2022-2023学年度北京市平谷区中考一模数学试题+

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北京市平谷区2023年学业水平考试统一练习（一）
数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 下面几何体中，是圆柱为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆柱体的特征判断即可．
【详解】解：A、是圆柱，故此选项符合题意；
B、是圆锥，故此选项不符合题意；
C、是三棱锥，故此选项不符合题意；
D、是球体，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了认识立体图形，熟练掌握每个几何体的特征是解题的关键．
2. 为了确保我国粮食种植的稳定性，国家提出了“严防死守18亿亩耕地的红线目标”，经过了多年的努力和坚守，我国耕地面积止住了下跌趋势，而且还实现了增长．到2020年，全国耕地保有量回升至18.65亿亩以上，1865000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法，进行表示即可．
【详解】解：，
故选C．
【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法：，n为整数，是解题的关键．
3. 把一根细线固定在半圆形盘角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，如图所示，细线与边重合，则∠A的度数为（ ）

A. 30° B. 40° C. 50° D. 75°
【答案】B
【解析】
【分析】先根据量角器得到，再根据直角三角形两锐角互余得到．
【详解】解：由量角器得，
∵，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查了“直角三角形两锐角互余”，根据量角器得到，熟知直角三角形性质是解题关键．
4. 实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b满足，则b的值可以是（ ）

A. 1 B. 0 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据数轴的定义得出a的取值范围，从而可得出b的取值范围，由此即可得．
【详解】解：由数轴的得：，
，
，
又，
到原点的距离一定大于1，
，

，

观察四个选项，只有选项D符合，
故选：D．
【点睛】本题考查了数轴，涉及相反数，实数大小比较等知识，数形结合是解题关键．
5. 不透明的袋子中有三个小球．上面分别写着数学“1”“2”“3”，除数字外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，不放回，再从中随机摸出一个小球．记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用树状图列举出所有等可能的情况，确定两次记录的数字之和为3的次数，根据概率公式计算得出答案．
【详解】解：画树状图如下：

共有6种等可能的情况，其中两次记录的数字之和为3的有2种，
∴两次记录的数字之和为3的概率为，
故选B．
【点睛】本题主要考查树状图法求事件的概率，概率的计算公式，根据题意正确列举出事件发生的所有可能的情况是解题的关键．
6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数解．则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数解得到，即可得到．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数解，
∴，
∴．
故选：D
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，当时，一元二次方程有两个相等的实数根，当时，一元二次方程无实数根，反之亦然．熟知一元二次方程根的判别式的符号与根的关系是解题关键．
7. 瓷器上的纹饰是中国古代传统文化的重要载体之一，如图所示的图形即为瓷器上的纹饰，该图形即为中心对称图形，又为轴对称图形，该图形对称轴的条数为（ ）

A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的概念确定对称轴进行判断即可．
【详解】解：如图所示：由4条对称轴，
故选：C．

【点睛】本题考查轴对称图形及中心对称图形的概念，根据图形两部分折叠后重合确定对称轴是解题的关键．
8. 摄氏温度（）与华氏温度（）是表示温度的两种方法，它们的关系如下：
摄氏温度（）
0
10
20
华氏温度（）
32
50
68
若设摄氏温度（）为x，华氏温度（）为y，y与x之间满足如下我们学习过的一种函数关系，则y与x满足的函数关系为（ ）
A. 正比例函数 B. 一次函数 C. 反比例函数 D. 二次函数
【答案】B
【解析】
【分析】根据表格信息，求出函数解析式即可．
【详解】解；由表格数据可得：，，
∴，
∴，
∴摄氏温度（）与华氏温度（）满足的函数关系是一次函数，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的应用，根据表格中数据求出函数解析式是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式在实数范围内有意义得到，即可得到．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，若分式在实数范围内有意义，则分式的分母不等于0，熟知分式有意义的条件是解题关键．
10. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：

