股定理得：
，，，
，即
∴△ABC是直角三角形，
设BC边上的高为h，
则，
∴.
故选A.
点睛：本题主要考查勾股理及其逆定理.借助网格利用勾股定理求边长，并用勾股定理的逆定理来判断三角形是否是直角三角形是解题的关键.
3．（êê）（2022秋·江苏·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，则△ABD的面积是______．

【答案】15
【分析】延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，可证明△ABD≌△CED，所以CE=AB，再利用勾股定理的逆定理证明△CDE是直角三角形，即△ABD为直角三角形，进而可求出△ABD的面积．
【详解】解：延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，

∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴CE=AB=5，∠BAD=∠E，
∵AE=2AD=12，CE=5，AC=13，
∴CE2+AE2=AC2，
∴∠E=90°，
∴∠BAD=90°，
即△ABD为直角三角形，
∴△ABD的面积=AD•AB=15．
故答案为15．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．
4．（ê）（2022春·山东济宁·八年级统考期中）若一个三角形的三边长为3、4、x，则使此三角形是直角三角形的x的值是__________.
【答案】5或 ．
【详解】分析: 由于直角三角形的斜边不能确定，故应分4是斜边或直角边两种情况进行讨论．
详解：当4是直角三角形的斜边时，32+x2=42，解得x=；
当4是直角三角形的直角边时，32+42=x2，解得x=5．
故使此三角形是直角三角形的x的值是5或．
故答案为: 5或．
点睛:本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
5．（ê）（2022春·重庆铜梁·八年级重庆市巴川中学校校考期中）如图，在△ABC中，CD是AB边上高，若AD＝16，CD＝12，BD＝9．
（1）求△ABC的周长．
（2）判断△ABC的形状并加以证明．

【答案】（1）60；（2）直角三角形，证明见解析.
【分析】（1）利用勾股定理可求出AC，BC的长，即可求出△ABC的周长；
（2）利用勾股定理的逆定理即可证明．
【详解】解：（1）∵CD是AB边上高，
∴∠CDA=∠CDB=90°，
∴AC==20，
BC==15，
∵AB=AD+BD=25，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=25+20+15=60；
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
202+152=252，
即AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及其逆定理的运用；熟练掌握勾股定理与勾股定理的逆定理是解决问题的关键．
6．（êê）（2022春·甘肃平凉·八年级校考期中）阅读下列一段文字：在直角坐标系中，已知两点的坐标是M（x1，y1），N（x2，y2）），M，N两点之间的距离可以用公式MN＝计算．解答下列问题：
（1）若点P（2，4），Q（﹣3，﹣8），求P，Q两点间的距离；
（2）若点A（1，2），B（4，﹣2），点O是坐标原点，判断△AOB是什么三角形，并说明理由．
【答案】(1)13；(2)△AOB是直角三角形.
【分析】（1）根据两点间的距离公式计算；
（2）根据勾股定理的逆定理解答．
【详解】解：(1)P，Q两点间的距离＝＝13；
(2)△AOB是直角三角形，
理由如下：AO2＝(1﹣0)2+(2﹣0)2＝5，
BO2＝(4﹣0)2+(﹣2﹣0)2＝20，
AB2＝(4﹣1)2+(﹣2﹣2)2＝25，
则AO2+BO2＝AB2，
∴△AOB是直角三角形．
故答案为(1)13；(2)△AOB是直角三角形.
【点睛】本题考查的是两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
【题型四】利用网格判断直角三角形
【典题】（2022春·广东广州·八年级华南师大附中校考期中）如图，每个小正方形的边长都是1，，，分别在格点上，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用勾股定理的逆定理证明△ACB为等腰直角三角形即可得到∠ABC的度数．
【详解】解：连接AC，

由勾股定理得：AC=BC=，AB=，
∵AC2+BC2=AB2=10，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解答本题的关键是根据正方形的性质求出边长，由勾股定理的逆定理判断出等腰直角三角形．
巩固练习
1．（ê）（2022春·河北邯郸·八年级统考期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD⊥BC于点D，则AD的长为（　　）

A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】首先由勾股定理得AB，AC，BC的三边长，从而有AB2+AC2＝BC2，得∠BAC＝90°，再根据S△ABC，代入计算即可．
【详解】解：由勾股定理得：AB，AC，BC，
∵AB2+AC2＝25，BC2＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴S△ABC，
∴，
∴AD＝2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，通过勾股定理计算出三边长度，判断出∠BAC＝90°是解题的关键．
2．（ê）（2022秋·河北保定·八年级校考期中）如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先求出每边的平方，得出AB2+AC2=BC2，AD2+CD2=AC2，BD2+AB2=AD2，根据勾股定理的逆定理得出直角三角形即可．
【详解】
理由是：连接AC、AB、AD、BC、CD、BD，
设小正方形的边长为1，
由勾股定理得：AB2=12+22=5,
AC2=22+42=20,
AD2=12+32=10,
BC2=52=25,
CD2=12+32=10,
BD2=12+22=5，
∴AB2+AC2=BC2,AD2+CD2=AC2,BD2+AB2=AD2，
∴△ABC、△ADC、△ABD是直角三角形，共3个直角三角形，
故选C.
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理.
3．（ê）（2022秋·山西运城·八年级山西省运城市实验中学校考期末）在正方形网格中画格点三角形，下列四个三角形，是直角三角形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用勾股定理、勾股定理得逆定理即可判断．
【详解】解：A．∵，，，
∴三角形不是直角三角形；
B．∵，，，，
∴三角形不是直角三角形；
C．∵，，，
∴三角形是直角三角形；
D．∵，，，,
∴三角形不是直角三角形．
故选C．
【点睛】本题考查勾股定理，勾股定理得逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
4（ê）（2022春·河北唐山·八年级统考期中）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（　　）

