【同步讲义】北师大版数学八年级下册：第五章 分式与分式方程（题型过关）

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第五章 分式与分式方程
 
【题型一】分式的乘除混合运算
典例1．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先利用分式的除法法则将原式变形，再利用分式的乘法法则进行化简，最后把的值代入计算即可．
【详解】解：

，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的乘法、除法法则和求值．能正确根据分式的乘除法法则进行化简是解题的关键．
1．化简：
【答案】-2
【分析】根据分式的乘除运算法则计算即可．
【详解】解：原式．
【点睛】本题考查分式的乘除运算，熟练掌握该知识点是解题关键．
2．计算：
【答案】
【分析】根据分式乘除混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：


【点睛】本题主要考查了分式乘除混合运算，解题的关键是对分子分母进行因式分解，准确进行计算．
3．先化简：，再求当，时的值．
【答案】原式，当，时，原式
【分析】根据二次根式的运算法则，将代数式进行化简，再代入求值即可．
【详解】解：原式



，
当，时，
原式

．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则和运算顺序，以及运用平方差公式．
4．先化简，再求值．，其中
【答案】，2020．
【分析】先根据分式的乘除法进行化简，再将a的值代入求解即可．
【详解】原式


当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的乘除法运算与求值，掌握分式的运算法则是解题关键．
【题型二】含乘方的分式乘除混合运算
典例2．计算下列各式：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分子因式分解，除法运算转化为乘法运算，约分化简即可求解；
（2）先乘方，再约分化简即可求解．
【详解】（1）解：

；
（2）解：

．
【点睛】本题主要考查分式的乘除法，掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键．
1．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平方差公式以及整式的四则运算进行求解；
（2）根据含乘方的分式乘除的混合运算计算法则进行求解．
【详解】（1）解：原式


；
（2）原式

．
【点睛】本题考查了含乘方的分式乘除的混合运算，平方差公式和整式的混合运算，解题的关键在于能够熟练相关运算法则．
2．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）原式
（2）原式
3．计算
(1)
(2)
【答案】(1)a4b3
(2)x（x+y）2
【分析】（1）根据分式的乘除，分式的乘方运算进行计算即可求解；
（2）先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解即可求解．
【详解】（1）原式=a2b6× （-）×
=-a2b6×
=-a4b3；
（2）原式=x（x2+2xy+y2）
=x（x+y）2.
【点睛】本题考查了分式的混合运算，因式分解，正确的计算是解题的关键．
4．．
【答案】．
【分析】根据含乘方的分式乘除的混合计算法则进行求解即可．
【详解】解：


．
【点睛】本题主要考查了含乘方的分式乘除的混合计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．
【题型三】分式加减混合运算
典例3．下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．

    第一步
           第二步
        第三步
        　 第四步
           　第五步
                　第六步
任务一：填空：①以上化简步骤中，第_____步是进行分式的通分，通分的依据是____________________或填为_____________________________；
②第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________________________；
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
【答案】任务一：①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②五；括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：；任务三：最后结果应化为最简分式或整式，答案不唯一，详见解析．
【分析】任务一：①分式的通分是把异分母的分式化为同分母的分式，通分的依据是分式的基本性质，据此即可进行判断；
②根据分式的运算法则可知：第五步开始出现错误，然后根据去括号法则解答即可；
任务二：根据分式的混合运算法则解答；
任务三：可从分式化简的最后结果或通分时应注意的事项等进行说明．
【详解】解：任务一：①以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质或填为分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；
故答案为：三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；
②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；
故答案为：五；括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；
任务二：原式




．
任务三：答案不唯一，如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆，等．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，属于基础题型，熟练掌握运算法则、明确每一步计算的根据是解题的关键．
1．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)1；
(2)
【分析】（1）根据同分母分式的加法法则求出即可；
（2）先把异分母的分式转化成同分母的分式，再根据同分母分式的减法法则求出即可．
【详解】（1）解：，
=
=
=1；
（2）解：