，
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解，熟记完全平方公式，熟练掌握提公因式法和公式法是解答的关键．
11. 方程的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】去分母后将分式方程转化为一元一次方程，然后计算出结果．
【详解】
两边同乘得，
化简得，
解得，
经检验，当时，，所以是原分式方程的解，
故答案为：．
【点睛】解分式方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验，注意一定要进行检验．
12. 写出一个比3大且比4小的无理数：_____．
【答案】答案不是唯一，
【解析】
【分析】利用估算思想，确定无理数的被开方数范围是大于9小于16，从中确定一个整数，用算术平方根的形式表示出来即可．
【详解】设无理数的被开方数为x，
∵无理数比3大且比4小，
∴9＜x＜16，
∴其中的一个无理数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数的估算思想，正确理解估算思想的意义是解题的关键．
13. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点和，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】由点在反比例函数图象上，代入后求出的值，再结合点在反比例函数图象上，由此得到关于的一元一次方程，即可求出结果．
【详解】反比例函数的图象过点，
，
在反比例函数的图象上，
，
解得，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出的值，得到关于点坐标的方程即可求出结果，本题较为基础．
14. 为了提高大家的环境保护意识，某小区在假期开展了废旧电池回收的志愿者活动，该社区的10名中学生参与了该项活动，回收的旧电池数盘如下表：
电池数量（节）
2
5
6
8
10
人数
1
4
2
2
1
根据以上数据，这10名中学生收集废旧电池的平均数为______．
【答案】6
【解析】
【分析】要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可．
【详解】解：，
10名中学生回收废电池的平均数是6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是平均数，熟练掌握平均数的算法是解题的关键．
15. 如图，在中，，，平分，若，则______．

【答案】2
【解析】
【分析】根据题意可得，再根据角平分线的定义得出，进而得出，即可得出结论．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了含的直角三角形，角所对的边是斜边的一半，以及角平分线的定义，解题的关键是掌握同高的三角形，面积比等于底的比．
16. 某货运公司临时接到一个任务，从工厂同时运送A、B两种货物各20箱到展馆，货运公司调派甲货车运送A种货物，乙货车运送B种货物，A种货物每箱80千克，B种货物每箱70千克，因为两种货物包装箱完全一样，装运工人一时疏忽两车虽然所装货物数量正确，但部分货物却装混了．运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重160千克，则甲、乙两车各有______箱货物装错，到达展馆，为了尽快把货物区分开，乙车司机借来了一台最多可以称300千克的秤精选最优称重方案，根据被错装货物出现的所有可能情况，最多需要称______次就能把乙车上装错的货物区分出来．
【答案】 ①. 2 ②. 8
【解析】
【分析】设甲、乙两车各有x箱货物装错，根据甲车比乙车的货物重160千克，可得，可得，将乙车上的货物平均分为5堆，每堆4箱，将5堆货物最多称4次，其中重量为280千克的堆里没有装错，可以判断出错误的堆数；装错的货物可以在1堆里，也可以在2堆里；如果装错的货物可以在1堆里，再最多称4次可以将装错的2箱货物区分出来；如果装错的货物可以在2堆里，再最多称3次可以将装错的2箱货物区分出来，所以最多需要称8次就能把乙车上装错的货物区分出来．
【详解】解：设甲、乙两车各有x箱货物装错，根据题意得：

解得：，
将乙车上的货物平均分为5堆，每堆4箱，将5堆货物最多称4次，其中重量为280千克的堆里没有装错，可以判断出错误的堆数；装错的货物可以在1堆里，也可以在2堆里；如果装错的货物可以在1堆里，先称两箱，如果这个两箱质量和为140或160千克，则可判断哪两箱是装错的，若这个两箱质量和为150千克，再选择这两箱中其中一箱称重量，就可以哪一箱是装错的，另两箱也同操作即可，最多称3次可以将装错的2箱货物区分出来；如果装错的货物可以在2堆里，每一堆都先称两箱，判断装错的在哪两箱中，然后在这两箱中称其中一箱就可以判断了，最多称4次可以将装错的2箱货物区分出来，所以最多需要称8次就能把乙车上装错的货物区分出来，
故答案为：2，8．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和推理，解题的关键是正确推理．
三、解答题（本题共68分，第17-20、22、25题，每题5分；第21、23、24、26题，每题6分；第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】利用零指数幂的意义，特殊角的三角函数值，算术平方根的定义，绝对值的意义求解即可．
【详解】解：

．
【点睛】本题考查了实数混合运算，掌握零指数幂的意义，特殊角的三角函数值，算术平方根的定义，绝对值的意义是解题的关键．
18. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
19. 已知，求代数式的值．
【答案】

【解析】
【分析】先计算得，再根据得到，整体代入即可求解．
【详解】解：
∵，
∴，
∴原式．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，平方差公式，单项式乘以多项式等知识，正确进行计算，再整体代入是解题关键．
20. 已知：如图，为锐角三角形．

