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数学6.1 函数精品课堂检测
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这是一份数学6.1 函数精品课堂检测，文件包含专题16一次函数综合题综合题原卷版docx、专题16一次函数综合题综合题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。
专题16 一次函数综合题（综合题）
易错题专训
一．选择题
1．（2020秋•福田区校级期中）已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：
①方程组的解为；
②△BCD为直角三角形；
③S△ABD＝6；
④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
其中正确的说法是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【易错思路引导】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；根据两直线的系数的积为﹣1，可知两直线互相垂直；求得BD和AO的长，根据三角形面积计算公式，即可得到△ABD的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
【规范解答】解：①∵直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），
∴方程组的解为，
故①正确，符合题意；
②把B（0，4），C（﹣，）代入直线l1：y＝kx+b，可得，解得，
∴直线l1：y＝2x+4，
又∵直线l2：y＝﹣x+m，
∴直线l1与直线l2互相垂直，即∠BCD＝90°，
∴△BCD为直角三角形，
故②正确，符合题意；
③把C（﹣，）代入直线l2：y＝﹣x+m，可得m＝1，
y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1，
∴D（0，1），
∴BD＝4﹣1＝3，
在直线l1：y＝2x+4中，令y＝0，则x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AO＝2，
∴S△ABD＝×3×2＝3，
故③错误，不符合题意；
④点A关于y轴对称的点为A'（2，0），
由点C、A′的坐标得，直线CA′的表达式为：y＝﹣x+1，
令x＝0，则y＝1，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1），
故④正确，符合题意；
故选：B．
【考察注意点】本题为一次函数综合题，主要考查了一次函数图象与性质，三角形面积以及最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
2．（2020•陆川县模拟）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（ ）
A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x
【易错思路引导】设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，过A作AC⊥OC于C，易知OB＝3，利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标即可得到该直线l的解析式．
【规范解答】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，过A作AC⊥OC于C，
∵正方形的边长为1，
∴OB＝3，
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴两边分别是4，
∴三角形ABO面积是5，
∴OB•AB＝5，
∴AB＝，
∴OC＝，
由此可知直线l经过（，3），
设直线方程为y＝kx，
则3＝k，
k＝，
∴直线l解析式为y＝x，
故选：C．
【考察注意点】此题考查了面积相等问题、用待定系数法求一次函数的解析式以及正方形的性质，此题难度较大，解题的关键是作AB⊥y轴，作AC⊥x轴，根据题意即得到：直角三角形ABO，利用三角形的面积公式求出AB的长．
3．（2016秋•萧山区校级期末）如图，直线y＝x+2与y轴相交于点A0，过点A0作x轴的平行线交直线y＝0.5x+1于点B1，过点B1作y轴的平行线交直线y＝x+2于点A1，再过点A1作x轴的平行线交直线y＝0.5x+1于点B2，过点B2作y轴的平行线交直线y＝x+2于点A2，…，依此类推，得到直线y＝x+2上的点A1，A2，A3，…，与直线y＝0.5x+1上的点B1，B2，B3，…，则A7B8的长为（ ）
A．64 B．128 C．256 D．512
【易错思路引导】对于直线y＝x+2，令x＝0求出y的值，确定出A0纵坐标，即为B1的纵坐标，代入直线y＝0.5x+1中求出B1的横坐标，即可求出A0B1的长，由B1与A1的横坐标相等得出A1的横坐标，代入y＝x+2求出纵坐标，即为B2的纵坐标，代入直线y＝0.5x+1中求出B2的横坐标，即可求出A1B2的长，同理求出A2B3，A3B4，…，归纳总结即可得到A7B8的长．
【规范解答】解：对于直线y＝x+2，令x＝0，求出y＝2，即A0（0，2），
∵A0B1∥x轴，∴B1的纵坐标为2，
将y＝2代入y＝0.5x+1中得：x＝2，即B1（2，2），
∴A0B1＝2＝21，
∵A1B1∥y轴，∴A1的横坐标为2，
将x＝2代入直线y＝x+2中得：y＝4，即A1（2，4），
∴A1与B2的纵坐标为4，
将y＝4代入y＝0.5x+1中得：x＝6，即B2（6，4），
∴A1B2＝4＝22，
同理A2B3＝8＝23，…，An﹣1Bn＝2n，
则A7B8的长为28＝256．
故选：C．
【考察注意点】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数的性质，以及坐标与图形性质，弄清题中的规律是解本题的关键．
4．（2021春•莆田期末）如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为（ ）
A．（，） B．（3，3） C．（，） D．（，）
【易错思路引导】过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，求出∠MCP＝∠DPN，证△MCP≌△NPD，推出DN＝PM，PN＝CM，设AD＝a，求出DN＝2a﹣1，得出2a﹣1＝1，求出a＝1，得出D的坐标，在Rt△DNP中，由勾股定理求出PC＝PD＝，在Rt△MCP中，由勾股定理求出CM＝2，得出C的坐标，设直线CD的解析式是y＝kx+3，把D（3，2）代入求出直线CD的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可．
【规范解答】解：过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，
∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，
∴∠MCP+∠CPM＝90°，∠MPC+∠DPN＝90°，
∴∠MCP＝∠DPN，
∵P（1，1），
∴OM＝BN＝1，PM＝1，
在△MCP和△NPD中，
∴△MCP≌△NPD（AAS），
∴DN＝PM，PN＝CM，
∵BD＝2AD，
∴设AD＝a，BD＝2a，
∵P（1，1），
∴DN＝2a﹣1，
则2a﹣1＝1，
a＝1，即BD＝2．
∵直线y＝x，
∴AB＝OB＝3，
在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC＝PD＝＝，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM＝＝2，
则C的坐标是（0，3），
设直线CD的解析式是y＝kx+3，
把D（3，2）代入得：k＝﹣，
即直线CD的解析式是y＝﹣x+3，
即方程组得：，
即Q的坐标是（，）．
故选：D．
【考察注意点】本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．
5．（2020春•翠屏区期末）如图，直线y＝﹣x+6分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论：
①AB＝10；
②直线BC的解析式为y＝﹣2x+6；
③点D（，）；
④若线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的坐标是（，）．
正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【易错思路引导】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，可判断①；由折叠的性质可得OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°，由勾股定理可求OC的长，可得点C坐标，利用待定系数法可求BC解析式，可判断②；由面积公式可求DH的长，代入解析式可求点D坐标，可判断③；由菱形的性质可得PD∥OC，可得点P纵坐标为，可判断④，即可求解．
【规范解答】解：∵直线y＝﹣x+6分别与x、y轴交于点A、B，
∴点A（8，0），点B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，
∴AB＝＝＝10，故①正确；
∵线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处，