.
【点睛】本题考查了分式的加减法则，能灵活运用分式的加减法则进行计算是解此题的关键．
2．已知：，．
(1)当时，判断与0的关系，并说明理由；
(2)设时，若是正整数，求的正整数值．
【答案】(1)当时，
(2)若是正整数，的正整数值是12或15．
【分析】（1）先求出的值，再根据当时，，，即可得出；
（2）先求出的值，再根据和都是正整数，得出的取值，进一步得到的取值，然后分类讨论，即可得到的正整数值．
【详解】（1）当时，，
理由如下：
∵，，
∴，
，
，
，
∵，
∴，，
∴
（2）∵，，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵和都是正整数，
∴是正整数，
∴可取4，8，
当时，，，
∴，
当时，，，
∴，
综上所述：当是正整数，的正整数值是12或15．
【点睛】本题考查了分式的加减，熟练掌握分式的加减运算法则，求出的值和的正整数值是解题的关键．
3．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据分式加减法则计算即可；
（2）先通分，再根据分式加减法则计算即可．
【详解】（1）解：
=
=．
（2）解：
=
=
=．
【点睛】本题考查了分式的加减，解题关键是熟练掌握分式加减法则，准确进行计算．
4．请仔细阅读下面材料，然后解决问题：
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”．例如：“，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，．我们知道，假分数可化为带分数，例类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：
（1）将分式化为带分式；
（2）当取哪些整数值时，分式的值也是整数?
（3）当_______，分式的最大值是________．
【答案】（1）；（2）；（3）0，5
【分析】（1）仿照阅读材料中的方法加你个原式变形即可；
（2）原式变形后，根据结果为整数确定出整数x的值即可；
（3）原式变形后，确定出分式的最大值即可．
【详解】解：（1）原式


（2）是整数
是整数


（3）
∵（当且仅当x=0时，等号成立）
∴≤2
∴
即当，分式的最大值为是5．
故答案为：0；5．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，弄清阅读材料中的方法，适当转化分子、分母是解本题的关键．
【题型四】分式加减乘除混合运算
典例4．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）原式先化简绝对值、二次根式以及立方根，然后再进行外挂；
（2）原式先计算括号内的，再把除法转化为乘法，再进行约分即可．
【详解】解：（1）
=
=
=；
（2）
=
=
=．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算以及分式的加减乘除混合运算，掌握运算法则是解答本题的关键．
1．先化简，再求值：，其中．
【答案】3.
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】原式＝（+）•
＝•
＝2（x+2）
＝2x+4，
当x＝﹣时，
原式＝2×（﹣）+4
＝﹣1+4
＝3．
【点睛】本题考查的知识点是分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握分式的化简求值.
2．先化简,再求值,其中
【答案】
【分析】按照分式的加减乘除混合运算顺序，先算乘除，再算加减，分子分母能够因式分解的要因式分解，能够约分的要约分，将结果化为最简，再把a的值代入进行计算．
【详解】
＝
＝
=
=-a+1；
当a=3时，原式=-3+1=-2．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．先化简，再求值：，其中a，b满足．
【答案】
【分析】先利用非负数的性质求得a，b的值，然后代入化简后的代数式求值即可．
【详解】∵a，b满足．
∴a＋1＝0，b﹣＝0，解得a＝﹣1，b＝，





当a＝﹣1，b＝时，
∴原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确地把所求的代数式化简是解题的关键．
4．先化简再求值：，其中．
【答案】，
【分析】利用分式的加减法和乘除法对分式进行计算和化简，再把x＝2022代入计算即可得出结果．
【详解】解：


当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的加减法法则和乘除法法则是解题的关键．
5．先化简：﹣÷，并在x＝﹣3，﹣1，0，1中选一个合适的值代入求值．
【答案】，2
【分析】先根据分式的混合运算化简原式，再代入使原分式有意义的值进行计算．
【详解】解：原式＝


∵x＝﹣3或±1时，原式无意义，
∴取x＝0时，原式＝2．
【点睛】此题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．
6．化简
(1)；
(2)
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据异分母分式的减法化简即可；
（2）根据分式的加减乘除混合运算化简即可．
【详解】（1）解：