求作：以为一边作，使，．
作法：①作边的垂直平分线；②作边的垂直平分线，与直线交于点O；③以O为圆心，为半径作；④连接并延长，交于点M，连接；即为所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，与交于点O
∴
∴点A、B、C都在上
∵为的直径
∴______°
∵
∴（_____________）（填推理依据）
∴即为所求作的三角形．
【答案】（1）见解析 （2）90，同弧（或等弧）所对的圆周角相等
【解析】
【分析】（1）按照所给方法作图即可；
（2）根据直径所对的圆周角为90度可得，根据同弧（或等弧）所对的圆周角相等，可得．
【小问1详解】
解：尺规作图，如下所示：
【小问2详解】
证明：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，与交于点O
∴
∴点A、B、C都在上
∵为的直径
∴
∵
∴（同弧（或等弧）所对的圆周角相等）
∴即为所求作的三角形．
故答案为：90，同弧（或等弧）所对的圆周角相等．
【点睛】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的作法及性质、圆周角定理，解题的关键是找出外接圆的圆心．
21. 如图，在中，点E是中点．点F是中点．连接平分．

（1）求证：四边形是菱形：
（2）连接，与交于点O，连接．若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形及F是AD中点，E是BC中点，可得四边形AECF是平行四边形，再根据EF平分∠AEC，易证得，则可得，继而证得结论；
（2）过点O作于点G，由三角形面积公式可求的长，勾股定理可求，的长，的长即可求解.
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴，
∵F是AD中点，E是BC中点
∴，
∴四边形AECF是平行四边形
∵EF平分∠AEC
∴
∵
∴
∴
∴四边形AECF是菱形
【小问2详解】
解：∵四边形AECF是菱形
∴，，
∵，，
∴
∴，
过点O作于点G，
∵，
即
∴，
∵
∴，
∴

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理的应用，解直角三角形，三角形面积公式的应用，解题的关键是熟练掌握各知识点，作出辅助线，用好数形结合的思想.
22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，
（1）求该函数的解析式；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，求n的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法，将两个点坐标代入一次函数中，得到关于、的方程组，求出、的值，即得到一次函数解析式；
（2）当时求出函数的值，然后根据题意得到不等式，即可求出的取值范围．
【小问1详解】
一次函数的图象经过点和，将坐标代入得，解得，
．
【小问2详解】
由可知，由可知，所以当时随增大而增大，
当时，，
当时，，
根据题意时对于的每一个值，函数的值大于函数的值，
可得，解得，
时结论成立．
故的取值范围为．
【点睛】本题考查了一次函数的解析式与图象，熟练掌握待定系数法与函数图象是解题的关键，需要注意本题满足取等号．
23. 明明学完了统计部分的相关知识后，对数据的统计产生了浓厚的兴趣，他从网上查阅了2023年3月1号至10号A、B两个城市的日最高气温数据，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．A、B两个城市3月1号至10号的日最高气温数据的折线图：

b．A、B两个城市3月1号至10号的日最高气温数据的平均数中位数众数、极差：
城市
平均数
中位数
众数
极差
A
17.5
17.5
19
z
B
12.4
m
n
8
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求表中m、n、z的值；
（2）记A城市3月1号至10号的日最高气温的方差为，B城市3月1号至10号的日最高气温的方差为，则______（填“＞”“＜”或“=”）；
（3）如果你是明明，请根据以上统计数据，对A、B两个城市3月1号至10号的日最高气温情况做简单的分析．（至少从两个方面做出分析）
【答案】（1），，
（2）＞ （3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题中折线图以及中位数、众数、极差的定义即可求出、、的值；
（2）根据方差公式，分别求出、的值，即可进行比较大小；
（3）可以根据、两城市3月1号至10号的日最高气温的平均数、极差、方差等进行比较，分析两城市温度的高低、波动程度等．
【小问1详解】
解：将城市3月1号至10号的日最高气温（℃）从小到大排列：
9，9，11，11，12，13，14，14，14，17
；
城市3月1号至10号的日最高气温（℃）出现最多次数的温度是14℃，
；
城市3月1号至10号的日最高气温（℃）中最高温度是26℃，最低温度是11℃，
，
故答案为：，，．
【小问2详解】
根据方差公式得：









故答案为：．
【小问3详解】
城市3月1日至10日日平均气温的平均值更高，极差较大，温度波动较大，不稳定；
城市3月1日至10日日平均气温的平均值较小，极差小，温度变化较稳定．
【点睛】本题考查了数据的集中趋势与离散程度，熟练掌握平均数、众数、中位数、极差、方差等定义，会计算数据的平均数、众数、中位数、极差、方差等是解题的关键．
24. 如图，是的直径，C、D是上的两点，且，过点D作的切线交的延长线于点E．

（1）求证：；
（2）连接．若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据为的切线，得出，根据，得出，进而得出，则，即可求证；
（2）根据圆内接四边形，则，
根据直径，得出，则，最后根据，得出．
【小问1详解】
解：连接．

∵为的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵四边形内接于，

∴，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质、圆周角定理，解决本题掌握切线的判定与性质和圆周角定理是解答本题的关键．
25. 如图所示，某农场的小麦收割机正在收割小麦，脱离后的谷粒沿着喷射管道飞出，飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，谷粒从喷射出到着陆的过程中，谷粒的竖直高度y（单位：m）与距离喷射口的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．

