【同步讲义】北师大版数学八年级下册：6.4 多边形的内角和与外角和 讲义

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多边形的概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
多边形内角的概念：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角。
多边形外角的概念：多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
多边形对角线条数：一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n－3）条，其所有的对角线条数为
凸多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形的其它边都在这条直线的同侧，那么这个多边形就是凸多边形。
正多边形的概念：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。
多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（扩展：正n边形每个内角的度数是（n-2）×180°n）
【推论】1）n边形的内角和随边数的增加而增加，边数每增加1，内角和增加180°。
2）任意多边形的内角和均为180°的整数倍。
多边形外角和定理：多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。

【题型一】多边形内角和问题
【典题】若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
巩固练习
1．（）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（ ）
A．240°B．360°C．540°D．720°
2．（）如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是（ ）
A．900°B．720°C．540°D．360°
3．（）一个多边形截去一个角后，得到的多边形的内角和为，那么原来的多边形的边数为（ ）．
A．12或13取14B．13或14C．12或13D．13或14或15
4．（）若一个多边形的内角和为，则从该多边形的一个顶点出发的对角线条数是（ ）
A．B．C．D．
5．（）一副三角板如图所示摆放，则与的数量关系为（ ）
A．B．C．D．
6．（）多边形的内角和不可能为（ ）
A．180°B．540°C．1080°D．1200°
【题型二】与正多边形有关的多边形内角和问题
【典题】正五边形的内角和是（ ）
A．B．C．D．
巩固练习
1．（）如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角的大小为（ ）
A．B．C．D．
2．（）如图，在正五边形中，连接，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．（）已知一个正多边形的内角是140°，则它是几边形（ ）
A．10B．9C．8D．7
4．（）将正六边形与正五边形按如图所示方式摆放，公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE在同一条直线上，则∠BOE的度数是（ ）
A．48°B．54°C．60°D．72°
【题型三】与正多边形有关的多边形外角问题
【典题】已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为( ).
A．12B．10C．8D．6
巩固练习
1．（）五边形的外角和等于（）
A．180°B．360°C．540°D．720°
2．（）一个多边形的外角和等于360°，则这个多边形的边数为（ ）
A．3B．4C．5D．以上均有可能
3．（）如图，小明从正八边形（各边相等，各内角也相等）草地的一边AB上一点S出发，步行一周回到原处在步行的过程中，小明转过的角度的和是（ ）
A．B．C．D．
4．（）如图的七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线相交于O点，若图中∠1，∠2，∠3，∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？( )
A．40°B．45°C．50°D．60°
5．（）如图，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转36°，再沿直线前进10米，再向左转36°……照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走的路程是（ ）
A．100米B．110米C．120米D．200米
【题型四】多边形内角与外角综合
【典题】在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的倍还大．
（1）求这个多边形的边数；
（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？
巩固练习
1（）一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半．
(1)求这个多边形是几边形；
(2)求这个多边形的每一个内角的度数．
2．（）如果一个多边形的每一个外角都相等，且比内角小，求这个多边形的边数和内角和.
3．（）（1）已知：如图，边形．求证：边形的内角和等于；
（2）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻的外角的3倍还大20°．求这个多边形的内角和；
（3）粗心的小明在计算一个多边形的内角和时，误把一个外角也加进去了，得其和为1180°．请直接写出这个多加的外角度数及多边形的边数．
4．已知边数为n的多边形的一个外角是m°，内角和是x°，外角和是y°．
（1）当x＝2y时，求n的值；
（2）若x+y+m＝2380，求m的值．