；
（2）解：
．
【点睛】本题考查分式的加减乘除混合运算，掌握分式的加减乘除混合运算法则正确化简是解题的关键．
7．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
(1)下列分式：①；②；③，其中是“和谐分式”的是 　　（填写序号即可）；
(2)若为整数，且为“和谐分式”，写出满足条件的的值为 　　；
(3)在化简时，小明和小娟分别进行了如下三步变形：
小明：原式，
小娟：原式，
你比较欣赏谁的做法？先进行选择，再根据你的选择完成化简过程，并说明你选择的理由．
【答案】(1)②
(2)或5
(3)我欣赏小娟的做法，见解析
【分析】（1）根据和谐分式的定义判断即可得出答案；
（2）根据完全平方公式和十字相乘法即可得出答案；
（3）小娟利用了和谐分式，通分时找到了最简公分母，完成化简即可．
【详解】（1）解：①分子或分母都不可以因式分解，不符合题意；
②分母可以因式分解，且这个分式不可约分，符合题意；
③这个分式可以约分，不符合题意；
故答案为：②；
（2）解：将分母变成完全平方公式得：，此时；
将分母变形成，此时；
故答案为：或5；
（3）我欣赏小娟的做法，
原式

，
理由：小娟利用了和谐分式，通分时找到了最简公分母．
（3）解：我欣赏小娟的做法，
原式

，
理由：小娟利用了和谐分式，通分时找到了最简公分母．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握在分式的混合运算中，能因式分解的多项式要分解因式，便于约分．
【题型五】解分式方程
典例5．若关于x的方程有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值．
【答案】x＝3或－3是原方程的增根；m＝6或12.
【详解】试题分析：先根据方程有增根，可让最简公分母为0，且把分式方程化为整式方程，分别代入求解即可.
试题解析：因为原方程有增根，且增根必定使最简公分母(x＋3)(x－3)＝0，
所以x＝3或x＝－3是原方程的增根．
原方程两边同乘(x＋3)(x－3)，得m＋2(x－3)＝x＋3.
当x＝3时，m＋2×(3－3)＝3＋3，解得m＝6；
当x＝－3时，m＋2×(－3－3)＝－3＋3，
解得m＝12.
综上所述，原方程的增根是x＝3或x＝－3.
当x＝3时，m＝6；
当x＝－3时，m＝12.
点睛：只要令最简公分母等于零，就可以求出分式方程的增根，再将增根代入分式方程化成的整式方程，就能求出相应的m的值．
1．解方程：．
【答案】
【分析】按照解分式方程的方法和步骤求解即可．
【详解】解：去分母（两边都乘以），得，
．
去括号，得，
，
移项，得，
．
合并同类项，得，
．
系数化为1，得，
．
检验：把代入．
∴是原方程的根．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟知分式方程的解法步骤是解题的关键，尤其注意解分式方程必须检验．
2．阅读材料，下列关于的方程：
的解为：，；    的解为：，；
的解为：，；    的解为：，；
根据这些材料解决下列问题：
(1)方程的解是____________；
(2)方程的解是____________；
(3)解方程：．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
【分析】（1）根据所给材料的解题方法即可求解；
（2）根据材料中方程的解法求解即可；
（3）先将方程化为，再利用材料中的解法求解即可．
【详解】（1）解：方程 的解为，
故答案为：，
（2）由方程可得或，
解得，，
故答案为：，
（3）将方程变形为，
可得或，
解得，
【点睛】此题考查了解分式方程，解题的关键是将方程化为的形式求解．
3．解分式方程
（1）
（2）
【答案】（1）x=-2；（2）无解
【分析】（1）观察可得最简公分母是2（x+3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
（2）观察可得最简公分母是（x+2）（x-2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【详解】解：