A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都不对
【答案】A
【分析】根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．
【详解】解：∵正方形小方格边长为1，
∴BC＝＝5，AC＝＝，AB＝＝，
在△ABC中，∵AB2+AC2＝5+20＝25，BC2＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2＋b2＝c2，则三角形ABC是直角三角形．
【题型五】利用勾股定理逆定理求解
【典题】（2022春·安徽六安·八年级统考期中）△ABC的三边长a，b，c满足+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，则△ABC的面积是（    ）
A．65 B．60 C．30 D．26
【答案】C
【分析】首先根据非负数的性质可得a-5=0，b-12=0，c-13=0，进而可得a、b、c的值，再利用勾股定理逆定理证明△ABC是直角三角形，最后由直角三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵+(b-12)2+|c-13|=0，
∴a-5=0，b-12=0，c-13=0，
∴a=5，b=12，c=13，
∵52+122=132，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC==30．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了非负数的性质，以及勾股定理逆定理，熟练掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形，利用非负数性质求出a、b、c的值是解题的关键．
巩固练习
1．（ê）（2022春·天津·八年级天津二中校考期中）在△ABC中，AB＝，BC＝，AC＝，则（　　）
A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．∠A＝∠B
【答案】A
【详解】解：∵在△ABC中，AB=，BC=，AC=，

∴
∴∠A=90°
故选A.
2．（ê）（2022春·广东惠州·八年级统考期末）下列各组数中，是勾股数的为（    ）
A．1，1， B．5，12，13 C．1.5，2，2.5 D．7，8，9
【答案】B
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据两小边的平方和是否等于最长边的平方，从而得出答案．
【详解】解：A．1，1，中，不是整数，
∴不是勾股数，不符合题意；
B．∵52+122=132，
∴是勾股数，符合题意；
C．1.5，2，2.5中，1.5，2.5不是整数，
∴不是勾股数，不符合题意；
D．∵
∴不是勾股数，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
3（ê）（2022春·西藏那曲·八年级统考期中）已知a，b，c是某三角形的三边，满足，则此三角形的面积为（    ）
A．30 B．60 C．78 D．32.5
【答案】A
【分析】先根据绝对值的非负性可得，再根据勾股定理的逆定理可得这个三角形是直角三角形，且为直角边，然后利用直角三角形的面积公式求解即可得．
【详解】解：，
，，，
解得：，
，
这个三角形是直角三角形，且为直角边，
这个三角形的面积为，
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
4．（ê）（2022春·河南商丘·八年级校考期中）如图所示，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，DE⊥AC于E，DE＝3，S△DAC＝6，则∠ACB的度数等于 _____．

【答案】90°##90度
【分析】根据三角形面积公式求出AC=4，根据勾股定理逆定理即可求出∠ACB=90°．
【详解】解：∵DE⊥AC于E，DE＝3，S△DAC＝6，
∴×AC×DE=6，
∴AC=4，
∴，
∵AB＝5，
∴AB2＝25，
∴，
∴∠ACB=90°．
故答案为：90°
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理和三角形的面积应用，熟练掌握勾股定理逆定理是解题关键．
5．（ê）（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）三角形的三边之比为3：4：5，周长为36，则它的面积是_____．
【答案】54．
【分析】根据勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：设三角形的三边是3x，4x，5x，
∵（3x）2+（4x）2=（5x）2，
∴此三角形是直角三角形，
∵它的周长是36，
∴3x+4x+5x=36，
∴3x=9，4x=12，
∴三角形的面积=×9×12=54，
故答案为：54．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积的计算，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
6．（êê）（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在中，，．若中线，则的面积为____．

【答案】6
【分析】延长AD，使得DE=AD，连接EB，由题意易证，则有，，然后可得是直角三角形，进而问题可求解．
【详解】解：延长AD，使得DE=AD，连接EB，如图所示：

∵点D是BC的中点，
∴，
∵，
∴（SAS），
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
故答案为6．
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理及倍长中线法是解题的关键．
【题型六】利用勾股定理解决实际生活问题
【典题】（2022秋·辽宁锦州·八年级统考期中）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（      ）
A．13m B．12m C．10m D．8m
【答案】A
【分析】根据题意，设旗杆的高为x m ，则绳子AC的长为m ，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：根据题意，画出图形，m，如下图：