∴OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°，
∴AD＝AB﹣BD＝4，
∵AC2＝AD2+CD2，
∴（8﹣OC）2＝16+OC2，
∴OC＝3，
∴点C（3，0），
设直线BC解析式为：y＝kx+6，
∴0＝3k+6，
∴k＝﹣2，
∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+6，故②正确；
如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵CD＝OC＝3，
∴CA＝5，
∵S△ACD＝AC×DH＝CD×AD，
∴DH＝＝，
∴当y＝时，＝﹣x+6，
∴x＝，
∴点D（，），故③正确；
∵线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，且OC＝CD，
∴PD∥OC，
∴点P纵坐标为，故④错误，
故选：B．
【考察注意点】本题是一次函数综合题，考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，面积法，菱形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
6．（2018秋•达川区期末）已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：①方程组的解为；②△BCD为直角三角形；③S△ABD＝3；④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．其中正确的说法个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【易错思路引导】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；根据两直线的系数的积为﹣1，可知两直线互相垂直；求得BD和AO的长，根据三角形面积计算公式，即可得到△ABD的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
【规范解答】解：∵直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），
∴方程组的解为，
故①正确；
把B（0，4），C（﹣，）代入直线l1：y＝kx+b，可得
，解得，
∴直线l1：y＝2x+4，
又∵直线l2：y＝﹣x+m，
∴直线l1与直线l2互相垂直，即∠BCD＝90°，
∴△BCD为直角三角形，
故②正确；
把C（﹣，）代入直线l2：y＝﹣x+m，可得m＝1，
y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1，
∴D（0，1），
∴BD＝4﹣1＝3，
在直线l1：y＝2x+4中，令y＝0，则x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AO＝2，
∴S△ABD＝×3×2＝3，
故③正确；
点A关于y轴对称的点为A'（2，0），
设过点C，A'的直线为y＝ax+n，则
，解得，
∴y＝﹣x+1，
令x＝0，则y＝1，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1），
故④正确．
故选：D．
【考察注意点】本题主要考查了一次函数图象与性质，三角形面积以及最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
二．填空题
7．（2022秋•庐阳区校级月考）如图长方形ABCD的边长AB＝5，BC＝1．刚开始时AB与y轴重合．将长方形ABCD沿x轴以每秒1个单位长度向右平移，在平移过程中，边AB与直线y＝﹣x+5交于点M，与直线y＝x交于点N，边CD与直线y＝﹣x+5交于点P，与直线y＝x交于点Q，设运动时间为t（秒）．
（1）当0≤t≤4时，用含t的表达式表示MN的长 ﹣t+5 ；
（2）当|MN﹣PQ|为定值时，时间t的取值范围为 0≤t≤3或t≥4 ．
【易错思路引导】（1）判断出MN在两直线交K的左侧，求出点M，N的坐标，可得结论；
（2）证明当线段PQ，MN在两直线的交点K的同侧时，|MN﹣PQ|为定值，求出直线PQ，直线MN经过两直线交点K时，点M与A重合时t的值，可得结论．
【规范解答】解：（1）由，解得，
∴两直线的交点坐标为K（4，2），
∴当0≤t≤4时，线段MN在交点K的左侧，
∵M（t，﹣t+5），N（t，t），
∴MN＝﹣t+5﹣t＝﹣t+5，
故答案为：﹣t+5；
（2）如图，过点P作PJ∥OQ交MN于点J．
∵PJ∥NQ，PQ∥JN，
∴四边形PJNQ是平行四边形，
∴PQ＝JN，
∴MN﹣PQ＝MN﹣JN＝MJ＝定值，
观察图象可知，当线段PQ，MN在两直线的交点K的同侧时，|MN﹣PQ|为定值，
当直线PQ经过点K时，t+1＝4，
∴t＝3，
当直线MN经过点K时，t＝4，
继续运动当点M与A重合时，t＝，
观察图形可知，满足条件的t的值为0≤t≤3或4≤t≤．
故答案为：0≤t≤3或t≥4．
【考察注意点】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
8．（2022•苏州一模）如图，正方形ABCD的边长为2，A为坐标原点，AB和AD分别在x轴、y轴上，点E是BC边的中点，过点A的直线y＝kx交线段DC于点F，连接EF，若AF平分∠DFE，则k的值为 1或3 ．
【易错思路引导】分两种情况：①当点F在DC之间时，作出辅助线，求出点F的坐标即可求出k的值；②当点F与点C重合时求出点F的坐标即可求出k的值．
【规范解答】解：①如图，作AG⊥EF交EF于点G，连接AE，
∵AF平分∠DFE，
∴DA＝AG＝2，
在RT△ADF和RT△AGF中，
，
∴RT△ADF≌RT△AGF（HL），
∴DF＝FG，
∵点E是BC边的中点，
∴BE＝CE＝1，
∴AE＝＝，
∴GE＝＝1，
∴在RT△FCE中，EF2＝FC2+CE2，即（DF+1）2＝（2﹣DF）2+1，解得DF＝，
∴点F（，2），
把点F的坐标代入y＝kx得：2＝k，解得k＝3；
②当点F与点C重合时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AF平分∠DFE，
∴F（2，2），
把点F的坐标代入y＝kx得：2＝2k，解得k＝1．
故答案为：1或3．
【考察注意点】本题主要考查了一次函数综合题，涉及角平分线的性质，三角形全等的判定及性质，正方形的性质理，及勾股定解题的关键是分两种情况求出k．
9．（2021•新吴区模拟）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（0，8），点B坐标为（4，0），点E是直线y＝x+4上的一个动点，若∠EAB＝∠ABO，则点E的坐标为 （4，8）或（﹣12，﹣8） ．
【易错思路引导】分两种情况：当点E在y轴右侧时，由条件可判定AE∥BO，容易求得E点坐标；当点E在y轴左侧时，可设E点坐标为（a，a+4），过AE作直线交x轴于点C，可表示出直线AE的解析式，可表示出C点坐标，再根据勾股定理可表示出AC的长，由条件可得到AC＝BC，可得到关于a的方程，可求得E点坐标．
【规范解答】解：当点E在y轴右侧时，如图1，连接AE，
∵∠EAB＝∠ABO，
∴AE∥OB，
∵A（0，8），
∴E点纵坐标为8，
又E点在直线y＝x+4上，把y＝8代入可求得x＝4，
∴E点坐标为（4，8）；
当点E在y轴左侧时，过A、E作直线交x轴于点C，如图2，
设E点坐标为（a，a+4），设直线AE的解析式为y＝kx+b，
把A、E坐标代入可得，解得，
∴直线AE的解析式为y＝x+8，令y＝0可得x+8＝0，解得x＝，
∴C点坐标为（，0），
∴AC2＝OC2+OA2，即AC2＝（）2+82，
∵B（4，0），
∴BC2＝（4﹣）2＝（）2﹣+16，
∵∠EAB＝∠ABO，
∴AC＝BC，
∴AC2＝BC2，即（）2+82＝（）2﹣+16，
解得a＝﹣12，则a+4＝﹣8，
∴E点坐标为（﹣12，﹣8）．
方法二：设C（m，0），
∵∠CAB＝∠CBA，
∴AC＝BC，
∴（4﹣m）2＝m2+82，
解得m＝﹣6，
∴直线AE的解析式为y＝x+8，
由，解得．
∴E（﹣12，﹣8）．
综上可知，E点坐标为（4，8）或（﹣12，﹣8）．
故答案为：（4，8）或（﹣12，﹣8）．
【考察注意点】本题主要考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、等腰三角形的性质、分类讨论思想等知识点．确定出E点的位置，由条件得到AE∥OB或AC＝BC是解题的关键．本题难度不大，注意考虑全面即可．
10．（2020春•资阳期末）如图，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，AC所在直线的函数表达式是y＝2x+4，若保持AC的长不变，当点A在y轴的正半轴滑动，点C随之在x轴的负半轴上滑动，则在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是 ．
【易错思路引导】根据自变量与函数值得对应关系，可得A，C点坐标，根据勾股定理，可得AC的长度；根据全等三角形的判定与性质，可得CD，BD的长，可得B点坐标；首先取AC的中点E，连接BE，OE，OB，可求得OE与BE的长，然后由三角形三边关系，求得点B到原点的最大距离．
【规范解答】解：当x＝0时，y＝2x+4＝4，
∴A（0，4）；
当y＝2x+4＝0时，x＝﹣2，
∴C（﹣2，0）．
∴OA＝4，OC＝2，
∴AC＝＝2．
如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D．
∵∠ACO+∠ACB+∠BCD＝180°，∠ACO+∠CAO＝90°，∠ACB＝90°，