（1）谷粒距离喷射口的水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）的几组数据如下：
水平距离
0
2
3
4
5
竖直高度
3.5
43
4.4
4.3
4.0
根据上述数据，若用货车接运谷粒，保证和喷射口在同一平面的情况下，谷粒落下过程中恰好落到车厢的中心点．若货车车厢的中心点距地面1.9米，则货车车厢的中心点应距离喷射口几米？
（2）谷粒喷出的同时石子等较重的杂质会跟随谷粒一起在重力作用下沿抛物线①被分离出来，谷皮和颗粒等较轻的杂质也会跟着谷粒一起沿抛物线②被分离出来，若已知两条抛物线的解析式分别为A：；B：，则A、B对应的抛物线分别为A：______；B：______（写①或②即可）．
【答案】（1）8米 （2）②；①
【解析】
【分析】（1）根据表格数据可得抛物线顶点坐标为，再利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后求出时，的值即为所求；
（2）根据抛物线的开口大小即可得．
【小问1详解】
解：由表可知，抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的解析式为，
∵抛物线过点，
，
解得，
∴，
当时，，
解得或（不符合题意，舍去），
所以货车车厢的中心点应距离喷射口8米．
【小问2详解】
解：由函数图象可知，从抛物线的开口大小看，抛物线①的小于抛物线②的，
抛物线的开口大于抛物线的开口，
所以、对应的抛物线分别为②；①，
故答案为：②；①．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象与性质是解题关键．
26. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．
（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
（2）若，求m的取值范围；
（3）若点在抛物线上，若存在，使成立，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）；
【解析】
【分析】（1）根据公式，即可求出对称轴；
（2）将点，代入抛物线，根据题意列不等式，即可解答；
（3）根据题意，可得在时，，再根据分别列出不等式，即可解答．
【小问1详解】
解：，
抛物线的对称轴为；
【小问2详解】
解：将点，代入抛物线，可得：，，
，
，
解得；
【小问3详解】
解：若点在抛物线上，若存在，使成立，
，
解得．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数求不等式的解集，熟知性质是解题的关键．
27. 在中，，为边中点，连接，与相交于点，过作，交于点，连接．

（1）依题意补全图形；
（2）求证：；
（3）判断的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3），见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据垂直定义，得出，，根据等角的余角相等得出结论；
（3）延长到使，连接，,根据边角边定理证出，
从而证出，，根据勾股定理得出，再根据线段垂直平分线的性质得出，进而得出结论．
【小问1详解】
解：补全图形，如图所示：
【小问2详解】
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
结论：；

延长到使，连接，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
垂直平分,
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理和线段垂直平分线的性质等知识，构造恰当的三角形全等，利用勾股定理解决问题是解本题的关键．
28. 在平面直角坐标系中，已知点，我们将点M的横纵坐标交换位置得到点．给出如下定义：对于平面上的点C，若满足，则称点C为点M的“对炫点”．
　　
（1）已知点，
①下列各点：，，中为点A的“对炫点”的是______；
②点P是直线上一点，若点A是点P的对炫点，求出点P的坐标；
（2）设点是第一象限内一点，点P是直线上一点，至少存在一个点P，使得点A的对炫点也是点P的对炫点，求a、b的取值范围．
【答案】（1）①，；②或
（2），
【解析】
【分析】（1）①根据“对炫点”的定义判定即可；②设点P的坐标为，则将其横纵坐标对换得到，则，然后根据两点间距离公式求得m即可；
（2）如图，点的所有对炫点在以为圆心半径为1的圆上，点的所有对炫点在与直线距离为1且互相平行的、两条直线上，所以满足条件的时刻即为圆B与、两条直线有交点，然后运用勾股定理和已知条件即可解答．
【小问1详解】
解：①已知点，将其横纵坐标对换得到，易得
故A的“对炫点”的是，；
故答案为，；
②设点P的坐标为，则将其横纵坐标对换得到，
由题意可得，即，解得：．
所以点P的坐标为或．
【小问2详解】
解：如图，点的所有对炫点在以为圆心半径为1的圆上，点的所有对炫点在与直线距离为1且互相平行的、两条直线上，所以满足条件的时刻即为圆B与、两条直线有交点即可
如图1：
所以
所以，即；

如图2：当时，圆与、两条直线无交点，即没有“对炫点”，

∵点是第一象限内一点，
∴，
∴，．
【点睛】本题主要考查了两点间距离公式、坐标与图形、“对炫点”的定义等知识点，理解“对炫点”的定义是解答本题的关键．