设旗杆的高为：x m ，则绳子的长为m ，
在 中，由勾股定理得：
，
即
解得： ，
即旗杆的高为m．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，能够正确根据题意画出图形，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题是解题的关键．
巩固练习
1．（ê）（2023秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（　　）

A．5米 B．6米 C．7米 D．8米
【答案】C
【分析】先利用勾股定理求出的长，再利用平移的知识即可得出地毯的长度．
【详解】在 中，，
∴米，
∴可得地毯长度米，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用及平移的知识，利用勾股定理求出 AC 的长度是解答本题的关键．
2．（ê）（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲轮船以20海里/小时的速度向南偏东45度方向航行，乙轮船向南偏西45度方向航行．已知它们离开港口两小时后，两艘轮船相距60海里，则乙轮船的速度是（    ）

A．海里/小时 B．20海里/小时
C．海里/小时 D．海里/小时
【答案】C
【分析】由勾股定理求出的长，即可解决问题．
【详解】解：由条件得：（海里），（海里），
而，
∴ （海里），
∴乙轮船的速度是（海里/小时）．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理，方向角的概念，二次根式的化简，关键是应用勾股定理求出的长．
3．（ê）（2022秋·山西临汾·八年级统考期末）如图，有一个圆柱，底面圆的周长为16πcm，高cm，P为的中点，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为（　　）

A．cm B．cm C．cm D．cm
【答案】B
【分析】先把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短求解．
【详解】解：把圆柱的侧面展开如图：

则：cm，cm，
在Rt中，cm，
故选：B．
【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，勾股定理的应用是解题的关键．
4．（ê）（2022秋·山东烟台·七年级统考期末）一架长的梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离为．若梯子顶端下滑，那么梯子底端在水平方向上滑动了（    ）
A． B．小于 C．大于 D．无法确定
【答案】A
【分析】根据题意作图，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：根据题意作图如下，

由题意知，，，
，
，
，
，
梯子底端在水平方向上滑动的距离是．
故选A．
【点睛】本题主要考查勾股定理，解题的关键是根据题意作图分析求解．
【题型七】利用逆勾股定理解决实际生活问题
【典题】（2022春·河南商丘·八年级统考期末）已知三角形的三边长分别为a，b，c，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是（    ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根据完全平方公式利用a+b=10，ab=18求出，即可得到三角形的形状.
【详解】∵a+b=10，ab=18，
∴=（a+b）2-2ab=100-36=64，
∵,c=8，
∴=64，
∴=，
∴该三角形是直角三角形，
故选：B.
【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，完全平方公式，能够利用完全平方公式由已知条件求出是解题的关键.
巩固练习
1．（ê）（2022春·广东中山·八年级统考期中）在海面上有两个疑似漂浮目标． 接到消息后，A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向北偏西50°方向航行． 同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东方向行驶，如图所示，离开港口1.5小时后两船相距30海里，则B舰艇的航行方向是（    ）

A．北偏东60° B．北偏东50° C．北偏东40° D．北偏东30°
【答案】C
【分析】根据题意求出OA、OB的长度，根据勾股定理逆定理可得△AOB为直角三角形，∠AOB=90°，继而可得B舰艇的航行方向．
【详解】解：由题意，得：AB=30海里，
OA=12×1.5=18（海里），
OB=16×1.5=24（海里），
∵OA2+OB2=182+242=900，
AB2=302=900，
∴OA2+OB2= AB2，
∴∠AOB=90°，
∵A舰艇向北偏西50°方向航行，
∴B舰艇的航行方向为北偏东40°．
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的应用，方位角的知识．在△ABC中，若a2+b2=c2，那么△ABC为直角三角形．
2．（ê）（2022秋·甘肃兰州·八年级校考期末）如图1，园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（  ）

A．24米2 B．36米2 C．48米2 D．72米2
【答案】B
【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形．从而用求和的方法求面积．
【详解】连接AC，则由勾股定理得AC=5米，
∵52+122=132
即AC2+DC2=AD2，
∴∠ACD=90°．
这块草坪的面积=SRt△ABC+SRt△ACD=AB•BC+AC•DC=（3×4+5×12）=36米2．
故选B．

【点睛】此题主要考查了勾股定理的运用及直角三角形的判定等知识点．
3．（ê）（2022春·山东临沂·八年级校考期中）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形土地时，在BC上有一处古建筑D，使得BC的长不能直接测出，工作人员测得AB＝130米，AD＝120米，BD＝50米，在测出AC＝150米后，测量工具坏了，使得DC的长无法测出，请你想办法求出BC的长度为（　　）

A．90米 B．120米 C．140米 D．150米
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理证出，再利用勾股定理求出DC的长，然后加上BD的长就可以求出BC的长．
【详解】解：如图，在，，
，
，即，
在中，AC=150，，
∴BC=BD+DC=50+90=140
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，正确理解勾股定理及逆定理是解本题的关键．