∴∠CAO＝∠BCD．
在△AOC和△CDB中，，
∴△AOC≌△CDB（AAS），
∴CD＝AO＝4，DB＝OC＝2，
OD＝OC+CD＝6，
∴点B的坐标为（﹣6，2）．
如图所示．取AC的中点E，连接BE，OE，OB，
∵∠AOC＝90°，AC＝2，
∴OE＝CE＝AC＝，
∵BC⊥AC，BC＝2，
∴BE＝＝5，
若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+BE＝5+．
若点O，E，B在一条直线上，则OB＝OE+BE＝5+，
∴当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为5+，
故答案为：5+．
【考察注意点】此题考查了一次函数综合题，利用自变量与函数值的对应关系是求AC长度的关键，又利用了勾股定理；求点B的坐标的关键是利用全等三角形的判定与性质得出CD，BD的长；求点B与原点O的最大距离的关键是直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形三边关系．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
11．（2019秋•辽阳期末）如图，直线y＝﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，与直线y＝x交于点C，线段OA上的点Q以每秒1个长度单位的速度从点O出发向点A做匀速运动，运动时间为t秒，连接CQ．
（1）求出点C的坐标 （2，2） ；
（2）若△OQC是等腰直角三角形，则t的值为 2或4 ；
（3）若CQ平分△OAC的面积，求直线CQ对应的函数关系式 y＝﹣2x+6 ．
【易错思路引导】（1）解两函数解析式组成的方程组即可；
（2）分为两种情况，画出图形，根据等腰三角形的性质求出即可；
（3）求出Q的坐标，设出解析式，把Q、C的坐标代入求出即可．
【规范解答】解：（1）∵由，得，
∴C（2，2）；
（2）如图1，当∠CQO＝90°，CQ＝OQ，
∵C（2，2），
∴OQ＝CQ＝2，
∴t＝2，
②如图2，当∠OCQ＝90°，OC＝CQ，
过C作CM⊥OA于M，
∵C（2，2），
∴CM＝OM＝2，
∴QM＝OM＝2，
∴t＝2+2＝4，
即t的值为2或4，
故答案为：2或4；
（3）令﹣x+3＝0，得x＝6，由题意：Q（3，0），
设直线CQ的解析式是y＝kx+b，
把C（2，2），Q（3，0）代入得：，
解得：k＝﹣2，b＝6，
∴直线CQ对应的函数关系式为：y＝﹣2x+6．
故答案为：（1）（2，2）；（3）y＝﹣2x+6．
【考察注意点】本题考查了用待定系数法求出一次函数解析式，三角形的面积，等腰直角三角形等知识点的应用，题目是一道比较典型的题目，综合性比较强．
12．（2020•东莞市校级一模）平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y＝x+和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果A1（1，1），A2（4，2），则点An的纵坐标是 2n﹣1 ．
【易错思路引导】利用待定系数法可得A1、A2、A3的坐标，进而得出各点的坐标的规律．
【规范解答】解：设A1（m，m），则有m＝m+，解得m＝1，
∴A1（1，1），
设A2（2+n，n），则n＝（n+2）+，
解得n＝2，
∴A2（4，2），
设A3（6+a，a），则有a＝（6+a）+，
解得a＝4，
∴A3（10，4），
由此发现点An的纵坐标为2n﹣1，
故答案为2n﹣1．
【考察注意点】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
13．（2020春•济南期末）如图所示，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（12，5），直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分．那么b＝ 1 ．
【易错思路引导】根据矩形的性质，将矩形OABC分成面积相等的两部分的直线一定经过矩形的中心，再根据点B的坐标求出矩形的中心的坐标，然后代入直线解析式计算即可得解．
【规范解答】解：∵将矩形OABC分成面积相等的两部分，
∴直线经过矩形的中心，
∵B点坐标为B（12，5），
∴矩形中心的坐标为（6，），
∴×6+b＝，
解得b＝1．
故答案为：1．
【考察注意点】本题综合考查了一次函数与矩形，熟知过矩形中心的直线把矩形分成面积相等的两个部分是解题的关键，也是本题的难点．
14．（2019秋•下城区校级月考）如图，以矩形ABCD的相邻边建立直角坐标系，AB＝3，BC＝5，点E是边CD上一点，将△ADE沿着AE翻折，点D恰好落在BC边上，记为F．
（1）求折痕AE所在直线的函数解析式 y＝﹣x+3 ；
（2）若线段AF沿y轴正半轴向上平移m个单位，得到线段A'F'，连结OF'，若△OA'F'是等腰三角形，则m的值是 3或2或 ．
【易错思路引导】（1）根据四边形ABCD是矩形以及由折叠对称性得出AF＝AD＝5，EF＝DE，进而求出BF的长，即可得出E点的坐标，进而得出AE所在直线的解析式；
（2）分三种情况讨论：若A'O＝A'F'，OF'＝F'A'，A'O＝OF'，利用勾股定理求出即可．
【规范解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝CB＝5，AB＝DC＝3，∠D＝∠DCB＝∠ABC＝90°，
由折叠对称性：AF＝AD＝5，EF＝DE，
在Rt△ABF中，BF＝＝4，
∴CF＝1，
设EC＝x，则EF＝3﹣x，
在Rt△ECF中，12+x2＝（3﹣x）2，
解得：x＝，
∴E点坐标为：（5，），
∴设AE所在直线解析式为：y＝ax+b，
则，
解得：，
∴AE所在直线解析式为：y＝﹣x+3；
故答案为：y＝﹣x+3；
（2）分三种情况讨论：
若A'O＝A'F'＝OC＝5，
∴A'A＝A'O﹣AB＝2，
∴m＝2；
若OF'＝F'A'＝5，过点F'作F'H⊥AB于H，
∴F'H＝4，
∴A'H＝OH＝3，
∴A'O＝6，
∴A'A＝A'O﹣AB＝3，
∴m＝3，
若A'O＝OF'，
在Rt△OBF中，A'O2＝OF'2＝OH2+HF'2＝m2+16，
∴（m+3）2＝m2+16，
解得：m＝，
综上所述，若△OA'F'是等腰三角形，m的值为3或2或．
故答案为：3或2或．
【考察注意点】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想是解本题的关键．
三．解答题
15．（2022秋•定远县校级月考）如图，已知直线y＝kx+b经过点B（1，4），与x轴交于点A（5，0），与直线y＝2x﹣4交于点C（3，m）．
（1）求直线AB的函数表达式及m的值；
（2）根据函数图象，直接写出关于x的不等式组2＜kx+b＜4的解集： 1＜x＜3 ；
（3）现有一点P在直线AB上，过点P作PQ∥y轴交直线y＝2x﹣4于点Q，若点C到线段PQ的距离为1，求点P的坐标和点Q的坐标．
【易错思路引导】（1）通过待定系数法求出直线AB解析式，将点C坐标代入y＝2x﹣4求出m的值．
（2）根据点B，C坐标结合图象求解．
（3）由点C到线段PQ的距离为1，可得点P，Q的横坐标，通过分类讨论求解．
【规范解答】解：（1）将（1，4），（5，0）代入y＝kx+b得，
解得，
∴y＝﹣x+5．
将（3，m）代入y＝2x﹣4得m＝6﹣4＝2．
（2）∵点B坐标为（1，4），点C坐标为（3，2），
由图象得1＜x＜3时，2＜kx+b＜4，
故答案为：1＜x＜3．
（3）∵点C到线段PQ的距离为1，点C横坐标为3，
∴点P，Q横坐标为3﹣1＝2或3+1＝4，
将x＝2代入y＝﹣x+5得y＝﹣2+5＝3，
∴点P坐标为（2，3），
将x＝2代入y＝2x﹣4得y＝4﹣4＝0，
∴点Q坐标为（2，0），
将x＝4代入y＝﹣x+5得y＝﹣4+5＝1，
∴点P坐标为（4，1），
将x＝4代入y＝2x﹣4得y＝8﹣4＝4，
∴点Q坐标为（4，4），
综上所述，点P，Q坐标为（2，3），（2，0）或（4，1），（4，4）．
【考察注意点】本题考查一次函数的综合应用，解题关键是掌握一次函数与方程及不等式的关系．
16．（2022秋•湖滨区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线y＝﹣x+b过点C．
（1）求m和b的值；
（2）直线y＝﹣x+b与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动（点P不与点D，点A重合）．设点P的运动时间为t秒．
①若点P在线段DA上，且△ACP的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【易错思路引导】（1）将点C（2，m）代入y＝x+2，求出m的值，再将确定的点C代入y＝x+b中，即可求b的值；
（2）①由题意可知P点的坐标为（6﹣t，0），则AP＝8﹣t，再由S△ACP＝×（8﹣t）×4＝10，求出t的值即可；
②由①分别求出AC＝4，AP＝|8﹣t|，CP＝，再根据等腰三角形的边的关系分三种情况建立方程，求出t的值即可．
【规范解答】解：（1）将点C（2，m）代入y＝x+2，
∴m＝4，
∵直线y＝﹣x+b过点C，
∴﹣2+b＝4，
解得b＝6；
（2）①∵b＝6，
∴直线解析式为y＝﹣x+6，
∴D（6，0），
直线y＝x+2与x轴交点A为（﹣2，0），与y轴交点B（0，2），
由题意可知P点的坐标为（6﹣t，0），
∴AP＝6﹣t+2＝8﹣t，
∴S△ACP＝×（8﹣t）×4＝10，
解得t＝3；
②存在t的值，使△ACP为等腰三角形，理由如下：
∵A（﹣2，0），C（2，4），P（6﹣t，0），
∴AC＝4，AP＝|8﹣t|，CP＝，