经检验时，
是原分式方程的解；





经检验时，
不是原分式方程的解；
原分式方程无解；
【点睛】本题考查了分式方程的解法，注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
4．阅读下列材料：
在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须保证才行．
(1)请回答： 的说法是正确的，正确的理由是 ．
完成下列问题：
(2)已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围；
(3)若关于的方程无解，求的值．
【答案】(1)小聪，分式的分母不能为0；
(2)且；
(3)或．
【分析】（1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对；
（2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数即可求出的取值范围；
（3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可求出的范围．
【详解】（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0
∴小聪说得对，分式的分母不能为0．
（2）解：原方程可化为
去分母得：
解得：
∵解为非负数
∴，即
又∵
∴，即
∴且
（3）解：去分母得：
解得：
∵原方程无解
∴或者
①当时，得：
②当时，，得：
综上：当或时原方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程以及根据分式方程的解确定参数范围，重点要掌握解分式方程的步骤：去分母化成整式方程；再解整式方程；验根．理解当分式方程无解时包含整式方程无解和有曾根两种情况．
5．已知关于x的方程
(1)当时，求方程的解；
(2)当m取何值时，此方程无解；
(3)当此方程的解是正数时，求m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3)且
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，将代入计算即可求出x的值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，将代入计算，即可求出m的值；
（3）表示出分式方程的解，由解为正数确定出m的范围即可．
【详解】（1）解：分式方程去分母得：，
整理得：，
（1）当时，，
解得：，
经检验：是原方程的解；
（2）解：∵分式方程无解，
∴，
∴，
当时，，
∴时该分式方程无解；
（3）解：解关于x的分式方程得：，
∵方程有解，且解为正数，
∴ ，
解得：且．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
6．已知关于x的分式方程
(1)已知m=4，求方程的解；
(2)若该分式方程无解，试求m的值．
【答案】(1)x＝−1
(2)m＝−1或−6或．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，将m＝2代入计算即可求出x的值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求解得到，由分式方程无解，得到m＋1＝0或（x＋2）（x−1）＝0，解m＋1＝0可求得一个m的值，将x＝−2或x＝1代入整式方程即可求出另外两个m的值．
【详解】（1）解：分式方程去分母得：2（x＋2）＋mx＝x−1，
整理得：（m＋1）x＝−5．
当m＝4时，（4＋1）x＝−5，
解得：x＝−1
经检验：x＝−1是原方程的解．
（2）解：分式方程去分母得：2（x＋2）＋mx＝x−1，
整理得：（m＋1）x＝−5．
∴
∵分式方程无解，
∴m＋1＝0或（x＋2）（x−1）＝0，
当m＋1＝0时，m＝−1；
当（x＋2）（x−1）＝0时，x＝−2或x＝1．
当x＝−2时m＝；
当x＝1时m＝−6，
∴m＝−1或−6或时该分式方程无解．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
7．已知：，
(1)化简分式；
(2)若关于的分式方程：的解是非负数，求的取值范围；
(3)当取什么整数时，分式的值为整数．
【答案】(1)
(2)且
(3)当时，分式的值为；当时，分式的值为0；当时，分式的值为；当时，分式的值为0
【分析】（1）将分式的分子、分母分解因式，将除法化为乘法，约分计算即可；
（2）将A、B的值代入解方程，根据解是非负数，得到，计算即可；
（3）将A利用完全平方公式及整式加减法添括号法则变形为，由值为整数得到x的值，代入计算．
【详解】（1）解：

；
（2）解：由题意：
，
，
．
∵解是非负数，
∴
∴．
∵即，
∴，
解得，
∴且；
（3）解：


．
当时，分式的值为；
当时，分式的值为0；
当时，分式的值为；
当时，分式的值为0．
【点睛】此题考查了分式的除法运算法则，解分式方程，正确掌握分式的分解，运算法则，完全平方公式是解题的关键．
【题型六】分式方程与实际问题
典例6．某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．
（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
（2）若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？
【答案】(1) B型商品的进价为120元，A型商品的进价为150元；(2)5500元．
【分析】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+30）元，根据“用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍”，这一等量关系列分式方程求解即可；
（2）根据题意中的不等关系求出A商品的范围，然后根据利润=单价利润×减数函数关系式，根据函数的性质求出最值即可．
【详解】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+30）元．
由题意：
解得x=120，
经检验x=120是分式方程的解，
答：一件B型商品的进价为120元，则一件A型商品的进价为150元．
（2）因为客商购进A型商品m件，销售利润为w元．
m≤100﹣m，
∴m≤50，
由题意：w=m（200﹣150）+（100﹣m）（180﹣120）=﹣10m+6000，