当AC＝AP时，4＝|8﹣t|，
解得t＝8﹣4或t＝8+4；
当AC＝CP时，4＝，
解得t＝0（舍）或t＝8（舍）；
当CP＝AP时，|8﹣t|＝，
解得t＝4；
综上所述：t的值为8﹣4或8+4或4．
【考察注意点】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
17．（2021秋•历城区期末）如图，直线AC：y＝x+m交y轴于点C（0，1），直线BD：y＝﹣x+n交x轴于点B（4，0），两直线交于点P，解答下列问题：
（1）求m，n的值和点P的坐标；
（2）若E是x轴上的动点，当以A，P，E为顶点的三角形是直角三角形时，求点E的坐标；
（3）若F是y轴上的动点，当以A，P，F为顶点的三角形是以AP为腰的等腰三角形时，请直接写出满足条件的点F的坐标．
【易错思路引导】（1）用代入法求m、n的值，联立方程组，求P点坐标；
（2）设E（t，0），分别求出AP2＝20，AE2＝（t+2）2，PE2＝（t﹣2）2+4，分三种情况：①当AP为斜边时；②当AE为斜边时；③当PE为斜边时；结合勾股定理求解即可；
（3）设F（0，y），分别求出AP2＝20，AF2＝4+y2，PF2＝（y﹣2）2+4，分两种情况：①当AP＝AF时；②当AP＝PF时；列出方程求解即可．
【规范解答】解：（1）将点C（0，1）代入y＝x+m，
∴m＝1，
∴y＝x+1，
将点B（4，0）代入y＝﹣x+n，
∴﹣4+n＝0，
解得n＝4，
∴y＝﹣x+4，
联立方程组，
解得，
∴P（2，2）；
（2）设E（t，0），
令y＝0，则x+1＝0，
解得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AP2＝20，AE2＝（t+2）2，PE2＝（t﹣2）2+4，
①当AP为斜边时，20＝（t﹣2）2+4+（t+2）2，
解得t＝2或t＝﹣2（舍），
∴E（2，0）；
②当AE为斜边时，（t+2）2＝20+（t﹣2）2+4，
解得t＝3，
∴E（3，0）；
③当PE为斜边时，（t﹣2）2+4＝20+（t+2）2，
解得t＝﹣2（舍）；
综上所述：E点坐标为（2，0）或（3，0）；
（3）设F（0，y），
∴AP2＝20，AF2＝4+y2，PF2＝（y﹣2）2+4，
①当AP＝AF，20＝4+y2，
解得y＝﹣4或y＝4，
∴F（0，﹣4）或（0，4）；
②当AP＝PF，
20＝（y﹣2）2+4，
解得y＝6或y＝﹣2，
∴F（0，6）或（0，﹣2）；
综上所述：F点坐标为（0，﹣4）或（0，4）或（0，6）或（0，﹣2）．
【考察注意点】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
18．（2021秋•市中区校级期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b过点A（10，0）和B（0，5），l1与l2互相垂直，且相交于点C（2，a），D为x轴上一动点．
（1）求直线l1与直线l2的函数表达式；
（2）如图2，当D在x轴负半轴上运动时，若△BCD的面积为8，求D点的坐标；
（3）如图3，过D作x轴垂线，与l1交于点M．在x轴正半轴上是否存在点D使△BOM为等腰三角形？若存在，请直接写出D点坐标．
【易错思路引导】（1）根据待定系数法求直线l1的函数表达式，根据点C（2，a）在l2上，求出点C的坐标，根据待定系数法求直线l2的函数表达式即可；
（2）设D（m，0），根据S△BCD＝S△ABD﹣S△ACD＝8，即可求出答案；
（3）设出点D的坐标（n，0），由直线l1：y＝﹣x+5可得点M的坐标（n，﹣n+5），则OB2＝52＝25，OM2＝（﹣n+5）2+n2，BM2＝（5+n﹣5）2+n2＝n2，分三种情况：①当OB＝OM时；②当OB＝BM时；③当OM＝BM时．根据等腰三角形的性质建立方程求解即可得出结论．
【规范解答】解：（1）∵直线l1：y＝kx+b与过点A（10，0）和B（0，5），
∴，解得，
∴直线l1的函数表达式为：y＝﹣x+5，
∵l1与l2互相垂直，且相交于点C（2，a），
∴a＝﹣×2+5＝4，
∴C（2，4），
设直线l2的函数表达式为y＝k′x，
∴2k′＝4，解得k′＝2，
∴直线l2的函数表达式为：y＝2x；
（2）设D（m，0），
∵A（10，0）、B（0，5），C（2，4），
∴S△BCD＝S△ABD﹣S△ACD＝×5（10﹣m）﹣×4（10﹣m）＝8，
∴m＝﹣6，
∴D点的坐标为（﹣6，0）；
（3）在x轴正半轴上存在点D使△BOM为等腰三角形，
设点D的坐标（n，0），
∵DM⊥x轴，直线l1：y＝﹣x+5，
∴点M的坐标（n，﹣n+5），
∴OB2＝52＝25，
OM2＝（﹣n+5）2+n2，
BM2＝（5+n﹣5）2+n2＝n2，
①当OB＝OM时，OB2＝OM2，
∴25＝（﹣n+5）2+n2，解得n＝4或0（舍去），
∴D点坐标为（4，0）；
②当OB＝BM时，OB2＝BM2，
∴25＝n2，解得n＝2或﹣2（舍去），
∴D点坐标为（2，0）；
③当OM＝BM时，OM2＝BM2，
∴（﹣n+5）2+n2＝n2，解得n＝5或﹣5（舍去），
∴D点坐标为（﹣5，0）．
综上所述，存在，D点坐标为（4，0）或（2，0）或（5，0）．
【考察注意点】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，等腰三角形的性质，利用数形结合，分类讨论思想是解题的关键．
19．（2021秋•静安区期末）如图，已知函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y＝kx+b的图象经过点B（0，﹣1），并且与x轴、y＝x+1的图象分别交于点C、D；
（1）若点D的横坐标为1，求四边形AOCD的面积（即图中阴影部分的面积）；
（2）若一次函数y＝kx+b的图象与函数y＝x+1的图象的交点D始终在第一象限，则系数k的取值范围是（请直接写出结果）；
（3）在第（1）小题的条件下，在y轴上存在这样的点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形；请直接写出点P坐标．
【易错思路引导】（1）先求出点D的坐标，再求出BD的解析式，然后根据S四边形AOCD＝S△AOD+S△COD即可求解；
（2）联立两直线解析式，消去y表示出x，由交点D在第一象限，求出k的范围即可；
（3）分三种情况讨论：①当DP＝DB时，②当BP＝DB时，③当PB＝PD时，根据等腰三角形的性质即可求解．
【规范解答】解：（1）∵点D的横坐标为1，点D在y＝x+1的图象上，
∴D（1，2），
∵点B（0，﹣1），
∴直线BD的解析式为y＝3x﹣1，
令y＝0，得x＝，
∴C（，0），
∵函数y＝x+1，令x＝0，得y＝1，
∴A（0，1），
∴S四边形AOCD＝S△AOD+S△COD＝×1×1+××2＝；
（2）将B（0，﹣1）代入y＝kx+b得：b＝﹣1，即直线解析式为y＝kx﹣1，
联立函数y＝x+1得：，
消去y得：x+1＝kx﹣1，
解得：x＝，y＝1﹣＝﹣，
由D坐标在第一象限，得到＞0且﹣＞0，
解得：k＞1．
∴系数k的取值范围是k＞1；
（3）①当DP＝DB时，设P（0，y），
∵B（0，﹣1），D（1，2），
∴DP2＝12+（y﹣2）2＝DB2＝12+（2+1）2，
∴y＝5或﹣1（舍去），
∴P（0，5）；
②当BP＝DB时，DB＝＝，
∴P（0，﹣1﹣）或P（0，﹣1）；
③当PB＝PD时，则（y+1）2＝1+（2﹣y）2，解得y＝，
∴P（0，）；
综上所述．满足条件的点P的坐标为（0，5）或（0，﹣1﹣）或P（0，﹣1）或（0，）．
【考察注意点】此题属于一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点坐标，等腰三角形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握一次函数的性质以及分类讨论思想的运用是解本题的关键．
20．（2021秋•梅列区校级月考）如图，直线y＝﹣3x+6交x轴和y轴于点A和点B，点C（0，﹣3）在y轴上，连接AC．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）若点P是直线AB上一点，若△BCP的面积为18，求点P的坐标；
（3）过点B作直线BE交x轴于点E（E点在点A右侧），当∠ABE＝45°时，直接写出直线BE的函数表达式．
【易错思路引导】（1）根据直线与坐标轴的交点解答即可；
（2）由S△BPC＝BC•|a|＝（6+2）•|a|＝18，即可求解；
（3）根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质解答即可．
【规范解答】解：（1）∵y＝﹣3x+6交x轴和y轴于点A和点B，
∴当x＝0时，则y＝6；
当y＝﹣3x+6＝0时，解得x＝2，
∴A（2，0），B（0，6）；
（2）设点P（a，﹣3a+6），如图1，连接PC，
则S△BCP＝BC•|a|＝（6+3）•|a|＝18，解得a＝±4，
故点P（4，﹣6）或（﹣4，18）；
（3）当∠ABE＝45°，如图，过点A作AD⊥AB交BE于点D，过点D作DH⊥x轴于点H，
∵∠ABE＝45°，
∴△BAD为等腰直角三角形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAO+∠DAH＝90°，∠DAH+∠ADH＝90°，
∴∠BAO＝∠ADH，
在△AOB与△DHA中，
，
∴△AOB≌△DHA （AAS），
∵OA＝2，OB＝6，
∴OH＝OA+AH＝2+6＝8，DH＝2，
∴D（8，2），
∵B（0，6），
设直线BE的表达式为y＝kx+b，
则，解得，
故直线BE的表达式为y＝﹣x+6．
【考察注意点】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，三角形的面积公式，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，利用全等三角形的判定和性质解答是解题关键
专题16 一次函数综合题（综合题）
易错题专训
一．选择题
1．（2020秋•福田区校级期中）已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：
①方程组的解为；
②△BCD为直角三角形；
③S△ABD＝6；
④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
其中正确的说法是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【易错思路引导】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；根据两直线的系数的积为﹣1，可知两直线互相垂直；求得BD和AO的长，根据三角形面积计算公式，即可得到△ABD的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
【规范解答】解：①∵直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），
∴方程组的解为，
故①正确，符合题意；
②把B（0，4），C（﹣，）代入直线l1：y＝kx+b，可得，解得，
∴直线l1：y＝2x+4，
又∵直线l2：y＝﹣x+m，
∴直线l1与直线l2互相垂直，即∠BCD＝90°，
∴△BCD为直角三角形，
故②正确，符合题意；
③把C（﹣，）代入直线l2：y＝﹣x+m，可得m＝1，
y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1，
∴D（0，1），
∴BD＝4﹣1＝3，
在直线l1：y＝2x+4中，令y＝0，则x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AO＝2，
∴S△ABD＝×3×2＝3，
故③错误，不符合题意；
④点A关于y轴对称的点为A'（2，0），
由点C、A′的坐标得，直线CA′的表达式为：y＝﹣x+1，
令x＝0，则y＝1，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1），
故④正确，符合题意；
故选：B．
【考察注意点】本题为一次函数综合题，主要考查了一次函数图象与性质，三角形面积以及最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
2．（2020•陆川县模拟）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（ ）
A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x
【易错思路引导】设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，过A作AC⊥OC于C，易知OB＝3，利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标即可得到该直线l的解析式．
【规范解答】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，过A作AC⊥OC于C，
∵正方形的边长为1，
∴OB＝3，
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴两边分别是4，
∴三角形ABO面积是5，
∴OB•AB＝5，
∴AB＝，
∴OC＝，
由此可知直线l经过（，3），
设直线方程为y＝kx，
则3＝k，
k＝，
∴直线l解析式为y＝x，
故选：C．
【考察注意点】此题考查了面积相等问题、用待定系数法求一次函数的解析式以及正方形的性质，此题难度较大，解题的关键是作AB⊥y轴，作AC⊥x轴，根据题意即得到：直角三角形ABO，利用三角形的面积公式求出AB的长．
3．（2016秋•萧山区校级期末）如图，直线y＝x+2与y轴相交于点A0，过点A0作x轴的平行线交直线y＝0.5x+1于点B1，过点B1作y轴的平行线交直线y＝x+2于点A1，再过点A1作x轴的平行线交直线y＝0.5x+1于点B2，过点B2作y轴的平行线交直线y＝x+2于点A2，…，依此类推，得到直线y＝x+2上的点A1，A2，A3，…，与直线y＝0.5x+1上的点B1，B2，B3，…，则A7B8的长为（ ）
A．64 B．128 C．256 D．512
【易错思路引导】对于直线y＝x+2，令x＝0求出y的值，确定出A0纵坐标，即为B1的纵坐标，代入直线y＝0.5x+1中求出B1的横坐标，即可求出A0B1的长，由B1与A1的横坐标相等得出A1的横坐标，代入y＝x+2求出纵坐标，即为B2的纵坐标，代入直线y＝0.5x+1中求出B2的横坐标，即可求出A1B2的长，同理求出A2B3，A3B4，…，归纳总结即可得到A7B8的长．
【规范解答】解：对于直线y＝x+2，令x＝0，求出y＝2，即A0（0，2），
∵A0B1∥x轴，∴B1的纵坐标为2，
将y＝2代入y＝0.5x+1中得：x＝2，即B1（2，2），
∴A0B1＝2＝21，
∵A1B1∥y轴，∴A1的横坐标为2，
将x＝2代入直线y＝x+2中得：y＝4，即A1（2，4），
∴A1与B2的纵坐标为4，
将y＝4代入y＝0.5x+1中得：x＝6，即B2（6，4），
∴A1B2＝4＝22，
同理A2B3＝8＝23，…，An﹣1Bn＝2n，
则A7B8的长为28＝256．
故选：C．
【考察注意点】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数的性质，以及坐标与图形性质，弄清题中的规律是解本题的关键．
4．（2021春•莆田期末）如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为（ ）
A．（，） B．（3，3） C．（，） D．（，）
【易错思路引导】过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，求出∠MCP＝∠DPN，证△MCP≌△NPD，推出DN＝PM，PN＝CM，设AD＝a，求出DN＝2a﹣1，得出2a﹣1＝1，求出a＝1，得出D的坐标，在Rt△DNP中，由勾股定理求出PC＝PD＝，在Rt△MCP中，由勾股定理求出CM＝2，得出C的坐标，设直线CD的解析式是y＝kx+3，把D（3，2）代入求出直线CD的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可．
【规范解答】解：过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，
∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，
∴∠MCP+∠CPM＝90°，∠MPC+∠DPN＝90°，
∴∠MCP＝∠DPN，
∵P（1，1），
∴OM＝BN＝1，PM＝1，
在△MCP和△NPD中，
∴△MCP≌△NPD（AAS），
∴DN＝PM，PN＝CM，
∵BD＝2AD，
∴设AD＝a，BD＝2a，
∵P（1，1），
∴DN＝2a﹣1，
则2a﹣1＝1，
a＝1，即BD＝2．
∵直线y＝x，
∴AB＝OB＝3，
在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC＝PD＝＝，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM＝＝2，
则C的坐标是（0，3），
设直线CD的解析式是y＝kx+3，
把D（3，2）代入得：k＝﹣，
即直线CD的解析式是y＝﹣x+3，
即方程组得：，
即Q的坐标是（，）．
故选：D．
【考察注意点】本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．
5．（2020春•翠屏区期末）如图，直线y＝﹣x+6分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论：
①AB＝10；
②直线BC的解析式为y＝﹣2x+6；
③点D（，）；
④若线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的坐标是（，）．
正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【易错思路引导】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，可判断①；由折叠的性质可得OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°，由勾股定理可求OC的长，可得点C坐标，利用待定系数法可求BC解析式，可判断②；由面积公式可求DH的长，代入解析式可求点D坐标，可判断③；由菱形的性质可得PD∥OC，可得点P纵坐标为，可判断④，即可求解．
【规范解答】解：∵直线y＝﹣x+6分别与x、y轴交于点A、B，
∴点A（8，0），点B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，
∴AB＝＝＝10，故①正确；
∵线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处，
∴OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°，
∴AD＝AB﹣BD＝4，
∵AC2＝AD2+CD2，
∴（8﹣OC）2＝16+OC2，
∴OC＝3，
∴点C（3，0），
设直线BC解析式为：y＝kx+6，
∴0＝3k+6，
∴k＝﹣2，
∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+6，故②正确；
如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵CD＝OC＝3，
∴CA＝5，
∵S△ACD＝AC×DH＝CD×AD，
∴DH＝＝，
∴当y＝时，＝﹣x+6，
∴x＝，
∴点D（，），故③正确；
∵线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，且OC＝CD，
∴PD∥OC，
∴点P纵坐标为，故④错误，
故选：B．
【考察注意点】本题是一次函数综合题，考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，面积法，菱形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
6．（2018秋•达川区期末）已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：①方程组的解为；②△BCD为直角三角形；③S△ABD＝3；④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．其中正确的说法个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【易错思路引导】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；根据两直线的系数的积为﹣1，可知两直线互相垂直；求得BD和AO的长，根据三角形面积计算公式，即可得到△ABD的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
【规范解答】解：∵直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），
∴方程组的解为，
故①正确；
把B（0，4），C（﹣，）代入直线l1：y＝kx+b，可得
，解得，
∴直线l1：y＝2x+4，
又∵直线l2：y＝﹣x+m，
∴直线l1与直线l2互相垂直，即∠BCD＝90°，
∴△BCD为直角三角形，
故②正确；
把C（﹣，）代入直线l2：y＝﹣x+m，可得m＝1，
y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1，
∴D（0，1），
∴BD＝4﹣1＝3，
在直线l1：y＝2x+4中，令y＝0，则x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AO＝2，
∴S△ABD＝×3×2＝3，
故③正确；
点A关于y轴对称的点为A'（2，0），
设过点C，A'的直线为y＝ax+n，则
，解得，
∴y＝﹣x+1，
令x＝0，则y＝1，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1），
故④正确．
故选：D．
【考察注意点】本题主要考查了一次函数图象与性质，三角形面积以及最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
二．填空题
7．（2022秋•庐阳区校级月考）如图长方形ABCD的边长AB＝5，BC＝1．刚开始时AB与y轴重合．将长方形ABCD沿x轴以每秒1个单位长度向右平移，在平移过程中，边AB与直线y＝﹣x+5交于点M，与直线y＝x交于点N，边CD与直线y＝﹣x+5交于点P，与直线y＝x交于点Q，设运动时间为t（秒）．
（1）当0≤t≤4时，用含t的表达式表示MN的长 ﹣t+5 ；
（2）当|MN﹣PQ|为定值时，时间t的取值范围为 0≤t≤3或t≥4 ．
【易错思路引导】（1）判断出MN在两直线交K的左侧，求出点M，N的坐标，可得结论；
（2）证明当线段PQ，MN在两直线的交点K的同侧时，|MN﹣PQ|为定值，求出直线PQ，直线MN经过两直线交点K时，点M与A重合时t的值，可得结论．
【规范解答】解：（1）由，解得，
∴两直线的交点坐标为K（4，2），
∴当0≤t≤4时，线段MN在交点K的左侧，
∵M（t，﹣t+5），N（t，t），
∴MN＝﹣t+5﹣t＝﹣t+5，
故答案为：﹣t+5；
（2）如图，过点P作PJ∥OQ交MN于点J．
∵PJ∥NQ，PQ∥JN，
∴四边形PJNQ是平行四边形，
∴PQ＝JN，
∴MN﹣PQ＝MN﹣JN＝MJ＝定值，
观察图象可知，当线段PQ，MN在两直线的交点K的同侧时，|MN﹣PQ|为定值，
当直线PQ经过点K时，t+1＝4，
∴t＝3，
当直线MN经过点K时，t＝4，
继续运动当点M与A重合时，t＝，
观察图形可知，满足条件的t的值为0≤t≤3或4≤t≤．
故答案为：0≤t≤3或t≥4．
【考察注意点】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
8．（2022•苏州一模）如图，正方形ABCD的边长为2，A为坐标原点，AB和AD分别在x轴、y轴上，点E是BC边的中点，过点A的直线y＝kx交线段DC于点F，连接EF，若AF平分∠DFE，则k的值为 1或3 ．
【易错思路引导】分两种情况：①当点F在DC之间时，作出辅助线，求出点F的坐标即可求出k的值；②当点F与点C重合时求出点F的坐标即可求出k的值．
【规范解答】解：①如图，作AG⊥EF交EF于点G，连接AE，
∵AF平分∠DFE，
∴DA＝AG＝2，
在RT△ADF和RT△AGF中，
，
∴RT△ADF≌RT△AGF（HL），
∴DF＝FG，
∵点E是BC边的中点，
∴BE＝CE＝1，
∴AE＝＝，
∴GE＝＝1，
∴在RT△FCE中，EF2＝FC2+CE2，即（DF+1）2＝（2﹣DF）2+1，解得DF＝，
∴点F（，2），
把点F的坐标代入y＝kx得：2＝k，解得k＝3；
②当点F与点C重合时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AF平分∠DFE，
∴F（2，2），
把点F的坐标代入y＝kx得：2＝2k，解得k＝1．
故答案为：1或3．
【考察注意点】本题主要考查了一次函数综合题，涉及角平分线的性质，三角形全等的判定及性质，正方形的性质理，及勾股定解题的关键是分两种情况求出k．
9．（2021•新吴区模拟）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（0，8），点B坐标为（4，0），点E是直线y＝x+4上的一个动点，若∠EAB＝∠ABO，则点E的坐标为 （4，8）或（﹣12，﹣8） ．
【易错思路引导】分两种情况：当点E在y轴右侧时，由条件可判定AE∥BO，容易求得E点坐标；当点E在y轴左侧时，可设E点坐标为（a，a+4），过AE作直线交x轴于点C，可表示出直线AE的解析式，可表示出C点坐标，再根据勾股定理可表示出AC的长，由条件可得到AC＝BC，可得到关于a的方程，可求得E点坐标．
【规范解答】解：当点E在y轴右侧时，如图1，连接AE，
∵∠EAB＝∠ABO，
∴AE∥OB，
∵A（0，8），
∴E点纵坐标为8，
又E点在直线y＝x+4上，把y＝8代入可求得x＝4，
∴E点坐标为（4，8）；
当点E在y轴左侧时，过A、E作直线交x轴于点C，如图2，
设E点坐标为（a，a+4），设直线AE的解析式为y＝kx+b，
把A、E坐标代入可得，解得，
∴直线AE的解析式为y＝x+8，令y＝0可得x+8＝0，解得x＝，
∴C点坐标为（，0），
∴AC2＝OC2+OA2，即AC2＝（）2+82，
∵B（4，0），
∴BC2＝（4﹣）2＝（）2﹣+16，
∵∠EAB＝∠ABO，
∴AC＝BC，
∴AC2＝BC2，即（）2+82＝（）2﹣+16，
解得a＝﹣12，则a+4＝﹣8，
∴E点坐标为（﹣12，﹣8）．
方法二：设C（m，0），
∵∠CAB＝∠CBA，
∴AC＝BC，
∴（4﹣m）2＝m2+82，
解得m＝﹣6，
∴直线AE的解析式为y＝x+8，
由，解得．
∴E（﹣12，﹣8）．
综上可知，E点坐标为（4，8）或（﹣12，﹣8）．
故答案为：（4，8）或（﹣12，﹣8）．
【考察注意点】本题主要考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、等腰三角形的性质、分类讨论思想等知识点．确定出E点的位置，由条件得到AE∥OB或AC＝BC是解题的关键．本题难度不大，注意考虑全面即可．
10．（2020春•资阳期末）如图，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，AC所在直线的函数表达式是y＝2x+4，若保持AC的长不变，当点A在y轴的正半轴滑动，点C随之在x轴的负半轴上滑动，则在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是 ．
【易错思路引导】根据自变量与函数值得对应关系，可得A，C点坐标，根据勾股定理，可得AC的长度；根据全等三角形的判定与性质，可得CD，BD的长，可得B点坐标；首先取AC的中点E，连接BE，OE，OB，可求得OE与BE的长，然后由三角形三边关系，求得点B到原点的最大距离．
【规范解答】解：当x＝0时，y＝2x+4＝4，
∴A（0，4）；
当y＝2x+4＝0时，x＝﹣2，
∴C（﹣2，0）．
∴OA＝4，OC＝2，
∴AC＝＝2．
如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D．
∵∠ACO+∠ACB+∠BCD＝180°，∠ACO+∠CAO＝90°，∠ACB＝90°，
∴∠CAO＝∠BCD．
在△AOC和△CDB中，，
∴△AOC≌△CDB（AAS），
∴CD＝AO＝4，DB＝OC＝2，
OD＝OC+CD＝6，
∴点B的坐标为（﹣6，2）．
如图所示．取AC的中点E，连接BE，OE，OB，
∵∠AOC＝90°，AC＝2，
∴OE＝CE＝AC＝，