∴m=50时，w有最小值=5500（元）
【点睛】此题主要考查了分式方程和一次函数的应用等知识，解题关键是理解题意，学会构建方程或一次函数解决问题，注意解分式方程时要检验．
1．刘芳和李婷进行跳绳比赛．已知刘芳每分钟比李婷多跳20个，刘芳跳135个所用的时间与李婷跳120个所用的时间相等．求李婷每分钟跳绳的个数．
【答案】160个
【分析】设李婷每分钟跳绳的个数为个，则刘芳每分钟跳绳的个数为个，根据“刘芳跳135个所用的时间与李婷跳120个所用的时间相等”建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设李婷每分钟跳绳的个数为个，则刘芳每分钟跳绳的个数为个，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
答：李婷每分钟跳绳的个数为160个．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，正确找出等量关系，并建立方程是解题关键．
2．列方程解应用题：在生产操作中，有些化工原料对人体有害，所以需要用机器人来搬运． 现有 A、B两种机器人，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等，则两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
【答案】A型机器人每小时搬运90kg化工原料，B型机器人每小时搬运60kg化工原料
【分析】设A型机器人每小时搬运化工原料，则B型机器人每小时搬运化工原料，然后根据A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等列出方程求解即可．
【详解】解：设A型机器人每小时搬运化工原料，则B型机器人每小时搬运化工原料，
由题意得：
解得：
经检验，是原方程的根.
故该方程的解为，.
答：A型机器人每小时搬运90kg化工原料，B型机器人每小时搬运60kg化工原料.
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程进行求解．
3．某药店在防治新型冠状病毒期间，购进甲、乙两种医疗防护口罩，已知每件甲种口罩的价格比每件乙种口罩的价格贵8元，用1200元购买甲种口罩的件数恰好与用1000元购买乙种口罩的件数相同．
(1)求甲、乙两种口罩每件的价格各是多少元？
(2)计划购买这两种口罩共80件，且投入的经费不超过3600元，那么，最多可购买多少件甲种口罩？
【答案】(1)每件乙种商品的价格为40元，每件甲种商品的价格为48元；
(2)最多可购买50件甲种商品．
【分析】(1)设每件乙种商品的价格为x元，则每件甲种商品的价格为(x+8)元，根据数量＝总价÷单价结合用1200元购买甲种口罩的件数恰好与用1000元购买乙种口罩的件数相同，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
(2)设购买y件甲种商品，则购买(80﹣y)件乙种商品，根据总价＝单价×购买数量结合投入的经费不超过3600元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之即可得出y的取值范围，取其内的最大正整数即可．
【详解】（1）解：设每件乙种商品的价格为x元，则每件甲种商品的价格为(x+8)元，
根据题意得：，
解得：x＝40，
经检验，x＝40原方程的解，
∴x+8＝48．
答：每件乙种商品的价格为40元，每件甲种商品的价格为48元．
（2）解: 设购买y件甲种商品，则购买(80﹣y)件乙种商品，
根据题意得：48y+40(80﹣y)≤3600，
解得：y≤50．
答：最多可购买50件甲种商品．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量＝总价÷单价，列出关于x的分式方程；（2）根据总价＝单价×购买数量，列出关于y的一元一次不等式．
4．某商场计划在年前用30000元购进一批彩灯，由于货源紧张，厂商提价销售，实际的进货价格比原来提高了20%，结果比原计划少购进100盏彩灯．该商场实际购进彩灯的单价是多少元？
【答案】商场实际购进彩灯的单价是60元
【分析】设商场原计划购进彩灯的单价为元，则商场实际购进彩灯的单价为元，由题意：某商场计划在年前用30000元购进一批彩灯，由于货源紧张，厂商提价销售，实际的进货价格比原来提高了，结果比原计划少购进100盏彩灯．列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设商场原计划购进彩灯的单价为元，则商场实际购进彩灯的单价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
则（元，
答：商场实际购进彩灯的单价为60元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，解题的关键是正确列出分式方程．
5．一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地．求第一小时的行驶速度．
【答案】
【分析】设第一小时的行驶速度，表示出一小时后的行驶速度，根据提速后时间比原计划提前的时间，列分式方程并进行求解，进而得到第一小时的行驶速度．
【详解】解：设第一小时的行驶速度为，
根据题意得
化简得
去分母得
去括号得
移项、合并同类项得
解得
经检验是原方程的解
∴ 第一小时的行驶速度为．
【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题的关键在于依据题意列正确的分式方程．解方程与检验是易错点．
6．某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？
【答案】50
【分析】该商品打折卖出x件，找到等量关系即可．
【详解】解：该商品打折卖出x件