∵BC⊥AC，BC＝2，
∴BE＝＝5，
若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+BE＝5+．
若点O，E，B在一条直线上，则OB＝OE+BE＝5+，
∴当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为5+，
故答案为：5+．
【考察注意点】此题考查了一次函数综合题，利用自变量与函数值的对应关系是求AC长度的关键，又利用了勾股定理；求点B的坐标的关键是利用全等三角形的判定与性质得出CD，BD的长；求点B与原点O的最大距离的关键是直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形三边关系．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
11．（2019秋•辽阳期末）如图，直线y＝﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，与直线y＝x交于点C，线段OA上的点Q以每秒1个长度单位的速度从点O出发向点A做匀速运动，运动时间为t秒，连接CQ．
（1）求出点C的坐标 （2，2） ；
（2）若△OQC是等腰直角三角形，则t的值为 2或4 ；
（3）若CQ平分△OAC的面积，求直线CQ对应的函数关系式 y＝﹣2x+6 ．
【易错思路引导】（1）解两函数解析式组成的方程组即可；
（2）分为两种情况，画出图形，根据等腰三角形的性质求出即可；
（3）求出Q的坐标，设出解析式，把Q、C的坐标代入求出即可．
【规范解答】解：（1）∵由，得，
∴C（2，2）；
（2）如图1，当∠CQO＝90°，CQ＝OQ，
∵C（2，2），
∴OQ＝CQ＝2，
∴t＝2，
②如图2，当∠OCQ＝90°，OC＝CQ，
过C作CM⊥OA于M，
∵C（2，2），
∴CM＝OM＝2，
∴QM＝OM＝2，
∴t＝2+2＝4，
即t的值为2或4，
故答案为：2或4；
（3）令﹣x+3＝0，得x＝6，由题意：Q（3，0），
设直线CQ的解析式是y＝kx+b，
把C（2，2），Q（3，0）代入得：，
解得：k＝﹣2，b＝6，
∴直线CQ对应的函数关系式为：y＝﹣2x+6．
故答案为：（1）（2，2）；（3）y＝﹣2x+6．
【考察注意点】本题考查了用待定系数法求出一次函数解析式，三角形的面积，等腰直角三角形等知识点的应用，题目是一道比较典型的题目，综合性比较强．
12．（2020•东莞市校级一模）平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y＝x+和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果A1（1，1），A2（4，2），则点An的纵坐标是 2n﹣1 ．
【易错思路引导】利用待定系数法可得A1、A2、A3的坐标，进而得出各点的坐标的规律．
【规范解答】解：设A1（m，m），则有m＝m+，解得m＝1，
∴A1（1，1），
设A2（2+n，n），则n＝（n+2）+，
解得n＝2，
∴A2（4，2），
设A3（6+a，a），则有a＝（6+a）+，
解得a＝4，
∴A3（10，4），
由此发现点An的纵坐标为2n﹣1，
故答案为2n﹣1．
【考察注意点】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
13．（2020春•济南期末）如图所示，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（12，5），直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分．那么b＝ 1 ．
【易错思路引导】根据矩形的性质，将矩形OABC分成面积相等的两部分的直线一定经过矩形的中心，再根据点B的坐标求出矩形的中心的坐标，然后代入直线解析式计算即可得解．
【规范解答】解：∵将矩形OABC分成面积相等的两部分，
∴直线经过矩形的中心，
∵B点坐标为B（12，5），
∴矩形中心的坐标为（6，），
∴×6+b＝，
解得b＝1．
故答案为：1．
【考察注意点】本题综合考查了一次函数与矩形，熟知过矩形中心的直线把矩形分成面积相等的两个部分是解题的关键，也是本题的难点．
14．（2019秋•下城区校级月考）如图，以矩形ABCD的相邻边建立直角坐标系，AB＝3，BC＝5，点E是边CD上一点，将△ADE沿着AE翻折，点D恰好落在BC边上，记为F．
（1）求折痕AE所在直线的函数解析式 y＝﹣x+3 ；
（2）若线段AF沿y轴正半轴向上平移m个单位，得到线段A'F'，连结OF'，若△OA'F'是等腰三角形，则m的值是 3或2或 ．
【易错思路引导】（1）根据四边形ABCD是矩形以及由折叠对称性得出AF＝AD＝5，EF＝DE，进而求出BF的长，即可得出E点的坐标，进而得出AE所在直线的解析式；
（2）分三种情况讨论：若A'O＝A'F'，OF'＝F'A'，A'O＝OF'，利用勾股定理求出即可．
【规范解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝CB＝5，AB＝DC＝3，∠D＝∠DCB＝∠ABC＝90°，
由折叠对称性：AF＝AD＝5，EF＝DE，
在Rt△ABF中，BF＝＝4，
∴CF＝1，
设EC＝x，则EF＝3﹣x，
在Rt△ECF中，12+x2＝（3﹣x）2，
解得：x＝，
∴E点坐标为：（5，），
∴设AE所在直线解析式为：y＝ax+b，
则，
解得：，
∴AE所在直线解析式为：y＝﹣x+3；
故答案为：y＝﹣x+3；
（2）分三种情况讨论：
若A'O＝A'F'＝OC＝5，
∴A'A＝A'O﹣AB＝2，
∴m＝2；
若OF'＝F'A'＝5，过点F'作F'H⊥AB于H，
∴F'H＝4，
∴A'H＝OH＝3，
∴A'O＝6，
∴A'A＝A'O﹣AB＝3，
∴m＝3，
若A'O＝OF'，
在Rt△OBF中，A'O2＝OF'2＝OH2+HF'2＝m2+16，
∴（m+3）2＝m2+16，
解得：m＝，
综上所述，若△OA'F'是等腰三角形，m的值为3或2或．
故答案为：3或2或．
【考察注意点】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想是解本题的关键．
三．解答题
15．（2022秋•定远县校级月考）如图，已知直线y＝kx+b经过点B（1，4），与x轴交于点A（5，0），与直线y＝2x﹣4交于点C（3，m）．
（1）求直线AB的函数表达式及m的值；
（2）根据函数图象，直接写出关于x的不等式组2＜kx+b＜4的解集： 1＜x＜3 ；
（3）现有一点P在直线AB上，过点P作PQ∥y轴交直线y＝2x﹣4于点Q，若点C到线段PQ的距离为1，求点P的坐标和点Q的坐标．
【易错思路引导】（1）通过待定系数法求出直线AB解析式，将点C坐标代入y＝2x﹣4求出m的值．
（2）根据点B，C坐标结合图象求解．
（3）由点C到线段PQ的距离为1，可得点P，Q的横坐标，通过分类讨论求解．
【规范解答】解：（1）将（1，4），（5，0）代入y＝kx+b得，
解得，
∴y＝﹣x+5．
将（3，m）代入y＝2x﹣4得m＝6﹣4＝2．
（2）∵点B坐标为（1，4），点C坐标为（3，2），
由图象得1＜x＜3时，2＜kx+b＜4，
故答案为：1＜x＜3．
（3）∵点C到线段PQ的距离为1，点C横坐标为3，
∴点P，Q横坐标为3﹣1＝2或3+1＝4，
将x＝2代入y＝﹣x+5得y＝﹣2+5＝3，
∴点P坐标为（2，3），
将x＝2代入y＝2x﹣4得y＝4﹣4＝0，
∴点Q坐标为（2，0），
将x＝4代入y＝﹣x+5得y＝﹣4+5＝1，
∴点P坐标为（4，1），
将x＝4代入y＝2x﹣4得y＝8﹣4＝4，
∴点Q坐标为（4，4），
综上所述，点P，Q坐标为（2，3），（2，0）或（4，1），（4，4）．
【考察注意点】本题考查一次函数的综合应用，解题关键是掌握一次函数与方程及不等式的关系．
16．（2022秋•湖滨区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线y＝﹣x+b过点C．
（1）求m和b的值；
（2）直线y＝﹣x+b与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动（点P不与点D，点A重合）．设点P的运动时间为t秒．
①若点P在线段DA上，且△ACP的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【易错思路引导】（1）将点C（2，m）代入y＝x+2，求出m的值，再将确定的点C代入y＝x+b中，即可求b的值；
（2）①由题意可知P点的坐标为（6﹣t，0），则AP＝8﹣t，再由S△ACP＝×（8﹣t）×4＝10，求出t的值即可；
②由①分别求出AC＝4，AP＝|8﹣t|，CP＝，再根据等腰三角形的边的关系分三种情况建立方程，求出t的值即可．
【规范解答】解：（1）将点C（2，m）代入y＝x+2，
∴m＝4，
∵直线y＝﹣x+b过点C，
∴﹣2+b＝4，
解得b＝6；
（2）①∵b＝6，
∴直线解析式为y＝﹣x+6，
∴D（6，0），
直线y＝x+2与x轴交点A为（﹣2，0），与y轴交点B（0，2），
由题意可知P点的坐标为（6﹣t，0），
∴AP＝6﹣t+2＝8﹣t，
∴S△ACP＝×（8﹣t）×4＝10，
解得t＝3；
②存在t的值，使△ACP为等腰三角形，理由如下：
∵A（﹣2，0），C（2，4），P（6﹣t，0），
∴AC＝4，AP＝|8﹣t|，CP＝，
当AC＝AP时，4＝|8﹣t|，
解得t＝8﹣4或t＝8+4；
当AC＝CP时，4＝，
解得t＝0（舍）或t＝8（舍）；
当CP＝AP时，|8﹣t|＝，
解得t＝4；
综上所述：t的值为8﹣4或8+4或4．
【考察注意点】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
17．（2021秋•历城区期末）如图，直线AC：y＝x+m交y轴于点C（0，1），直线BD：y＝﹣x+n交x轴于点B（4，0），两直线交于点P，解答下列问题：
（1）求m，n的值和点P的坐标；
（2）若E是x轴上的动点，当以A，P，E为顶点的三角形是直角三角形时，求点E的坐标；
（3）若F是y轴上的动点，当以A，P，F为顶点的三角形是以AP为腰的等腰三角形时，请直接写出满足条件的点F的坐标．
【易错思路引导】（1）用代入法求m、n的值，联立方程组，求P点坐标；
（2）设E（t，0），分别求出AP2＝20，AE2＝（t+2）2，PE2＝（t﹣2）2+4，分三种情况：①当AP为斜边时；②当AE为斜边时；③当PE为斜边时；结合勾股定理求解即可；
（3）设F（0，y），分别求出AP2＝20，AF2＝4+y2，PF2＝（y﹣2）2+4，分两种情况：①当AP＝AF时；②当AP＝PF时；列出方程求解即可．
【规范解答】解：（1）将点C（0，1）代入y＝x+m，
∴m＝1，
∴y＝x+1，
将点B（4，0）代入y＝﹣x+n，
∴﹣4+n＝0，
解得n＝4，
∴y＝﹣x+4，
联立方程组，
解得，
∴P（2，2）；
（2）设E（t，0），
令y＝0，则x+1＝0，
解得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AP2＝20，AE2＝（t+2）2，PE2＝（t﹣2）2+4，
①当AP为斜边时，20＝（t﹣2）2+4+（t+2）2，
解得t＝2或t＝﹣2（舍），
∴E（2，0）；
②当AE为斜边时，（t+2）2＝20+（t﹣2）2+4，
解得t＝3，
∴E（3，0）；
③当PE为斜边时，（t﹣2）2+4＝20+（t+2）2，
解得t＝﹣2（舍）；
综上所述：E点坐标为（2，0）或（3，0）；
（3）设F（0，y），
∴AP2＝20，AF2＝4+y2，PF2＝（y﹣2）2+4，
①当AP＝AF，20＝4+y2，
解得y＝﹣4或y＝4，
∴F（0，﹣4）或（0，4）；
②当AP＝PF，
20＝（y﹣2）2+4，
解得y＝6或y＝﹣2，
∴F（0，6）或（0，﹣2）；
综上所述：F点坐标为（0，﹣4）或（0，4）或（0，6）或（0，﹣2）．
【考察注意点】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
18．（2021秋•市中区校级期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b过点A（10，0）和B（0，5），l1与l2互相垂直，且相交于点C（2，a），D为x轴上一动点．
（1）求直线l1与直线l2的函数表达式；
（2）如图2，当D在x轴负半轴上运动时，若△BCD的面积为8，求D点的坐标；
（3）如图3，过D作x轴垂线，与l1交于点M．在x轴正半轴上是否存在点D使△BOM为等腰三角形？若存在，请直接写出D点坐标．
【易错思路引导】（1）根据待定系数法求直线l1的函数表达式，根据点C（2，a）在l2上，求出点C的坐标，根据待定系数法求直线l2的函数表达式即可；
（2）设D（m，0），根据S△BCD＝S△ABD﹣S△ACD＝8，即可求出答案；
（3）设出点D的坐标（n，0），由直线l1：y＝﹣x+5可得点M的坐标（n，﹣n+5），则OB2＝52＝25，OM2＝（﹣n+5）2+n2，BM2＝（5+n﹣5）2+n2＝n2，分三种情况：①当OB＝OM时；②当OB＝BM时；③当OM＝BM时．根据等腰三角形的性质建立方程求解即可得出结论．
【规范解答】解：（1）∵直线l1：y＝kx+b与过点A（10，0）和B（0，5），
∴，解得，
∴直线l1的函数表达式为：y＝﹣x+5，
∵l1与l2互相垂直，且相交于点C（2，a），
∴a＝﹣×2+5＝4，
∴C（2，4），
设直线l2的函数表达式为y＝k′x，
∴2k′＝4，解得k′＝2，
∴直线l2的函数表达式为：y＝2x；
（2）设D（m，0），
∵A（10，0）、B（0，5），C（2，4），
∴S△BCD＝S△ABD﹣S△ACD＝×5（10﹣m）﹣×4（10﹣m）＝8，
∴m＝﹣6，
∴D点的坐标为（﹣6，0）；
（3）在x轴正半轴上存在点D使△BOM为等腰三角形，
设点D的坐标（n，0），
∵DM⊥x轴，直线l1：y＝﹣x+5，
∴点M的坐标（n，﹣n+5），
∴OB2＝52＝25，
OM2＝（﹣n+5）2+n2，
BM2＝（5+n﹣5）2+n2＝n2，
①当OB＝OM时，OB2＝OM2，
∴25＝（﹣n+5）2+n2，解得n＝4或0（舍去），
∴D点坐标为（4，0）；
②当OB＝BM时，OB2＝BM2，
∴25＝n2，解得n＝2或﹣2（舍去），
∴D点坐标为（2，0）；
③当OM＝BM时，OM2＝BM2，
∴（﹣n+5）2+n2＝n2，解得n＝5或﹣5（舍去），
∴D点坐标为（﹣5，0）．
综上所述，存在，D点坐标为（4，0）或（2，0）或（5，0）．
【考察注意点】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，等腰三角形的性质，利用数形结合，分类讨论思想是解题的关键．
19．（2021秋•静安区期末）如图，已知函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y＝kx+b的图象经过点B（0，﹣1），并且与x轴、y＝x+1的图象分别交于点C、D；
（1）若点D的横坐标为1，求四边形AOCD的面积（即图中阴影部分的面积）；
（2）若一次函数y＝kx+b的图象与函数y＝x+1的图象的交点D始终在第一象限，则系数k的取值范围是（请直接写出结果）；
（3）在第（1）小题的条件下，在y轴上存在这样的点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形；请直接写出点P坐标．
【易错思路引导】（1）先求出点D的坐标，再求出BD的解析式，然后根据S四边形AOCD＝S△AOD+S△COD即可求解；
（2）联立两直线解析式，消去y表示出x，由交点D在第一象限，求出k的范围即可；
（3）分三种情况讨论：①当DP＝DB时，②当BP＝DB时，③当PB＝PD时，根据等腰三角形的性质即可求解．
【规范解答】解：（1）∵点D的横坐标为1，点D在y＝x+1的图象上，
∴D（1，2），
∵点B（0，﹣1），
∴直线BD的解析式为y＝3x﹣1，
令y＝0，得x＝，
∴C（，0），
∵函数y＝x+1，令x＝0，得y＝1，
∴A（0，1），
∴S四边形AOCD＝S△AOD+S△COD＝×1×1+××2＝；
（2）将B（0，﹣1）代入y＝kx+b得：b＝﹣1，即直线解析式为y＝kx﹣1，
联立函数y＝x+1得：，
消去y得：x+1＝kx﹣1，
解得：x＝，y＝1﹣＝﹣，
由D坐标在第一象限，得到＞0且﹣＞0，
解得：k＞1．
∴系数k的取值范围是k＞1；
（3）①当DP＝DB时，设P（0，y），
∵B（0，﹣1），D（1，2），
∴DP2＝12+（y﹣2）2＝DB2＝12+（2+1）2，
∴y＝5或﹣1（舍去），
∴P（0，5）；
②当BP＝DB时，DB＝＝，
∴P（0，﹣1﹣）或P（0，﹣1）；
③当PB＝PD时，则（y+1）2＝1+（2﹣y）2，解得y＝，
∴P（0，）；
综上所述．满足条件的点P的坐标为（0，5）或（0，﹣1﹣）或P（0，﹣1）或（0，）．
【考察注意点】此题属于一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点坐标，等腰三角形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握一次函数的性质以及分类讨论思想的运用是解本题的关键．
20．（2021秋•梅列区校级月考）如图，直线y＝﹣3x+6交x轴和y轴于点A和点B，点C（0，﹣3）在y轴上，连接AC．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）若点P是直线AB上一点，若△BCP的面积为18，求点P的坐标；
（3）过点B作直线BE交x轴于点E（E点在点A右侧），当∠ABE＝45°时，直接写出直线BE的函数表达式．
【易错思路引导】（1）根据直线与坐标轴的交点解答即可；
（2）由S△BPC＝BC•|a|＝（6+2）•|a|＝18，即可求解；
（3）根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质解答即可．
【规范解答】解：（1）∵y＝﹣3x+6交x轴和y轴于点A和点B，
∴当x＝0时，则y＝6；
当y＝﹣3x+6＝0时，解得x＝2，
∴A（2，0），B（0，6）；
（2）设点P（a，﹣3a+6），如图1，连接PC，
则S△BCP＝BC•|a|＝（6+3）•|a|＝18，解得a＝±4，
故点P（4，﹣6）或（﹣4，18）；
（3）当∠ABE＝45°，如图，过点A作AD⊥AB交BE于点D，过点D作DH⊥x轴于点H，
∵∠ABE＝45°，
∴△BAD为等腰直角三角形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAO+∠DAH＝90°，∠DAH+∠ADH＝90°，
∴∠BAO＝∠ADH，
在△AOB与△DHA中，
，
∴△AOB≌△DHA （AAS），
∵OA＝2，OB＝6，
∴OH＝OA+AH＝2+6＝8，DH＝2，
∴D（8，2），
∵B（0，6），
设直线BE的表达式为y＝kx+b，
则，解得，
故直线BE的表达式为y＝﹣x+6．
【考察注意点】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，三角形的面积公式，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，利用全等三角形的判定和性质解答是解题关键
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