解得x=8
经检验：是原方程的解，且符合题意
∴商品打折前每件元
答：该商品打折前每件50元．
【点睛】此题考查分式方程实际问题中的销售问题，找到等量关系是解题的关键．
7．小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．
（1）求小刚跑步的平均速度；
（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由．
【答案】（1）小刚跑步的平均速度为150米/分；（2）小刚不能在上课前赶回学校，见解析
【分析】（1）根据题意，列出分式方程即可求得小刚的跑步平均速度；
（2）先求出小刚跑步和骑自行车的时间，加上取作业本和取自行车的时间，与上课时间20分钟作比较即可．
【详解】解：（1）设小刚跑步的平均速度为x米/分，则小刚骑自行车的平均速度为1.6x米/分，
根据题意，得，
解这个方程，得，
经检验，是所列方程的根，
所以小刚跑步的平均速度为150米/分．
（2）由（1）得小刚跑步的平均速度为150米/分，
则小刚跑步所用时间为（分），
骑自行车所用时间为（分），
在家取作业本和取自行车共用了3分，
所以小刚从开始跑步回家到赶回学校需要（分）．
因为，
所以小刚不能在上课前赶回学校．
【点睛】本题考查路程问题的分式方程，解题关键是明确题意，列出分式方程求解．
8．某村经济合作社在乡村振兴工作队的指导下，根据市场需求，计划在2022年将30亩土地全部用于种植A、B两种经济作物，预计B种经济作物亩产值是A种经济作物亩产值的3倍．
(1)为实现2022年A种经济作物年总产值20万元，B种经济作物年总产值30万元的目标，2022年A、B两种经济作物应各种植多少亩？
(2)在第（1）问的条件下，将A、B两种经济作物承包给20位工人维护和管理，已知每位工人维护和管理A种经济作物的承包费用是每亩地200元，已知每位工人维护和管理B种经济作物的承包费用是每亩地300元，如果总的承包费不超过7.2万元，至多安排多少人维护和管理A种经济作物？
【答案】(1)2022年A种经济作物种植20亩，B种经济作物种植10亩
(2)至多安排12人维护和管理A种经济作物
【分析】（1）设2022年A种经济作物种植x亩，则B种经济作物种植（30−x）亩，利用亩产值＝总产值÷种植亩数，结合预计B种经济作物亩产值是A种经济作物亩产值的3倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出A种经济作物种植的亩数，再将其代入（30−x）中即可求出B种经济作物种植的亩数；
（2）设安排m人维护和管理A种经济作物，则安排（20−m）人维护和管理B种经济作物，利用总的承包费＝每亩的承包费用×种植亩数×维护和管理的工人人数，结合总的承包费不超过7.2万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
(1)
设2022年A种经济作物种植x亩，则B种经济作物种植（30−x）亩，
依题意得：，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，
∴30−x＝30−20＝10．
答：2022年A种经济作物种植20亩，B种经济作物种植10亩．
(2)
设安排m人维护和管理A种经济作物，则安排（20−m）人维护和管理B种经济作物，
依题意得：200×20m＋300×10（20−m）≤72000，
解得：m≤12．
答：至多安排12人维护和管理A种经济作物．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．